人教版九年级数学下册第27章《相似》周末培优训练卷（Word版，含解析）

人教版九年级数学下册第27章《相似》周末培优训练卷
1．如图，在?ABCD中，F是AD上一点，且AF＝3DF，BF与CD的延长线交点E．
（1）求证：△ABF∽△CEB；
（2）若△DEF的面积为1，求?ABCD的面积．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4．点E，F分别在AD，BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称，P是边DC上的一动点．
（1）连接AF，CE，求证：四边形AFCE是菱形；
（2）当△PEF的周长最小时，求的值．
3．如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的一点，且AE⊥BD垂足为点F，∠DAE＝2∠BAE．
（1）BF：DF＝　 　；
（2）若四边形EFDC的面积为22，求△BEF的面积．
4．如图，在正方形ABCD中，在BC边上取中点E，连接DE，过点E做EF⊥ED交AB于点G、交AD延长线于点F．
（1）求证：△ECD∽△DEF；
（2）若CD＝4，求AF的长．
5．如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE交于点F，连接DE．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）求证：△ADE∽△ABC；
（3）若BE＝CE＝，CD＝1，求DF的长．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．
（1）判定△ABP与△PCD是否相似，说明理由；
（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．
7．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长13cm，BC边上的高AD为6cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长．
8．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．
9．在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，点P从点A出发，速度为4个单位每秒，同时点Q从点C出发，以v个单位每秒的速度向B运动．当有一个点到达点B时，点P，Q同时停止运动．设运动时间为t．
（1）若v＝2，t＝1，求△PQB的面积．
（2）若在运动过程中，PQ始终平行于AC，求v的值．
10．探究：如图①，在正方形ABCD中，点E在边BC上（点E不与点B、C重合），连结AE，过点E作AE⊥EF，EF交边CD于点F，求证：△ABE∽△ECF．拓展：如图②，△ABC是等边三角形，点D在边BC上（点D不与点B、C重合），连结AD，以AD为边作∠ADE＝∠ABC，DE交边AC于点E，若AB＝3，BD＝x，CE＝y，求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．
11．如图，在△ABC中点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC；
（2）若＝，△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝16cm，AB＝8cm，动点D从点B出发，沿BA方向运动；同时动点E从点A出发，沿AC方向运动．如果点E的运动速度为4cm/s，点D的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△ADE相似？
13．已知一个三角形ABC，面积为25，BC的长为10，∠B、∠C都为锐角，M为AB边上的一动点（M与A、B不重合），过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN＝x．
（1）当x＝4时，△AMN的面积＝　 　；
（2）设点A关于直线MN的对称点为A′，令△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y．求y与x的函数关系式；并求当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少？
14．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC、BD相交于点E，AE?CE＝DE?BE
（1）求证：△ABE∽△ACB；
（2）如果DA2＝DE?DB，求证：AB?EC＝BC?AE．
15．如图，在正方形ABCD中，E是CD上一点，连接AE．过点D作DM⊥AE，垂足为M，⊙O经过点A，B，M，与AD相交于点F．
（1）求证：△ABM∽△DFM；
（2）若正方形ABCD的边长为5，⊙O的直径为，求DE的长．
参考答案
