2.7 正多边形与圆同步练习（含解析）
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文档简介
初中数学湘教版九年级下册2.7正多边形与圆 同步练习
一、单选题
1.下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的个数是（?? ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
2.在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，顺次连接各分点得到的多边形是（ ）
A.?正三角形???????????????????????????B.?正四边形???????????????????????????C.?正五边形???????????????????????????D.?正六边形
3.已知一个正多边形的每个内角是 150? ，则这个正多边形是（?? ）
A.?正八边形?????????????????????????B.?正十边形?????????????????????????C.?正十二边形?????????????????????????D.?正十四边形
4.如图，正六边形ABCDEF内接于于⊙O,连接BD，则∠CBD的度数是（?? ）
A.?30°???????????????????????????????????????B.?45°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?90°
5.下列说法正确的是（?? ）
A.?五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形是正五边形
B.?正六边形各内角都相等，所以各内角都相等的六边形是正六边形
C.?从n边形的一个顶点出发可以引（n-2）条对角线
D.?n边形共有 n(n-3)2 条对角线
6.若一个正多边形的一个内角为 144? ，则这个图形为正（?? ）边形.
A.?八?????????????????????????????????????????B.?九?????????????????????????????????????????C.?七?????????????????????????????????????????D.?十
7.正六边形的边长为 2a ，则它的面积为（?? ）
A.?3a2?????????????????????????????????B.?323a2?????????????????????????????????C.?33a2?????????????????????????????????D.?63a2
8.把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG，按照如图所示的方式叠合在一起，连结AD，则∠DAG＝（?? ）
A.?18°???????????????????????????????????????B.?20°???????????????????????????????????????C.?28°???????????????????????????????????????D.?30°
9.如图，连接正十边形的对角线 AC 与 BD 交于点 E，则∠AED 的度数是（?? ）
A.?126°????????????????????????????????????B.?116°????????????????????????????????????C.?120°????????????????????????????????????D.?110°
10.10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A，B，C，D，E，O均是正六边形的顶点.则点O是下列哪个三角形的外心（?? ）.
A.??? △AED???????????????????????????B.?△ABD???????????????????????????C.?△BCD???????????????????????????D.?△ACD
二、填空题
11.在正n边形中，若一个内角等于一个外角的3倍，则边数n的值是________.
12.如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则 ∠OAD= ________．
13.如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画??，?若 AB=1 ?，则阴影部分图形的周长为________ ( ?结果保留 π) ?.
14.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是________．
15.如图，边长为2 3 cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB＝17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为________cm.
三、解答题
16.如图，观察每个正多边形中 ∠α 的变化情况，解答下列问题：
……
（1）将下面的表格补充完整：
正多边形的边数
3
4
5
6
……
n
∠α 的度数
________
________
________
________
……
________
（2）根据规律，是否存在一个正 n 边形，使其中的 ∠α=20° ？若存在，写出 n 的值；若不存在，请说明理由.
（3）根据规律，是否存在一个正 n 边形，使其中的 ∠α=21° ？若存在，写出 n 的值；若不存在，请说明理由.
17.如图，分别求出半径为R的圆内接正三角形圆内接正方形的周长和面积．
18.如图，在网格纸中，O、A都是格点，以O为圆心， OA 为半径作圆，用无刻度的直尺完成以下画图：（不写画法）
（1）在圆①中画圆O的一个内接正六边形 ABCDEF ；
（2）在图②中画圆O的一个内接正八边形 ABCDEFGH .
19.（解决问题）已知A，B，C是同一平面上的三个点，以线段 AB ， BC 为边，分别作正三角形 ABD 和正三角形 BCD' ，连接 CD ， AD'
（1）如图1，当点A，B，C在同一直线上时，线段 CD 与 AD' 的大小关系是________；
（2）如图2，当A，B，C为三角形的顶点时（点A，B， D' 不在同一条直线上），判断线段 CD 与 AD' 的大小关系是否发生改变，并说明理由；
（3）（类比猜想）
已知A，B，C是同一平面上的三个点，以线段 AB ， BC 为边，分别作正方形，连接 CD ， AD' ，如图3和图4所示．判断线段 CD 与 AD' 的大小关系，并在图4（点A，B， D' 不在同一条直线上）中证明你的判断；
?
