2.5.4 三角形的内切圆同步练习（含解析）

初中数学湘教版九年级下册2.5.4三角形的内切圆 同步练习
一、单选题
1.到三角形三边的距离都相等的点是这个三角形的（?? ）
A.?三条中线的交点??????B.?三条高的交点??????C.?三条边的垂直平分线的交点??????D.?三条角平分线的交点
2.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（? ）
A.?????????B.?????????C.?????????D.?
3.下列关于三角形的内心说法正确的是（?? ）
A.?内心是三角形三条角平分线的交点??????????????????????B.?内心是三角形三边中垂线的交点
C.?内心到三角形三个顶点的距离相等??????????????????????D.?钝角三角形的内心在三角形外
4.1.下列说法中，不正确的是(??? )
A.?三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点??????????
B.?锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部
C.?垂直于半径的直线是圆的切线?????????????????????????????
D.?三角形的内心到三角形的三边的距离相等
5.如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°.则∠BOC等于（?? ）
A.?125°????????????????????????????????????B.?120°????????????????????????????????????C.?115°????????????????????????????????????D.?100°
6.如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（??? ）
A.?2?????????????????????????????????????????B.?3?????????????????????????????????????????C.?3?????????????????????????????????????????D.?23
7.《九章算术》中有一题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何? ”其意思是:“今有直角三角形，勾(短直角边)长为 8 步，股(长直角边)长为 15 步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是（? ）
A.?6步???????????????????????????????????????B.?7步???????????????????????????????????????C.?8步???????????????????????????????????????D.?9步
8.如图，△ABC中，下面说法正确的个数是（ ??）

①若O是△ABC的外心，∠A=50°，则∠BOC=100°；②若O是△ABC的内心，∠A=50°，则∠BOC=115°；③若BC=6，AB+AC=10，则△ABC的面积的最大值是12；④△ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1.
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
9.如图，I点为△ABC的内心，D点在BC上，且ID⊥BC，若∠B=44°，∠C=56°，则∠AID的度数为何？（?? ）
A.?174??????????????????????????????????????B.?176??????????????????????????????????????C.?178??????????????????????????????????????D.?180
10.若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（?? ）
A.?πrc+2r???????????????????????????????????B.?πrc+r???????????????????????????????????C.?πr2c+r???????????????????????????????????D.?πrc2+r2
二、填空题
11.如图，在△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，则△ABC内切圆的半径为________cm．
12.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝40cm，现利用该三角形裁剪一个最大的圆，则该圆半径是________cm.
13.设O为△ABC的内心，若∠A=48°，则∠BOC=________°．
14.如图是一块直角三角形木料， ∠A=90? ， AB=3 ， AC=4 ，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，则可裁圆形木料的最大半径为________.
15.如图所示，⊙I是Rt△ABC的内切圆，点D、E、F分别是且点，若∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，则⊙I的周长为________cm．

三、解答题
16.已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．
17.已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．
18.已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．
（1）若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；
（2）若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．
19.某新建小区要在一块等边三角形内修建一个圆形花坛.
（1）要使花坛面积最大，请你用尺规画出圆形花坛示意图；（保留作图痕迹，不写做法）
（2）若这个等边三角形的周长为36米，请计算出花坛的面积.
20.如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．
（1）求证：⊙O与CB相切于点E；
（2）如图2，若⊙O 过点H，且AC=5，AB=6，连结EH，求△BHE的面积．
答案解析部分
一、单选题
1. D
考点：三角形的内切圆与内心
解：到三角形三边的距离都相等的点是这个三角形的内心，即三个内角平分线的交点.
故答案为：D.
分析：直接利用三角形的内心性质进行判断.
2. B
考点：三角形的内切圆与内心
解：由基本作图得到 B 选项作了两角的角平分线，从而可用直尺成功找到三角形内心．
故答案为：B．
分析：根据三角形内心为三条角平分线的交点，对每个选项一一判断即可。
3. A
考点：三角形的内切圆与内心
解：∵内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，
∴A选项正确，B、C、D选项均错误，
故答案为：A.
分析： 由三角形内心的定义以及三角形内心是三个角平分线的交点，三角形外心的定义与三角形的外心是三边中垂线的交点的知识，分析个选项即可求解．
4. C
考点：三角形的内切圆与内心
解：三角形的内心是三角形的三条内角平分线的交点，因此A不符合题意；
B、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部，因此B不符合题意；
C、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此C符合题意；
D、三角形的内心到三角形的三边的距离相等，因此D不符合题意；
故答案为：C
分析：利用三角形内心（三角形的内心是三角形三个内角的角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等）的定义对各选项逐一判断。
5. C
考点：三角形的内切圆与内心
解： ∵ ⊙O是△ABC的内切圆
∴BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB
又 ∵ ∠ABC=50°，∠ACB=80°
∴ ∠OBC =25°、 ∠OCB=40 °
∴ ∠BOC= 180° -∠OBC-∠OCB =115°
故答案为：C.
分析：根据 ⊙O是三角形△ABC的内切圆，知BO、CO是三角形的角平分线，从而求出 ∠OBC及∠OCB的度数，利用三角形内角和定理，便可找到答案.
