2021届高考物理大二轮复习讲义 专题三第9讲磁场及其对电流的作用　带电粒子在磁场中的运动

第9讲　磁场及其对电流的作用带电粒子在磁场中的运动
构建网络
命题特点：以选择题的形式考查磁场的性质，以选择题、计算题的形式考查带电粒子在磁场中的运动和在有界磁场中的临界问题。
思想方法：比值定义法、临界法、对称法。
高考考向1　磁场的性质及磁场对通电导体的作用
例1　(2019·江苏高考)(多选)如图所示，在光滑的水平桌面上，a和b是两条固定的平行长直导线，通过的电流强度相等。矩形线框位于两条导线的正中间，通有顺时针方向的电流，在a、b产生的磁场作用下静止。则a、b的电流方向可能是(　　)
A．均向左 B．均向右
C．a的向左，b的向右 D．a的向右，b的向左
破题关键点
(1)如何确定线框所在位置磁场的方向、强弱？
(2)如何判断线框各边所受安培力的方向、大小？
1.(2020·四川省成都市高三(下)6月第三次诊断性检测)如图，在直角三角形ACD区域的C、D两点分别固定着两根垂直纸面的长直导线，导线中通有大小相等、方向相反的恒定电流，∠A＝90°，∠C＝30°，E是CD边的中点，此时E点的磁感应强度大小为B，若仅将D处的导线平移至A处，则E点的磁感应强度(　　)
A．大小仍为B，方向垂直于AC向上
B．大小为B，方向垂直于AC向下
C．大小为B，方向垂直于AC向上
D．大小为B，方向垂直于AC向下
2．(2017·全国卷Ⅱ)(多选)某同学自制的简易电动机示意图如图所示。矩形线圈由一根漆包线绕制而成，漆包线的两端分别从线圈的一组对边的中间位置引出，并作为线圈的转轴。将线圈架在两个金属支架之间，线圈平面位于竖直面内，永磁铁置于线圈下方。为了使电池与两金属支架连接后线圈能连续转动起来，该同学应将(　　)
A．左、右转轴下侧的绝缘漆都刮掉
B．左、右转轴上下两侧的绝缘漆都刮掉
C．左转轴上侧的绝缘漆刮掉，右转轴下侧的绝缘漆刮掉
D．左转轴上下两侧的绝缘漆都刮掉，右转轴下侧的绝缘漆刮掉
高考考向2　带电粒子在匀强磁场中的运动
例2　(2019·北京高考)如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出。下列说法正确的是(　　)
A．粒子带正电
B．粒子在b点速率大于在a点速率
C．若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点右侧射出
D．若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短
破题关键点
(1)粒子运动的半径大小与什么有关？
(2)粒子运动的时间与什么有关？
3．(2020·辽宁省部分重点中学协作体高三(下)模拟)(多选)如图所示，三个相同带电粒子以大小不同的速度，沿同一方向从图中长方形区域的匀强磁场上边缘射入，当它们从下边缘飞出时相对入射方向的偏角分别为90°、60°、30°，则它们在磁场中运动的(　　)
A．时间之比为1∶2∶3
B．时间之比为3∶2∶1
C．速度之比为1∶2∶(4＋2)
D．速度之比为1∶∶
4.(2020·四川省乐山市高三(下)第三次调研)(多选)如图所示，在一个半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个比荷为的正粒子，从A点沿与AO夹角为30°的方向射入匀强磁场区域，最终从B点沿与AO垂直的方向离开磁场。若粒子在运动过程中只受磁场力作用，则(　　)
A．粒子运动的轨道半径r＝R
B．粒子在磁场区域内运动的时间t＝
C．粒子的初速度v0＝
D．若仅改变初速度的方向，该粒子仍能从B点飞出磁场区域
高考考向3　带电粒子在有界磁场中的临界和极值问题
例3　(2020·江西省上饶市高三(下)5月第三次模拟考试)(多选)如图所示，在xOy坐标平面内的y轴右侧加垂直纸面向里且范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B，垂直于x轴放置足够大的荧光屏MN，荧光屏可沿x轴移动，在坐标原点O处放置一个粒子源，能向xOy坐标平面2θ＝120°范围内各个方向均匀发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子初速度大小均为v0，不计粒子重力及粒子间相互作用，且打到荧光屏上的粒子能全部被吸收。则下列说法正确的是(　　)
A．要使所有粒子都不能打到荧光屏上时，则荧光屏离O点的距离至少为
B．要使所有粒子都不能打到荧光屏上时，则荧光屏离O点的距离至少为
C．当有一半粒子能打到荧光屏上时，荧光屏离O点的距离为
D．当有一半粒子能打到荧光屏上时，所有发射的粒子在磁场中运动的最短时间与最长时间之比为1∶3
破题关键点
(1)如何保证所有的粒子都不能打在荧光屏上？
(2)在磁场中运动时间最长和最短的粒子的运动有何特征？
5．(2020·江苏省盐城市高三(下)6月模拟)(多选)在xOy平面分布着垂直平面向里的匀强磁场，在O点有一粒子源向第一象限内各个方向发射某种带电粒子，初速度大小相同，则粒子所能达到范围的图形可能是(　　)
6.(2020·四川成都双流棠湖中学高三一模)(多选)如图所示，等腰直角三角形abc区域内(包含边界)有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，在bc的中点O处有一粒子源，可沿与ba平行的方向发射大量速率不同的同种粒子，这些粒子带负电，质量为m，电荷量为q，已知这些粒子都能从ab边离开abc区域，ab＝2l，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用。关于这些粒子，下列说法正确的是(　　)