（4）（推广应用）
上面的这些结论能否推广到任意正多边形（不必证明）？
（5）如图5， CD 与 AD' 的大小关系是________，并写出它们分别在哪两个全等三角形中________；
（6）请在图6中连接图中两个顶点，构造处一组全等三角形，并写出这两个全等的三角形．
答案解析部分
一、单选题
1. B
考点：轴对称图形，中心对称及中心对称图形
解：第二个图形、第四个图形既是中心对称图形又是轴对称图形，共2个．
故答案为：B．
分析：根据中心对称图形以及轴对称图形的含义，判断得到答案即可。
2. D
考点：正多边形的性质
解：由题意这个正n边形的中心角=60°，
∴n= 360°60° =6
∴这个多边形是正六边形，
故答案为：D．
分析：求出正多边形的中心角即可解决问题．
3. C
考点：多边形内角与外角，正多边形的性质
解：∵一个正多边形的每个内角为150°，
∴这个正多边形的每个外角=180°-150°=30°，
∴这个正多边形的边数= 360°30° ?=12.
故答案为：C.
分析：根据多边形的一个内角和它相邻的外角互补可求得一个外角的度数，再根据多边形的外角和等于360°和正多边形的各个外角都相等可求解.
4. A
考点：圆内接正多边形
解：∵ 正六边形ABCDEF ，
∴∠BCD=180°-（360°÷6）=120°，
∵CB=CD，
∴∠CBD=180°-120°2=30°；
故答案为：A.
分析：先根据正多边形的外角和求出这个正六边形的一个内角的度数，再结合等腰三角形的性质，利用三角形的内角和定理即可求出∠CBD的度数.
5. D
考点：多边形的对角线，正多边形的性质
解：A、五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形不一定是正五边形，故本选项说法错误，不符合题意；
B、正六边形各内角都相等，但各内角都相等的六边形不一定是正六边形，故本选项说法错误，不符合题意；
C、从n边形的一个顶点出发可以引（n－3）条对角线，本选项说法错误，不符合题意；
D、n边形共有 n(n-3)2 条对角线，故本选项说法正确，符合题意.
故答案为：D.
分析：根据正多边形的定义即可判断A、B两项，根据多边形对角线的性质和条数公式即可判断C、D两项，进而可得答案.
6. D
考点：多边形内角与外角，正多边形的性质
解：设所求正n边形边数为n，?则 144°?n=(n-2)?180° ，
解得 n=10 ，
故答案为：D.
分析：利用多边形的内角和定理建立方程计算得结论.
7. D
考点：解直角三角形，正多边形的性质
解：设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距
∵ ∠AOB=360°6=60°,OA=OB
∴△OAB是正三角形.
∴AO=AB=2a,∠OAB=60° ?
∵OC＝OA?sin∠OAB＝ 2a·32=3a ，
∴S△OAB＝ 12 AB?OC＝ 12×2a×3a=3a2 ，
∴正六边形的面积为 6×3a2=63a2 .
故答案为：：D.
分析：由题意画出图形，设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，由正多边形的性质可得△OAB是正三角形，解直角三角形OAC可求得OC的长，然后根据S正六边形=6×S△AOB可求解.
8. A
考点：等腰三角形的性质，正多边形的性质
解：∵正五边形ABCDE和正方形ABFG
∴∠EAB=∠E=5-2×180°5=108° ， ∠GAB=90°，EA=ED，
∴∠EAD=12180°-108°=36°
∴∠BAD=∠EAB-∠EAD=108°-36°=72°，
∴∠GAD=∠GAB-∠BAD=90°-72°=18°.
故答案为：A.
分析：正多边形的内角和定理求出∠EAB，EA=ED，∠GAB的度数，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，可求出∠EAD，∠BAD的度数；然后根据∠GAD=∠GAB-∠BAD，可求出∠GAD的度数。
9. A
考点：三角形的外角性质，正多边形的性质
解：正十边形的每个内角的度数为 (10-2)×180°10=144° ，
则 ∠BAE=12×[(5-2)×180°-144°×3]=54° ，
∠ABE=12×[(6-2)×180°-144°×4]=72° ，
由三角形的外角性质得： ∠AED=∠BAE+∠ABE=126° ，
故答案为：A.
分析：根据正十边形的性质求出各内角的度数，再根据正五边形及正六边形的内角和公式分别求出∠BAE、∠ABE的度数，最后利用三角形外角的性质进行解答即可.
10. D
考点：三角形的外接圆与外心，正多边形的性质
解：因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O到A，B，C，D，E的距离中，只有OA=OC=OD.
故答案为：D.
分析：根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，可以依次判断.
二、填空题
11. 8
考点：多边形内角与外角，正多边形的性质
解：设多边形的外角是x，则内角是3x.
则 x+3x=180° ，
解得 x=45° .