6. D
考点：三角形的内切圆与内心
解：如图，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切AB于F，切AC于E，切BC于D，
连接AD，OB，则AD过O（因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上,也在底边的垂直平分线上），
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60?，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠OBC= 12 ∠ABC=30?，
∵⊙O切BC于D，
∴∠ODB=90?，
∵OD=1，
∴OB=2，
由勾股定理得：BD= 22-12 = 3 ，
同理求出CD= 3 ，
即BC=2 3 .
故答案为：D.
分析：标注A、B、C点，连接AD，OB，则AD过O，求出∠OBD=30°，求出OB，根据勾股定理求出BD，同法求出CD，求出BC即可.
7. A
考点：三角形的内切圆与内心
解：根据勾股定理，得
斜边为 82+152=17 ，
则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径 r=8+15-172=3 （步），即直径为6步，
故答案为A.
分析：根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可确定出内切圆半径，进而得出直径.
8. C
考点：三角形的内切圆与内心
解：①若O是△ABC的外心，则有∠BOC=2∠A=100°，故①正确；
②若O是△ABC的内心，则∠BOC=90°+12∠A=115°，故②正确；
③若BC=6，AB+AC=10，当AB=AC=5时，△ABC的面积的最大，其最大值是12，故③正确；
④△ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是2×1216=32 ， 故④错误.
故答案为：C.
分析：根据每个选项中的已知条件分别计算出应得结果，然后作出判断。
9. A
考点：三角形的内切圆与内心
解：连接CI，如图所示．
在△ABC中，∠B=44°，∠ACB=56°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=80°．
∵I点为△ABC的内心，
∴∠CAI= 12 ∠BAC=40°，∠ACI=∠DCI= 12 ∠ACB=28°，
∴∠AIC=180°﹣∠CAI﹣∠ACI=112°，
又ID⊥BC，
∴∠CID=90°﹣∠DCI=62°，
∴∠AID=∠AIC+∠CID=112°+62°=174
故答案为：A．
分析：根据题意可作辅助线，连接CI（或BI），三角形的内心是指三角形三个内角的平分线的交点，由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，再根据三角形内心的意义可求得∠ACI、∠DCI、∠CAI的度数，由三角形内角和定理即可求得∠AIC和∠DIC的度数，则∠AID=∠AIC+∠DIC。
10. B
考点：三角形的内切圆与内心
解：设直角三角形的两条直角边是 a，b ，则有：
S=a+b+c2r. ?
又∵ r=a+b-c2.
∴ a+b=2r+c， ?
将 a+b=2r+c 代入 S=a+b+c2r. 得： S=2r+2c2r=r(r+c)． ?
又∵内切圆的面积是 πr2. ?
∴它们的比是 πrc+r. ?
故答案为：B．
分析：设直角三角形的两条直角边是 a ， b ，根据直角三角形的面积公式s=a+b+c2r及r=a+b-c2,得出三角形的面积，根据圆的面积公式得出圆的面积，从而得出答案。
二、填空题
11. 2
考点：三角形的内切圆与内心
解：∵ 62+82=102
∴ AB2+BC2=AC2
∴△ABC为直角三角形
∵ OD⊥AC 、 OE⊥BC 且OD=OE
∴四边形ODCE为正方形
∴CD=CE=OD=OE
∵AD、AB、BC为圆的切线
∴AD=AF，BE=BF
∴ CD=AC+BC-AB2=6+8-102=2
故答案为：2．
分析：利用内接圆的半径计算公式：r=2SC（S为三角形的面积，C为三角形的周长）计算即可。
12. 10
考点：三角形的内切圆与内心
解：由题意得：该三角形裁剪的最大的圆是Rt△ABC的内切圆，设AC边上的切点为D，连接OA、OB、OC，OD，
∵∠ACB＝90°，AC＝30cm，BC＝40cm，
∴AB＝ 302+402 ＝50cm，
设半径OD＝rcm，
∴S△ACB＝ 12AC?BC ＝ 12AC?r+12BC?r+12AB?r ，
∴30×40＝30r+40r+50r，
∴r＝10，
则该圆半径是 10cm.
故答案为：10.
分析：根据勾股定理求出的斜边AB，再由等面积法，即可求得内切圆的半径.
13. 114
考点：三角形的内切圆与内心
解：∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB， ?
∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180?-∠A)=66?， ?
∴∠BOC=180?-(∠0BC+∠OCB)=180?-66?=114?.
故答案为114．
?
分析：根据三角形内心的定义，可得OB，OC都是三角形内角的平分线，根据角平分线的定义求出∠OBC与∠OCB的和，利用三角形内角和即可求出∠BOC的度数.
