4.3等比数列综合测试题B
一．选择题（共8小题）
1．已知为数列的前项和，且满足，，，则
A．
B．
C．
D．
2．已知数列中，，，记的前项和为，则
A．
B．
C．
D．
3．一个球从米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，全程共经过 米
A．
B．
C．
D．
4．已知正项等比数列中，，若，则数列的前十项和
A．511
B．512
C．1023
D．1024
5．若一个数列的第项等于这个数列的前项的乘积，则称该数列为“积数列”．若各项均为正数的等比数列是一个“2019积数列”，且，则当其前项的乘积取最大值时的值为
A．1010
B．1009
C．1009或1010
D．1008或1009
6．已知为等比数列，，，则的值为
A．
B．9或
C．8
D．9
7．已知单调递增的等比数列，，，则数列的前9项和
A．14
B．28
C．36
D．72
8．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，，，则
A．16
B．12
C．8
D．4
二．多选题（共4小题）
9．数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，
以下运算和结论正确的是
A．
B．数列，，，，，是等比数列
C．数列，，，，，的前项和为
D．若存在正整数，使，，则
10．下列结论不正确的是
A．若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数，则这个数列是等差数列
B．等差数列的前项和公式是常数项为0的二次函数
C．等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列
D．如果数列的前项和为，则对，都有
11．已知正项等比数列满足，，若设其公比为，前项和为，则
A．
B．
C．
D．
12．下列说法中正确的是
A．数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有
B．数列成等比数列的充要条件是对于任意的正整数，都有
C．若数列是等差数列，则，，也是等差数列
D．若数列是等比数列，则，，也是等比数列
三．填空题（共4小题）
13．已知为等比数列的前项和，，，则的值为 ．
14．已知等比数列的前项和，则实数 ．
15．已知数列是公比为2的等比数列，其前项和为，且，则 ．
16．已知是等比数列，是其前项和，若，，则的值为 ．
四．解答题（共5小题）
17．假设世界人口每年增加，求25年后的世界人口是现在人口的多少倍以及人口翻一番所需的时间．若年增长率为，结果又如何？
18．在庆祝新中国成立七十周年群众游行中，中国女排压轴出场，乘坐“祖国万岁”彩车亮相国庆游行，“女排精神”燃爆中国．某排球俱乐部为让广大排球爱好者体验排球的训练活动，设置了一个“投骰子50米折返跑“的互动小游戏，游戏规则：参与者先进行一次50米的折返跑，从第二次开始，参与者都需要抛掷两枚质地均匀的骰子，用点数决定接下来折返跑的次数，若抛掷两枚骰子所得的点数之和能被3整除则参与者只需进行一次折返跑，若点数之和不能被3整除，则参与者需要连续进行两次折返跑．记参与者需要做个折返跑的概率为．
（1）求，，．
（2）证明：是一个等比数列．
（3）求，若预测参与者需要做折返跑的次数，你猜奇数还是偶数？试说明你的理由．
19．在①，，②，，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的，存在，求，的值；若问题中的，不存在，说明理由．
问题：已知等差数列为递增数列，其前项和为，且_____．在数列的前20项中，是否存在两项，，且，使得成等比数列．
20．已知数列满足，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求值．
4.3等比数列综合测试题B
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：，，，
，即是公比为3的等比数列，
当是奇数时，是公比为3的等比数列，首项为，
当是偶数时，是公比为3的等比数列，首项为，