A．速度的最大值为
B．速度的最小值为
C．在磁场中运动的最短时间为
D．在磁场中运动的最长时间为
7.(2020·河北省保定市二模)(多选)如图所示，边界OA与OC之间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，∠AOC＝60°。边界OA上距O点l处有一粒子源S，可发射质量为m、带正电荷q的速率相等的粒子。当S沿纸面向磁场各个方向发射粒子时，发现都没有粒子从OC边界射出。则(　　)
A．粒子的最大发射速率不超过
B．粒子的最大发射速率不超过
C．粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为l
D．粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为
8．(2020·山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试)(多选)如图所示，在绝缘板MN上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离绝缘板d处有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射速率为v、电荷量为q、质量为m的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子做圆周运动的半径恰好也为d，则(　　)
A．粒子能打到板上的区域长度为2d
B．能打到板上最左侧的粒子所用的时间为
C．粒子从发射到打到绝缘板上的最长时间为
D．同一时刻发射的粒子打到绝缘板上的最大时间差为
易错警示 带电粒子在有界匀强磁场中运动时轨迹圆心和半径的确定
例　(2020·安徽省芜湖市高三(下)5月理综)如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子从b点沿ba方向射入磁场，结果粒子恰好能通过c点，不计粒子的重力，则粒子的速度大小为(　　)
A. B．
C. D．
专题作业
　　限时：50分钟　　　满分：100分
一、选择题(本题共8小题，每小题8分，共64分，其中第1～3题为单选题，第4～8题为多选题)
1．(2020·四川省宜宾市普通高中高三(下)高考适应性考试(三诊))如图所示，完全相同的甲、乙两个环形电流同轴平行放置，甲的圆心为O1，乙的圆心为O2，在两环圆心的连线上有a、b、c三点，其中aO1＝O1b＝bO2＝O2c，此时a点的磁感应强度大小为B1，b点的磁感应强度大小为B2。当把环形电流乙撤去后，c点的磁感应强度大小为(　　)
A．B1－ B．B2－
C．B2－B1 D．
2.(2020·河南省洛阳市高三(下)第三次统一考试)空间有一圆形匀强磁场区域，O点为圆心，磁场方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从A点沿图示箭头方向以速率v射入磁场，θ＝30°，粒子在纸面内运动，经过时间t离开磁场时速度方向与半径OA垂直。不计粒子重力。若粒子速率变为，其他条件不变，粒子在圆形磁场中运动的时间为(　　)
A. B．t
C． D．2t
3．(2020·河北省石家庄市高三(下)质量检测(二模))如图所示，边长为L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向外，两磁场的磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，粒子源能沿∠BAC的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均为m、电荷量均为＋q，不计粒子重力及粒子间的相互作用，则发射速度v0为哪一值时粒子能通过B点(　　)
A. B．
C. D．
4．(2020·福建省厦门市高三(下)五月质量检查)如图所示，在正交坐标系的空间中存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，其方向与Oxy平面平行，且与x轴正方向的夹角为37°。一质量为m，带电量为＋q的粒子从原点O以初速度v沿z轴负方向射入，不计粒子重力，则(　　)
A．经过t＝，粒子所在坐标为
B．经过t＝，粒子所在坐标为
C．若要使该粒子沿直线运动，则所加匀强电场场强大小一定为E＝vB
D．若要使该粒子沿直线运动，则所加匀强电场场强大小可能为E＝2vB
5.(2020·内蒙古包头市高三(下)一模)如图，等腰梯形abcd区域内，存在垂直该平面向外的匀强磁场，ab＝cd＝2L，bc＝L，∠bad＝30°，磁感应强度大小为B，磁场外有一粒子源O，能沿同一方向发射速度大小不等的同种带电粒子，带电粒子的质量为m，电荷量为q，不计重力。现让粒子以垂直于ad的方向正对b射入磁场区域，发现带电粒子恰好都能从cd之间飞出磁场。则(　　)
A．粒子源发射的粒子均为带正电的粒子
B．粒子在磁场中运动的最短时间为
C．带电粒子的发射速度取值范围为D．带电粒子的发射速度取值范围为6.(2020·安徽马鞍山市高三二模)如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中，有两根彼此靠近且平行的长直导线a和b放在纸面内，导线长度均为L。导线中通有如图所示的相反方向电流，a中电流为I，b中电流为2I，a受到的磁场力大小为F1，b受到的磁场力大小为F2，则(　　)
