新人教A版高中数学必修第一册：1.1-1.3集合

授课主题：集合间的基本关系及运算
教学目标
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2.在具体情境中，了解空集的含义.3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算.
教学内容
一、集合的含义与表示1．集合的含义
把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．2．元素与集合的关系如果是集合A中的元素，则说属于集合A，记作A；若不是集合A中的元素，就说不属于集合A，记作A．3．集合中元素的三个特征
(1)确定性：给定集合A，对于某个对象，“A”或“A”这两者必居其一且仅居其一．(2)互异性：集合中的元素互不相同．(3)无序性：在一个给定的集合中，元素之间无先后次序之分．4．集合的表示
(1)把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法称为列举法．
(2)把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法称为描述法．常用形式是：{|}，竖线前面的叫做集合的代表元素，表示元素所具有的公共属性．
(3)用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn图．用Venn图、数轴上的区间及直角坐标平面中的图形等表示集合的方法称为图示法．5．常用数集的符号表示实数集正实数集有理数集整数集自然数集正整数集RR＋QZNN＋或N
6．有限集与无限集
含有有限个元素的集合叫有限集，含有无限个元素的集合叫无限集．二、集合间的基本关系1．子集自然语言如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，就是说这两个集合有包含关系，
称集合A为集合B的子集符号语言AB(或BA)图形语言
例如：A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2,3}，则A、B的关系是AB或BA．2．真子集自然语言如果集合AB，但存在元素B，且A，则称集合A是集合B的真子集符号语言AB(或BA)图形语言
例如：A＝{1,2},
B＝{1,2,3}，则A、B的关系是AB(或BA)．3．相等
若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B.例如：若A＝{0,1,2}，B＝{,1,2}，且A＝B，则＝0.4．空集
没有任何元素的集合叫空集，记为?.
例如：方程x2＋2x＋3＝0的实数解的集合为?．
问题：空集中没有元素，为什么还是集合？解析：产生这种想法的原因是没有了解建立空集这个概念的背景，其突破方法是通过实例来体会．例如方程的解能够组成集合，这个集合叫做方程的解集，对于＝0，x2＋4＝0等方程来说，它们的解集中没有元素，也就是说确实存在没有任何元素的集合，那么如何用数学符号来刻画没有任何元素的集合呢？为此引进了空集的概念，把不含任何元素的集合叫空集．由此看出，空集的概念是一个规定．三、集合的基本运算1．交集
由所有属于A又属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集，记作AB，(读作“A交B”)，即AB＝{x|xA，且xB}，用Venn图表示如下：
例如：{1,2,3,6}{1,2,5,10}＝{1,2}.
例如：设A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x＜3}，则AB＝{x|－2＜x＜3}2．并集
对于给定的两个集合A和B，把它们所有的元素并在一起所组成的集合，叫做A，B的并集；记作AB(读作“A并B”)，即AB＝{x|xA，或xB}．用Venn图表示如下：
例如：{1,2,3,6}{1,2,5,10}＝{1,2,3,5,6,10}.
例如：设A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，则AB＝{|－1＜＜3}.3．补集
若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作CUA，即CUA＝{x|xU，且xA}．用Venn图表示如下：
例如：若U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4,5}，则CUA＝{1,3}.例如：若U＝{x|x＞0}，A＝{x|0＜x≤3}，则CUA＝{|＞3}.题型一　集合中元素的特性
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例1　判断下列命题的正误：①高个子同学可组成集合(　)；②{1,2}＝{2,1}(　)
；③{1,2}＝{(1,2)}(　)；④0N(　)；⑤2{1,2}
(　)；⑥方程x(x－1)2＝0的解集为{0,1,1}(　)．解析：①错(不符合元素的确定性)．②对(集合元素是无序的)．③错[第一个集合有两个元素，都是数，一个是1，另一个是2；第二个集合是一个元素点(1,2)，即两集合不相等]．④对(元素与集合间关系)．⑤对(元素与集合间关系)．⑥错(不符合元素的互异性，应写为{0,1})．点评：判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，却能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
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巩
固　(1)选用适当的符号填空：A＝{x|2x－3<3x},
则有：－4______A，－2______A.(2)说出下列三个集合的含义：①{x|y＝x2}；②{y|y＝x2}；③{(x，y)|y＝x2}．答案：(1)
　(2)
①{x|y＝x2}表示满足y＝x2的x的取值范围；②{y|y＝x2}表示满足y＝x2的y的取值范围；③{(x，y)|y＝x2}表示抛物线y＝x2的图象的所有点构成的集合．题型二　元素与集合的关系
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例2　所给下列关系正确的个数是(　　)①－R；②Q；③0N＋；④|－3|N＋.A．1个
B．2个
C．3个