∴n=36045=8 .
故答案为8.
分析：本题考查了正多边形的外角与内角的知识，设外角为x，则其内角为3x ， 然后利用正多边形的内角与外角互补列出方程求得x的值，然后根据多边形的外角和为 360° 求边数即可.
12. 30°
考点：三角形内角和定理，等腰三角形的性质，正多边形的性质
解：多边形的每个外角相等，且其和为 360?
据此可得多边形的边数为： 36040=9
∴ ∠AOD=3×360?9=120?
∵OA=OD
∴ ∠OAD=∠ODA=180?-∠AOD2=180?-120?2=30?
故答案为：30°．
分析：利用正多边形的边数=360°÷一个外角的度数，可求出此多边形的边数，再求出∠AOD的度数，再利用等边对等角及三角形的内角和定理求出∠OAD的度数。
13. 65π +1
考点：弧长的计算，正多边形的性质
解：∵五边形ABCDE为正五边形，AB=1，∴AB=BC=CD=DE=EA=1，∠A=∠D=108°，∴ BE? = CE? = 108180 ?πAB= 35π ，∴C阴影=?BE? +?CE? +BC= 65π +1.
故答案为： 65π +1.
分析：观察图形可知，阴影部分的周长=弧BE+弧CE+BC，根据弧长公式l=nπR180可求解.
14. 22
考点：圆内接正多边形
解：如图所示，
∵OC=2，
∴OD=2×sin30°=1；
如图所示，
∵OC=2，
∴OD=2×sin45°= 2 ；
如图所示，
∵OA=2，
∴OD=2×cos30°＝ 3 ，
则该三角形的三边分别为：, 2 , 3 ，
∵12+( 2 )2=( 3 )2 ，
∴该三角形是直角边，
∴该三角形的面积是： 12 ×1× 2 = 22 .
故答案为 22 .
分析：由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，再由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
15. 10π
考点：圆内接正多边形，弧长的计算
解：连接OD，OC.
∵∠DOC＝60°，OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，
∴OD＝OC＝DC＝ 23 （cm），
∵OB⊥CD，
∴BC＝BD＝ 3 （cm），
∴OB＝ 3 BC＝3（cm），
∵AB＝17cm，
∴OA＝OB+AB＝20（cm），
∴点A在该过程中所经过的路径长＝ 90?π?20180 ＝10π（cm），
故答案为：10π.
分析：利用正六边形的性质求出OB的长度，进而得到OA的长度，根据弧长公式进行计算即可.
三、解答题
16. （1）60°；45°；36°；30°；180°n
（2）存在一个正 n 边形，使其中的 ∠α=20°
理由是：根据题意得： (180n)°=20° ，解得： n=9 ，
即当多边形是正九边形，能使其中的 ∠α=20° ；
（3）不存在，理由如下：
假设存在正 n 边形使得 ∠α=21° ，得 ∠α=21°=(180n)° ，
解得： n=847 ，与 n 是正整数矛盾，
所以不存在正 n 边形使得 ∠α=21° .
考点：多边形内角与外角，圆内接正多边形
解：(1)填表如下：
正多边形的边数
3
4
5
6
……
n
∠α 的度数
60°
45°
36°
30°
……
(180n)°
60° ， 45° ， 36° ， 30° ， 180°n ；(可以观察归纳出来，也可以计算出来).
分析：（1）首先根据多边形的内角公式：(n-2)×180°，将n＝3、4、5、6、8、12代入公式分别计算出各多边形的内角和；然后再根据多边形的外角和为360°，即可得到各多边形的内角和，进而完成表格.（2）依据题意得∠α=20°= 180°n ，即可求出n的值。（3）依据题意∠α=21°= 180°n ，求出n的值是否为正整数即可.
