4.3.1等比数列的概念专项训练A
一．选择题（共8小题）
1．正项等比数列中，，，则的值是
A．2
B．4
C．8
D．16
2．在递增的等比数列中，，，则
A．
B．或
C．
D．
3．已知等比数列满足，，则
A．4
B．
C．8
D．
4．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕，大吕，太簇．据此，可得正项等比数列中，
A．
B．
C．
D．
5．已知是各项均为正数的等比数列，则下列结论中正确的个数为
①；②；③；④若，则．
A．1
B．2
C．3
D．4
6．已知等比数列的公比为正数，且，，则
A．
B．
C．
D．2
7．已知数列是等比数列，且，则
A．8
B．64
C．
D．
8．在各项都为正数的等比数列中，已知，其前项积为，且，则取得最大值时，的值是
A．10
B．10或11
C．11或12
D．12或13
二．多选题（共4小题）
9．在递增的等比数列中，已知公比为，是其前项和，若，，则下列说法正确的是
A．
B．数列是等比数列
C．
D．数列是公差为2的等差数列
10．已知等比数列的前项和为，公比，，则
A．一定是递增数列
B．可能是递增数列也可能是递减数列
C．，，仍成等比
D．，
11．已知是公比的正项等比数列的前项和，若，，则下列说法正确的是
A．
B．数列是等比数列
C．
D．数列是公差为2的等差数列
12．已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是
A．
B．
C．，，成等比数列
D．
三．填空题（共4小题）
13．等比数列满足：，，则 ．
14．“十二平均律”又称“十二等程律”是世界上通用的一组音（八度）分成12个半音音程的律制，是在16世纪由明朝皇族世子朱载堉年年）发现的，具体是指一个八度有13个音，每相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的频率的2倍，设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则 ．
15．已知数列是等比数列，，，且，则数列的公比 ．
16．设等比数列的前项和为，若，，则 ．
四．解答题（共5小题）
17．在递增的等比数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
18．设等差数列的前项和为，，．
（1）求；
（2）设，证明数列是等比数列，并求其前项和．
19．已知等比数列中，公比，是，的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
20．已知为等差数列，且，．
（1）求的通项公式；
（2）若等比数列满足，，求的前项和公式．
4.3.1等比数列的概念专项训练A
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：正项等比数列中，，，
，，，
，
故选：．
2．【解答】解：在递增的等比数列中，，，
，，
，是一元二次方程的两根，且，
解方程，得，，
．
．
故选：．
3．【解答】解：因为，
所以，所以，
再由得，．
故选：．
4．【解答】解：根据题意，该问题为已知等比数列的首项、末项，求数列中任意一项，
设数列的首项为，末项为，
其公比，则，
则；
故选：．
5．【解答】解：对于①，根据等比数列的概念、等比数列的通项公式可知①正确；
对于②，设公比为，则，所以②正确；
对于③，，所以③正确；
对于④，因为的各项均为正数，若，则，
所以，④正确．
故选：．
6．【解答】解：等比数列的公比为正数，且，，
，
解得，．
故选：．
7．【解答】解：数列是等比数列，且，
，
，
．
故选：．
8．【解答】解：因为等比数列的前项积为，且，
所以，
所以，所以，
又，所以当时，，
当时，，
所以，为前项积的最大值．
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．【解答】解：在递增的等比数列中，公比为，是其前项和，
，，
，，
，是一元二次方程的两个解，
解方程，得，，
，故正确；
，数列是等比数列，故正确；
，故正确；
，，
数列是公差为的等差数列，故错误．
故选：．
10．【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，当时，若，为递减数列，错误，
对于，已知，当时，为递减数列，当时，为递增数列，正确，
对于，数列为等比数列，则，，仍成等比，正确，
对于，等比数列中，，则，必有，正确，
故选：．
11．【解答】解：根据题意，设等比数列的公比为，
对于，若，，则，，解得，，正确；
对于，由，，则，则有，故数列是公比为2的等比数列，正确，
对于，由的结论．，则，正确，
对于，由，，则，故，数列是公差为的等差数列，错误，
故选：．
12．【解答】解：根据题意，等比数列中，
对于，若，则有，解可得，正确，
对于，由，则，正确，
对于，由，则，，，，，不是等比数列，错误，
对于，由，则，，不成立，错误，
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．【解答】解：因为等比数列满足，，
所以数列的公比，
则，
故答案为：16．
14．【解答】解：由题意知13个音的频率成等比数列，设公比为，
则，
所以．
故答案为：．
15．【解答】解：数列是等比数列，
则，
所以，
而，，
所以公比．
故答案为：2．
16．【解答】解：根据题意，设等比数列的公比为，
若，，即，，
则有，解得，
则，
故答案为：0．
四．解答题（共5小题）
17．【解答】解：（1）根据题意，设等比数列的公比为，
则有，
解可得，，
故，
（2）由（1）可得，则，
故．
18．【解答】解（1）根据题意，是等差数列，
若，，则有，，
联立解得，，
所以；
（2）证明：由，则，
故列是首项为，公比为2的等比数列．
数列的前项和．
19．【解答】解：（1）等比数列中，公比，是，的等差中项．
，
，
解得，
数列的通项公式．
（2）等比数列中，公比，首项，
数列的前项和：
．
20．【解答】解：（1），，
，解得，，
，
（2），
，
，