D．4个解析：－是实数，是无理数，∴①②正确．N＋表示正整数，∴③和④不正确．答案：B点评：①注意正确使用元素与集合关系的符号：“”与“”．元素只能写在前面，集合写在后面．②判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征，如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征．巩
固　下列说法正确的是(　　)A．若aN，bN，则a－bN
B．若xN＋，则xQC．若x≥0，则xN
D．若xZ，则xQ答案：B题型三　集合的表示法
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例3　分别用列举法和描述法表示方程x2－3x＋2＝0的解．解析：∵x2－3x＋2＝0的两解为x1＝1，x2＝2.∴列举法表示为：{1,2}；描述法表示为：{x|x2－3x＋2＝0}．点评：一个集合可以用不同的方法表示，需要根据题意选择恰当的方法，同时注意到列举法和描述法的适用范围．1．列举法是把集合中的元素一一列举出来，写在花括号里表示集合的方法，列举时要注意元素的不重不漏，不计次序，且元素与元素之间“，”隔开．2．用描述法表示集合时，常用的模式是{x|p(x)}，其中x代表集合中的元素，p(x)为集合中元素所具备的共同特征，要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确．3．用列举法或描述法表示集合时，要分清点集和数集．一般地，数集用用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序实数对来表示．
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巩
固　用列举法表示下列集合．
解析：(1)∵x＝|x|，∴x≥0.又x∈Z且x<8，∴{x|x＝|x|，x∈Z且x<8}用列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6,7}．(2)当a>0，b>0时，x＝2，当a<0，b<0时，x＝－2，当a、b异号时，x＝0.∴B＝{－2,0,2}．(3)由题意知3－x＝±1，±2，±3，±6，∴x＝0，－3,1,2,4,5,6,9，又x∈N＋，∴C＝{1,2,4,5,6,9}．题型四　注意集合中元素的互异性例4　已知集合A＝{1,3，a2}，若3a－2A，求实数a的取值集合．解析：由3a－2＝1得：a＝1，此时a2＝1，集合A中有两个相同的元素，故a≠1；由3a－2＝3解得：a＝53，满足条件；由3a－2＝a2解得：a＝1(舍去)或a＝2，满足条件．故所求实数a的取值集合为点评：因集合A＝{1,3，a2}有三个元素，故所求a值应满足a2≠1且a2≠3，即保证集合元素的互异性．另外，利用集合中元素的特性问题时，要注意分类讨论思想的应用．巩
固　
(1)若2{1，x，x2＋x}，则实数x的值是________(2)已知集合A＝{2，x2－2x－1}，求实数x的取值范围解析：(1)
∵2∈{1，x，x2＋x}，∴x＝2或x2＋x＝2得x＝±2或x＝1.当x＝2时，{1，x，x2＋x}＝{1,2,6}；当x＝－2时，{1，x，x2＋x}＝{1，－2,2}；当x＝1时，{1，x2，x2＋x}＝{1,1,2}不满足互异性．∴x的值是±2.(2)
由集合元素互异性可知，x2－2x－1≠2，即x2－2x－3≠0，得x≠－1且x≠3.∴x的取值范围是{x∈R|x≠－1且x≠3}．题型五　集合间关系的判断
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例5　下列各式正确的是________(1){a}{a}；(2){1,2,3}＝{3,2,1}；(3)?{0}；(4)0{0}；(5){1}{x|x≤5}；(6){1,3}{3,4}．分析：利用子集、真子集、集合相等的概念判断．解析：题号正误原因(1)√任何一个集合都是它本身的子集(2)√两集合中的元素是一样的，符合集合相等的定义(3)√空集是任何非空集合的真子集(4)×元素0是集合{0}中的一个元素，故应为0{0}(5)√∵1＜5，∴1{x|x≤5}．∴{1}{x|x≤5}．又∵{1}≠{x|x≤5}，∴{1}{x|x≤5}(6)×∵1{1,3}，但1{3,4}，∴{1,3}不是{3,4}的子集，更不是真子集答案：(1)(2)(3)(5)点评：两集合间关系的判断：(1)用定义判断．首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则AB，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一集合A，若是，则BA，否则B不是A的子集；若既有AB，又有BA，则A＝B.(2)数形结合判断．对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
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巩
固　指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{xN|x2＝1}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}；(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}．答案：(1)BA;
(2)AB;
(3)
AB.题型六　子集关系的理解应用
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例6　写出满足{a，b}A{a，b，c，d}的所有集合A.解析：满足{a，b}A{a，b，c，d}集合分别为：{a，b}；{a，b，c}；{a，b，d}；{a，b，c，d}．点评：写满足条件的集合考虑问题要全面，元素c，d可都不考虑选取，可选取一个，也可以选取两个．巩
固　已知{x|x2－1＝0}A{－1,0,1}，试写出所有集合A．答案：{－1,
1}；{－1,0,1}．题型七　集合的表示法
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例7　若{1,2}＝{x|x2＋ax＋b＝0}，则a＝________.b＝________.解析：由题意知，1和2为方程x2＋ax＋b＝0的两根，∴－a＝1＋2，b＝1×2.∴a＝－3，b＝2.答案：－3　2点评：1.若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．2．若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足的条件是否一致．若均一致，则两集合相等．3．证明两集合相等的常用思路是证A?B且B?A.