1．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C AB∥CD，
∴∠ABF＝∠E，
∴△ABF∽△CEB；
（2）在?ABCD中，AD∥BC，
∴△DEF∽△CEB，
又∵△ABF∽△CEB，
∴△ABF∽△DEF，
∵AF＝3DF，△DEF的面积为1，
∴S△ABF＝9，
∵AD＝BC＝4DF，
∴S△CBE ＝16，
∴?ABCD的面积＝9+15＝24．
2．解：（1）证明：如图，连接AF，CE，AC交EF于点O
∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC
∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO
∵点A与点C关于EF所在的直线对称
∴AO＝CO，AC⊥EF
∵∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，AO＝CO
∴△AEO≌△CFO（AAS）
∴AE＝CF，且AE∥CF
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AC⊥EF
∴四边形AFCE是菱形；
（2）如图，作点F关于CD的对称点H，连接EH，交CD于点P，此时△PEF的周长最小
∵四边形AFCE是菱形
∴AF＝CF＝CE＝AE
∵AF2＝BF2+AB2
∴AF2＝（4﹣AF）2+4
∴AF＝
∵AD∥BC
∴△DEP∽△CHP
∴＝＝．
答：当△PEF的周长最小时，的值为．
3．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∠DAE＝2∠BAE，
∴∠DAE＝60°，∠BAE＝30°，
又∵AE⊥BD，∠BAD＝90°，
∴BD＝2AB，AB＝2BF，
∴BD＝4BF，
∴DF＝3BF，
∴BF：DF＝1：3，
故答案为1：3；
（2）∵∠BAE＝30°
∴∠AEB＝60°，
∵AE⊥BD，
∴∠DBC＝30°，∠BFE＝∠BCD＝90°
∴CD＝BD＝2BF，BF＝EF，
∴EF＝BF，
∵∠FBE＝∠CBD，∠BFE＝∠DCB，
∴△BEF∽△BDC，
∴＝（）2＝，
∴12S△BEF＝S△BCD＝S△BEF+S四边形EFDC，
∴S△BEF＝2
4．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，EF⊥ED，
∴∠FED＝∠C＝90°，BC∥AD，
∴∠CED＝∠FDE，
∴△ECD∽△DEF；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，AD＝BC＝CD＝4，
∵E为BC的中点，
∴CE＝BC＝2，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：DE＝＝＝2，
∵△ECD∽△DEF，
∴＝，
∴＝，
解得：DF＝10，
∵AD＝4，
∴AF＝DF﹣AD＝10﹣4＝6．
5．（1）证明；∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADB∽△AEC．
（2）证明：∵△ADB∽△AEC，
∴＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC．
（3）解：过点E作EN⊥ED交BD于N，过点E作EM⊥DN于M．
在Rt△BEC中，∵BE＝EC＝，∠BEC＝90°，
∴BC＝BE＝，∠BCF＝45°，
∵∠BDC＝90°，
∴BD＝＝＝3，
∵∠EFB＝∠DFC，∠BEF＝∠CDF＝90°，
∴△BFE∽△CFD，
∴＝，
∴＝，
∵∠EFD＝∠BFC，
∴△EFD∽△BFC，
∴∠EDF＝∠BCF＝45°，
∵∠NED＝90°，
∴∠END＝∠EDN＝45°，
∴EN＝ED，
∵∠BEC＝∠NED＝90°，
∴∠BEN＝∠CED，
∵BE＝CE，
∴△BEN≌△CED（SAS），
∴BN＝CD＝1，DN＝BD﹣BN＝2，
∵EN＝ED，EM⊥DN，
∴MN＝DM＝1，
∴EM＝MN＝MD＝1，
∵∠EMF＝∠CDF＝90°，∠EFM＝∠CFD，EM＝CD，
∴△EMF≌△CDF（AAS），
∴MF＝DF，
∴DF＝．
6．解：（1）△BAP∽△CPD，
理由如下：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，
∴∠APD+∠DPC＝∠ABC+∠BAP，
又∵∠APD＝∠B，
∴∠DPC＝∠BAP，
∴△BAP∽△CPD；
（2）∵PD∥AB，
∴∠APD＝∠BAP，
又∵∠APD＝∠B，
∴∠BAP＝∠B＝∠C，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△PBA，
∴，
∴，
∴BP＝．
7．解：（1）∵正方形EGHF，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
（2）设EG＝EF＝x
∵△AEF∽△ABC
