江苏省邳州市明德实验学校2020-2021学年高二下学期3月第一次学情调研数学试题 Word版含答案

2020—2021学年度第二学期第一次学情调研试题
高二数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
若函数，则在处的导数为（
）
A.
B.
2
C.
3
D.
2.
下列求导运算正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
3.如果说某物体作直线运动的时间与距离满足，则其在时的瞬时速度为（
）
A．
B．
C．
D．
4.
用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n（n∈N
，n＞1）”时，由n＝k（k＞1）不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是
（
）
A.
2k－1
B.
2k－1
C.
2k
D.
2k＋1
5．函数的大致图象是
（
）
7.
6.
设是定义在R上的奇函数，，当时，有恒成立，则的解集为（
）
A.
B.
C.
D.
7.若，对任意，恒成立，则a的取值范围是???
A.
B.
C.
D.
8.函数恰有两个整数解，则实数a的取值范围为?
???
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，不选或有选错的得0分.
9.
已知不等式对任意的恒成立，则满足条件的整数的可能值为（
）
A.
B.
C.
D.
10.定义在上的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，恒成立，则下列判断不正确的是???
A.
B.
C.
D.
11．若函数f（x）在定义域D内的某个区间I上是单调增函数，且在区间I上也是单调增函数，则称y＝f（x）是I上的“一致递增函数”．已知，若函数f（x）是区间I上的“一致递增函数"，
则区间I可能是
（
）
A．
B．
C．
D．
12．设函数，，则下列说法正确的有（
）
A.不等式的解集为；
B.函数在单调递增，在单调递减；
C.当时，总有恒成立；
D.若函数有两个极值点，则实数
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.
13.函数在的切线方程是
14.已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是
　　???
?
15.
若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是
　
16.
已知函数
，若函数有四个不同的零点，则的取值范围为______
四、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
（本小题满分10分
已知函数的图象过点P,
且在点M处的切线方程为.
(1)
求函数的解析式;
(2)
求函数的单调区间.
18.
（本小题满分12分）
用数学归纳法证明等式：。
19.（本小题满分12分）已知函数在点处的切线方程为．
（1）求函数的解析式；
（2）若经过点可以作出曲线的三条切线，求实数的取值范围．
20.
（本小题满分12分）
在半径为30
cm的半圆（o为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A,B在直径上，点C,D圆周上，若将截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗，应怎样截取才能使做出的圆柱形罐子体积最大?并求出最大体积.
21．（本小题满分12分）
已知函数（为常数）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）是否存在正实数，使得对任意，都有，
若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由；
22.（本小题满分12分）
设函数，其中.
（1）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（2）若成立，求的取值范围
参考答案
1.
C.
2.
B.
3.
D
4C
5.
A
解析：增加的项数为（2k＋1－1）－（2k－1）＝2k＋1－2k＝2k。
6.
B.构造函数，可得在定义域范围为偶函数，并得到在
上单调递减，在上单调递增，且，，结合函数的大致图像分析即可得到的解集．
【详解】构造函数，则
由于是定义在上的奇函数,则，故在定义域范围为偶函数，图像关于轴对称；，则，；
又时，有恒成立，故在上恒成立，即在
上单调递减；根据偶函数的对称性可得在上单调递增，所以的大致图像如下图：
所以，则或；即的解集为
故答案选B.
【点睛】本题考查奇偶函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性解不等式的方法，考查学生数形结合的思维能力，属于中档题．
7A
解：，
是奇函数，
又，单调递减，
可化为，
由递减知，即，
对任意的，恒成立，
等价于对任意的，恒成立，
则，解得，
故选：A．
【分析】
8.D解：不等式恰有两个整数解，
即恰有两个整数解，
令，，
得，
令，易知为减函数，且，
当时，，，单调递增
当时，，，单调递减．
，，，
由题意可得：，
，
故选D．
9【答案】AB
【分析】
利用导数求得函数的最小值，可得出实数的取值范围，由此可得出合适的选项.
【详解】令，则.
，当时，；当时，.
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
，.
因此，满足条件的整数的可能值为、.
故选：AB.
10【答案】ACD解：构造函数，
因为，
所以，
则，
所以为偶函数，
当时，，
所以在上单调递增，
所以有，则，
即，即，
故B正确，A错误．
有，即，
即，故C、D错误．
故选A、C、D．
11.A.D
12.AC
13.
y=x-1
14.
15.
.根据函数在区间上是单调减函数，可得，进而得出结论．
【详解】函数在区间上是单调减函数，．
且，令，解得：．
，解得．实数的取值范围是，．
故选：D．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、不等式的解法，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
16.
【分析】先利用导数求出时，函数的单调性及极值，再结合题意，建立关于的不等式组，解不等式组即可得出答案．
【详解】当时，，
故函数在，单调递增，在单调递减，
当时，，，，
由于最多有3个零点，最多只有一个零点，故要使函数有四个不同的零点，
则需，解得．故答案为：．
17解:
(1)
由的图象经过P,知,
所以
.即
由在处的切线方程是,
知
,
故所求的解析式是
(2)
令即
解得
当
当
故在内是增函数,
在内是减函数,
在内是增函数.
18.思路分析：和自然数有关的命题的证明可以选用数学归纳法。
证明：（1）当n＝1时，左边＝＝右边，等式成立
（2）假设当n＝k时等式成立，即
则，
当n＝k＋1时，等式也成立，
综合（1）（2），等式对所有正整数都成立
解题后反思：（1）用数学归纳法证题时，两步缺一不可；（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标。
19．（I）f'（x）=3ax2+2bx﹣3．
根据题意，得即
解得
所以f（x）=x3﹣3x．
（II）设切点为（x0，y0），则y0=x03﹣3x0，f'（x0）=3x02﹣3，切线的斜率为3x02﹣3
则3x02﹣3=，即2x03﹣6x02+6+m=0．
∵过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴方程2x03﹣6x02+6+m=0有三个不同的实数解，
∴函数g（x）=2x3﹣6x2+6+m有三个不同的零点，
∴g（x）的极大值为正.极小值为负
则g'（x）=6x2﹣12x．令g'（x）=0，则x=0或x=2，列表：
由，解得实数m的取值范围是﹣6＜m＜2．
20
21．解：（1）∵（为常数）定义域为：．
①若，则恒成立在上单调递增；
②若，则．
令，解得；令，解得．
在上单调递减，在上单调递增．
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）满足条件的不存在．理由如下：
若，由（Ⅰ）可知，函数在为增函数；
不妨设，则，即，
∴由题意：在上单调递减，
∴在上恒成立；即对恒成立；
又在上单调递减；
∴,满足条件的正实数不存在．
22．
（4）当时，设