2.6 弧长与扇形面积同步练习（含解析）

初中数学湘教版九年级下册2.6弧长与扇形面积 同步练习
一、单选题
1.若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（??????????? ）
A.?π????????????????????????????????????????B.??2π????????????????????????????????????????C.??3π????????????????????????????????????????D.?4π
2.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若 ∠OCA=50° ， AB=4 ，则 BC 的长为（?? ）
A.?103π?????????????????????????????????????B.?109π?????????????????????????????????????C.?59π?????????????????????????????????????D.?518π
3.如图，半径为2的两个等圆⊙O1与⊙O2外切于点P，过O1作⊙O2的两条切线，切点分别为A，B，与⊙O1分别交于C，D，则 APB 与 CPD 的弧长之和为（? ）
A.?2π????????????????????????????????????????B.?32π????????????????????????????????????????C.?π????????????????????????????????????????D.?12π
4.计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比.下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）.下列描述正确的是（?? ）
A.?d（25%）＝1?????????????????????????????????????????????????????B.?当x＞50%时，d（x）＞1
C.?当x1＞x2时，d（x1）＞d（x2）????????????????????????D.?当x1+x2＝100%时，d（x1）＝d（x2）
5.如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，OA＝OB＝OC＝2，则这朵三叶花的面积为（?? ）
A.?3π﹣3?????????????????????????????????B.?3π﹣6?????????????????????????????????C.?6π﹣3?????????????????????????????????D.?6π﹣6
6.如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则图中弓形（阴影部分）的面积为（?? ）
A.?6π﹣9 3??????????????????????B.?6π﹣3 3??????????????????????C.?6π-934??????????????????????D.?6π-932
7.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点E在AB的延长线上，以A为圆心，AE为半径画弧，交AD的延长线于点F，且弧EF经过点C，则 EF 的长为( ??)
A.?5π4?????????????????????????????????????B.?5π4?????????????????????????????????????C.?5π8?????????????????????????????????????D.?5π8
8.已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开，所得扇形的圆心角为120°，则该扇形面积是（ ??）.
A.?4π???????????????????????????????????????B.?8π???????????????????????????????????????C.?12π???????????????????????????????????????D.?16π
9.用一个半径为3，面积为6π的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为(??? )
A.?π??????????????????????????????????????????B.?2π??????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?1
10.如图， △ABC 的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将 △ABC 绕点B顺时针旋转到 △A'B'C' 的位置，且点 A' 、 C' 仍落在格点上，则线段 AB 扫过的图形的面积是（ ??）平方单位（结果保留）
A.?25π4???????????????????????????????????B.?13π4???????????????????????????????????C.?13π2???????????????????????????????????D.?13π6
二、填空题
11.如图，小明从纸上剪下一个圆形和一个扇形纸片，用它们恰好能围成一个圆锥模型.若圆的半径为1，扇形的圆心角为120°，则此扇形的半径为________.
12.一种圆角正方形桌面如图所示.每段圆弧所对的圆心角是90°，用一根直尺测得轮廓上两点之间距离的最大值是 100cm ，平行的两直边之间的距离为 80cm ，则该圆角正方形的周长是________.
13.如图，一把折扇展开后的圆心角为120°，扇骨 OA 长为 30cm ，扇面宽 AB=18cm ，则该折扇的扇面的面积 S= ________ cm2 .
14.如图，在半径为6的⊙O中，随意向圆内投掷一个小球，经过大量重复投掷后发现，小球落在阴影部分的概率稳定在 16 ，则 AB 的长约为________.（结果保留π）

15.如图， ⊙O 是 ΔABC 的外接圆， ∠ABC=30° ， AC=4 ，则弧 AC 的长为________.
三、解答题
16.如图， AB 的半径 OA=2 ， OC⊥AB 于点C， ∠AOC=60° .求 AB 的长.
17.如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是2cm，图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和是多少？弧长的和为多少?
18.已知圆环的大圆半径R=4cm，小圆半径r=2cm，求圆环的面积。
19.如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径，C，D是 ⊙O 上的点， OC//BD ，交 AD 于点E，连结 BC .