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴正方形零件的边长为cm．
8．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°；
∵∠AFE+∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝8．
∵△ADF∽△DEC，
∴＝，即＝，
∴DE＝12．
∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AE⊥AD．
在Rt△ADE中，∠EAD＝90°，DE＝12，AD＝6，
∴AE＝＝＝6．
9．解：（1）∵AB＝8，BC＝6，点P从点A出发，速度为4个单位每秒，v＝2，t＝1
∴AP＝4×1＝4，CQ＝2×1＝2
∴PB＝8﹣4＝4，BQ＝6﹣2＝4
∴△PQB的面积为：PB×BQ÷2＝4×4÷2＝8．
答：△PQB的面积为8．
（2）∵PQ始终平行于AC
∴△BPQ∽△BAC
∴＝
∵PQ始终平行于AC
∴不妨取t＝1
∴＝
解得：v＝3
答：v的值为3．
10．解：探究：∵AB⊥BC，EF⊥AE，DC⊥BC，
∴∠ABC＝∠AEF＝∠DCB＝90°，
∴∠A+∠AEB＝90°，∠AEB＝∠CEF＝90°，
∴∠A＝∠CEF，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
拓展：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAD+∠ADB＝120°，
∵∠ADE＝∠ABC，
∴∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠CDE＝120°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴＝，
∵AB＝3，BD＝x，CE＝y，
∴＝，
∴y＝﹣x2+x．
11．解：（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠ECF，
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）∵EF∥AB，
∴△ABC∽△FEC，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
又∵△EFC的面积是20，
∴S△ABC＝×20＝45．
∴△ABC的面积为45．
12．解：设同时运动ts时两个三角形相似，
根据题意可知：
AC＝16，AB＝8，AD＝AB﹣DB＝8﹣2t，AE＝4t，
当△DAE∽△CAB，则＝，
＝，
解得t＝0.8；
当△DAE∽△BAC，则＝，
＝，
解得t＝2．
答：同时运动0.8s或者2s时两个三角形相似．
13．解：（1）∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴S△AMN＝4，
故答案为4．
（2）①当点A′落在四边形BCMN内或BC边上时，0＜x≤5，
△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为就是△A′MN的面积，
则此时y＝S△A′MN＝S△AMN＝x2（0＜x≤5）
当点A′落在四边形BCMN外时，5＜x＜10，
△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积就是梯形MNED的面积，
连接AA′，与MN交于点G，与BC交于点F，
∵MN∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AG＝x，
∴AA′＝2AG＝x，
∴A′F＝x﹣5，
∴＝（）2，
∴＝，
∴S△A′DE＝x2﹣10x+25，
∴此时y＝x2﹣（x2﹣10x+25），
＝﹣x2+10x﹣25（5＜x＜10），
当x＝时，y最大，最大值为y最大＝．
综上所述，y＝．
14．证明：（1）∵AE?CE＝DE?BE，∠AED＝∠BEC，
∴△ADE∽△CBE，
∴∠DAE＝∠CBE，∠ADE＝∠BCE，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABE，
∴∠ABE＝∠ACB，
∵∠BAE＝∠CAB，
∴△ABE∽△ACB；
（2）∵DA2＝DE?DB，∠ADB＝∠ADE，
∴△ADB∽△ADE，
∴＝，
∵△ABE∽△ACB，
∴＝，
∴AD＝，
∴＝＝，
∴AB?EC＝BC?AE．
15．解：
（1）证明：
∵四边形ABCD为正方形
∴∠BAD＝90°
∴∠BAM+∠MAF＝90°
∵DM⊥AE
∴∠MAD+∠ADM＝90°
∴∠BAM＝∠ADM
∵四边形BAFM为圆内接四边形
∴∠ABM+∠AFM＝180°
∴∠ABM＝∠MFD
∴△ABM∽△DFM
（2）如图，连接BF，
∵∠BAF＝90°，BF为直径
∴在Rt△ABF中，由勾股定理得
AF＝＝2
∴FD＝3
∵△ABM∽△DFM
∴＝＝，
∵∠DEM＝∠ADM，∠AMD＝∠DME＝90°
∴△ADM∽△DEM
∴＝，
∴DE＝?AD＝＝3