A．导线a的电流在导线b处产生的磁场方向垂直纸面向里
B．F2＝2F1
C．F2<2F1
D．导线a的电流在导线b处产生的磁感应强度大小为
7.(2020·山西太原五中高三二模)如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB边长度为d，∠B＝。现垂直AB边射入一束质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子。已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为t0(不计重力)，则下列说法中正确的是(　　)
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为d
D．粒子进入磁场时速度大小为
8.(2020·湖北省武汉市高三(下)五月质量检测)如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，大量带电粒子同时从y轴上OP之间(0＜y≤a)沿x轴正向射入磁场，并同时到达O点。已知粒子的比荷均为，不计粒子的重力以及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是(　　)
A．所有粒子运动的时间均为
B．粒子的入射速度v与入射位置的纵坐标y满足关系v＝
C．到达O点前的同一时刻，所有粒子排列在一段圆弧上
D．在0～时间内，所有粒子经过的磁场区域的面积为(π＋2)
二、计算题(本题共2小题，共36分，须写出规范的解题步骤)
9.(2020·福建省泉州市高三第二次市质量检测)(16分)如图，在半径为L、圆心为O的圆形区域内存在着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。MN为水平直径，a、b粒子(重力均不计)分别从磁场区域下方不同位置以相同速度沿垂直于MN的方向射入磁场，其中a粒子从圆形区域最低点射入，两粒子均从M点离开，离开时，a粒子速度沿水平方向，b粒子与a粒子的速度方向夹角为30°。已知两粒子的质量均为m、电量均为＋q，求：
(1)两粒子进入磁场时的速度大小v；
(2)b粒子在磁场中的运动时间t。
10.(2020·山东潍坊市高三三模)(20分)如图所示，纸面内有一直角坐标系xOy，P、Q为坐标轴上的两点，它们到原点距离分别为L、2L，直线MN过Q点且可绕Q在坐标平面内转动，MN右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为e的电子从P点沿x轴正方向射入第一象限，设MN与x轴负方向的夹角为θ，当θ取合适值时，电子恰能从Q点射出。电子重力不计。
(1)若电子经过Q点时速度沿y轴负方向，求角θ的值和电子的初速度v1；
(2)若电子的初速度为v2＝，求电子从P运动到Q的时间。
第9讲　磁场及其对电流的作用带电粒子在磁场中的运动
构建网络
1．(2020·全国卷Ⅰ)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为(　　)
A. B．
命题特点：以选择题的形式考查磁场的性质，以选择题、计算题的形式考查带电粒子在磁场中的运动和在有界磁场中的临界问题。
思想方法：比值定义法、临界法、对称法。
高考考向1　磁场的性质及磁场对通电导体的作用
例1　(2019·江苏高考)(多选)如图所示，在光滑的水平桌面上，a和b是两条固定的平行长直导线，通过的电流强度相等。矩形线框位于两条导线的正中间，通有顺时针方向的电流，在a、b产生的磁场作用下静止。则a、b的电流方向可能是(　　)
A．均向左 B．均向右
C．a的向左，b的向右 D．a的向右，b的向左
破题关键点
(1)如何确定线框所在位置磁场的方向、强弱？
提示：根据安培定则和磁场的叠加原理确定。
(2)如何判断线框各边所受安培力的方向、大小？
提示：根据左手定则和公式F＝ILB判断。
[解析]　如图1所示，若a、b中电流方向均向左，矩形线框靠近导线的两边所受安培力方向相同，使线框向导线b移动。同理可知，若a、b中电流均向右，线框向导线a移动，故A、B不符合题意。
若a导线的电流方向向左，b导线的电流方向向右，a、b中电流I′在线框所在处产生的磁场方向如图2所示，线框靠近导线的两边所在处的磁感应强度相同，所受的安培力大小相等、方向相反，线框静止。
同理可知，若a导线的电流方向向右，b导线的电流方向向左，线框也静止，C、D符合题意，故选C、D。
[答案]　CD
求解磁场对通电导体作用力的注意事项
(1)掌握安培力公式：F＝BIL(I⊥B，且L指有效长度)。
(2)用准“两个定则”
①对电流的磁场用安培定则(右手螺旋定则)，并注意磁场的叠加性。
②对通电导线在磁场中所受的安培力用左手定则。
(3)明确两个常用的等效模型
①变曲为直：图甲所示通电导线，在计算安培力的大小和判断方向时均可等效为ac直线电流。
②化电为磁：环形电流可等效为小磁针，通电螺线管可等效为条形磁铁，如图乙。
1.(2020·四川省成都市高三(下)6月第三次诊断性检测)如图，在直角三角形ACD区域的C、D两点分别固定着两根垂直纸面的长直导线，导线中通有大小相等、方向相反的恒定电流，∠A＝90°，∠C＝30°，E是CD边的中点，此时E点的磁感应强度大小为B，若仅将D处的导线平移至A处，则E点的磁感应强度(　　)
A．大小仍为B，方向垂直于AC向上
B．大小为B，方向垂直于AC向下
C．大小为B，方向垂直于AC向上
D．大小为B，方向垂直于AC向下
答案　B