17. 解：如图1，连接OB、OC，过O作OD⊥AB于D，
∵⊙O是正三角形ABC的外接圆，
∴∠AOB= 360°3 =120°，
∵OA=OB，
∴∠AOD=∠BOD=60°，
在Rt△ADO中，AO=R，AD=R×sin60°= 32 R，OD=Rcos60°= 12 R，
∵OD⊥AB，
∴AB=2AD= 3 R，
∴正△ABC的周长是3AB=3 3 R；面积是3× 12 AB×OD=3× 12 × 3 R× 12 R= 34 R2；
如图2，连接OA、OB、OD，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴∠COD= 360°4 =90°，
∵OD=OC=R，由勾股定理得；CD= R2+R2 = 2 R，
∴正方形ABCD的周长为4× 2 R=4 2 R，面积为 2 R× 2 R=2R2 ．
考点：圆内接正多边形，解直角三角形
分析： 如图1，连接OB、OC，过O作OD⊥AB于D， 利用正多边形和圆的性质，可得出∠AOD=60°，由OA=R，利用解直角三角形分别求出AD、OD，即可求出AB的长，继而可求出△ABC的周长，再由△ABC的面积=3×△AOB的面积，即可求解；如图2， 连接OA、OB、OD，利用正方形的性质，可知∠COD=90°，OC=OD=R，利用勾股定理求出CD，然后求出正方形ABCD的周长和面积。
?18. （1）解：设AO的延长线与圆交于点D，
根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即OB=AB，故在图中找到AO的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F；同理：在图中找到OD的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，如图①，正六边形 ABCDEF 即为所求．
（2）解：圆的内接八边形的中心角为360°÷8=45°，而正方形的对角线与边的夹角也为45°
∴在如②图所示的正方形OMNP中，连接对角线ON并延长，交圆于点B，此时∠AON=45°；∵∠NOP=45°，
∴OP的延长线与圆的交点即为点C
同理，即可确定点D、E、F、G、H的位置，顺次连接，
如图②，正八边形 ABCDEFGH 即为所求．
考点：正方形的性质，圆内接正多边形，正多边形的性质
分析：（1）设AO的延长线与圆交于点D，根据正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，根据垂直平分线的性质即可确定其它的顶点；（2）先求出内接八边形的中心角，然后根据正方形的性质即可找到各个顶点．
19. （1）解：相等
（2）解：线段 CD 与 AD' 的大小关系没有改变，理由如下：
∵△ABD、△BCD’是等边三角形，
∴AB=BD,BD’=BC, ∠ABD=∠CBD'=60°
∵ ∠ABD'=∠ABC+∠CBD' , ∠DBC=∠ABC+∠ABD
∴ ∠ABD'=∠DBC
∴△ABD’≌△DBC（SAS）
∴ CD = AD'
（3）解：在如图3和图4．判断线段 CD 与 AD' 的大小关系为相等，理由如下：
∵四边形ABDE、四边形BCD’E’是正方形，
∴AB=BD,BD’=BC, ∠ABD=∠CBD'=90°
∵ ∠ABD'=∠ABD+∠DBD' , ∠DBC=∠D'BC+∠DBD'
∴ ∠ABD'=∠DBC
∴△ABD’≌△DBC（SAS）
∴ CD = AD'
故线段 CD 与 AD' 的大小关系为相等；
（4）能推广到任意正多边形
（5）相等；△ABD’≌△DBC
（6）解：如图，连接GD’，
∵六边形ABDEFG、六边形ACG’F’E’ D’是正方形，
∴AB=AG,AD’=AC, ∠GAB=∠CAD'=120°
∵ ∠GAD'=∠GAB-∠BAD' , ∠BAC=∠D'AC-∠BAD'
∴ ∠GAD'=∠BAC
∴△GAD’≌△BAC（SAS）
故答案为△GAD’≌△BAC．
考点：三角形全等及其性质，正多边形的性质
解：（1）∵△ABD、△BCD’是等边三角形，
∴AB=BD,BD’=BC, ∠ABD=∠CBD'=60°
∵ ∠ABD'=∠ABD+∠DBD' , ∠DBC=∠D'BC+∠DBD'
∴ ∠ABD'=∠DBC
∴△ABD’≌△DBC（SAS）
∴ CD = AD'
故答案为：相等；（4）根据题意及图形的特点同理可得△ABD’≌△DBC，则 CD = AD'
故线段 CD 与 AD' 的大小关系为相等，能推广到任意正多边形；（5）∵五边形ABDEF、五边形BCF’E’ D’是正方形，
∴AB=BD,BD’=BC, ∠ABD=∠CBD'=108°
∵ ∠ABD'=∠ABD+∠DBD' , ∠DBC=∠D'BC+∠DBD'
∴ ∠ABD'=∠DBC
∴△ABD’≌△DBC（SAS）
∴ CD = AD'
故答案为：相等；△ABD’≌△DBC；
分析：（1）根据正三角形的性质证明△ABD’≌△DBC，即可求解；（2）同理证明△ABD’≌△DBC，即可求解；（3）根据正方形的性质同理证明△ABD’≌△DBC，即可求解；（4）根据题意及图形的特点可知这些结论能否推广到任意正多边形；（5）根据正五边形的性质同理证明△ABD’≌△DBC，即可求解；（6）连接GD’，证明△ABC≌△AGD’即可求解．
、
一、单选题
1.下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的个数是（?? ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
2.在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，顺次连接各分点得到的多边形是（ ）
A.?正三角形???????????????????????????B.?正四边形???????????????????????????C.?正五边形???????????????????????????D.?正六边形
3.已知一个正多边形的每个内角是 150? ，则这个正多边形是（?? ）
A.?正八边形?????????????????????????B.?正十边形?????????????????????????C.?正十二边形?????????????????????????D.?正十四边形
4.如图，正六边形ABCDEF内接于于⊙O,连接BD，则∠CBD的度数是（?? ）
A.?30°???????????????????????????????????????B.?45°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?90°
5.下列说法正确的是（?? ）
A.?五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形是正五边形
B.?正六边形各内角都相等，所以各内角都相等的六边形是正六边形
C.?从n边形的一个顶点出发可以引（n-2）条对角线
D.?n边形共有 n(n-3)2 条对角线
6.若一个正多边形的一个内角为 144? ，则这个图形为正（?? ）边形.
