第16章
分式A卷
考试时间：90分钟；总分：120分
一、单选题（将唯一正确答案的代号填在题后括号内，每题3分，共30分）
1．
2018年4月18日，被誉为“中国天眼”的望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证．新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一，将0.00519用科学记数法表示应为( )
A．
B．
C．
D．
2．下列代数式中，是分式的是（
）
A．
B．
C．180（n﹣2）
D．
3．下列变形正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．化简的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
5．下列运算结果正确的是( )
A．2a﹣3a=a
B．(a3)3=a6
C．|2﹣3|=1
D．2﹣1=﹣2
6．计算的结果为（
）
A．
B．
C．
D．
7．若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（
）
A．a≥1
B．a1
C．a≥1且a≠4
D．a1且a≠4
8．把分式中的x，y都扩大2倍，则分式的值（
）．
A．不变
B．扩大2倍
C．扩大4倍
D．缩小2倍
9．已知，，则的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
10．若关于x的不等式组
恰有三个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
二、填空题（将正确答案填在题中横线上，每题3分，共24分）
11．将0.0000000108用科学记数法表示为__________．
12．对分式、、进行通分，确定的最简公分母应是_____．
13．计算：___________.
14．计算：__________．
15．分式方程的解是____________
16．计算：______．
17．已知，，，，，
（即当为大于1的奇数时，，当为大于1的偶数时，），按此规律，
________．
18．若数a使关于x的不等式组，有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是_____．
三、解答题（本题共有8小题，共66分）
19．(本题6分)若分式的值为零，求x的值.
20．(本题6分)计算：
．
21．(本题6分)已知，试说明在右边代数式有意义的条件下，不论x为何值，y的值不变．
22．(本题8分)先化简，再求值：，其中
23.
(本题8分)为改善学校教学设施，某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔记本电脑和台式电脑共120台，购买笔记本电脑用了7.2万元，购买台式电脑用了24万元，已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多少？
24.
(本题10分)阅读下面的材料：
把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成“部分分式”.
例：将分式表示成部分分式．
解：＝＋，将等式右边通分，得＝.
根据题意，得解得所以.
请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题：
将分式表示成部分分式．
25．(本题10分)甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．
（1）甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？
（2）设先由甲队施工天，再由乙队施工天，刚好完成筑路任务，求与之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，若每天需付给甲队的筑路费用为万元，需付给乙队的筑路费用为万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工费用最少，并求出最少费用．
26．(本题12分)在防疫新冠状病毒期间，市民对医用口罩的需求越来越大.某药店第一次用2000元购进医用口罩若干个，第二次又用2000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一次进价的1.25倍，购进的数量比第一次少200个.
（1）第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为多少个？
（2）药店第一次购进口罩后，先以每个3元的价格出售，卖出了a个后购进第二批同款罩，由于进价提高了，药店将口罩的售价也提升至每个3.5元继续销售卖出了b个后，两次共收入4800元.因当地医院医疗物资紧缺，药店决定将剩余的口罩全部捐赠给医院.请问药店捐赠口罩至少有多少个？
第16章
分式A卷参考答案
1．B.
解析：解：0.00519＝5.19×10?3，故选：B．
2．B.
解析：A、不是分式，故本选项不符合题意；
B、是分式，故本选项符合题意；
C、不是分式，故本选项不符合题意；
D、不是分式，故本选项不符合题意；故选：B．
3．D.
解析：
A.
,
故原式错误.
B.,
故原式错误.
C.
,
故原式错误.
D.,
故原式正确.
故选：D.
4．B.
解析：，
故选：B．
5．C.
解析：A．2a﹣3a=﹣a，故原题计算错误；
B．(a3)3=a9，故原题计算错误；
C．|2﹣3|=1，故原题计算正确；
D．2﹣1，故原题计算错误．
故选：C．
6．D.
解析：==，故选D．
7．D.
解析：解分式方程得，
∵x为正数，∴，
∴且，解得且．故答案选D．
8．A.