解析　根据安培定则及对称性，C、D两点的长直导线在E点产生的磁感应强度大小均为B0＝。由几何关系可知AE＝CE＝DE，若仅将D处的导线平移至A处，则此导线在E处产生的磁感应强度大小仍为B0，如图所示。此时E点的磁感应强度为A、C两点长直导线所产生磁感应强度的矢量和，其大小B′＝2B0cos30°＝B，方向垂直于AC向下。故A、C、D错误，B正确。
2．(2017·全国卷Ⅱ)(多选)某同学自制的简易电动机示意图如图所示。矩形线圈由一根漆包线绕制而成，漆包线的两端分别从线圈的一组对边的中间位置引出，并作为线圈的转轴。将线圈架在两个金属支架之间，线圈平面位于竖直面内，永磁铁置于线圈下方。为了使电池与两金属支架连接后线圈能连续转动起来，该同学应将(　　)
A．左、右转轴下侧的绝缘漆都刮掉
B．左、右转轴上下两侧的绝缘漆都刮掉
C．左转轴上侧的绝缘漆刮掉，右转轴下侧的绝缘漆刮掉
D．左转轴上下两侧的绝缘漆都刮掉，右转轴下侧的绝缘漆刮掉
答案　AD
解析　装置平面示意图如图所示。如图所示的状态，磁感线方向向上，若形成通路，线圈下边导线中电流方向向左，受垂直纸面向里的安培力，同理，上边导线中电流受安培力垂直纸面向外，使线圈转动。当线圈上边导线转到下边时，若仍通路，线圈上、下边中电流方向与图示方向相比均反向，受安培力反向，阻碍线圈转动。若要线圈连续转动，要求左、右转轴只能上一侧或下一侧形成通路，另一侧断路。故选A、D。
高考考向2　带电粒子在匀强磁场中的运动
例2　(2019·北京高考)如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出。下列说法正确的是(　　)
A．粒子带正电
B．粒子在b点速率大于在a点速率
C．若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点右侧射出
D．若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短
破题关键点
(1)粒子运动的半径大小与什么有关？
提示：由公式qvB＝m得：r＝，半径随v的增大而增大，随B的增大而减小。
(2)粒子运动的时间与什么有关？
提示：运动周期T＝＝，运动时间t＝T，与轨迹所对圆心角大小成正比，与速度无关。
[解析]　由左手定则知，粒子带负电，A错误；由于洛伦兹力不做功，粒子速率不变，B错误；由r＝，若仅减小磁感应强度B，则r变大，粒子可能从b点右侧射出，C正确；由r＝，若仅减小入射速率v，则r变小，粒子在磁场中的偏转角θ变大，由t＝T、T＝知，粒子在磁场中的运动时间变长，D错误。
[答案]　C
处理带电粒子在磁场中运动问题的方法
(1)解决带电粒子在磁场中做圆周运动问题的一般思路
①找圆心画轨迹；
②由对称找规律；
③寻半径列算式；
④找角度定时间。
(2)处理该类问题常用的几个几何关系
①四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点；
②三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中速度偏转角等于圆心角，也等于弦切角的两倍。
(3)时间的求解方法
①根据周期求解，运动时间t＝T＝；
②根据运动弧长和速度求解，t＝＝。
3．(2020·辽宁省部分重点中学协作体高三(下)模拟)(多选)如图所示，三个相同带电粒子以大小不同的速度，沿同一方向从图中长方形区域的匀强磁场上边缘射入，当它们从下边缘飞出时相对入射方向的偏角分别为90°、60°、30°，则它们在磁场中运动的(　　)
A．时间之比为1∶2∶3
B．时间之比为3∶2∶1
C．速度之比为1∶2∶(4＋2)
D．速度之比为1∶∶
答案　BC
解析　粒子在磁场中运动的周期公式为T＝，由此可知，三个粒子在磁场中运动的周期相同，由题可知，三个粒子离开磁场时的偏角分别为90°、60°、30°，则偏角为90°的粒子的运动时间为t1＝，偏角为60°的粒子的运动时间为t2＝，偏角为30°的粒子的运动时间为t3＝，所以它们在磁场中运动的时间之比为t1∶t2∶t3＝∶∶＝3∶2∶1，故A错误，B正确。设磁场宽度为d，画出粒子运动轨迹图如图所示，偏角为90°的粒子的轨道圆心为O1，由几何关系可知R1＝d；偏角为60°的粒子的轨道圆心为O2；由几何关系可知R2sin30°＋d＝R2，解得R2＝2d；偏角为30°的粒子的轨道圆心为O3，由几何关系可知R3sin60°＋d＝R3，解得R3＝(4＋2)d；故三个粒子在磁场中运动的轨道半径之比为R1∶R2∶R3＝d∶2d∶(4＋2)d＝1∶2∶(4＋2)。由R＝可知v与R成正比，故它们在磁场中运动的速度之比也为v1∶v2∶v3＝1∶2∶(4＋2)，故C正确，D错误。
4.(2020·四川省乐山市高三(下)第三次调研)(多选)如图所示，在一个半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个比荷为的正粒子，从A点沿与AO夹角为30°的方向射入匀强磁场区域，最终从B点沿与AO垂直的方向离开磁场。若粒子在运动过程中只受磁场力作用，则(　　)
A．粒子运动的轨道半径r＝R
B．粒子在磁场区域内运动的时间t＝
C．粒子的初速度v0＝
D．若仅改变初速度的方向，该粒子仍能从B点飞出磁场区域
答案　AC