A.?八?????????????????????????????????????????B.?九?????????????????????????????????????????C.?七?????????????????????????????????????????D.?十
7.正六边形的边长为 2a ，则它的面积为（?? ）
A.?3a2?????????????????????????????????B.?323a2?????????????????????????????????C.?33a2?????????????????????????????????D.?63a2
8.把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG，按照如图所示的方式叠合在一起，连结AD，则∠DAG＝（?? ）
A.?18°???????????????????????????????????????B.?20°???????????????????????????????????????C.?28°???????????????????????????????????????D.?30°
9.如图，连接正十边形的对角线 AC 与 BD 交于点 E，则∠AED 的度数是（?? ）
A.?126°????????????????????????????????????B.?116°????????????????????????????????????C.?120°????????????????????????????????????D.?110°
10.10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A，B，C，D，E，O均是正六边形的顶点.则点O是下列哪个三角形的外心（?? ）.
A.??? △AED???????????????????????????B.?△ABD???????????????????????????C.?△BCD???????????????????????????D.?△ACD
二、填空题
11.在正n边形中，若一个内角等于一个外角的3倍，则边数n的值是________.
12.如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则 ∠OAD= ________．
13.如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画??，?若 AB=1 ?，则阴影部分图形的周长为________ ( ?结果保留 π) ?.
14.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是________．
15.如图，边长为2 3 cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB＝17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为________cm.
三、解答题
16.如图，观察每个正多边形中 ∠α 的变化情况，解答下列问题：
……
（1）将下面的表格补充完整：
正多边形的边数
3
4
5
6
……
n
∠α 的度数
________
________
________
________
……
________
（2）根据规律，是否存在一个正 n 边形，使其中的 ∠α=20° ？若存在，写出 n 的值；若不存在，请说明理由.
（3）根据规律，是否存在一个正 n 边形，使其中的 ∠α=21° ？若存在，写出 n 的值；若不存在，请说明理由.
17.如图，分别求出半径为R的圆内接正三角形圆内接正方形的周长和面积．
18.如图，在网格纸中，O、A都是格点，以O为圆心， OA 为半径作圆，用无刻度的直尺完成以下画图：（不写画法）
（1）在圆①中画圆O的一个内接正六边形 ABCDEF ；
（2）在图②中画圆O的一个内接正八边形 ABCDEFGH .
19.（解决问题）已知A，B，C是同一平面上的三个点，以线段 AB ， BC 为边，分别作正三角形 ABD 和正三角形 BCD' ，连接 CD ， AD'
（1）如图1，当点A，B，C在同一直线上时，线段 CD 与 AD' 的大小关系是________；
（2）如图2，当A，B，C为三角形的顶点时（点A，B， D' 不在同一条直线上），判断线段 CD 与 AD' 的大小关系是否发生改变，并说明理由；
（3）（类比猜想）
已知A，B，C是同一平面上的三个点，以线段 AB ， BC 为边，分别作正方形，连接 CD ， AD' ，如图3和图4所示．判断线段 CD 与 AD' 的大小关系，并在图4（点A，B， D' 不在同一条直线上）中证明你的判断；
?
