2020-2021学年高中数学苏教版必修2单元测试卷 第一章 立体几何初步 Word版含解析

第一章 立体几何初步
1.在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源,已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形,要使整个广场都照明,光源悬挂的高度至少为( )
A.30米 B.20米 C.米 D.15米
2.如图,圆柱的底面半径为1,平面为圆柱的轴截面,从点开始,沿着圆柱的侧面拉一条绳子到点,若绳子的最短长度为,则该圆柱的侧面积为( )
A. B. C. D.
3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”,若某“阳马”的三视图如图所示(网格纸上小正方形的边长为1),则该“阳马”最长的棱长为(?? )
A.5 B. C. D.
4.如图，梯形是一平面图形ABCD的直观图(斜二测)，若，，，，则梯形的面积是( )
A.10 B.5 C. D.
5.在三棱锥的棱上分别取四点，如果，则点（ ）
A.一定在直线上　　　 B.一定在直线上
C.在直线或上　　　 D.不在直线上，也不在直线上
6.若为异面直线，直线,则与的位置关系是( )
A.相交 B.异面 C.平行 ?D. 异面或相交
7.已知的一个内角为，并且三边长构成公差为2的等差数列，则的周长为( )
A．15 B．18 C．21 D．24
8.三棱锥中,平面与平面的法向量分别为.若,则二面角的大小为( )
A. B. C.或 D.或
9.已知圆柱的上、下底面的中心分别为,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( )
A. B. C. D.
10.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽（cōng），周四丈八尺，高一丈一尺。问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺。问它的体积是（ ）？”（注：1丈=10尺，取）
A．704立方尺 B．2112立方尺 C．2115立方尺 D．2118立方尺
11.已知圆锥的顶点为,母线所成角的余弦值为.与圆锥底面所成角为45°.若的面积为,则该圆锥的侧面积为______________.
12.某空间几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积为1,则该几何体的所有面中最大面的面积为____________.
13.三棱柱中，平面平面，，是等腰直角三角形，，，则异面直线与所成角的余弦值为_______．
14.若圆锥的母线长为4,底面半径为,则圆锥的体积为______.
15.如图,在四棱台中,底面是菱形,平面
(1)若点M是的中点,求证:平面
(2)棱上是否存在一点E,使得二面角的余弦值为?若存在,求线段的长;若不存在,请说明理由.
答案以及解析
1.答案：A
解析：设正六边形广场为,光源悬挂的最低点为,则正六棱锥的底面边长为30米,高即所求,由题意可知为等腰直角三角形,米,所以正六棱锥的高为斜边的一半,即30米,故选A.
2.答案：A
解析：沿将圆柱的侧面展开,绳子的最短长度即侧面展开图中两点间的距离,连接,则,展开后的长度为.设圆柱的高为,则,即,得,所以圆柱的侧面积为.
3.答案：D
解析：由三视图知:几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,如图:
其中 平面,∴,,,∴,,.该几何体最长棱的棱长为.故选D.
4.答案：B
解析：如图，根据直观图画法的规则，直观图中，，原图中，从而得出，且，直观图中，， 原图中，，即四边形ABCD上底和下底边长分别为2，3，高为2，如图.故其面积.所以B选项是正确的.
5.答案：B
解析：如图所示，∵ 平面ABC，平面ACD，，∴平面ABC，平面ACD.又∵平面平面，，故选B.
6.答案：D
解析：若,这与是异面直线相矛盾;所以异面或相交
故选D
7.答案：A
解析：设中项为a则最短边为, 最长边为
则根据余弦定理
即
所以，或者（舍）
所以三角形的周长为
8.答案：C
解析：当二面角的大小为锐角时,其大小为;当二面角的大小为钝角时,其大小为.
9.答案：C
解析：设圆柱的底面半径为,高为,由题意得,所以,所以圆柱的表面积为.故选C.
10.答案：B
解析：设圆柱形城堡的底面半径为尺，高为尺，则尺，∴，
∴城堡的体积立方尺。
故选：B.
11.答案：
解析：如图所示,设在底面的射影为,连接.的面积为,.与底面所成的角为45°,底面周长圆锥的侧面积为.
12.答案：3
解析：由三视图可知,该几何体为如图所示的四棱锥,记为，其中平面,由该几何体的体积为1,得,解得,故,易得,
,,,故该几何体中最大面的面积为3 .
13.答案：
解析：因为，，所以，
又因为是等腰直角三角形，，，所以，
因为，又，平面平面
所以平面，所以．又，所以
根据题意可知异面直线与所成角为，
根据余弦定理得，
故答案为.
14.答案：
解析：因为圆锥的母线长为4,底面半径为,
所以圆锥的高为2,
所以圆锥的体积为.
故答案为：
15.答案：（1）证明:连接
由已知得且
所以四边形是平行四边形，所以
又因为平面平面
所以平面
（2）解:取中点Q，连接
因为是菱形，且
所以是正三角形，
所以即
又由于平面,
所以以所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，如图
则
假设点E存在，设点E的坐标为
所以
设平面的法向量,
则即可取
易知平面的法向量为
所以
解得
又由于二面角为锐角，由图可知，点E在线段上，
所以即