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巩
固　设a,bR，集合{1，a+b，a}={0，，b}，则b-a=________.答案：2点评：若集合A、B为有限集，只要两集合中元素个数相同，对应元素分别相同，即A＝B，若集合A、B为无限集，则要看代表元素及代表元素满足的条件是否一致．题型八　交集与并集的运算
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例8　若集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|0＜x＜3}，求MN，MN.解析：用数轴所表示的区域如下图阴影部分所示：∴M∩N＝{x|0＜x≤2}，M∪N＝{x|－2≤x＜3}．点评：解此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合．若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心法”表示．巩
固　已知集合M＝{y|y＝x2－4x＋3，xR}，N＝{y|y＝－x2＋2x＋8，xR}．求MN.分析：先明确集合M、N中的元素，再求M∪N.解析：∵y＝(x－2)2－1≥－1，∴M＝{y|y≥－1}．∵y＝－x2＋2x＋8＝－(x－1)2＋9≤9.∴N＝{y|y≤9}．∴MN＝R.点评：注意集合中的代表元素．题型九　集合交、并、补的综合运算例9　已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,2,5}，CUB＝{4,5,6}，则集合AB＝(　　)A．{1,2}　　　
B．{5}C．{1,2,3}
D．{3,4,6}解析：CUB＝{4,5,6}，∴B＝{1,2,3}．又∵A＝{1,2,5}，∴A∩B＝{1,2}，故选A.答案：A点评：1.如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解，在解答过程中常常借助Venn图来求解，这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．2．如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．巩
固　设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝AB，则集合CU(AB)中的元素共有(　　)
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个解析：法一：U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}．∴CU(A∩B)＝{3,5,8}．共3个元素．法二：由法一知，U＝{3,4,5,7,8,9}．∴CUA＝{3,8}，CUB＝{5}，∴CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)＝{3,5,8}．共3个元素．答案：A题型十　补集的运算例10　设U＝{x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5，xZ}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，求CUA、CUB.解析：法一：在集合U中，∵x∈Z，则x的值为－5,－4,－3,3,4,5，∴U＝{－5,－4,－3,3,4,5}．又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，∴CUA＝{－5,－4,3,4}，CUB＝{－5,－4,5}．法二：可用Venn图表示则CUA＝{－5,－4,3,4}，CUB＝{－5,－4,5}．点评：用好Venn图是解此类求补集运算的关键．巩
固　已知集合A＝，B＝{x|－4B．[1,2]C．[2,2]
D．[－2,1]答案：D2．若全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{3,4,5}，则CUA＝________.答案：{1,2}3．若集合A＝{－2＜x＜1}，B＝{0＜x＜2}，则集合AB＝(　　)A．{
x|－1＜x＜1}B．{x|－2＜x＜1}C．{x|－2＜x＜2}D．{x|0＜x＜1}答案：DB组1．若集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x＝0}，则MN＝(　　)
A．{3}
B．{0}
C．{0,2}
D．{0,3}答案：B2．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}
，C＝{2,3,4}，则(AB)C＝(　　)A．{1,2,3}
B．{1,2,4}C．{2,3,4}
D．{1,2,3,4}答案：D3．满足{1,3}A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是(　　)A．1
B．2
C．3
D．4解析：由于{1,3}∪A＝{1,3,5}，所以A?{1,3,5}且A中至少有一个元素为5，从而A中其余的元素可以是集合{1,3}的子集的元素，而{1,3}有4个子集，因此满足条件的A的个数是4，它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．答案：D4．设全集U＝，集合M＝，N＝，则N＝(　　)A．{1,3}