（4）（推广应用）
上面的这些结论能否推广到任意正多边形（不必证明）？
（5）如图5， CD 与 AD' 的大小关系是________，并写出它们分别在哪两个全等三角形中________；
（6）请在图6中连接图中两个顶点，构造处一组全等三角形，并写出这两个全等的三角形．
答案解析部分
一、单选题
1. B
考点：轴对称图形，中心对称及中心对称图形
解：第二个图形、第四个图形既是中心对称图形又是轴对称图形，共2个．
故答案为：B．
分析：根据中心对称图形以及轴对称图形的含义，判断得到答案即可。
2. D
考点：正多边形的性质
解：由题意这个正n边形的中心角=60°，
∴n= 360°60° =6
∴这个多边形是正六边形，
故答案为：D．
分析：求出正多边形的中心角即可解决问题．
3. C
考点：多边形内角与外角，正多边形的性质
解：∵一个正多边形的每个内角为150°，
∴这个正多边形的每个外角=180°-150°=30°，
∴这个正多边形的边数= 360°30° ?=12.
故答案为：C.
分析：根据多边形的一个内角和它相邻的外角互补可求得一个外角的度数，再根据多边形的外角和等于360°和正多边形的各个外角都相等可求解.
4. A
考点：圆内接正多边形
解：∵ 正六边形ABCDEF ，
∴∠BCD=180°-（360°÷6）=120°，
∵CB=CD，
∴∠CBD=180°-120°2=30°；
故答案为：A.
分析：先根据正多边形的外角和求出这个正六边形的一个内角的度数，再结合等腰三角形的性质，利用三角形的内角和定理即可求出∠CBD的度数.
5. D
考点：多边形的对角线，正多边形的性质
解：A、五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形不一定是正五边形，故本选项说法错误，不符合题意；
B、正六边形各内角都相等，但各内角都相等的六边形不一定是正六边形，故本选项说法错误，不符合题意；
C、从n边形的一个顶点出发可以引（n－3）条对角线，本选项说法错误，不符合题意；
D、n边形共有 n(n-3)2 条对角线，故本选项说法正确，符合题意.
故答案为：D.
分析：根据正多边形的定义即可判断A、B两项，根据多边形对角线的性质和条数公式即可判断C、D两项，进而可得答案.
6. D
考点：多边形内角与外角，正多边形的性质
解：设所求正n边形边数为n，?则 144°?n=(n-2)?180° ，
解得 n=10 ，
故答案为：D.
分析：利用多边形的内角和定理建立方程计算得结论.
7. D
考点：解直角三角形，正多边形的性质
解：设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距
∵ ∠AOB=360°6=60°,OA=OB
∴△OAB是正三角形.
∴AO=AB=2a,∠OAB=60° ?
∵OC＝OA?sin∠OAB＝ 2a·32=3a ，
∴S△OAB＝ 12 AB?OC＝ 12×2a×3a=3a2 ，
∴正六边形的面积为 6×3a2=63a2 .
故答案为：：D.
分析：由题意画出图形，设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，由正多边形的性质可得△OAB是正三角形，解直角三角形OAC可求得OC的长，然后根据S正六边形=6×S△AOB可求解.
8. A
考点：等腰三角形的性质，正多边形的性质
解：∵正五边形ABCDE和正方形ABFG
∴∠EAB=∠E=5-2×180°5=108° ， ∠GAB=90°，EA=ED，
∴∠EAD=12180°-108°=36°
∴∠BAD=∠EAB-∠EAD=108°-36°=72°，
∴∠GAD=∠GAB-∠BAD=90°-72°=18°.
故答案为：A.
分析：正多边形的内角和定理求出∠EAB，EA=ED，∠GAB的度数，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，可求出∠EAD，∠BAD的度数；然后根据∠GAD=∠GAB-∠BAD，可求出∠GAD的度数。
9. A
考点：三角形的外角性质，正多边形的性质
解：正十边形的每个内角的度数为 (10-2)×180°10=144° ，
则 ∠BAE=12×[(5-2)×180°-144°×3]=54° ，
∠ABE=12×[(6-2)×180°-144°×4]=72° ，
由三角形的外角性质得： ∠AED=∠BAE+∠ABE=126° ，
故答案为：A.
分析：根据正十边形的性质求出各内角的度数，再根据正五边形及正六边形的内角和公式分别求出∠BAE、∠ABE的度数，最后利用三角形外角的性质进行解答即可.
10. D
考点：三角形的外接圆与外心，正多边形的性质
解：因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O到A，B，C，D，E的距离中，只有OA=OC=OD.
故答案为：D.
分析：根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，可以依次判断.
二、填空题
11. 8
考点：多边形内角与外角，正多边形的性质
解：设多边形的外角是x，则内角是3x.
则 x+3x=180° ，
解得 x=45° .
∴n=36045=8 .
故答案为8.
