2021年人教版八年级下册17.1《勾股定理》同步培优卷（Word版 含解析）

2021年人教版八年级下册17.1《勾股定理》同步培优卷
一．选择题
1．如图所示，点B，D在数轴上，OB＝3，OD＝BC＝1，∠OBC＝90°，以D为圆心，DC长为半径画弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的实数是（　　）
A． B．+1 C．﹣1 D．不能确定
2．如图，在Rt△ABC中，分别以三角形的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝9，S2＝16，则S3的值为（　　）
A．7 B．10 C．20 D．25
3．如图，在行距、列距都是1的的4×4方格网中，将任意连接两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能等于（　　）
A． B． C． D．
4．如图，OC平分∠AOB，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点若OM＝4，OP＝5，则PN的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知Rt△ABC中，∠C＝90°．若a+b＝14cm，c＝12cm，则Rt△ABC的面积是（　　）
A．13cm2 B．26cm2 C．48cm2 D．52cm2
6．直角三角形中，有两边的长分别为3和4，那么第三边的长的平方为（　　）
A．25 B．14 C．7 D．7或25
7．如图，甲、乙、丙三个直角三角形中，斜边最长的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．一样长
8．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，两直角边长及斜边上的高分别为a，b，h，则下列关系式成立的是（　　）
A． B．
C．h2＝ab D．h2＝a2+b2
二．填空题
9．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为（1，﹣3），那么点P到原点O的距离OP的长度为　 　．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝6，AD＝3，那么BD＝　 　．
11．如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝20，AH＝12，那么FG＝　 　．
12．已知点A（3，3），B（0，t），C（7，0），且AB＝AC，则t＝　 　．
13．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在AB边上，若△ACD为以AC为腰的等腰三角形，则DC的长为　 　．
14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度由A向B运动，设运动时间为t秒（t＞0）．在运动过程中，当t为　 　时，△BCP为等腰三角形．
三．解答题
15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，AB＝5，AD＝2．
（1）求CD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
16．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD∥AC，交∠ACB的平分线CD于点D，CD交BC于点E．
（1）求证：BC＝BD；
（2）若AC＝3，AB＝6，求CD的长．
17．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
18．三角板是我们学习数学的好帮手．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，若AC＝2，求CD的长．
19．如图，△ABC中，AC＝21，BC＝13，点D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）若点E是AB边上的动点，连接DE，求线段DE的最小值．
20．如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝8cm，CB＝6cm，D为动点，沿着C→A→B→C的路径运动（再次到达C点则停止运动），点D的运动速度为2cm/秒，设点D运动时间为t秒．
（1）当点D在AC上运动时，若DC＝BC，则t＝　 　；
（2）若点D与△ABC某一顶点的连线平分△ABC的周长，求t的值．
答案
一．选择题
1．解：由题意可得：BD＝4，BC＝1
则CD＝＝，
A点对应的实数为：﹣1，
选：C．
2．解：在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，
由正方形面积公式得S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，
∵S1＝9，S2＝16，
∴S3＝S1+S2＝9+16＝25．
选：D．
3．解：∵＝＝，可能是“格点线”的长度，选项A不符合题意；
∵＝＝，可能是“格点线”的长度，选项B不符合题意；
∵＝3，可能是“格点线”的长度，选项C不符合题意；
∵＝，不可能是“格点线”的长度，选项D符合题意；
选：D．
4．解：∵PM⊥OB于点M，OM＝4，OP＝5，
∴PM＝3，
当PN⊥OA时，PN的值最小，
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，
∴PM＝PN，
∵PM＝3，
∴PN的最小值为3．
选：B．
5．解：∵∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2＝144，
∴（a+b）2﹣2ab＝144，
∴196﹣2ab＝144，
∴ab＝26，
∴S△ABC＝ab＝13cm2．
选：A．
6．解：分两种情况：
①当3和4为两条直角边长时，
由勾股定理得：第三边长的平方＝斜边长的平方＝32+42＝25；
②当4为斜边长时，
第三边长的平方＝42﹣32＝7；
综上所述：第三边长的平方是7或25．
选：D．
