新人教A版高中数学必修第一册：全称量词与存在性量词

授课主题：全称量词与存在性量词
教学目标
1．了解全称量词、全称命题及存在量词、特称命题的含义，会判断含有一个量词的全称命题、特称命题的真假．2．能正确写出含有一个量词的命题的否定并能判断真假．
教学内容
1.全称量词与存在量词(1)全称量词有“所有的”、“任意一个”等，用?表示；(2)存在量词有“存在一个”、“至少有一个”等，用?表示．2.全称命题含有全称量词的命题，叫全称命题．全称命题p：?x∈M，p(x)．3.特称命题含有存在量词的命题，叫特称命题．特称命题p：?x0∈M，p(x0)．4.全称命题的否定全称命题p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x0∈M，﹁p(x0)．5.特称命题的否定特称命题p：?x0∈M，p(x0)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)题型一　全称命题与特称命题的判断
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例1　判断下列语句是全称命题还是特称命题，并判断真假．(1)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；(2)圆内接四边形，其对角互补；解析(1)含有全称量词，所以该命题是全称命题．又任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，所以，全称命题“所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径”是真命题．(2)“圆内接四边形，其对角互补”的实质是“所有的圆内接四边形，其对角都互补”，所以该命题是全称命题且为真命题．巩
固　下列命题中，不是全称命题的是(　　)A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数C．任何一个数都是实数D．一定存在没有最大值的二次函数．解析：选项D中的命题是特称命题．故选D.答案：D巩
固　以下四个命题既是特称命题又是真命题的是
(　　)A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使>2解析：选项A中锐角三角形的内角都是锐角，所以是假命题；选项B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；选项C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；选项D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．答案：B题型二　用“?”或“?”表示全称命题或特称命题例2　用符号“?”与“?”表示含有量词的命题：(1)实数的平方大于等于0；(2)存在一对实数(x，y)，使2x＋3y＋3>0成立解析：(1)?x∈R，x2≥0；(2)?(x0，y0)，x0∈R，y0∈R，使2x0＋3y0＋3>0成立．点评：注意全称命题和特称命题的规范表示形式：全称命题表示为“?x∈M，p(x)”的形式；特称命题表示为“?x0∈M，p(x0)”的形式．巩
固　将下列命题用量词符号“?”或“?”表示，并判断真假．(1)整数中1最小；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a＜1)至少存在一个负根；(3)对于某些实数x，有2x＋1＞0；解析：(1)?x∈Z，x≥1，假．(2)?x0＜0，有ax＋2x0＋1＝0(a＜1)，真．(3)?x0∈R，有2x0＋1＞0，真．题型三　全称命题和特称命题真假的判断例3　判断下列命题的真假：(1)?x∈R，x2＋1＞0；(2)?x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；(3)?x0∈R，x－x0＋1＝0.解析：(1)由于?x∈R，都有x2≥0，所以有x2＋1≥1＞0，所以“?x∈R，x2＋1＞0”是真命题．(2)因为对集合{3,5,7}中的每一个值，都有3x＋1是偶数，所以“?x∈{3,5,7},3x＋1是偶数”是真命题．(3)因为对于x2－x＋1＝0，Δ＜0，所以方程x2－x＋1＝0无实数根，所以“?x0∈R，x－x0＋1＝0”是假命题．点评：(1)全称命题的真假判断：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)特称命题的真假判断：要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．题型四　全称命题的否定例4　判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)任何一个平行四边形的对边都平行；(4)负数的平方是正数．解析：(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，且它的内角和不等于180°.(2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是全称命题且为真命题．命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行．(4)是全称命题且为真命题．命题的否定：某个负数的平方不是正数．点评：(1)全称命题的否定是特称命题．因为要否定全称命题“?x∈M，p(x)成立”，只需在M中找到一个x，使得p(x)不成立，也即“?x0∈M，﹁p(x0)成立”．(2)要证明一个全称命题是假命题，只需举一个反例．(3)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”，如例1第(4)小题，将否定写成“负数的平方不是正数”就错误了，因为这个命题也是全称命题，是假命题．巩
