新人教A版高中数学必修第一册：1.4充要条件

授课主题：充要条件
教学目标
1．理解充分条件和必要条件的意义．2．掌握判断某些简单命题的条件关系的方法．3．理解充要条件的意义．4．会判断、证明充要条件．
教学内容
充分条件、必要条件命题“若p，则q”为真时，就记作p?q，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假．例：设p：x＞0，y＞0，q：x＋y＞0，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．集合观点从集合观点看，若A?B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件．例：x∈[－2,3]是x∈[－3,5]的充分条件，x∈[－3,5]是x∈[－2,3]的必要条件．充要条件命题“若p，则q”为真时，就记作p?q，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假．若A?B且B?A，则称A是B的充要条件．也说A等价于B，即A?B．题型一　充分条件的判断
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例1　＞1的一个充分不必要条件是(　　)A．x＞y
B．x＞y＞0
C．x＜y
D．y＜x＜0解析：由x＞y＞0，可得＞1；由xINCLUDEPICTURE
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巩
固　下面两个命题中，p是q的什么条件？(1)p：△ABC中，b2>a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形．p是q的________________．(2)a，b∈R，p：x＞a2＋b2，q：x＞2ab，p是q的__________________．解析：(1)△ABC中，因为b2>a2＋c2，所以cos
B＝＜0，所以B为钝角，即△ABC为钝角三角形．反之，若△ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2p，故p是q的充分不必要条件．(2)
因为a，b∈R时，有a2＋b2≥2ab，所以p?q.反之x＞2ab，则不一定有x＞a2＋b2，故p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要条件　充分不必要条件．题型二　必要条件的判断
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例2　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的必要条件？(1)若a能被3整除，则a能被6整除；(2)若=9，则=3；(3)在同一平面内，若直线l1和l2不相交，则直线l1和l2
平行；(4)若四边形的两条对角线相等，则这个四边形是等腰梯形．解析：命题(1)(2)(3)(4)的逆命题是真命题，所以命题(1)(2)(3)(4)中的p是q的必要条件．点评：充分条件、必要条件的判断方法：命　题
p是q的若p，则q充分条件若﹁q，则﹁p充分条件若q，则p必要条件若﹁p，则﹁q必要条件若p?q且
qp充分不必要条件若pq且q?p必要不充分条件若
p?q且
q?p充分必要条件若pq且qp既不充分也不必要条件巩
固　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？(1)若b2＝ac，则a，b，c成等比数列；(2)若有且只有一个实数λ，使a＝λb，则a∥b；(3)若l∥α，则直线l与平面α所成角大小为0°；(4)若函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，则f(x)是单调增函数．解析：命题(2)(3)是真命题，命题(1)(4)是假命题，所以命题(2)(3)中的q是p的必要条件．题型三　利用充分条件、必要条件求参数范围
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例3　设p：|x－1|＜1，q：x(x－a)＜0，若
p是q的充分不必要条件，试求实数a的取值范围．解析：p：|x－1|＜1，即
0＜x＜2.由p?q，qp知集合{x|0＜x＜2}是不等式
x(x－a)＜0的解集的真子集，如图所示．所以a＞2.从而a的取值范围是(2，＋∞)点评：利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键是找出集合间的包含关系，列出不等式(组)解决问题，要注意范围的临界值．
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巩
固　(x＋2)(x－a)＜0是0＜x＜5的必要不充分条件，则实数a的取值范围是
(　　)
A．(－2,5]
B．[－2,5]
C．[5，＋∞)
D．(5，＋∞)解析：(x＋2)(x－a)＜0是
0＜x＜5的必要不充分条件，所以
0＜x＜5是
(x＋2)(x－2)＜0的充分不必要条件，所以{x|0＜x＜5}是{x|(x＋2)(x－a)＜0}的真子集，解(x＋2)(x－a)＜0得
－2＜x＜a，所以a≥5.故选C.答案：C.题型四　充分条件、必要条件与充要条件的判断
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例4　在下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：两直线平行，q：内错角相等；(2)p：直线l与平面α所成角大小为90°，q：l⊥α；解析：(1)(2)中的p是q的充要条件．点评：判断充要条件的三种方法．(1)定义法：首先分清条件和结论，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件．(2)从集合角度解释，利用集合间的包含关系判断：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若B?A，则A是B的必要条件或B是A的充分条件；若A＝B，则A、B互为充要条件．(3)等价法：即利用等价关系“A?B?﹁B?