解析　画出粒子轨迹示意图，如图所示，根据题意，粒子从B点沿与AO垂直的方向离开磁场，故O′B∥AO，又△OAB与△O′AB均为等腰三角形，可得：∠OAB＝∠OBA＝∠O′BA＝∠O′AB，所以O′A∥BO，因为粒子速度方向偏转的角度为60°，故∠AO′B＝60°，所以四边形OAO′B为两个等边三角形组成的菱形，故粒子运动的轨道半径r＝R，故A正确。粒子在磁场中运动的周期：T＝，粒子在磁场中转过的圆心角θ＝60°，所以粒子在磁场中运动的时间为：t＝×＝，故B错误。根据洛伦兹力提供向心力可得：qv0B＝m，结合轨道半径r＝R，联立可得粒子的初速度为：v0＝，故C正确。若入射粒子初速度大小不变，则粒子做圆周运动的半径不变，入射粒子初速度方向发生变化时，粒子在圆周上的出射点也随之变化，所以若仅改变初速度的方向，该粒子将不能从B点飞出磁场区域，故D错误。
高考考向3　带电粒子在有界磁场中的临界和极值问题
例3　(2020·江西省上饶市高三(下)5月第三次模拟考试)(多选)如图所示，在xOy坐标平面内的y轴右侧加垂直纸面向里且范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B，垂直于x轴放置足够大的荧光屏MN，荧光屏可沿x轴移动，在坐标原点O处放置一个粒子源，能向xOy坐标平面2θ＝120°范围内各个方向均匀发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子初速度大小均为v0，不计粒子重力及粒子间相互作用，且打到荧光屏上的粒子能全部被吸收。则下列说法正确的是(　　)
A．要使所有粒子都不能打到荧光屏上时，则荧光屏离O点的距离至少为
B．要使所有粒子都不能打到荧光屏上时，则荧光屏离O点的距离至少为
C．当有一半粒子能打到荧光屏上时，荧光屏离O点的距离为
D．当有一半粒子能打到荧光屏上时，所有发射的粒子在磁场中运动的最短时间与最长时间之比为1∶3
破题关键点
(1)如何保证所有的粒子都不能打在荧光屏上？
提示：初速度斜向下且与x轴成θ角的粒子轨迹刚好与MN相切时，所有粒子都不能打到荧光屏上。
(2)在磁场中运动时间最长和最短的粒子的运动有何特征？
提示：时间最长时，轨迹所对圆心角最大，弧长最长，如果是劣弧则对应的弦最长；反之，时间最短时，轨迹所对圆心角最小，弧长最短，如果是劣弧则对应的弦最短。
[解析]　设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，则有qv0B＝，解得r＝。要使所有粒子都不能打到荧光屏上，画出临界轨迹如图甲所示，设荧光屏离O点的距离至少为d，则d应满足d＝r＋rsinθ，解得d＝＝，故A错误，B正确；当有一半粒子能打到荧光屏上时，从O点沿x轴正方向入射的粒子恰好打不到荧光屏上，其轨迹如图乙所示，根据几何关系可知荧光屏离O点的距离为d＝r＝，故C正确；当有一半粒子能打到荧光屏上时，粒子圆周运动的周期T＝，由于粒子初速度大小都相同，根据速度公式可知弧长越长，粒子在磁场中运动的时间越长，弧长越短，粒子在磁场中运动的时间越短，则从O点沿x轴正向入射的粒子在磁场中运动的时间最长，最长时间t1＝，从荧光屏MN与x轴交点射出的粒子在磁场中运动的时间最短，最短时间t2＝，则所有发射的粒子在磁场中运动的最短时间与最长时间之比为＝，D正确。
　
[答案]　BCD
处理带电粒子在有界匀强磁场中运动问题的方法技巧
(1)解答有关运动电荷在有界匀强磁场中的运动问题时，我们可以先将有界磁场视为无界磁场，假设粒子能够做完整的圆周运动，确定粒子做圆周运动的圆心，作好辅助线，充分利用相关几何知识解题。
(2)对称规律解题法
①从直线边界射入的粒子，又从同一边界射出时，出射速度与边界的夹角和入射速度与边界的夹角相等(如图甲所示)。
②在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，一定沿径向射出(如图乙所示)。
(3)解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界状态(一般是粒子运动轨迹与磁场边界相切或轨迹半径达到最大)，常用方法如下：
①动态放缩法：定点粒子源发射速度大小不同、方向相同、比荷和电性都相同的粒子，速度越大半径越大，圆心在垂直初速度方向的直线上。
②旋转平移法：定点粒子源发射速度大小相等、方向不同、比荷和电性都相同的粒子，运动轨迹的圆心在以入射点为圆心、半径为R＝的圆周上。
5．(2020·江苏省盐城市高三(下)6月模拟)(多选)在xOy平面分布着垂直平面向里的匀强磁场，在O点有一粒子源向第一象限内各个方向发射某种带电粒子，初速度大小相同，则粒子所能达到范围的图形可能是(　　)
答案　BC
解析　粒子源从O点向第一象限内各个方向发射某种带电粒子，初速度大小相同，且垂直进入匀强磁场，那么带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，如果粒子带正电，则粒子所能达到范围的图形是B图形，如果粒子带负电，则粒子所能达到范围的图形是C图形，A、D错误，B、C正确。
6.(2020·四川成都双流棠湖中学高三一模)(多选)如图所示，等腰直角三角形abc区域内(包含边界)有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，在bc的中点O处有一粒子源，可沿与ba平行的方向发射大量速率不同的同种粒子，这些粒子带负电，质量为m，电荷量为q，已知这些粒子都能从ab边离开abc区域，ab＝2l，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用。关于这些粒子，下列说法正确的是(　　)
A．速度的最大值为
B．速度的最小值为
C．在磁场中运动的最短时间为
D．在磁场中运动的最长时间为
答案　ACD
