2020-2021学年人教版数学八年级下册第十八章 18.2.3 正方形性质与判定的灵活应用 课件（25张PPT）

(共25张PPT)
第十八章
18.2.7
正方形性质与判定的灵活应用
人教版数学八年级下册
1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，并延长AE交DF于点M.求证AM⊥DF.
1
题型
利用正方形的性质证明垂直关系
合作探究
证明：∵AC，BD是正方形ABCD的两条对角线，
∴AC⊥BD，OA＝OD＝OC.
∵DE＝CF，∴OE＝OF.
在△AOE与△DOF中，
∴△AOE≌△DOF(SAS)．
∴∠OAE＝∠ODF.
∵∠DOF＝90°，
∴∠DFO＋∠FDO＝90°.
∴∠DFO＋∠FAE＝90°.
∴∠AMF＝90°，即AM⊥DF.
2．(中考·杭州)如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.
(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量
关系，并说明理由；
2
题型
利用正方形的性质求线段间的数量关系
(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．
解：(1)AG2＝GE2＋GF2.理由如下：
如图，连接GC，由正方形的性质知AD＝CD，
∠ADG＝∠CDG.
在△ADG和△CDG中，
∴△ADG≌△CDG(SAS)．
∴AG＝CG.
由题意知∠GEC＝∠GFC＝∠DCB＝90°，
∴四边形GFCE为矩形，
CG2＝CF2＋GF2.
∴GE＝FC.
又∵AG＝CG，∴AG2＝GE2＋GF2.
(2)如图，作AH⊥BD于点H，由题意易知∠AGB＝60°，∠ABG＝45°，
∴∠BAH＝45°＝∠ABG，∠GAH＝30°.
∴AH＝BH，AG＝2HG.
∵AB＝1，
∴在Rt△ABH中，由勾股定理可得AH＝BH＝
.
在Rt△AGH中，由勾股定理可得HG＝
.
∴BG＝
.
3．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CE＝2DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF.下列结论：
①△ABG≌△AFG；
②BG＝GC；
③EG＝DE＋BG；
3
题型
利用正方形的性质解决相关问题
④AG∥CF；
⑤S△FGC＝3.6.
其中正确结论的个数是(　　)
A．2个　　　B．3个　　　C．4个　　　D．5个
D
4．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点
A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.
(1)不管滚动多长时间，求证：连接四个小
球所得的四边形PQRS总是正方形．
(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？
4
题型
正方形性质与判定的综合运用
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
AB＝BC＝CD＝DA.
又∵在任何运动时刻，AP＝BQ＝CR＝DS，
∴PB＝QC＝RD＝SA.
∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS.
∴PS＝QP＝RQ＝SR，∠ASP＝∠BPQ.
∴在任何运动时刻，四边形PQRS是菱形．
又∵∠APS＋∠ASP＝90°，
∴∠APS＋∠BPQ＝90°.
∴∠QPS＝180°－(∠APS＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°.
∴在任何运动时刻，四边形PQRS总是正方形．
(2)解：当P，Q，R，S在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于正方形ABCD的面积．
课后练习
再见