解析：
，故选A．
9．A.
解析：，，
，
，
故选：A．
10．A.
解析：，
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x≥，
∵不等式组恰有三个整数解，∴-1＜≤0，解得，
解分式方程，得：，
由题意知，解得且，
则满足，且的所有整数a的值是2，
所有满足条件的整数a的值之和为2．
故选择：A．
11．.
解析：易知
，0.0000000108中1的前面有8个0，所以
，∴，故答案为：．
12．4a2b3.
解析：分式、、的最简公分母为4a2b3．故答案为：4a2b3．
13．.
解析：，故答案为：．
14．.
解析：原式==，故答案为
．
15．.
解析：，
，
解得：x=-6
经检验：x=-6是原方程的解．
故答案为：x=-6．
16．2.
解析：.
故答案为：2.
17．-(a+1).
解析：S1=，S2=-S1-1=--1=-，，
S4=-S3-1=，
=-(a+1)，
S6=-S5-1=(a+1)-1=a，
，…，
∴Sn的值每6个一循环．
∵2021=336×6+5，∴S2021=S5=-(a+1)．
故答案为：-(a+1)．
18．1.
解析：解不等式组，
由①得，x≤3；
由②得，x＞；
∵不等式组有且仅有四个整数解，
∴?1≤＜0，∴?4＜a≤3，
解分式方程，可得y＝（a＋2），
又∵分式方程有非负数解，∴y≥0，且y≠2，
即（a＋2）≥0，（a＋2）≠2，
解得a≥?2且a≠2，∴?2≤a≤3，且a≠2，
∴满足条件的整数a的值为?2，?1，0，1，3，
∴满足条件的整数a的值之和是1．
故答案为：1．
19．解：∵分式的值为零，
∴x2?9=0且x2?4x+3≠0，
解方程x2?9=0得x=3或?3，
当x=3时，x2?4x+3=0，
当x=?3时，x2?4x+3≠0，
∴x=?3.
20．解：原式＝?
＝．
21．解：
=2021，
∴在有意义的条件下，不论x为何值，y的值不变．
22．解：
=
=
当
=
原式=
．
23.
解：设台式电脑的单价是x元，则笔记本电脑的单价为1.5x元.
根据题意，得，解得x=2400，
经检验：x=2400是所列分式方程的解.
当x=2400时，1.5x=3600．
答：笔记本电脑的单价是3600元，台式电脑的单价为2400元．
24.
解：＝＋，将等式右边通分，得.
根据题意，得解得
所以＝＋.
25．解：（1）设甲队单独完成需要a天，则乙队单独完成需要(a-10)天，
由题意得：
，
经检验：a=30是原方程的根，则a-10=20.
∴甲队单独完成需要30天，则乙队单独完成需要20天．
（2）由题意得：
（3）设甲队安排天，则乙队安排天，
解得：
又总费用
所以，当m取最大值时，总费用最少，
∴m=12时，即甲乙都安排12天，总费用最少，
此时，总费用为3.6万元．
26．解：(1)设第一次购进医用口罩的数量为x个，
∴第二次购进医用口罩的数量为(x-200)个，
∴由题意可知：=1.25×，
解得：x=1000，∴x-200=800，
答：第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为1000和800个．
（2）由(1)可知两次购进口罩共1800个，
由题意可知：3a+3.5b=4800，∴a=1600-b，
∴1800-a-b=1800-(1600-b)-b=200+，
∵a≤1000，∴1600-b≤1000，∴b≥514，
∵a，b是整数，∴b是6的倍数，∴b的最小值是516，
∴1800-a-b≥286，
答：药店捐赠口罩至少有286个．第16章
分式B卷
考试时间：90分钟；总分：120分
一、单选题（将唯一正确答案的代号填在题后括号内，每题3分，共30分）
1．据测定，“新型冠状病毒”的直径约为125纳米，已知1纳米=米，则这种病毒的直径以米为单位，用科学记数法表示为（ ）
A．125×
B．1.25×
C．1.25×
D．1.25×
2．若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．根据分式的基本性质，分式可变形为（
）
A．
B．
C．
D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列算式正确的（
）
A．=1
B．=
C．=x+y
D．=
6．定义一种新的运算“
”：a?b=，如3?2=，则2?(-3)=（
）
A．?6
B．
C．8
D．
7．计算的结果是（
）
A．1
B．
C．
D．
8．2020年2月，某种口罩单价上涨3元，同样花费120元买这种口罩，涨价前可以比涨价后多买2个，设涨价后每个口罩x元，可列出的正确的方程是(
)．
A．
B．
C．
D．
9.