（1）求证： AE=ED ；
（2）若 AB=6 ， ∠ABC=30° ，求图中阴影部分的面积.
20.已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
（1）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A'B'C'；
（2）旋转后点A'的坐标为________；B'的坐标为________.
（3）求点A旋转到A'所经过的路线长（结果保留π）
21.如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为4的正方形ABCD的中心在原点O处，且AB∥x轴，点P在正方形ABCD的边上，点P从点A处沿A→B→C→D→A→B→…匀速运动，以点P为圆心，以1为半径长画圆，在运动过程中：
（1）当⊙P第1次与x轴相切时，则圆心P的坐标为________；（直接写出结果）
（2）当圆心P的运动路程为2019时，判断⊙P与y轴的位置关系，并说明理由；
（3）当⊙P第一次回到出发的位置时，即⊙P运动一周，求⊙P运动一周覆盖平面的区域的面积.
答案解析部分
一、单选题
1. A
考点：弧长的计算
解：∵扇形的半径为3，圆心角为60°。
∴此扇形的弧长是60π×3180=π.
故答案为：A.
分析：利用扇形的弧长公式：nπR180 ， 再将n=60°，R=3代入计算可求解。
2. B
考点：圆周角定理，弧长的计算
解：∵∠OCA=50°，OA=OC，
∴∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°，
∵AB=4，
∴BO=2，
∴ BC 的长为： 100π×2180=109π
故答案为：B.
分析：根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可求得∠BOC的度数，再根据弧长公式l=nπR180可求解.
3. A
考点：切线的性质，弧长的计算
解：连接OA、OB
∵O1A和O1B与⊙O2相切
∴∠O1AO2=∠O1BO2=90°
∴∠AO1B＋∠AO2B=360°－（∠O1AO2＋∠O1BO2）=180°
∴ APB 与 CPD 的弧长之和为 ∠AO2B?π?2180+∠AO1B?π?2180
= π?2180(∠AO2B+∠AO1B)
= π?2180×180
= 2π
故答案为：A.
分析：连接OA、OB，根据切线的性质，可得∠O1AO2=∠O1BO2=90°，利用四边形的内角和等于360°，可得∠AO1B＋∠AO2B=180°，利用弧长公式进行计算即得.
4. D
考点：弧长的计算
解：A、d（25%）＝2＞1，故A不符合题意.
B、当x＞50%时，0≤d（x）＜2，故B不符合题意.
C、当x1＞x2时，d（x1）与d（x2）可能相等，可能不等，故C不符合题意.
D、当x1＋x2＝100%时，d（x1）＝d（x2），故D符合题意.
故答案为：D.
分析：结合图形及弧长公式，对各选项逐一判断即可.
5. B
考点：扇形面积的计算
解：如图所示：弧OA是⊙M上满足条件的一段弧，连接AM、MO，
由题意知：∠AMO＝90°，AM＝OM
∵AO＝2，∴AM＝ 2 .
∵S扇形AMO＝ 14 ×π×MA2＝ 12π .
S△AMO＝ 12 AM?MO＝1，
∴S弓形AO＝ 12π ﹣1，
∴S三叶花＝6×（ 12π ﹣1）
＝3π﹣6.
故答案为：B.
分析： 弧OA是⊙M上满足条件的一段弧，连接AM、MO，由题意先算出16三叶花即一个小弓形的面积，再算三叶花的面积．而一个小弓形的面积＝扇形面积?三角形的面积．
6. C
考点：勾股定理，扇形面积的计算
解：如图，过点O作OD⊥AB于点D，

∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=3，AD=12OA=32.
∴OD=OA2-AD2=32-322=332
∴S阴影部分=S扇形AOB-S△AOB=60π×32360-12×3×332=6π-934.
故答案为：C.
分析：过点O作OD⊥AB于点D，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，再利用等边三角形的性质求出AD的长，利用勾股定理求出OD的长，然后根据S阴影部分=S扇形AOB-S△AOB ， 利用三角形的面积公式及扇形的面积公式可求出图中弓形的面积。
7. A
考点：弧长的计算
解：连接AC.
