第六讲：平面图形的认识（二）复习(2)
主要内容
1、认识三角形
2、多边形的内角和与外角和
二、基本概念
1、认识三角形
1.三角形的分类
（1）按角分：
三角形
2.三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边;
三角形任意两边之差小于第三边.
要点诠释：
（1）判断给定三条线段能否构成一个三角形：看较小两边的和是否大于最长边.
（2）已知三角形的两边长,确定第三边的范围：两边之差的绝对值＜第三边＜两边之和.
3.三角形的三条主要线段
（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于三角形内部一点，叫做三角形的重心.
（2）在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线交于三角形内一点，叫做三角形的内心.
（3）在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高，三角形的三条高交于一点，叫做三角形的垂心.
4.三角形的角
（1）三角形的内角和为180°.
(2)
三角形的一边与他的邻边的延长线组成的角叫做三角形的外角.
要点诠释：（1）直角三角形的两个锐角互余.
（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角和.
（3）三角形的一个外角大于任意一个不相邻的内角.
1.
已知：三角形的三条边分别为1，x，5，且x为整数，则x＝
．
2.证明：三角形三个内角的和等于180°.
举一反三：【变式1】如图,AC、BD相交于点O,
∠A+∠B＝∠C+∠D吗？为什么？
【变式2】如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P，∠A＝70°，求∠BPC的度数．
2、多边形的内角和与外角和
1.
多边形的内角和：边形的内角和为(－2)·180°(≥3)．
要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；
(2)正多边形的每个内角都相等，都等于.
2.
多边形的外角和：任意多边形的外角和都为360°.
要点诠释：多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
3、一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（ ）．
A．四边形
B．五边形
C．六边形
D．八边形
举一反三：
【变式】已知一个多边形的每一内角都等于150°，求这个多边形的内角和．
三、课堂讲解
1、如图，两直线AB、CD平行，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝
.
2、如图，P为△ABC内任意一点，试比较AB＋AC与PB＋PC的大小，并说明理由。
3、下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5，6，10
B．5，6，11
C．3，4，8
D．4a，4a，8a（a＞0）
4、已知如图∠xOy＝90°，BE是∠ABy的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，当点A，B分别在射线Ox，Oy上移动时，试问∠C的大小是否发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A，B的移动而变化，请求出变化范围.
5、若一个多边形的每个外角都等于60°，则它的内角和等于（ ）
A．180°
B．720°
C．1080°
D．540°
6、如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝320°，则∠6＝
．
【达标检测】
一、选择题
1．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是(
)
.
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°.
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°.
C．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°.
D．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°.
2．两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，角平分线互相平行的两个角是（
）.
A．同位角
B．同旁内角
C．内错角
D.
同位角或内错角
3.
如图所示，b∥c，a⊥b，∠1＝130°，则∠2＝（
）．
A．30°
B.
40°
C.
50°
D.
60°
4.如图，，则AEB＝（
）．
A．
B．
C．
D．
5.一个凸n边形,除一个内角外,其余n－1个内角的和是2400°，则n的值是（
）．
A.15
B.16
C.17
D.不能确定
6.
如图所示，把一张对面互相平行的纸条折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论不正确的有（
）．
A.
B.
∠AEC＝148°
C.
∠BGE＝64°
D.
∠BFD＝116°
7.过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
二、填空题
8.
如图所示，AB∥CD，点E在CB的延长线上．若∠ECD＝110°，则∠ABE的度数为________．
9.
如图所示，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB等于________．
10.
如图所示，AB∥CD，MN交AB、CD于E、F，EG和FG分别是∠BEN和∠MFD的平分线，那么EG与FG的位置关系是
．
11.
如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC=
度．
三、解答题
12．如图所示，直线AB、MN分别与直线PQ相交于O、S，射线OG⊥PQ，且OG将∠BOQ分成1:5两部分，∠PSN比它的同位角的2倍小60°，求∠PSN的度数．
13.
如图所示，已知AB∥CD，∠1＝110°，∠2＝125°，求∠x的大小．第六讲：平面图形的认识（二）复习(2)
主要内容
1、认识三角形
2、多边形的内角和与外角和
二、基本概念
1、认识三角形
1.三角形的分类
（1）按角分：
三角形
2.三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边;
三角形任意两边之差小于第三边.