甲、乙两人都去同一家超市购买大米各两次，甲每次购买50千克的大米，乙每次购买50元的大米，这两人第一次购买大米时售价为每千克m元，第二次购买大米时售价为每千克n元（m≠n）.若规定谁两次购买大米的平均单价低，谁的购买方式就合算，则下列观点正确的是（
）
A．甲的购买方式合算
B．乙的购买方式合算
C．甲、乙的购买方式同样合算
D．不能判断谁的购买方式合算
10．关于x的分式方程＝3的解是正数，则负整数m的个数为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
二、填空题（将正确答案填在题中横线上，每题3分，共24分）
11．微电子技术的不断进步，使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为0.0000005平方毫米，用科学记数法表示为
平方毫米．
12．不改变分式的值，使分子、分母各项的系数都化为整数，则_________.
13．计算：
=_________________
14．在等式
中，M的值为____.
15．如果关于x的分式方程有增根，则m的值为_____．
16．计算：_______．
17．如果实数x、y满足方程组，求代数式（+2）÷_____．
18．分式方程的解为_________________．
三、解答题（本题共有8小题，共66分）
19．(本题6分)请从三个代数式、、中，任选两个构造一个分式，并化简该分式.
20．(本题8分)先化简，再求值：，其中是满足的整数．
21．(本题8分)化简：,
圆圆同学的解答如下：
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答.
22．(本题8分)甲、乙两同学从家到学校的距离之比是10︰7，甲同学的家与学校的距离为5400米，甲同学乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知公交车速度是乙同学骑自行车速度的2倍，甲乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到3分钟．
（1）求乙同学的家与学校的距离为多少米？
（2）求公交车的速度．
23．(本题8分)先化简，再求值：，其中x是|x|＜2的整数．
24.
(本题8分)解方程：①－＝1；②－＝1；③－＝1；④－＝1；…
（1）直接写出方程①②③④的解；
（2）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并直接写出它的解；
（3）解关于x的方程－＝1（a≠b），然后直接写出－＝1的解.
25．(本题10分)观察下列等式
，，，将以上三个等式两边分别相加得：．
（1）猜想并写出：=
；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①=
；
②=
；
（3）探究并计算：．
26．(本题10分)为全面改善公园环境，现招标建设某全长960米绿化带，A，B两个工程队的竞标，A队平均每天绿化长度是B队的2倍，若由一个工程队单独完成绿装化，B队比A队要多用6天．
（1）分别求出A，B两队平均每天绿化长度．
（2）若决定由两个工程队共同合作绿化，要求至多4天完成绿化任务，两队都按（1）中的工作效率绿化完2天时，现又多出180米需要绿化，为了不超过4天时限，两队决定从第3天开始，各自都提高工作效率，且A队平均每天绿化长度仍是B队的2倍，则B队提高工作效率后平均每天至少绿化多少米？
第16章
分式B卷参考答案
1．B.
解析：125nm=125×10-9m=1.25×10-7m．故选：B．
2．A.
解析：依题意得，x﹣1＝0，且x+1≠0，解得
x＝1．故选：A．
3．A.
解析：,
故选：A．
4．B.
解析：A选项，
，故A错误；
B选项，，故B正确；
C选项，，故C错误；
D选项，，故D错误.