解析　粒子从ab边离开磁场时的临界运动轨迹如图所示，由几何知识可知：r1＝，2r2cos45°＝O2c＝r2＋l，解得：r2＝(1＋)l，粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB＝m，解得：v＝，故粒子速度的最大值为：vmax＝＝，速度最小值为：vmin＝＝，故A正确，B错误。由粒子从ab边离开磁场区域的临界运动轨迹可知，粒子转过的最大圆心角：θmax＝180°，最小圆心角：θmin＝45°，粒子做圆周运动的周期：T＝，则粒子在磁场中运动的最短时间：tmin＝·T＝，最长时间：tmax＝·T＝，故C、D正确。
7.(2020·河北省保定市二模)(多选)如图所示，边界OA与OC之间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，∠AOC＝60°。边界OA上距O点l处有一粒子源S，可发射质量为m、带正电荷q的速率相等的粒子。当S沿纸面向磁场各个方向发射粒子时，发现都没有粒子从OC边界射出。则(　　)
A．粒子的最大发射速率不超过
B．粒子的最大发射速率不超过
C．粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为l
D．粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为
答案　AD
解析　要使粒子不从OC边界射出，沿如图所示路线运动的粒子恰好不离开磁场时，粒子圆周运动半径最大，满足R＝l·sin60°＝，解得粒子的最大发射速率v＝，故A正确，B错误；粒子最大速率v＝，从OA边界离开磁场时离S最远距离d＝2R＝l·sin60°＝l，故C错误，D正确。
8．(2020·山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试)(多选)如图所示，在绝缘板MN上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离绝缘板d处有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射速率为v、电荷量为q、质量为m的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子做圆周运动的半径恰好也为d，则(　　)
A．粒子能打到板上的区域长度为2d
B．能打到板上最左侧的粒子所用的时间为
C．粒子从发射到打到绝缘板上的最长时间为
D．同一时刻发射的粒子打到绝缘板上的最大时间差为
答案　BD
解析　打在绝缘板上的粒子轨迹的临界状态如图甲所示，根据几何关系知，粒子能打到板上的区域长度为：l＝d＋2d·cos30°＝(1＋)d，A错误；由运动轨迹图可知，能打到板上最左侧的粒子偏转了半个周期，故所用时间为：t＝T，又T＝，解得：t＝，B正确；对于能打到绝缘板上的粒子，在磁场中运动时间最长(优弧1)和最短(劣弧2)的粒子运动轨迹示意图如图乙所示，粒子做整个圆周运动的周期T＝，由几何关系可知，粒子从发射到打到绝缘板上的最长时间：t1＝T＝，最短时间：t2＝T＝，则同一时刻发射的粒子打到绝缘板上的最大时间差：Δt＝t1－t2＝，C错误，D正确。
易错警示 带电粒子在有界匀强磁场中运动时轨迹圆心和半径的确定
例　(2020·安徽省芜湖市高三(下)5月理综)如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子从b点沿ba方向射入磁场，结果粒子恰好能通过c点，不计粒子的重力，则粒子的速度大小为(　　)
A. B．
C. D．
分析与解　粒子沿半径方向射入磁场，则出射速度的反向延长线一定经过圆心，由于粒子能经过c点，因此粒子出磁场时一定沿ac方向，轨迹如图所示，由几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为r＝L－L＝(－1)L，根据牛顿第二定律得qv0B＝m，解得v0＝，故C正确。
答案　C
易错警示　带电粒子在有界匀强磁场中的轨迹圆心和半径的确定是解题的第一步，也很容易出错，特别是四分之一坐标轴磁场、矩形磁场、三角形磁场和圆形磁场，要注意轨迹圆心不一定在坐标轴、磁场直线边界上。要准确确定轨迹圆心，需要抓住以下两点：①轨迹半径垂直于速度方向；②轨迹圆心在弦的垂直平分线上。轨迹圆心确定了，就可以应用几何知识确定轨迹半径。
专题作业
　　限时：50分钟　　　满分：100分
一、选择题(本题共8小题，每小题8分，共64分，其中第1～3题为单选题，第4～8题为多选题)
1．(2020·四川省宜宾市普通高中高三(下)高考适应性考试(三诊))如图所示，完全相同的甲、乙两个环形电流同轴平行放置，甲的圆心为O1，乙的圆心为O2，在两环圆心的连线上有a、b、c三点，其中aO1＝O1b＝bO2＝O2c，此时a点的磁感应强度大小为B1，b点的磁感应强度大小为B2。当把环形电流乙撤去后，c点的磁感应强度大小为(　　)
A．B1－ B．B2－
C．B2－B1 D．
答案　A
解析　对于题图中单个环形电流，根据安培定则，其在中轴线上的磁场方向均向左，故c点的磁场方向也向左。设aO1＝O1b＝bO2＝O2c＝r，在题图所示连线上，距离单个环形电流圆心r位置的磁感应强度为B1r，距离单个环形电流圆心3r位置的磁感应强度为B3r，则甲、乙两环形电流都存在时，a点磁感应强度：B1＝B1r＋B3r；b点磁感应强度：B2＝B1r＋B1r；当撤去环形电流乙后，c点磁感应强度：Bc＝B3r＝B1－B2，故选A。