要点诠释：
（1）判断给定三条线段能否构成一个三角形：看较小两边的和是否大于最长边.
（2）已知三角形的两边长,确定第三边的范围：两边之差的绝对值＜第三边＜两边之和.
3.三角形的三条主要线段
（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于三角形内部一点，叫做三角形的重心.
（2）在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线交于三角形内一点，叫做三角形的内心.
（3）在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高，三角形的三条高交于一点，叫做三角形的垂心.
4.三角形的角
（1）三角形的内角和为180°.
(2)
三角形的一边与他的邻边的延长线组成的角叫做三角形的外角.
要点诠释：（1）直角三角形的两个锐角互余.
（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角和.
（3）三角形的一个外角大于任意一个不相邻的内角.
1.
已知：三角形的三条边分别为1，x，5，且x为整数，则x＝
．
【思路点拨】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求解即可．
【答案】5
【解析】解：∵三角形的三边长分别为1，x，5
∴第三边的取值范围为：4＜x＜6∵x为整数，∴x＝5．
【总结升华】此题主要考查对三角形三边关系的理解及运用．
2.证明：三角形三个内角的和等于180°.
【答案与解析】已知：如图△ABC中，
求证：∠1+∠3+∠4＝180°
证明：过点C作CE∥AB
∴∠4＝∠5(两直线平行,内错角相等)
∠1+∠ACE＝180°（两直线平行,同旁内角互补）
∴∠1+∠3+∠5＝180°
即∠1+∠3+∠4＝180°(等量代换)
【总结升华】本题考查证明三角形内角和定理，解题的关键是做平行线，利用平行线的性质进行证明．
举一反三：【变式1】如图,AC、BD相交于点O,
∠A+∠B＝∠C+∠D吗？为什么？
【答案】解：∠A+∠B＝∠C+∠D成立，
理由：在⊿AOB中
∠A+∠B+∠AOB＝180°∴∠A+∠B＝180°-∠AOB
在⊿COD中
∠C+∠D+∠COD＝180°∴∠C+∠D＝180°-∠COD
∵∠AOB与∠COD是对顶角∴∠AOB＝∠COD
∴∠A+∠B＝∠C+∠D
(
等量代换)
【变式2】如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P，∠A＝70°，求∠BPC的度数．
【答案】解：∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝110°，
又∵BD、CE为角平分线，
∴∠CBP＋∠BCP＝（∠ABC＋∠ACB）＝55°．
∴∠BPC＝180°－55°＝125°．
2、多边形的内角和与外角和
1.
多边形的内角和：边形的内角和为(－2)·180°(≥3)．
要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；
(2)正多边形的每个内角都相等，都等于.
2.
多边形的外角和：任意多边形的外角和都为360°.
要点诠释：多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
3、一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（ ）．
A．四边形
B．五边形
C．六边形
D．八边形
【思路点拨】首先设此多边形是边形，由多边形的外角和为360°，即可得方程180（－2）＝360，解此方程即可求得答案．
【答案】A；
【解析】解：设此多边形是边形，
∵多边形的外角和为360°，∴180（－2）＝360，
解得：＝4．∴这个多边形是四边形．
【总结升华】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意多边形的外角和为360°，边形的内角和等于（－2）×180°．
举一反三：
【变式】已知一个多边形的每一内角都等于150°，求这个多边形的内角和．
【答案】解：设这个多边形的边数为n，则
（n-2）×180°＝n×150°，180°n-360°＝150°n，30°n＝360°解得n＝12．
∴12×150°＝1800°．答：这个多边形的内角和为1800°．
三、课堂讲解
1、如图，两直线AB、CD平行，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝
.
【答案】900°
2、如图，P为△ABC内任意一点，试比较AB＋AC与PB＋PC的大小，并说明理由。
【思路点拨】根据比较的线段构造出三角形，再根据三角形三边关系进行求解．
【答案与解析】解：AB＋AC＞PB＋PC，
理由如下：延长BP交AC于D，
在△ABD中，根据三角形三边关系得AB＋AD＞BP＋PD
①。
在△PDC中，同理可得PD＋DC＞PC
②
①＋②得：AB＋AD＋PD＋DC＞BP＋PD＋PC
，
即AB＋AC＞BP＋PC.