B．{1,5}
C．{3,5}
D．{4,5}解析：CUM＝，N＝，则N∩＝∩＝.答案：C5．设集合M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x是2的倍数}，则MN＝(　　)A．{2,4}
B．{1,2,4}C．{2,4,8}
D．{1,2,8}解析：因为N＝{x|x是2的倍数}＝{…，0,2,4,6，8，…}，故M∩N＝，选C.答案：C6．设集合M＝{x|0＜x＜1}，N＝{x|－2＜x＜2}，则(　　)A．MN＝
B．MN＝MC．MN＝M
D．MN＝R解析：画数轴表示集合：∴M∩N＝M.答案：BC组1．设集合A＝{1,2}，则满足AB＝{1,2,3}的集合B的个数是(　　)A．1个
B．3个
C．4个
D．8个解析：A＝{1,2}，A∪B＝{1,2,3}，则集合B中必有元素3，即此题可转化为求集合A＝{1,2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有22＝4个，故选择答案C.答案：C2．下列各式中，正确的是(　　)A．2{x|x≤2}B．{x|y＝x＋1}＝{(x，y)|y＝x＋1}C．{x|x＝4k±1，k＋1，kZ}D．{x|x＝3k＋1，k－2，kZ}答案：D3．已知A＝{2,5}，B＝{x|x2＋px＋q＝0}，AB＝A，AB＝{5}，求p、q的值．分析：由A∪B＝A知B?A.又A∩B＝{5}，可判断出B中的元素，解出p、q.解析：∵A∪B＝A，∴B?A.又A∩B＝{5}，且A＝{2,5}，∴5∈B，且2∈/B，∴B＝{5}．即解得4．设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，CUA＝{5}，求实数a的值．解析：∵?UA＝{5}，∴5∈U，且5?A.∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2，或a＝－4.当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，这时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}．满足?UA＝{5}适合题意，∴a＝2.当a＝－4时，|2a－1|＝9，这时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，A?U.∴a＝－4不合题意，舍去．综上可知：a＝2.
A组1．集合{1,2,3}的子集共有(　　)A．8个　
B．7个
C．6个
D．5个答案：A2．P＝{|≤}，M＝{|≤3}，则M______P.(填或)答案：3．用适当的符号填空：{0}________?，0________?.答案：或，
B组1．下列关系：①1{0,1,2}；②{1}{0,1,2}；③?{0,1,2}；④{0,1,2}{0,1,2}；⑤{0,1,2}＝{2,0,1}．其中错误的个数为(　　)A．1　　　B．2C．3
D．4解析：只有②不正确．故选A.答案：A2．集合M＝{2,4,6}的真子集的个数为(　　)A．6个　　　B．7个　　　C．8个　　　D．9个答案：B3．用Venn图画出下列两个集合的关系：(1)A＝{0,1,2}，B＝{1,2,4}；(2)A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3}．答案：4．已知集合A＝{1,2，x}，B＝{1,2，x2}且A＝B，求实数x的值．解析：因为A＝B，所以x＝x2，当x＝1时A＝{1,2,1}不符合元素互异性，舍去；当x＝0时A＝B＝{1,2,0}．故x＝0.5．写出满足{a，b}A{a，b，c，d，e}的所有集合A.解析：满足{a，b}A{a，b，c，d，e}的集合分别为：{a，b，c}；{a，b，d}；{a，b，e}；{a，b，c，d}；{a，b，c，e}；{a，b，d，e}；{a，b，c，d，e}．6．(1)写出集合{1,2,3}的所有真子集．答案：集合{1,2,3}的所有真子集分别是：?；{1}；{2}；{3}；{1,2}；{1,3}；{2,3}(2)集合{1,2,3}的子集有：________个，真子集有________个，非空真子集有________个．答案：(2)8　7　6C组1．已知集合A＝，B＝x|x＝，kZ则(　　)A．AB
B．BAC．A＝B
D．A与B关系不确定解析：对B集合中，x＝，k∈Z，当k＝2m时，x＝，m∈Z；当k＝2m－1时，x＝－，m∈Z，故按子集的定义，必有AB.答案：A2．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}，P＝{(x，y)|x<0，y<0}，则M，P的关系是________．答案：M＝P3．集合A＝{1,3，a}，B＝{a2}，且BA，求实数a的取值的集合．解析：由于B＝{a2}A＝{1,3，a}，∴①a2＝1，得a＝1(不合题意，舍去)或a＝－1，4．已知集合：A＝{x|－1＜x≤5}，B＝{x|m－5≤x≤2m＋3}且AB，求实数m的取值范围．
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