分析：本题考查了正多边形的外角与内角的知识，设外角为x，则其内角为3x ， 然后利用正多边形的内角与外角互补列出方程求得x的值，然后根据多边形的外角和为 360° 求边数即可.
12. 30°
考点：三角形内角和定理，等腰三角形的性质，正多边形的性质
解：多边形的每个外角相等，且其和为 360?
据此可得多边形的边数为： 36040=9
∴ ∠AOD=3×360?9=120?
∵OA=OD
∴ ∠OAD=∠ODA=180?-∠AOD2=180?-120?2=30?
故答案为：30°．
分析：利用正多边形的边数=360°÷一个外角的度数，可求出此多边形的边数，再求出∠AOD的度数，再利用等边对等角及三角形的内角和定理求出∠OAD的度数。
13. 65π +1
考点：弧长的计算，正多边形的性质
解：∵五边形ABCDE为正五边形，AB=1，∴AB=BC=CD=DE=EA=1，∠A=∠D=108°，∴ BE? = CE? = 108180 ?πAB= 35π ，∴C阴影=?BE? +?CE? +BC= 65π +1.
故答案为： 65π +1.
分析：观察图形可知，阴影部分的周长=弧BE+弧CE+BC，根据弧长公式l=nπR180可求解.
14. 22
考点：圆内接正多边形
解：如图所示，
∵OC=2，
∴OD=2×sin30°=1；
如图所示，
∵OC=2，
∴OD=2×sin45°= 2 ；
如图所示，
∵OA=2，
∴OD=2×cos30°＝ 3 ，
则该三角形的三边分别为：, 2 , 3 ，
∵12+( 2 )2=( 3 )2 ，
∴该三角形是直角边，
∴该三角形的面积是： 12 ×1× 2 = 22 .
故答案为 22 .
分析：由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，再由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
15. 10π
考点：圆内接正多边形，弧长的计算
解：连接OD，OC.
∵∠DOC＝60°，OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，
∴OD＝OC＝DC＝ 23 （cm），
∵OB⊥CD，
∴BC＝BD＝ 3 （cm），
∴OB＝ 3 BC＝3（cm），
∵AB＝17cm，
∴OA＝OB+AB＝20（cm），
∴点A在该过程中所经过的路径长＝ 90?π?20180 ＝10π（cm），
故答案为：10π.
分析：利用正六边形的性质求出OB的长度，进而得到OA的长度，根据弧长公式进行计算即可.
三、解答题
16. （1）60°；45°；36°；30°；180°n
（2）存在一个正 n 边形，使其中的 ∠α=20°
理由是：根据题意得： (180n)°=20° ，解得： n=9 ，
即当多边形是正九边形，能使其中的 ∠α=20° ；
（3）不存在，理由如下：
假设存在正 n 边形使得 ∠α=21° ，得 ∠α=21°=(180n)° ，
解得： n=847 ，与 n 是正整数矛盾，
所以不存在正 n 边形使得 ∠α=21° .
考点：多边形内角与外角，圆内接正多边形
解：(1)填表如下：
正多边形的边数
3
4
5
6
……
n
∠α 的度数
60°
45°
36°
30°
……
(180n)°
60° ， 45° ， 36° ， 30° ， 180°n ；(可以观察归纳出来，也可以计算出来).
分析：（1）首先根据多边形的内角公式：(n-2)×180°，将n＝3、4、5、6、8、12代入公式分别计算出各多边形的内角和；然后再根据多边形的外角和为360°，即可得到各多边形的内角和，进而完成表格.（2）依据题意得∠α=20°= 180°n ，即可求出n的值。（3）依据题意∠α=21°= 180°n ，求出n的值是否为正整数即可.