．4.3.1等比数列的概念专项训练B
一．选择题（共8小题）
1．在等比数列中，，，则与的等比中项为
A．4
B．6
C．
D．
2．已知数列满足，，则
A．4
B．8
C．16
D．32
3．在等比数列中，已知，，则
A．128
B．64
C．64或
D．128或
4．等比数列中，，是关于的方程的两个实根，则
A．8
B．
C．4
D．8或
5．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假定某种传染病的基本传染数，那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为
注：初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人再传染个人为第二轮感染．
A．5
B．6
C．7
D．8
6．等比数列中，已知，，则
A．24
B．
C．
D．
7．已知递增的等比数列满足，，成等差数列，则数列的公比
A．2
B．3
C．4
D．5
8．等比数列，且，则
A．12
B．15
C．8
D．
二．多选题（共4小题）
9．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是
A．
B．数列是等比数列
C．
D．数列是公差为2的等差数列
10．设等比数列的公比为，其前项的和为，前项的积为，并满足条件，，，下列结论错误的是
A．
B．．
C．是数列中的最大值
D．数列无最小值
11．正项等比数列的前项和为，已知，．下列说法正确的是
A．
B．是递增数列
C．为等比数列
D．是等比数列
12．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是
A．
B．
C．是数列中的最大值
D．数列无最大值
三．填空题（共4小题）
13．在等比数列中，，则公比 ．
14．已知等比数列的各项都是正数，且，则 ．
15．若正项等比数列满足，当取最小值时，数列的公比是 ．
16．已知正项等比数列的前项和为，且满足，，则 ．
四．解答题（共5小题）
17．已知等比数列，首项为3，第四项为24，求：公比、通项公式、前项的和？
18．在公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和公式．
19．求下列各组数的等比中项：
（1）与；
（2）与
20．在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列中，，．若，且数列是等比数列，求数列的前项和．
4.3.1等比数列的概念专项训练B
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：等比数列中，，，
与的等比中项为：
．
故选：．
2．【解答】解：数列满足，，
则数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，
故选：．
3．【解答】解：设等比数列的公比为，
在等比数列中，，，
，解得，或，，
或．
故选：．
4．【解答】解：根据题意，等比数列中，有，
，是关于的方程的两个实根，则，，
则，，则有，即，
；
故选：．
5．【解答】解：初始一名感染者，经过一轮传染后，感染人数为人，
经过二轮传染后，感染人数为人，
经过三轮传染后，感染人数为人；
则每一轮传染后的感染人数构成以4为首项，以4为公比的等比数列，设为，
到第轮传染后，感染人数为，
由，得，
感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为6轮．
故选：．
6．【解答】解：等比数列中，
由等比数列的性质得：
，，成等比数列，
由，，
得：．
故选：．
7．【解答】解：递增的等比数列满足，，成等差数列，
即有，
可得，
解得舍去），
故选：．
8．【解答】解：等比数列，且，
，
．
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．【解答】解：在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，
，，
，
解得（舍或，，
故正确，
，数列是等比数列，故正确；
，故正确；
，，数列不是公差为2的等差数列，故错误．
故选：．
10．【解答】解：等比数列的公比为，其前项的和为，前项的积为，
并满足条件，，，
，，，
在中，，，故错误；
在中，，，
．，故错误；
是数列中的最大项，故错误；
在中，数列无最小值，故正确．
故选：．
11．【解答】解：正项等比数列的前项和为，已知，．
设首项为，公比为，
则，解得，
所以，故错误，正确；
则：，由于的关系式符合的形式，故正确．
由于，
所以，所以该数列为等差数列，故错误．
故选：．
12．【解答】解：根据题意，等比数列的公比为，若，则，
又由，必有，则数列各项均为正值，
又由，即，则有或，
又由，必有，则有，
对于，有，即，则正确；
对于，有，则，则正确；
对于，，则是数列中的最大值，错误，同理错误；
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．【解答】解：等比数列中，，
且，
所以，解得．
故答案为：．
14．【解答】解：等比数列的各项都是正数，且，
，
则．
故答案为：2．
15．【解答】解：正项等比数列满足，
，
，
当且仅当，即时，取等号，
当取最小值时，数列的公比是2．
故答案为：2．
16．【解答】解：根据题意，设比数列的公比为，
若，，则有，
解可得或（舍，
则．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
17．【解答】解：根据题意，设该等比数列的为，其公比为，
若首项为3，第四项为24，，，则，则，
通项公式，
前项和．
18．【解答】解：令公差为，由得，，
，，成等比数列
故有
由
，
故其前项和为
19．【解答】解：（1）与的等比中项为：．
（2），，
与的等比中项为：．
20．【解答】解：（1）设数列的首项为，公差为，
由，解得，，
，
即；
（2）当时，，
当时，，
数列是等比数列，
其公比为，
，
数列的前项和．