﹁
A”判断，对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题，一般运用等价法．巩
固　指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC.(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.(3)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0.解析(1)在△ABC中，显然有∠A
>∠B?BC
>
AC，所以p是q的充要条件．(2)因为x＝2且y＝6?x＋y＝8，即﹁q?﹁
p，但﹁p﹁q，所以p是q的充分不必要条件．(3)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，所以AB，所以p是q的充分不必要条件．巩
固　“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(　　)A．充分不必要条件　　　
B．必要不充分条件C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件解析：选B　若(2x－1)x＝0，则x＝或x＝0，即不一定是x＝0；若x＝0，则一定能推出(2x－1)x＝0.故“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．巩
固
已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝”是“A∩B＝{4}”的(　　)A．充分不必要条件　　　
B．必要不充分条件C．充要条件
D．既不充分也不必要条件解析：选A　若A∩B＝{4}，则m2＋1＝4，∴m＝±，故“m＝”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．题型五　充要条件的证明例5　设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0．证明：充分性：如果
xy＝0，那么：①
x＝0，y≠0；②
x≠0，y＝0；③
x＝0，y＝0.于是|x＋y|＝|x|＋|y|.如果xy＞0，即x＞0，y＞0或
x＜0，y＜0，当x＞0，y＞0时，|x＋y|＝x＋y＝|x|＋|y|；当x＜0，y＜0时，|x＋y|＝－x－y＝－x＋(－y)＝|x|＋|y|.所以，xy≥0时，有|x＋y|＝|x|＋|y|.即充分性成立．必要性：由|x＋y|＝|x|＋|y|及x，y∈
R得(|x＋y|)2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋2|xy|＋y2，得xy＝|xy|，所以xy≥0，即必要性成立．综上得原命题成立．点评：数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质．证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性)．巩
固　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2的充要条件是4a＋2b＋c＝0.证明：先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，∴x＝2满足方程ax2＋bx＋c＝0，∴a·22＋b·2＋c＝0，即4a＋2b＋c＝0，∴必要性成立．再证充分性：∵4a＋2b＋c＝0，∴c＝－4a－2b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－4a－2b＝0，即(x－2)(ax＋2a＋b)＝0.故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，∴充分性成立．因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2的充要条件是4a＋2b＋c＝0.一、选择题1．使四边形为菱形的充分条件是(　　)A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．对角线互相垂直且平分答案：D2．x＞3的一个充分不必要条件是(　　)A．x＞0
B．x＜0
C．x＞5
D．x＜5答案：C3．“a和b都是偶数”是“ab是偶数”的_____________条件答案：充分不必要4．直线y＝kx＋b过原点的充分条件是(　　)A．b＝0
B．b＞0C．b＜0
D．b∈R解析：b＝0时，直线
y＝kx过原点．所以b＝0是直线
y＝kx＋b过原点的充分条件．故选A.答案：A5．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要条件是(　　)A．a＞b＋1
B．a＞b－1C．a2＞b2
D．a3＞b3答案：A6．对任意实数a，b，c，在下列命题中，真命题的是(　　)A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件答案：B7．已知p是
q的充分条件，r是q的必要条件，s是r的必要条件，那么
s是p的(　　)A．充分条件
B．必要条件C．充分必要条件
D．没有任何关系解析：由题意可得p?q，r?q，s?r，所以p?s，即
s是p的必要条件．故选B.答案：B8．(2018·石家庄模拟)“x>1”是“x2＋2x>0”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x2＋2x>0，得x>0或x<－2，所以“x>1”是“x2＋2x>0”的充分不必要条件．答案：A9．(2016·四川高考)设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的(　　)A．充分不必要条件
B．必要不充分条件C．充要条件
D．既不充分也不必要条件解析：选A　∵∴x＋y＞2，即p?q.而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3＞2，但不满足x＞1且y＞1，即q?/
p．故p是q的充分不必要条件．10．有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的是(　　)A．①②③
B．②③④C．①③④
D．①④解析：选C　①的逆命题为“若x>0且y>0，则x＋y>0”为真，故否命题为真；②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；③的逆命题为，若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m≥1.∵当m＝0时，解集不是R，∴应有