17. 解：如图1，连接OB、OC，过O作OD⊥AB于D，
∵⊙O是正三角形ABC的外接圆，
∴∠AOB= 360°3 =120°，
∵OA=OB，
∴∠AOD=∠BOD=60°，
在Rt△ADO中，AO=R，AD=R×sin60°= 32 R，OD=Rcos60°= 12 R，
∵OD⊥AB，
∴AB=2AD= 3 R，
∴正△ABC的周长是3AB=3 3 R；面积是3× 12 AB×OD=3× 12 × 3 R× 12 R= 34 R2；
如图2，连接OA、OB、OD，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴∠COD= 360°4 =90°，
∵OD=OC=R，由勾股定理得；CD= R2+R2 = 2 R，
∴正方形ABCD的周长为4× 2 R=4 2 R，面积为 2 R× 2 R=2R2 ．
考点：圆内接正多边形，解直角三角形
分析： 如图1，连接OB、OC，过O作OD⊥AB于D， 利用正多边形和圆的性质，可得出∠AOD=60°，由OA=R，利用解直角三角形分别求出AD、OD，即可求出AB的长，继而可求出△ABC的周长，再由△ABC的面积=3×△AOB的面积，即可求解；如图2， 连接OA、OB、OD，利用正方形的性质，可知∠COD=90°，OC=OD=R，利用勾股定理求出CD，然后求出正方形ABCD的周长和面积。
?18. （1）解：设AO的延长线与圆交于点D，
根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即OB=AB，故在图中找到AO的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F；同理：在图中找到OD的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，如图①，正六边形 ABCDEF 即为所求．
（2）解：圆的内接八边形的中心角为360°÷8=45°，而正方形的对角线与边的夹角也为45°
∴在如②图所示的正方形OMNP中，连接对角线ON并延长，交圆于点B，此时∠AON=45°；∵∠NOP=45°，
∴OP的延长线与圆的交点即为点C
同理，即可确定点D、E、F、G、H的位置，顺次连接，
如图②，正八边形 ABCDEFGH 即为所求．
考点：正方形的性质，圆内接正多边形，正多边形的性质
分析：（1）设AO的延长线与圆交于点D，根据正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，根据垂直平分线的性质即可确定其它的顶点；（2）先求出内接八边形的中心角，然后根据正方形的性质即可找到各个顶点．
19. （1）解：相等
（2）解：线段 CD 与 AD' 的大小关系没有改变，理由如下：
∵△ABD、△BCD’是等边三角形，
∴AB=BD,BD’=BC, ∠ABD=∠CBD'=60°
∵ ∠ABD'=∠ABC+∠CBD' , ∠DBC=∠ABC+∠ABD
∴ ∠ABD'=∠DBC
∴△ABD’≌△DBC（SAS）
∴ CD = AD'
（3）解：在如图3和图4．判断线段 CD 与 AD' 的大小关系为相等，理由如下：
∵四边形ABDE、四边形BCD’E’是正方形，
∴AB=BD,BD’=BC, ∠ABD=∠CBD'=90°
∵ ∠ABD'=∠ABD+∠DBD' , ∠DBC=∠D'BC+∠DBD'
∴ ∠ABD'=∠DBC
∴△ABD’≌△DBC（SAS）
∴ CD = AD'
故线段 CD 与 AD' 的大小关系为相等；
（4）能推广到任意正多边形
（5）相等；△ABD’≌△DBC
（6）解：如图，连接GD’，
∵六边形ABDEFG、六边形ACG’F’E’ D’是正方形，
∴AB=AG,AD’=AC, ∠GAB=∠CAD'=120°
∵ ∠GAD'=∠GAB-∠BAD' , ∠BAC=∠D'AC-∠BAD'
∴ ∠GAD'=∠BAC
∴△GAD’≌△BAC（SAS）
故答案为△GAD’≌△BAC．
考点：三角形全等及其性质，正多边形的性质
解：（1）∵△ABD、△BCD’是等边三角形，
∴AB=BD,BD’=BC, ∠ABD=∠CBD'=60°
∵ ∠ABD'=∠ABD+∠DBD' , ∠DBC=∠D'BC+∠DBD'
∴ ∠ABD'=∠DBC
∴△ABD’≌△DBC（SAS）
∴ CD = AD'
故答案为：相等；（4）根据题意及图形的特点同理可得△ABD’≌△DBC，则 CD = AD'
故线段 CD 与 AD' 的大小关系为相等，能推广到任意正多边形；（5）∵五边形ABDEF、五边形BCF’E’ D’是正方形，
∴AB=BD,BD’=BC, ∠ABD=∠CBD'=108°
∵ ∠ABD'=∠ABD+∠DBD' , ∠DBC=∠D'BC+∠DBD'
∴ ∠ABD'=∠DBC
∴△ABD’≌△DBC（SAS）
∴ CD = AD'
故答案为：相等；△ABD’≌△DBC；
分析：（1）根据正三角形的性质证明△ABD’≌△DBC，即可求解；（2）同理证明△ABD’≌△DBC，即可求解；（3）根据正方形的性质同理证明△ABD’≌△DBC，即可求解；（4）根据题意及图形的特点可知这些结论能否推广到任意正多边形；（5）根据正五边形的性质同理证明△ABD’≌△DBC，即可求解；（6）连接GD’，证明△ABC≌△AGD’即可求解．
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