4.4数学归纳法专项训练B
一．选择题（共8小题）
1．利用数学归纳法证明时，第一步应证明
A．（2）
B．（1）
C．（1）
D．（1）
2．用数学归纳法证明：．从到，若设，则等于
A．
B．
C．
D．
3．用数学归纳法证明由到时，不等式左边应添加的项是
A．
B．
C．
D．
4．现用数学归纳法证明“空间中个平面，最多将空间分成个区域”，过程中由到时，应证明区域个数增加了
A．
B．
C．
D．
5．若用数学归纳法证明等式，则时的等式左端应在的基础上加上
A．
B．
C．
D．
6．用数学归纳法证明不等式，第二步由到时不等式左边需增加
A．
B．
C．
D．
7．用数学归纳法证明不等式的过程中，从到时左边需增加的代数式是
A．
B．
C．
D．
8．已知，用数学归纳法证明：对于任意的，，由的归纳假设证明，若，则
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共4小题）
9．用数学归纳法证明“当时，能被8整除”时，第二步“假设当时，能被8整除，证明当时也能被8整除”的过程中，得到，则的表达式为 ．
10．在数学归纳法的递推性证明中，由假设成立推导成立时，增加的项的个数是 （用表示）
11．在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项数是
12．已知，用数学归纳法证明时，有 ．
三．解答题（共4小题）
13．若数列对任意连续三项，，，均有，则称该数列为“跳跃数列”．
（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：
①等差数列：1，2，3，4，5，；
②等比数列：；
（2）若数列满足对任何正整数，均有．证明：数列是跳跃数列的充分必要条件是．
（3）跳跃数列满足对任意正整数均有，求首项的取值范围．
14．已知数列的前项和为，且．
（1）求，，，的值，猜想数列的通项公式并加以证明；
（2）求．
15．设数列中，，，．
（1）设，写出数列的前五项；
（2）猜想数列的一个性质，并证明；
（3）求的取值范围，使对任意都成立．
16．，个正数排成行列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数的等比数列．
已知，，．
（1）设，求数列的通项公式；
（2）设，求证：；
（3）设，请用数学归纳法证明：．
4.3数学归纳法专项训练B
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：由，
可得（1），
由数学归纳法的证明步骤，可知第一步应证明：（1）．
故选：．
2．【解答】解：由数学归纳法证明时，
从“”到“”的证明，左边需增添的一个因式是，
则，
故选：．
3．【解答】解：当时，有不等式，
当时，不等式为，
将上面两式的左边相减可得，
由到时，不等式左边应添加的项是，
故选：．
4．【解答】解：当时，，
当时，再添上第个平面，因为它和前个平面都相交，所以可得条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这条交线可以把第个平面划最多分成个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域．因此，空间区域的总数增加了个个，
故选：．
5．【解答】解：当时，等式的左端为，表示从1到的累加；
则当时，等式的左端应该表示从1到的累加，
即，
故增加的项为．
故选：．
6．【解答】解：用数学归纳法证明等式，的过程中，
假设时不等式成立，左边，
则当时，左边，
由递推到时不等式左边增加了：，
故选：．
7．【解答】解：当时，左边的代数式为，
当时，左边的代数式为，
故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为：
．
故选：．
8．【解答】解：由的归纳假设证明，，．
．
故选：．
二．填空题（共4小题）
9．【解答】解：假设当时，能被8整除，
证明当时也能被8整除”的过程中，
得到，
可得，
故答案为：．
10．【解答】解：当时，，
当时，，
由，
可得需增加的项的个数为，
故答案为：．
11．【解答】解：假设时成立，即，
则成立时，有，
左边增加的项数是．
故答案为：．
12．【解答】解：假设时，，
当时，，
．
故答案为：．
三．解答题（共4小题）
13．【解答】解：（1）①等差数列：1，2，3，4，5，不是跳跃数列；
②等比数列：是跳跃数列．
（2）必要性：若，则是单调递增数列，不是跳跃数列；
若，是常数列，不是跳跃数列．
充分性：下面用数学归纳法证明：
若，则对任何正整数，均有，成立．
当时，，，
，，，
，，
命题成立；
若时，，，
则，，，
，当时命题也成立，
根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足，
故是跳跃数列．
（3），，，
若，则，此时；
若，则，此时；
若，则，．
若，则，．
，
此时对任何正整数，均有．
14．【解答】解：（1）由，得，解得，
，解得，
，解得，
归纳猜测．
下面利用数学归纳法证明：
①当时，，结论成立，
②假设时结论成立，即，
则当时，由，
得，
即，
当时结论成立．
综①②所述，对于任意，有；
（2）由（1）得，，
．
15．【解答】解：（1），．
又，可得，，，；
（2）由（1）可猜想数列为周期为4的数列．
证明：不妨设为奇数，可得，
则，，
，
综上可得，，
当为偶数，同理可得，
故数列为周期为4的数列；
（3）令，由，，
可得，，，，，，
即数列为最小正周期为4的数列，
对任意成立，可得，即，解得；①
又，即，解得，
结合①可得；
又，即，当时，，，成立．
综上可得，的取值范围为，，使对任意成立．
16．【解答】解：（1）由题意，数列是等差数列，设首项为，公差为，
由，得解得，，