7．解：由勾股定理可知甲、乙、丙三个直角三角形中，斜边的平方分别为：
甲：（2018+2019）2+20202；
乙：（2018+2020）2+20192；
丙：（2019+2020）2+20182．
∵（2018+2019）2+20202﹣[（2018+2020）2+20192]
＝40372+20202﹣40382﹣20192
＝（40372﹣40382）+（20202﹣20192）
＝（4037+4038）（4037﹣4038）+（2020+2019）（2020﹣2019）
＝﹣8075+4039
＝﹣4036＜0，
∴甲的斜边的小于乙的斜边；
∵（2018+2020）2+20192﹣[（2019+2020）2+20182]
＝40382+20192﹣40392﹣20182
＝（40382﹣40392）+（20192﹣20182）
＝（4038+4039）（4038﹣4039）+（2019+2018）（2019﹣2018）
＝﹣8077+4037
＝﹣4040
＜0，
∴乙的斜边的小于丙的斜边，
∴斜边最长的是丙．
选：C．
8．解：设斜边为c，根据勾股定理得出c＝，
∵ab＝ch，
∴ab＝?h，即a2b2＝a2h2+b2h2，
∴＝+，
即．
选：B．
二．填空题
9．解：∵点P的坐标为（1，﹣3），点O为坐标原点，
∴OP＝＝．
答：点P到原点O的距离OP的长度为．
答案为：．
10．解：在Rt△ACD中，CD＝＝＝3，
在Rt△BCD中，BC＝＝，
在Rt△ABC中，BC＝＝，
∴＝，
解得，BD＝9，
答案为：9．
11．解：∵△ABH≌△BCG，
∴BG＝AH＝12，
∵四边形EFGH都是正方形，
在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：BH＝．
∴FG＝GH＝BH﹣BG＝16﹣12＝4，
答案为：4．
12．解：依题意，得＝．
解得t＝7或t＝﹣1．
答案是：7或﹣1．
13．解：①当AC＝CD时，
∵AC＝6，
∴CD＝6时，△ACD是以AC为腰的等腰三角形；
②当AC＝AD′时，过点C作CE⊥AB于点E，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵?AC?BC＝?AB?CE，
∴EC＝
∴AE＝＝＝，
∴ED′＝AD′﹣AE＝6﹣＝，
∴CD′＝＝＝，
综上所述，CD的长为6或．
答案为：6或．
14．解：当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，可分三种情况：
①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图1，
∵PC＝PB，
∴∠B＝∠PCB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠PCB+∠ACP＝90°，∠B+∠A＝90°，
∴∠A＝∠ACP，
∴AP＝PC，
∴PB＝AB，即5﹣2t＝，
解得：t＝，
②PB＝BC，
即5﹣2t＝3，
解得：t＝1，
③PC＝BC，
如图3，过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝＝＝4（cm）．
∵S△ABC＝×AB×CD，
∴CD＝＝，
∴BD＝＝，
∵PC＝BC，CD⊥AB，
∴BD＝BP，
∴＝×（5﹣2t），
解得：t＝，
∴当t＝1或或时，△BCP为等腰三角形．
答案为：1或或．
三．解答题
15．解：（1）延长BA、CD交于点H，如图所示：
∵∠B＝∠ADC＝90°，∠C＝60°，
∴∠ADH＝90°，∠H＝30°，
∴HA＝2AD＝4，CH＝2BC，
∴DH＝＝＝2，BH＝HA+AB＝4+5＝9，
∵BH＝＝＝BC＝9，
∴BC＝3，
∴CH＝2BC＝6，
∴CD＝CH﹣HD＝6﹣2＝4；
（2）四边形ABCD的面积＝△BCH的面积﹣△ADH的面积＝×3×9﹣×2×2＝．
16．（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝×90°＝45°，
∵BD∥AC，
∴∠D＝∠ACD＝45°，
∴∠D＝∠BCD，
∴BC＝BD；
（2）解：在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，
∴BD＝3，
∵∠BCD＝∠D＝45°，
∴∠CBD＝90°，
∴CD＝＝＝3．
17．解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，
设BD＝x，则CD＝14﹣x，
由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，
∴152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解得：x＝9，
∴AD＝12，
∴S△ABC＝BC?AD＝×14×12＝84．
18．解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝4．
∴BC＝＝＝2，
∵AB∥CF，
∴∠BCM＝∠ABC＝30°，
∴BM＝BC＝，
∴CM＝＝3，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝，
∴CD＝CM﹣MD＝3﹣．
19．解：（1）∵AC＝21，AD＝16，
∴CD＝AC﹣AD＝5，
∵BD2+CD2＝122+52＝169＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥AC．
（2）当DE⊥AB时，DE最短，
∵AB＝＝20，
∵?AD?DB＝?AB?DE，
∴DE＝＝9.6，
∴线段DE使得最小值为9.6．
20．解：（1）∵DC＝BC＝6，
∴2t＝6，
解得：t＝＝3，
当点D在AC上运动时，若DC＝BC，则t＝3；
答案为：3；
（2）△ABC中，∠C＝90°，CA＝8，CB＝6，
∴AB＝＝10，
∴△ABC的周长＝6+8+10＝24，
①当点D在CA上运动时，如图1，BC+CD＝AB+AD，
即6+2t＝，
解得：t＝3；
②当点D在AB上运动时，如图2，AC+AD＝BD+BC，
即2t＝，
解得：t＝6；
③当点D在BC上运动时，如图3，AB+BD＝CD+AC，
即2t﹣8＝，
解得：t＝10；
综上所述，t的值是3或6或10．