则前2020项中含有1010个偶数，1010个奇数，
则．
故选：．
2．【解答】解：数列中，，，
即，
是以1为首项，以为公比的等比数列，
，
前项和为，
故选：．
3．【解答】解：由于一个球从米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，
所行的路程为：，，，，，，，，，，
第一次落地前行的路程和最后一次落地前行的路程都是单程，其他是双程．
故选：．
4．【解答】解：设等比数列的公比为，
由得，所以，
又因为，得，所以，
，
故选：．
5．【解答】解：各项均为正数的等比数列是一个“2019积数列”，且，
由题意得，
根据等比数列的性质得到：
，
，，该数列为递减的等比数列，
，，
当其前项的乘积取最大值时的值为1009．
故选：．
6．【解答】解：由题意，可知
，则．
．
故选：．
7．【解答】解：在单调递增的等比数列中，，，
设等比数列的公比为，首项，
即，，
解得，（舍去）或，
解得，
则数列，
则数列的前9项和．
故选：．
8．【解答】解：设等比数列的公比为，
由题设可得：，即，解得：，
，
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．【解答】解：以为分母的数共有个，故，，，故正确；
为等差数列，故错误；
数列的前项和为，故正确；
根据（3）知：，
即；，此时，故正确．
故选：．
10．【解答】解：由等差数列的定义知选项正确；
当等差数列为常数列时，其前项和不是二次函数，选项错误；
又当等比数列的公比，为偶数时，，，均为0，不是等比数列，故选项错误；
由数列的项与前项和的关系可知选项正确，
故选：．
11．【解答】解：根据题意，
对于，正项等比数列满足，变形可得，解得或，
又由为正项等比数列，则，故选项正确；
对于，，选项正确；
对于，，所以，选项错误；
对于，根据的结论：，则，而，选项正确．
故选：．
12．【解答】解：数列成等差数列，选项正确；
又当时，有，但数列不是等比数列，故选项错误；
若数列是等差数列，由等差数列的性质和等差数列的前项和公式可得：，
，，成等差数列，故选项正确；
又数列是等比数列时，当公比，为偶数时，，，均为0，不是等比数列，故选项错误，
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．【解答】解：根据题意，设等比数列的公比为，
若，即，
又由，则，
变形可得，则，
故答案为：40．
14．【解答】解：根据题意，等比数列的前项和，
则，
，
，
则有，解可得，
故答案为：．
15．【解答】解：数列是公比为2的等比数列，其前项和为，且，
所以，解得，
故．
故答案为：17．
16．【解答】解：在等比数列中，，，
若公比，则，
，
，
，
即，
即，
或2，又，
或，
当时，，
当时，．
故答案为：3或6．
四．解答题（共5小题）
17．【解答】解：①设第年后的世界人口是，设现在人口为，
则，解得：．
令，解得．
②若增长率为，所以，整理得，
令，解得．
18．【解答】解：由题意可知，第一次50米折返跑都必须跑，
所以，
第二次折返跑前，已经跑了一个折返跑，两枚骰子点数之和能被3整除的概率，
则两枚骰子的点数之和不能被3整除的概率为，
故参与者需要做两个折返跑（第二次训练只做一个折返跑）的概率，
参与者需要做三个折返跑时应考虑两个方面：
①第二次做两个折返跑，其概率为．
②第二次与第三次各做一个折返跑，其概率为，
故．
（2）需要做个折返跑时有两个情况：
做完第个折返跑（概率为后，再做一个（即两个骰子点数之和能被3整除）其概率为
由相互独立事件的概率公式可得，这种情况做个折返跑的概率为；
做完第个折返跑（概率为后，再做两个（即两个骰子点数之和不能被3整除）其概率为，
由相互独立事件的概率公式可得，这种情况做个折返跑的概率为；
由互斥事件的概率加法公式可得，
所以，
又，
所以是首项为，公比的等比数列，
（3）由（1）及（2）知
，，
故，
，
以上各式累加可得
，
显然，当时上式也成立．
所以，
当为奇数时，，
所以，
当为偶数时，
，
所以，
显然当为偶数时，概率小，
所以预测参与者需要做折返跑的次数，应猜奇数．
19．【解答】解：已知等差数列为递增数列，则公差，