故数列的通项公式为；
证明：（2）由（1）可得，再由已知，得，
解得，由题意舍去，
，
由指数函数的性质，有．
证明：（3）当时，，等式成立，
假设当时等式成立，即，
当时，，
等式成立，
根据和可以断定，对任何的都成立．4.4数学归纳法专项训练A
一．选择题（共8小题）
1．用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是
A．
B．
C．
D．
2．用数学归纳法证明“能被9整除”，在假设时命题成立之后，需证明时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项 能被9整除．
A．
B．
C．
D．
3．用数学归纳法证明：时，从“到”等式左边的变化结果是
A．增乘一个因式
B．增乘两个因式和
C．增乘一个因式
D．增乘同时除以
4．用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边
A．增加了
B．增加了
C．增加了
D．增加了
5．对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
①当时，，不等式成立．
②假设当时，不等式成立，即，则当时，．
故当时，不等式成立．则上述证法
A．过程全部正确
B．的验证不正确
C．的归纳假设不正确
D．从到的推理不正确
6．用数学归纳法证的过程中，从到时，左边需增加的代数式是
A．
B．
C．
D．
7．用数学归纳法证明不等式时，可将其转化为证明
A．
B．
C．
D．
8．已知，记，，若，则
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共4小题）
9．用数学归纳法证明：能被31整除时，从到添加的项数共有 项（填多少项即可）．
10．设，，，，．希望证明，在应用数学归纳法求证上式时，第二步从到应添的项是 ．（不用化简）
11．用数学归纳法证明的过程中，由到时，右边应增加的因式是 ．
12．若，用数学归纳法验证关于的命题时，第一步计算（1） ；第二步“从到时”，
．
三．解答题（共4小题）
13．已知数列满足：，，，记数列的前项和为．
（Ⅰ）求，，的值并用数学归纳法求出数列的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数，使得？请论证你的判断．
14．设，，，．
（1）求，，的值，猜想数列的通项公式；
（2）试证明通项公式的正确性．（用数学归纳法证明）
15．在数列中，．
（1）求出，并猜想的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
16．已知正项数列的前项和为，．
（1）计算，，，猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明数列的通项公式；
（3）证明不等式对任意恒成立．
4.3数学归纳法专项训练A
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：当时，原式左侧：，
当时，原式左侧：，
从到时需增添的项是
故选：．
2．【解答】解：假设时命题成立，即能被9整除，
那么，当时，
，
能被9整除，
要证上式能被9整除，还需证明也能被9整除．
故选：．
3．【解答】解：假设，时等式成立，即，
那么，当时，等式左边为
．
从“到”等式左边的变化结果是增乘一个因式．
故选：．
4．【解答】解：用数学归纳法证明不等式的过程中
由时，，①
递推到时，，②
②①得：左边．
故选：．
5．【解答】解：的验证及归纳假设都正确，
但从到的推理中没有使用归纳假设，只是通过不等式的放缩法直接证明，
不符合数学归纳法证题的要求．
故选：．
6．【解答】解：当时，原结论成立，即．
那么，当时，需证．
从到时，左边需增加的代数式是．
故选：．
7．【解答】解：对于选项，，由于，，不能推得不等式成立，故排除选项，；
对于选项，可令，当时，（2），故排除．
对于选项，由于，
即只要证，
当时，假设成立，则，
当时，，
即时，不等式也成立．
综上可得成立．
故原不等式成立．
故选：．
8．【解答】解：，
，
，
．
，．
故选：．
二．填空题（共4小题）
9．【解答】解：当时，原式，
那么，当时，原式，
从到添加的项为，共5项．
故答案为：5．
10．【解答】解：当时，，
那么，当时，．
从到应添的项是，
故答案为：．
11．【解答】解：当时，右边等于，
当时，右边等于，
故从“”到“”的证明，右边需增添的代数式是：，
故答案为：．
12．【解答】解：（1）；
假设当时，，
那么，当时，，
，
故答案为：；．
三．解答题（共4小题）
13．【解答】解：（Ⅰ），，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
猜想，
下面运用数学归纳法证明．
当时，，显然成立；
假设时，，
当时，
．
即时，猜想也成立．
综上可得，数列的通项公式为；
（Ⅱ）由（1）可得，
令，
当为奇数时，，当时，；
当为偶数时，，当时，；时，，
综上可得，存在正整数，使得．
14．【解答】解：（1），，，
，
，
，
猜想数列的通项公式为；
证明：（2）①当时，，猜想正确；
②假设且时，猜想成立，即，
当时，．
即时，猜想成立．
由①②知，对于任何时，都有．
15．【解答】解：（1）由，得：
，，
猜想；
证明：（2）当时，，结论成立；
假设当时，结论成立，即，
那么，当时，，即结论成立．
综上可知，对任意，都有成立．
16．【解答】解：（1）正项数列的前项和为，，
当时，，解得，
当时，，解得，
当时，，解得，
于是可猜想；
证明：（2）①当时，显然成立，
②假设当时成立，即，
那么时，，
，
，
即，
，
当时也成立，
由①②可得；
证明：（3），，
，
问题得以证明．