由题意得 AC=12+22=5 ，
∵∠EAF=45°，AE=AF=AC= 5 ，
∴ EF=45π×5180=54π ，
故答案为：A.
分析：连接AC，在直角三角形ACD中，用勾股定理可求得AC的值，根据网格图的特征可得∠EAF=45°，然后根据弧长公式l=nπR180计算即可求解.
8. C
考点：扇形面积的计算
解： 该扇形面积=120×π×62360=12π
故答案为：C.
分析：由于圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径是母线，直接利用扇形的面积公式计算即可.
9. C
考点：扇形面积的计算
解：根据扇形的面积公式可得，S=πrl，即可得到3πr=6π
∴r=2
故答案为：C.
分析：根据扇形的面积，计算得到答案即可。
10. B
考点：扇形面积的计算
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB= AC2+BC2=32+22=13 ，
由图形可知，线段AB扫过的图形为扇形ABA′，旋转角为90°，
∴线段AB扫过的图形面积= nπAB2360=90π×(13)2360=134π ．
故答案为：B．
分析：先利用勾股定理求出AB的长度，再利用扇形的面积计算公式求解即可。
二、填空题
11. 3
考点：弧长的计算
解：扇形的弧长等于底面圆的周长得出2π.
设圆的半径是r，则 120πr180 ＝2π，
解得：r＝3.
故答案为：3.
分析：设圆的半径是r，由题意可得相等关系：扇形的弧长=底面圆的周长，根据相等关系列关于r的方程可求解.
12. 20(42+4+3π-2π)
考点：圆周角定理，弧长的计算
解：如图，
设里面正方形边长为xcm，四周圆的半径为rcm，根据题意得，
{x+2r=80x2+x2+2r=100
解得 {x=20(2+1)r=30-102
圆角正方形的周长为：
4x+12×2πr×4 =4x+2πr=4×20(2+1)+2π(30-102)=20(42+4+3π-2π)
故答案为： 20(42+4+3π-2π) .
分析：由题意可得两个相等关系：①平行的两直边之间的距离为?80cm ， 即正方形的边长+2个圆弧的半径=800；② 轮廓上两点之间距离的最大值是?100cm? ， 即正方形的对角线+2个圆弧的半径=100；根据这两个相等关系列方程组可求得正方形的边长和圆弧的半径；根据圆角正方形的周长=4×正方形的边长+4×半圆弧的周长即可求解.
13. 252π
考点：扇形面积的计算
解：OB=OA-AB=30cm-18cm=12cm，
扇形的面积S =120π×302360-120π×122360=252π cm2 ，
故答案为： 252π .
分析：S扇形=nπR2360 ， 观察图形得S阴影=以OA为半径的扇形面积-以OB为半径的扇形面积可求解.
14. 2π
考点：弧长的计算，扇形面积的计算，几何概率
解：∵圆的半径为6，
∴面积为36π，
∵大量重复投掷后发现，小球落在阴影部分的概率稳定在 16 ，
∴扇形的面积为 36π6 ＝6π，
设扇形的弧长为l，则 12 l×3＝6π，
解得：l＝2π，
∴ AB 的长约为2π，
故答案为：2π.
分析：根据阴影部分的概率可求得阴影部分的面积，再根据S扇形=12lr可列关于l的方程求解.
15. 43π
考点：圆周角定理，弧长的计算
解：连接OC，OA
∵∠AOC=2∠ABC，∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC,
∴△AOC是等边三角形，
∴OA=AC=4
∴ AC = 60?π?4180=43π ，
故答案为： 43π.
分析：连接OA、OC，证△AOC是等边三角形，进而根据弧长计算公式即可得到结论.
三、解答题
16. 解：∵OC⊥AB，∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°.
∵OA=2，
∴ AB 的长为：120π×2180=4π3.
考点：垂径定理的应用，弧长的计算
分析：首先由垂径定理结合已知条件可得∠AOB=120°，然后根据弧长公式：nπr180计算即可.