选①得：，整理得，
解得．
故．
由于成等比数列，
所以，
所以，
由于，
所以．
由于，
所以，
所以，
所以或．
由于，所以，．
选②：，，
整理得，解得．
故．
选③时，，
由于，
解得，
故，
由于成等比数列，
所以，
所以，
由于，
所以．
由于，
所以，
所以，
所以或．
由于，所以，．
20．【解答】解：（Ⅰ）由得，
所以为等比数列，且首项公比，
所以的通项公式为．
（Ⅱ）设，则，
所以是首项为，公比的等比数列，
所以4.3等比数列综合测试题A
一．选择题（共8小题）
1．等比数列中，，，则的前8项和为
A．90
B．
C．
D．72
2．各项均为正数的等比数列满足，，则数列的前4项和为
A．20
B．100
C．110
D．120
3．已知等比数列的前项和为，若，则数列的公比
A．2
B．
C．
D．
4．“提丢斯数列”，是由18世纪德国数学家提丢斯给出，具体如下：0，3，6，12，24，48，96，192，，容易发现，从第3项开始，每一项是前一项的2倍；将每一项加上4得到一个数列：4，7，10，16，28，52，100，196，；再将每一项除以10后得到：“提丢斯数列”：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，，则下列说法中，正确的是
A．“提丢斯数列”是等比数列
B．“提丢斯数列”的第99项为
C．“提丢斯数列”前31项和为
D．“提丢斯数列”中，不超过20的有9项
5．已知等比数列的前项和为，公比，，，要使数列为等比数列，则实数的值为
A．
B．
C．2
D．不存在
6．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值是，大约为0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．在直角三角形中，为斜边，如果一直角边是将斜边进行黄金分割成两部分中的较长部分，则，，成等比数列．现有一直角三角形恰好满足上面的特性，其斜边长为，则它的两直角边平方差的绝对值是
A．
B．
C．
D．
7．已知等比数列的前项和为，则下列命题一定正确的是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
8．已知等比数列的公比，且，，则的前2020项和等于
A．2020
B．
C．1
D．0
二．多选题（共4小题）
9．数列满足：，，，下列说法正确的是
A．数列为等比数列
B．
C．数列是递减数列
D．的前项和
10．已知数列的前项和是，则下列说法正确的有
A．若，则是等差数列
B．若，则是等比数列
C．若是等差数列，则，，成等差数列
D．若是等比数列，则，，成等比数列
11．在公比为等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是
A．
B．数列是等比数列
C．
D．
12．无穷数列的前项和，其中，，为实数，则
A．可能为等差数列
B．可能为等比数列
C．中一定存在连续三项构成等差数列
D．中一定存在连续三项构成等比数列
三．填空题（共4小题）
13．记为等比数列的前项和．设，，则公比 ， ．
14．在各项均为正数的等比数列中，已知，，记，则数列的前六项和为 ．
15．已知等比数列的前项和为，若，则数列的公比 ．
16．设各项均为正数的无穷等比数列满足：，，则数列的各项的和为 ．
四．解答题（共5小题）
17．已知等比数列的公比为，前项和为，，，．
（1）求；
（2）在平面直角坐标系中，设点，，2，3，，直线的斜率为，且，求数列的通项公式．
18．设数列，是公比不相等的两个等比数列，数列满足，．
（1）若，，是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，求的值；若不存在，说明理由；
（2）证明：不是等比数列．
19．设为数列的前项和，，，其中是常数．
（1）若、、成等差数列，求的值；
（2）若对于任意的，、、成等比数列，求的值．
20．已知等比数列的公比为．
（1）试问数列一定是等比数列吗？说明你的理由．
（2）若，，求的通项公式及数列的前项和．
4.3等比数列综合测试题A