故答案是：B.
5．A.
解析：A、==1，所以此选项正确；
B、=≠，所以此选项错误；
C、不能化简，是最简分式，所以此选项错误；
D、=≠，所以此选项错误；
故选：A．
6．D.
解析：由公式可得2?(-3)=
==，
故选D．
7．D.
解析：．故选D．
8．B.
解析：由题意可得，故选B．
9.
B
提示：因为两人第一次购买大米时售价为每千克m元，第二次购买大米时售价为每千克n元（m≠n），所以甲共花（50m＋50n）元，平均单价为（元）；乙共花50＋50＝100（元），平均单价为＝（元）.因为＞0，所以乙的购买方式合算.
10．B.
解析：，
2x＋m＝3（x﹣2），
2x﹣3x＝﹣m﹣6，
﹣x＝﹣m﹣6，
x＝m＋6，
∵关于x的分式方程的解是正数，
∴m＋6＞0，解得m＞﹣6，
∴满足条件的负整数m的值为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，
当m＝﹣4时，解得x＝2，不符合题意；
∴满足条件的负整数m的值为﹣5，﹣3，﹣2，﹣1共4个．
故选：B．
11．5×10?7.
解析：0.0000005＝5×10?7．故答案为：5×10?7．
12．.
解析：，
故答案为:
13．.
解析：，
故答案为：.
14．a.
解析：，所以M=a，故答案为：a.
15．－5.
解析：根据题意可知
，，故答案为：-5．
16．3.
解析：原式=4-1=3，故答案为：3．
17．1.
解析：原式==xy+2x+2y，
解方程组得：，
当x=3，y=﹣1时，原式=﹣3+6﹣2=1．故答案为：1．
18．.
解析：
∵，
∴
∴
，
解得x=-7.
故答案为：x=-7.
19．解：本题答案不唯一，如：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥.
20．解：
=
=
∵x是满足的整数．
∴x可以取0,1，又x=1时，分式无意义，∴x=0.
把x=0代入原式=0．
21．解：圆圆同学的解答不正确.
正确解答如下：
原式
.
22．解：（1）甲、乙两同学从家到学校的距离之比是，甲同学的家与学校的距离为米，
乙同学的家与学校的距离（米），
答：乙同学的家与学校的距离为米；
（2）设乙同学骑自行车的速度为x米/分，则公交车的速度为2x米/分．
依题意得：
，解得：，
经检验，x=360是方程的根．
，
答：公交车的速度为720米/分．
23．解：原式＝
=
=.
又∵x是|x|＜2的整数，∴x＝﹣1或0或1．
当x＝1时原式无意义．
∴当x＝﹣1时，原式＝=﹣1；
当x＝0时，原式＝=﹣．
24.
解：（1）①x＝0；②x＝0；③x＝0；④x＝0.
（2）－＝1，它的解为x＝0.
（3）去分母，得a－b＝x＋1.
移项、合并同类项，得x＝a－b－1.
又因为a≠b，所以x＋1≠0，故x＝a－b－1是该分式方程的解.
分式方程－＝1的解为x＝100－78－1，即x＝21.
25．解：（1）观察前三个实例，分母是两个连续数的积都是用积中分母的第一个数的倒数减去分母积中第二个数的倒数，为此得；
故答案为，
（2）①，
，
，
=；
②，
，
，
=；
（3），
＝，
＝，
＝，
．
26．解：（1）设B队平均每天绿化x米，则A队平均每天绿化2x米．
依题意，得：
，解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，∴2x＝160．
答：A队平均每天绿化160米，B队平均每天绿化80米．
（2）设B队提高工作效率后平均每天绿化y米，则A队提高工作效率后平均每天绿化2y米，
依题意，得：（160+80）×2+（2y+y）×（4﹣2）≥960+180，
解得：y≥110．
答：B队提高工作效率后平均每天至少绿化110米．