17. 解：三个扇形的半径都是2cm，根据扇形的面积公式S= nπr2360 ，
因而三个扇形的面积的和就是：三个圆心角的和× πr2360 ，
而三个圆心角的和是180°，
∴图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为180× 22π360 =2πcm2.
弧长之和即为圆心角为180°，半径为2cm半圆的弧长，即 180×2π180=2π cm.
考点：弧长的计算，扇形面积的计算
分析：观察图形可知三角形的内角和为180°，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是2cm，三个阴影部分拼在一起，就是求圆心角为180°，半径为2cm的扇形的面积和扇形的弧长，然后利用扇形的弧长和面积公式可求解.
18. 解：∵大圆半径R=4cm
∴大圆面积= πR2=π?42=16πcm2
∵小圆半径r=2cm
∴小圆面积= πr2=π?22=4πcm2
∴圆环面积=大圆面积－小圆面积= 16π-4π=12πcm2
考点：扇形面积的计算
分析：圆环面积=大圆面积－小圆面积，由圆面积公式求出大小圆面积即可得答案.
19. （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，
又∵OC为半径，
∴AE=ED；
（2）解：连接CD，OD，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠AOC=∠OCB+∠OBC=60°，
∵OC∥BD，
∴∠OCB=∠CBD=30°，
∴∠COD=2∠CBD=60°，∠ABD=60°，
∴∠AOD=120°，
∵AB=6，
∴BD=3，AD=3 3 ，
∵OA=OB，AE=ED，
∴OE＝ 12 BD＝ 32 ，
∴S阴影=S扇形AOD-S△AOD= 120π×32360-12×33×32 = 3π-934 .
考点：等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，扇形面积的计算
分析：（1）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据平行线的性质得到∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，于是根据垂径定理得到结论；
（2）连接CD，OD，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠OBC=30°，根据平行线的性质得到∠OCB=∠CBD=30°，求得∠AOD=120°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论.
20. （1）解：如图所示，△A′B′C′即为所要求作的三角形；
（2）（6,4）；（5,1）
（3）解：由图可的AC=3 2
∴ l=90π32180=322π .
考点：弧长的计算，坐标与图形变化﹣旋转，作图﹣旋转
解： （2）根据上图A′（6，4），B′（5，1）；
故答案为：（6，4），（5，1）；
分析：（1）根据旋转变换的性质，结合网格结构找出点A、B绕点C按顺时针旋转90°后的对应点A′、B′，然后顺次连接即可得解；
（2）根据平面直角坐标系的特点写出点A′、点B′的坐标即可；
（3）根据弧长计算公式可得出答案.
21. （1）（﹣2，1）
（2）解：⊙P与y轴相切，
理由：∵正方形ABCD的边长为4，
∴⊙P运动一周时，圆心P的运动路程为4×4＝16，
∵2019÷16=126……3，
∴⊙P运动了126周多，且AP＝3，
∴圆心P在AB上，
∴圆心P的坐标为（﹣1，2），
∴圆心P到y轴的距离d＝3-2=1，
∵⊙P的半径r＝1，
∴d＝r，
∴⊙P与y轴相切；
（3）解：如图，阴影部分面积S＝4×6+1×4×2﹣2×2+ 90π?12360×4 ＝28+π，
∴⊙P运动一周覆盖平面的区域的面积为28+π.
考点：点的坐标，正方形的性质，切线的判定，扇形面积的计算，探索图形规律
解：（1）∵边长为4的正方形ABCD的中心在原点O处，且AB∥x轴，
∴A（2，2），B（-2，2），C（-2，-2），D（2，-2），
∵当⊙P第1次与x轴相切时，圆心P在正方形的BC边上，且点P到x轴的距离为1，
∴圆心P的坐标为（﹣2，1），
故答案为：（﹣2，1）
分析：（1）根据切线的性质即可得到结论（2）由题意得到⊙P运动一周时，圆心P的运动路程为4×4＝16，由于2019÷16=126……3，于是得到⊙P运动了126周多，圆心P在AB上，且AP＝3，得到圆心P的坐标为（﹣1，2），根据切线的判定定理即可得到结论；（3）根据正方形和扇形的面积公式即可得到结论.