即m>1.∴③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．二、填空题11．下列命题：①“a>b”是“a2>b2”的必要条件；②“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要条件；③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．其中是真命题的是________．解析：①a>ba2>b2，且a2>b2a>b，故①不正确；②a2>b2?|a|>|b|，故②正确；③“a>b”?a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c?a>b，故③正确．答案：②③12．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件．解析：因为逆否命题为假，那么原命题为假，即AB，又因否命题为真，所以逆命题为真，即B?A，所以A是B的必要不充分条件．答案：必要不充分13．若关于x的不等式|x－m|<2成立的充分不必要条件是2≤x≤3，则实数m的取值范围是________．解析：由|x－m|<2得－20，y<0，命题q：x>y，>，则p是q的什么条件？解析：p：x>0，y<0，则q：x>y，>成立；反之，由x>y，>?>0，因y－x<0，得xy＜0，即x、y异号，又x>y，得x>0，y<0.所以“x>0，y<0”是“x>y，>”的充分必要条件．16．已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}．(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围．(2)若A∩B＝?，求a的取值范围．解：A＝{x|x2－6x＋8<0}＝{x|20时，B＝{x|a0时，B＝{x|a1．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A2．使a>0，b>0成立的一个必要不充分条件是(　　)A．a＋b>0
B．a－b>0C．ab>1
D.>1解析：因为a>0，b>0?a＋b>0，反之不成立，而由a>0，b>0不能推出a－b>0，ab>1，>1.答案：A3．用充分条件、必要条件、充要条件填空．(1)x＞3是x＞5的____________________．(2)x＝3是x2－2x－3＝0的____________________．(3)两个三角形全等是两个三角形相似的__________________．答案：必要条件，充分条件，充分条件4．“1(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为“1＜x＜2”?“x＜2”，而“
x＜2”
“1＜x＜2”，故“1＜x＜2”是“x＜2”的充分不必要条件，故选A.
答案：A5．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的
(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件
D．既不充分又不必要条件解析：若“a＝2”，则“(a－1)(a－2)＝0”，即a＝2?(a－1)·(a－2)＝0.若“(a－1)(a－2)＝0”，则“a＝2或a＝1”，故(a－1)(a－2)＝0不一定能推出a＝2.答案：A6．a＝1是两直线x＋ay＝2a＋2与ax＋y＝a＋1平行的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：A7．已知条件p：a≤1，条件q：|a|≤1，则﹁p是﹁q的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A二、填空题8．已知a，b是实数，则“a>0，且b>0”是“a＋b>0，且ab＞0”的________条件．解析：因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab＞0，所以充分性成立；因为
ab＞0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，所以必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab＞0”的充要条件．答案：充要9．(2018·山西五校联考，13)已知p：(x－m)2>3(x－m)是q：x2＋3x－4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．解析：p对应的集合A＝{x|xm＋3}，q对应的集合B＝{x|－4“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的______条件．解析：如果一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则有b－5<0且k－4>0，得b<5，k>4；反之，当b<5时，b－5<0，即图象交y轴于负半轴，k>4时，k－4>0，即图象交x轴于正半轴．因此“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的充要条件．答案：充分必要三、解答题
11．已知条件p：A＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}，条件q：B＝{x|x2－3x＋2≤0}，当a为何值时：(1)p是q的充分不必要条件；(2)p是q的必要不充分条件；(3)p是q的充要条件．解析：由p：A＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，由q：B＝[1,2]．(1)∵p是q的充分不必要条件，∴A?B且A≠B，故A＝[1，a]?1≤a<2.(2)∵p是q的必要不充分条件，∴B?A且A≠B，故A＝[1，a]且a>2?a>2.(3)∵p是q的充要条件，∴A＝B?a＝2.12．求证：一元二次方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜.证明：先证必要性：∵一元二次方程mx2－2x＋3＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4－12m＞0?m＜，且两根同号，设x1，x2为两根，可得x1·x2＝＞0?m＞0，∴0＜m＜.再证充分性：∵m＜，∴Δ＝4－12m＞0，∴方程mx2－2x＋3＝0有两个不相等的实根．又∵m＞0，设x1，x2为方程mx2－2x＋3＝0的两根，可得x1·x2＝＞0，即x1，x2同号．因此一元二次方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜.
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