2.(2020·河南省洛阳市高三(下)第三次统一考试)空间有一圆形匀强磁场区域，O点为圆心，磁场方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从A点沿图示箭头方向以速率v射入磁场，θ＝30°，粒子在纸面内运动，经过时间t离开磁场时速度方向与半径OA垂直。不计粒子重力。若粒子速率变为，其他条件不变，粒子在圆形磁场中运动的时间为(　　)
A. B．t
C． D．2t
答案　C
解析　粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，解得R＝，周期T＝＝，粒子在纸面内运动，经过时间t离开磁场时速度方向与半径OA垂直，作出粒子运动轨迹如图甲所示，由几何关系可得α＝120°，所以粒子以速率v射入磁场时，运动的时间为t＝·T＝。若粒子速率变为，此时粒子的运动半径R′＝，周期T′＝T＝，作出此时粒子运动的轨迹图如图乙所示，根据几何知识可知，偏转的角度α′＝180°，则粒子以速率射入磁场时，运动的时间为t′＝·T′＝，可知t′＝t，故A、B、D错误，C正确。
　
3．(2020·河北省石家庄市高三(下)质量检测(二模))如图所示，边长为L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向外，两磁场的磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，粒子源能沿∠BAC的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均为m、电荷量均为＋q，不计粒子重力及粒子间的相互作用，则发射速度v0为哪一值时粒子能通过B点(　　)
A. B．
C. D．
答案　D
解析　由题意知，粒子带正电，且能通过B点，则其可能的轨迹如图所示，根据几何知识可知，所有圆弧所对圆心角均为60°，所以粒子运动半径r＝(n＝1,2，3，…)，粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qv0B＝m，联立解得v0＝＝(n＝1,2，3，…)，由此可知，v0＝的粒子能通过B点，故A、B、C不符合题意，D符合题意。
4．(2020·福建省厦门市高三(下)五月质量检查)如图所示，在正交坐标系的空间中存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，其方向与Oxy平面平行，且与x轴正方向的夹角为37°。一质量为m，带电量为＋q的粒子从原点O以初速度v沿z轴负方向射入，不计粒子重力，则(　　)
A．经过t＝，粒子所在坐标为
B．经过t＝，粒子所在坐标为
C．若要使该粒子沿直线运动，则所加匀强电场场强大小一定为E＝vB
D．若要使该粒子沿直线运动，则所加匀强电场场强大小可能为E＝2vB
答案　BC
解析　根据题意，v⊥B，则粒子在与B垂直的平面内做匀速圆周运动，由左手定则可知，粒子向xOz平面下方偏转。由题意知，粒子的周期T＝，轨迹半径r＝，则经过t＝＝，粒子所在位置的z坐标z＝0，故粒子此时位于如答图所示的A点，由几何关系可知，A点的x、y坐标分别为x＝2rsin37°＝，y＝－2rcos37°＝－，即经过t＝，粒子所在坐标为，B正确，A错误；若要使该粒子沿直线运动，应使洛伦兹力与电场力等大反向，即qvB＝Eq，因此电场强度的大小为E＝vB，C正确，D错误。
5.(2020·内蒙古包头市高三(下)一模)如图，等腰梯形abcd区域内，存在垂直该平面向外的匀强磁场，ab＝cd＝2L，bc＝L，∠bad＝30°，磁感应强度大小为B，磁场外有一粒子源O，能沿同一方向发射速度大小不等的同种带电粒子，带电粒子的质量为m，电荷量为q，不计重力。现让粒子以垂直于ad的方向正对b射入磁场区域，发现带电粒子恰好都能从cd之间飞出磁场。则(　　)
A．粒子源发射的粒子均为带正电的粒子
B．粒子在磁场中运动的最短时间为
C．带电粒子的发射速度取值范围为D．带电粒子的发射速度取值范围为答案　AC
解析　粒子在磁场中向右偏转，根据左手定则可知，粒子带正电，故A正确；当粒子从c点飞出时，其运动的速度最大，轨迹所对应的圆心角最小，则运动时间最短，运动轨迹如图甲所示，根据几何知识可知，粒子在磁场中运动的半径为：R1＝L，其轨迹对应的圆心角为90°，由洛伦兹力提供向心力，即qvB＝，所以R＝，T＝＝，则粒子的最大发射速度为vmax＝＝，粒子在磁场中运动的最短时间为：t＝T＝·＝。当粒子的运动轨迹和cd相切时，粒子的速率最小，其运动轨迹如图乙所示，令粒子的轨道半径为R2，根据几何知识有：R2＋＝L＋2L·cos30°，则R2＝L，所以粒子的最小发射速度为：vmin＝＝。粒子恰好都能从cd之间飞出磁场，则带电粒子的发射速度取值范围为　
6.(2020·安徽马鞍山市高三二模)如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中，有两根彼此靠近且平行的长直导线a和b放在纸面内，导线长度均为L。导线中通有如图所示的相反方向电流，a中电流为I，b中电流为2I，a受到的磁场力大小为F1，b受到的磁场力大小为F2，则(　　)
A．导线a的电流在导线b处产生的磁场方向垂直纸面向里
B．F2＝2F1
C．F2<2F1
D．导线a的电流在导线b处产生的磁感应强度大小为
答案　AC
解析　由安培定则可知，导线a的电流在导线b处产生的磁场方向垂直纸面向里，A正确。两个导线间的作用力是相互排斥力，根据牛顿第三定律，这两个力等大、反向、共线，大小设为Fab；匀强磁场的磁感应强度为B，根据左手定则，对导线a的电流有F1＝BIL＋Fab，对导线b的电流有F2＝2BIL＋Fab，两式联立解得Fab＝2F1－F2，则2F1>F2，导线a的电流在导线b处产生的磁感应强度大小为B′＝，则C正确，B、D错误。