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：等比数列中，，
，
，，，
则的前8项和．
故选：．
2．【解答】解：，
，
，
，
，，
则数列的前4项和为．
故选：．
3．【解答】解：当数列的公比时，，与矛盾，故不符合题意．
当时，，
所以．因为，
所以，即，则．
故选：．
4．【解答】解：记“提丢斯数列”为数列，
则当时，，解得，
当时，，符合该式，当时，，
，
对于，“提丢斯数列”不是等比数列，故错误；
对于，“提丢斯数列”的第99项为，故错误；
对于，“提丢斯数列”前31项和为：
，故正确；
对于，由，得，成立；
时，，即，
解得，，，
“提丢斯数列”中，不超过20的有8项，故错误．
故选：．
5．【解答】解：由公比，可得，
而，．
若数列为等比数列，
则有，
即，解得，
于是，
而，
故时，数列为等比数列．
故选：．
6．【解答】解：设直角三角形的三边分别为，，，则，
所以①，
又因为，，成等比数列，
则有，代入①中，
可得，
即，
所以，
则有
（负值舍去），
所以，则，
，
所以．
故选：．
7．【解答】解：设等比数列的公比为，
对于：若，当为负数且时，此时，故不正确；
对于：若，无论取任何值，与同号，此时，故正确；
对于：若，当为负数且时，此时，则，故不正确；
对于：若，当为负数且时，此时，则，故不正确．
故选：．
8．【解答】解：由，，化为，，
解得，
又，解得．
则的前2020项和，
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．【解答】解：数列满足：，，，
，，
，
数列为首项为，公比为3的等比数列，故正确；
，，故正确；
数列是递增数列，故错误；
数列的前项和为：，
的前项和，故错误．
故选：．
10．【解答】解：若，
当时，，
当时，也适合上式，故，
因为，所以数列是等差数列，
故选项正确；
若，
当时，，
整理可得，所以，
所以数列是等比数列，
故选项正确；
若是等差数列，
则，
，
，
所以，
故，，成等差数列，
故选项正确；
若是等比数列，当时，，
当为偶数时，则有，，，不构成等比数列，
故选项错误；
故选：．
11．【解答】解：，，，解得：，故选项正确；
又，，常数，故选项错误；
，选项正确；
又，，故选项正确，
故选：．
12．【解答】解：由可得：，两式相减整理得：，，
又当时，有，
，
当，时，，此时数列既是等差数列，又是等比数列，故选项、正确；
又，，，，此时，，成等差数列，故选项正确；
当时，，此时数列中不存在连续三项构成等比数列，故选项错误，
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．【解答】解：因为等比数列，，，
所以，
故，，
则．
故答案为：，5．
14．【解答】解：设等比数列的公比为，
，，，
又，，解得：，
，
，
，
故答案为：189．
15．【解答】解：当数列的公比时，，与矛盾，故不符合题意．
当时，，
所以．因为，
所以，即，则．
故答案为：．
16．【解答】解：由题意设公比是，而，
则，，
，，解得：舍），
故，
则数列的首项是，公比是，
故数列的各项的和，
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
17．【解答】解：（1）等比数列中，，，
所以，
则，
由得，，
故或（舍，
因为，
所以，
解得，，
故；
（2）由题意得，，即，
所以，
，
，
累加得，，
故．
18．【解答】解：（1）因为为等比数列，
所以，
将代入上式，得
，
即，
整理得，
解得或3．
（2）证明：设，的公比分别为，，，
，
为证不是等比数列只需证，
因为，
，
由于，，
又，不为零，
因此，
故不是等比数列．
19．【解答】解：（1）由题意可得，，，
、、成等差数列，
，解得；
（2）当时，；
当时，．，符合，
．
、、成等比数列，则，
即，整理得对任意的恒成立，
因此，或．
20．【解答】解：（1）数列不一定是等比数列．
理由如下：若，则，
此时数列不是等比数列；
若，则数列一定是公比为的等比数列，
故数列不一定是等比数列．
（2）由，且；得．
因为，所以，则，
所以，，
所以的通项公式为，
故，
当为偶数时，；
当为奇数时，．
所以