固　写出下列命题的否定：(1)三个给定产品都是次品；(2)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；(3)?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.解析：(1)三个给定产品中至少有一个是正品．(2)数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数．(3)?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一．(4)存在被5整除的整数，末位不是0.题型五　特称命题的否定例5　写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)?x0∈R，x＋1＜0；(4)?x0，y∈Z，使得x0＋y＝3.解析：(1)命题的否定是：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”．也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2.因此命题的否定为假命题．(2)命题的否定是：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是：“不存在x∈R，x2＋1＜0”，也即“?x∈R，x2＋1≥0”．由于x2＋1≥1＞0，因此命题的否定是真命题．(4)命题的否定是：“?x，y∈Z，x＋y≠3”．∵当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．点评：(1)特称命题的否定是全称命题，要否定特称命题“?x0∈M，p(x0)成立”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是说“?x∈M，﹁p(x)成立”．(2)要证明特称命题是真命题，只需要找到一个使p(x)成立的条件即可．(3)只有“存在”一词是量词时，它的否定才是“任意”，当“存在”一词不是量词时，它的否定是“不存在”．例如：三角形存在外接圆．这个命题是全称命题，量词“所有的”被省略了，所以，这个命题的否定是：有些三角形不存在外接圆．巩
固　写出下列特称命题的否定，并判断其真假．(1)p：?x0＞1，使x－2x0－3＝0；(2)p：若an＝－2n＋1，则?n∈N，使Sn＜0；(3)p：有些偶数是质数；(4)p：?x0∈R，x0＞2；(5)p：?x0∈R，x＜0.解析：(1)
﹁p：?x＞1，x2－2x－3≠0.(假)(2)
﹁p：若an＝－2n＋1，则?n∈N，Sn≥0.(假)(3)
﹁p：所有偶数都不是质数．(假)(4)
﹁p：?x∈R，有x≤2.(假)(5)
﹁p：?x∈R，x2≥0.(真)题型六　全称命题、特称命题的综合应用例6　若命题“
?x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)A．[－1,3]B．(－1,3)C．(－∞，1]∪[3，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析：依题意命题“
?x∈R,
x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，所以二次不等式有解，所以Δ＞0，即
(a－1)2－4＞0，解得a＜－1或a＞3
.故选D．点评：全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某些性质，因此属于恒成立问题，因而可以根据题设条件列出方程或不等式解决问题．巩
固　已知p：?x0∈R,
mx＋2≤0，q：?x∈R,
x2－2mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是______.解析：因为p∨q为假命题，所以p和q都是假命题．由p：?x0∈R，mx＋2≤0为假，得?x∈R，mx2＋2＞0，所以
m≥0①.由q：?x∈R,
x2－2mx＋1＞0为假，得?x0∈R,
x－2mx0＋1≤0，所以Δ＝(－2m)2－4≥0，得m≤－1或m≥1②.由①和②得
m≥1.答案：[1，＋∞)一、选择题1．下列命题中全称命题的个数为(　　)①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0个
B．1个
C．2个
D．3个解析：①②是全称命题，③是特称命题．故选C.答案：C2．下列特称命题中真命题的个数是(　　)①存在x0∈R，x0≤0；②至少有一个整数，它既是质数，又是偶数；③?x0∈R，使x－9x0＋8＝0成立．A．0个　
B．1个
C．2个
D．3个解析：①②③都是真命题．答案：D3．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是(　　)A．?x，y∈R，都有x2＋y2≥2xyB．?x0，y0∈R，使x＋y≥2x0y0C．?x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xyD．?x0＜0，y0＜0，使x＋y≤2x0y0解析：这是一个全称命题，且x，y∈R.故选A.答案：A4．给出3个命题：①?k∈[0，＋∞)，使方程x2＋kx＋1＝0有实根；②?k∈(－∞，－2]，使方程x2＋kx＋1＝0有实根；③?k∈[－2,2]，使方程x2＋kx＋1＝0有实根．其中正确命题的个数是(　　)A．0个
B．1个
C．2个
D．3个解析：方程x2＋kx＋1＝0有实根的充要条件是Δ＝k2－4×1×1≥0，得k≤－2或k≥2，所以命题①②正确，命题③错误．故选C.答案：C5．有下列四个命题：①?x∈R,2x2－3x＋4＞0；②?x∈{1，－1,0},2x＋1＞0；③?x0∈N
，x≤x0；④?x0∈N
，x0为31的约数．其中真命题的个数为(　　)A．1个
B．2个
C．3个
D．4个解析：对于①，这是全称命题，因为Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，因为当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x＝x0成立，故③为真命题；对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为31的约数成立，所以④为真命题．故选C.答案：C6．已知命题p：?x∈R，x>sin
x，则(　　)A．﹁p：?x0∈R，xx0　B．﹁p：?x∈R，x≤sin
xC．﹁p：?x0∈R，x≤sin
x0D．﹁p：?x∈R，xx答案：C7．(2013·湖北黄冈上学期期末)命题“所有实数的平方都是正数”的否定为
(　　)A．所有实数的平方都不是正数B．有的实数的平方是正数C．至少有一个实数的平方是正数D．至少有一个实数的平方不是正数解析：否定为“至少有一个实数的平方不是正数”．故选D.答案：D8．命题“存在实数x，使x>1”的否定是(　　)A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，都有x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1答案：C9．已知命题“?x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－1)
B．(－1,3)C．(－3，＋∞)
D．(－3,1)解析：原命题的否定为?x∈R,2x2＋(a－1)x＋>0，由题意知，其为真命题，则Δ＝(a－1)2－4×2×<0.则－2B是偶数集．若命题p：?x∈A,2x∈B，则(　　)A．﹁p：?x∈A,2x∈BB.