7.(2020·山西太原五中高三二模)如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB边长度为d，∠B＝。现垂直AB边射入一束质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子。已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为t0(不计重力)，则下列说法中正确的是(　　)
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为d
D．粒子进入磁场时速度大小为
答案　ABC
解析　根据题意，粒子垂直AB边射入，垂直AC边射出时经过四分之一个周期，即T＝t0，解得T＝4t0，A正确；洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得R＝，粒子运动的周期T＝＝＝4t0，可解得该匀强磁场的磁感应强度大小为B＝，B正确；当粒子与BC边相切时，在磁场中运动时间最长，满足t0＝T，在磁场中转过圆心角120°，如图所示，根据几何关系可知Rsin＋＝d，解得R＝d，C正确；根据T＝可知，v＝＝＝，D错误。
8.(2020·湖北省武汉市高三(下)五月质量检测)如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，大量带电粒子同时从y轴上OP之间(0＜y≤a)沿x轴正向射入磁场，并同时到达O点。已知粒子的比荷均为，不计粒子的重力以及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是(　　)
A．所有粒子运动的时间均为
B．粒子的入射速度v与入射位置的纵坐标y满足关系v＝
C．到达O点前的同一时刻，所有粒子排列在一段圆弧上
D．在0～时间内，所有粒子经过的磁场区域的面积为(π＋2)
答案　AD
解析　由于y轴是边界，所有粒子运动的时间都是半个周期，因此运动的时间均为t＝T＝×＝，A正确；根据题意，入射位置的纵坐标为y时，粒子轨道半径为，则＝，可得粒子的入射速度v＝，B错误；将运动倒过来看，相当于从O点同时向外发射粒子，经相同的时间都转过相同的圆心角，则所有粒子的位置与各自的圆心及O点构成相似三角形，即运动的粒子与O点的连线与y轴夹角相等，因此这些粒子都在一条直线上，C错误；在0～时间内，所有粒子都转过了个圆弧，粒子都在一条直线上，该线与y轴夹角为45°，速度最大的粒子轨道半径为，因此所有粒子经过的磁场区域的面积为S＝π2＋××＝(π＋2)，D正确。
二、计算题(本题共2小题，共36分，须写出规范的解题步骤)
9.(2020·福建省泉州市高三第二次市质量检测)(16分)如图，在半径为L、圆心为O的圆形区域内存在着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。MN为水平直径，a、b粒子(重力均不计)分别从磁场区域下方不同位置以相同速度沿垂直于MN的方向射入磁场，其中a粒子从圆形区域最低点射入，两粒子均从M点离开，离开时，a粒子速度沿水平方向，b粒子与a粒子的速度方向夹角为30°。已知两粒子的质量均为m、电量均为＋q，求：
(1)两粒子进入磁场时的速度大小v；
(2)b粒子在磁场中的运动时间t。
答案　(1)　(2)
解析　(1)a粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，由几何关系可得其轨迹半径为R＝L，
由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，
解得v＝。
(2)b粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，由几何关系可得轨迹的圆心角θ＝120°，
粒子在磁场中的运动周期T＝＝，
b粒子在磁场中的运动时间t＝·T，
解得t＝。
10.(2020·山东潍坊市高三三模)(20分)如图所示，纸面内有一直角坐标系xOy，P、Q为坐标轴上的两点，它们到原点距离分别为L、2L，直线MN过Q点且可绕Q在坐标平面内转动，MN右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为e的电子从P点沿x轴正方向射入第一象限，设MN与x轴负方向的夹角为θ，当θ取合适值时，电子恰能从Q点射出。电子重力不计。
(1)若电子经过Q点时速度沿y轴负方向，求角θ的值和电子的初速度v1；
(2)若电子的初速度为v2＝，求电子从P运动到Q的时间。
答案　(1)45°　
(2)或
解析　(1)电子的运动轨迹如图甲所示，由几何关系可知：θ＝45°，
电子在磁场中运动的轨迹半径r1＝L，
由牛顿第二定律，有ev1B＝m，解得v1＝。
(2)若电子的初速度v2＝，设电子在磁场中运动轨迹半径为r2，由牛顿第二定律，有ev2B＝m，解得r2＝2L，
电子运动有两种情况。
第一种情况，如图乙所示，
电子在磁场中的轨迹圆心为O2，则由几何关系，得θ＝30°，∠CO2Q＝，PC＝(2－)L，
电子从P到C的时间t1＝，
从C到Q的时间为t2＝·，
电子从P运动到Q的时间为
t＝t1＋t2＝；
第二种情况，如图丙所示，电子在磁场中轨迹圆心为O2′，
则由几何关系，有θ＝150°，
在磁场中运动轨迹的圆心角为，
PC＝(2＋)L，
电子从P到C的时间为t1＝，
从C到Q的时间为t2＝·，
电子从P运动到Q的时间为
t＝t1＋t2＝。