【总结升华】本题考查了三角形三边关系，构造三角形是解题的关键，本题也可以延长线段CP与AB相交．
3、下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5，6，10
B．5，6，11
C．3，4，8
D．4a，4a，8a（a＞0）
【答案】A．
4、已知如图∠xOy＝90°，BE是∠ABy的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，当点A，B分别在射线Ox，Oy上移动时，试问∠C的大小是否发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A，B的移动而变化，请求出变化范围.
【思路点拨】根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．
【答案与解析】解：∠C的大小保持不变．理由：
∵∠ABy＝90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABy，
∴∠ABE＝∠ABy＝（90°+∠OAB）＝45°+∠OAB，
即∠ABE＝45°+∠CAB，
又∵∠ABE＝∠C+∠CAB，∴∠C＝45°，
故∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°．
【总结升华】本题考查的是三角形内角与外角的关系，解答此题目要注意：
①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；
②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．
5、若一个多边形的每个外角都等于60°，则它的内角和等于（ ）
A．180°
B．720°
C．1080°
D．540°
【思路点拨】由一个多边形的每个外角都等于60°，根据边形的外角和为360°计算出多边形的边数，然后根据边形的内角和定理计算即可．
【答案】B；
【解析】解：设多边形的边数为，
∵多边形的每个外角都等于60°，∴＝360°÷60°＝6，
∴这个多边形的内角和＝（6－2）×180°＝720°．
【总结升华】本题考查了边形的内角和定理：边形的内角和＝（－2）?180°；也考查了边形的外角和为360°．
6、如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝320°，则∠6＝
．
【答案】40°
【达标检测】
一、选择题
1．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是(
)
.
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°.
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°.
C．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°.
D．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°.
2．两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，角平分线互相平行的两个角是（
）.
A．同位角
B．同旁内角
C．内错角
D.
同位角或内错角
3.
如图所示，b∥c，a⊥b，∠1＝130°，则∠2＝（
）．
A．30°
B.
40°
C.
50°
D.
60°
4.如图，，则AEB＝（
）．
A．
B．
C．
D．
5.一个凸n边形,除一个内角外,其余n－1个内角的和是2400°，则n的值是（
）．
A.15
B.16
C.17
D.不能确定
6.
如图所示，把一张对面互相平行的纸条折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论不正确的有（
）．
A.
B.
∠AEC＝148°
C.
∠BGE＝64°
D.
∠BFD＝116°
7.过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
二、填空题
8.
如图所示，AB∥CD，点E在CB的延长线上．若∠ECD＝110°，则∠ABE的度数为________．
9.
如图所示，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB等于________．
10.
如图所示，AB∥CD，MN交AB、CD于E、F，EG和FG分别是∠BEN和∠MFD的平分线，那么EG与FG的位置关系是
．
11.
如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC=
度．
三、解答题
12．如图所示，直线AB、MN分别与直线PQ相交于O、S，射线OG⊥PQ，且OG将∠BOQ分成1:5两部分，∠PSN比它的同位角的2倍小60°，求∠PSN的度数．
13.
如图所示，已知AB∥CD，∠1＝110°，∠2＝125°，求∠x的大小．
【答案与解析】
一、选择题
1.A；
2.D；
3.B；
4.B；
5.B；
6.B；
7.
C．
二、填空题
8.70°；
9.90°；
10.垂直；
11.120°
三、解答题
12.
解：因为OG⊥PQ(已知)，
所以∠GOQ＝90°(垂直定义)，
因为∠BOG:∠GOQ＝1:5(已知)，
所以∠BOG＝18°，所以∠BOQ＝108°．
因为∠POB+∠BOQ＝180°(补角定义)，
所以∠POB＝180°-∠BOQ＝180°-108°＝72°．
因为∠PSN＝2∠POB-60°(已知)，
所以∠PSN＝2×72°-60°＝84°．
点拨：此题的关键是找出要求的∠PSN与题中的各已知量的关系．
13.解：过E点作EF∥AB，则∠3＝180°-∠1＝70°．
因为EF∥AB，AB∥CD，
所以EF∥CD．
所以∠4＝180°-∠2＝55°．
所以∠x＝180°-∠3-∠4＝55°．