﹁p：?x?A,2x∈BC．﹁p：?x∈A,2x?BD．﹁p：?x?A,2x?B解析：命题p:
?x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定﹁p应为?x∈A,2x?B，故选C.答案：C二、填空题11．下列命题，是全称命题的是__________，是特称命题的是________(填序号)．①正方形的四条边相等②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形③正数的平方根不等于0④至少有一个正整数是偶数解析：①②③是全称命题，④是特称命题．答案：①②③　④12．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3.答案：(－∞，3]13.(2018·石家庄模拟)已知命题p：?n∈N，n2<2n，则p为________．解析：本题考查全称命题的否定．由全称命题的否定为特称命题，得p为?n0∈N，n≥2n0.答案：?n0∈N，n≥2n014.命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是：____________________________________.解析：命题：“有的三角形是直角三角形”是特称命题，其否定是全称命题，按照特称命题改为全称命题的规则，即可得到该命题的否定．答案：所有的三角形都不是直角三角形15．(2013·湖北襄阳市3月调研)若命题“存在实数x，使x2＋ax＋1＜0”的否定是假命题，则实数a的取值范围为_________________．解析：依题意“存在实数x，使
x2＋ax＋1＜0”是真命题，所以方程x2＋ax＋1＝0有不等的实根，所以
Δ＝a2－4＞0，得a<－2或
a＞2.答案：a＜－2或
a＞216．已知命题“?x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是________．解析：由“?x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋a>0对任意实数x恒成立．设f(x)＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方．故Δ＝25－4×a<0，解得a>，即实数a的取值范围为.答案：三、解答题17.
用量词符号“?”“?”表述下列命题，并判断真假．(1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立；(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；(3)一定有整数x0，y0，使得3x0－2y0＝10成立；(4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．解析：(1)?x∈R，x2＋x＋1>0；真命题．(2)
?a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解；假命题．(3)
?x0、y0∈Z,3x0－2y0＝10；真命题．(4)
?x∈Q，x2＋x＋1是有理数；真命题．18．写出下列命题的否定．(1)p：?x∈R，x2－x＋≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r:
?x0∈R，x＋2x0＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.解析：(1)全称命题，它的否定是存在性命题，﹁p∶?x0∈R，x－x0＋＜0，假命题，因为?x∈R，x2－x＋＝2≥0恒成立，所以﹁p是假命题．(2)全称命题，它的否定是存在性命题，﹁q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)存在性命题，它的否定是全称命题，﹁r：?x∈R，x2＋2x＋2＞0，真命题．(4)存在性命题，它的否定是全称命题，﹁s：?x∈R，x3＋1≠0，假命题，由于x＝－1，x3＋1＝0.点评：说明一个命题为假命题，只需举出一个反例即可，不必证明．1．下列命题不是全称命题的是(　　)A．每一个三角形都存在外接圆B．所有的实数都有算术平方根C．对任意无理数x,
2x＋3都是无理数D．有的一元二次方程没有实数根答案：D2．下列命题不是“?x0∈R，x＞3”的表述方法是(　　)A．有一个x∈R，使得x2＞3B．对有些x∈R，使得x2＞3C．任选一个x∈R，使得x2＞3D．至少有一个x∈R，使得x2＞3答案：C3．命题p的否定是“对所有正数x，＞x＋1”，则命题p可写为________________________．解析：因为p是綈p的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可．答案：?x0∈(0，＋∞)，≤x0＋14．命题p：?x0∈R，x＋2x0＋2≤0的否定是__________________________．答案：﹁p：?x∈R，x2＋2x＋2>05．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是______________________________．答案：否定形式：存在末位数是0或5的整数，不能被5整除6．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否命题是________________________________．答案：否命题：末位数不是0且不是5的整数，不能被5整除
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