14. 1
考点：三角形的内切圆与内心
解：∵∠A=90°，AB=3，AC=4，
∴BC= AB2+AC2 = 32+42 =5，
∴圆形木料的最大半径= 3+4-52 =1。
故答案为：1。
分析：首先根据勾股定理算出BC的长，根据题意所裁的圆形应该是三角形ABC的内切圆，根据三角形的内切圆的半径等于12AB+AC-BC即可算出答案。
15.2π
考点：三角形的内切圆与内心
解：∵∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm， ∴AC=3cm，
设⊙I的半径为x，
∵⊙I是Rt△ABC的内切圆，
∴AE=3﹣x，BF=4﹣x，
故3﹣x+4﹣x=5，
解得：x=1，
故⊙I的周长为2πcm．
故答案为：2π．
分析：直接利用勾股定理得出AC的长，再利用切线长定理得出⊙I的半径，进而得出答案．
三、解答题
16. 解：∵圆O内切于△ABC，
∴∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCO=12×90°=45°，
∵∠BOC=105°，
∴∠CBO=180°?45°?105°=30°，
∴∠ABC=2∠CBO=60°，
∴∠A=30°，
∴BC=12AB=12×20=10cm，
∴AC=AB2-BC2=202-102=103
∴BC、AC的长分别是10cm、103cm.
考点：三角形的内切圆与内心
分析：先根据圆 O内切于△ABC，得出∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，再根据∠ACB=90°，求出∠BCO=45°，再根据三角形内角和定理得出∠OBC的度数，从而求出∠ABC和∠A的度数，即可求出BC的长，再根据勾股定理即可求出AC的长。
17. 解：设△ABC与O相切与点D，E，F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF。
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴OD=OE=OF=r
∵S△AOB=12AB?OD=12c?r
同理,S△OBC=12a?r，S△OAC=12b?r.
∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC ，
即S=12c?r+12a?r+12b?r，
∴则S=12r(a+b+c)
考点：三角形的内切圆与内心
分析：设△ABC与 O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，根据S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC ， ，即可求解。
18. （1）解：连接OD，OF
在Rt△ABC,∠C=90?，AC=12cm，BC=9cm；
根据勾股定理AB=AC2+BC2=122+92=15cm；
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆
∴OD⊥AC，OF⊥BC
∴∠ODC=∠OFC=∠C=90°，
∵OD=OF,
∴四边形OFCD是正方形
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆
∴AD=AE，CD=CF，BE=BF；
则CD=CF=12(AC+BC?AB)；
∴r=12(12+9?15)=3
∴⊙O的半径r为3cm
（2）解：当AC=b，BC=a，AB=c时
由（1）的解答过程可知
CD=CF=12(AC+BC?AB)
即：r=12(a+b?c).
∴O的半径r为：12(a+b?c)
考点：三角形的内切圆与内心
分析：（1）利用勾股定理求出AB的长，再根据正方形的判定定理，证明四边形OFCD是正方形，由切线长定理证得AD=AE，CD=CF，BE=BF，从而可得出CD=CF=12(AC+BC?AB)，就可求出结果。
（2）由（1）的解答过程，可知CD=CF=12(AC+BC?AB)，代入即可。
19. （1）解：用尺规作三角形的内切圆如图，
（2）解：∵等边三角形的周长为36米，
∴等边三角形的边长为12米，
tan∠OBD= DODB ，
∵∠OBD=30°，BD=6，
∴ 33=DO6
∴DO=2 3 ，
∴内切圆半径为2 3 m2 ， 则花坛面积为：πr2=12πm2 ．
考点：三角形的内切圆与内心
分析：（1)作图要使花坛面积最大，作出三角形的内切圆即可，三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，作出两角的平分线的交点即为圆心，再过圆心作OD垂直于边BC，以O为圆心，OD的长为半径作图即可；（2）?ABC是等边三角形，BO是∠ABC的平分线，则∠OBD=30°，根据特殊角的三角函数值可求出圆形花坛的半径，进而求出花坛的面积。
20. （1）证明：∵CA=CB，点O在高CH上，
∴∠ACH=∠BCH，
∵OD⊥CA，OE⊥CB，
∴OE=OD，
∴圆O与CB相切于点E
（2）解：∵CA=CB，CH是高，
∴AH=BH= 12 AB=3，
∴CH= AC2-AH2 =4，
∵点O在高CH上，圆O过点H，
∴圆O与AB相切于H点，
由（1）得圆O与CB相切于点E，
∴BE=BH=3，
如图，过E作EF⊥AB，则EF∥CH，
∴△BEF∽△BCH，
∴ BEBC = EFCH ，即 35 = EF4 ，
解得：EF= 125 ，
∴S△BHE= 12 BH?EF= 12 ×3× 125 = 185
考点：三角形的内切圆与内心
分析：（1）由CA=CB，且CH垂直于AB，利用三线合一得到CH为角平分线，再由OD垂直于AC，OE垂直于CB，利用角平分线定理得到OE=OD，利用切线的判定方法即可得证；（2）由CA=CB，CH为高，利用三线合一得到AH=BH，在直角三角形ACH中，利用勾股定理求出CH的长，由圆O过H，CH垂直于AB，得到圆O与AB相切，由（1）得到圆O与CB相切，利用切线长定理得到BE=BH，如图所示，过E作EF垂直于AB，得到EF与CH平行，得出△BEF与△BCH相似，由相似得比例，求出EF的长，由BH与EF的长，利用三角形面积公式即可求出△BEH的面积．