新人教A版高中数学必修第一册：不等式的性质

授课主题：不等式的性质
教学目标
1.学习用不等式(组)来描述不等关系，了解不等式(组)是研究不等关系的数学工具，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值.2.了解不等式的基本性质.3．用不等式的基本性质比较代数式的大小．4．用不等式的基本性质证明简单的不等式．5．用不等式的基本性质讨论式子的取值范围．
教学内容
1．符号法则设a＞0，b＞0，则a＋b＞0；a·b＞0；＞0.2．不等式的基本性质①a＞b?a＋c＞b＋c.②a＞b，b＞c?a＞c.③a＞b，c＞0?ac＞bc.④a＞b，c＜0?ac＜bc.⑤a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.⑥a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.⑦a＞b＞0，n∈N
?an＞bn.⑧a＞b＞0，n∈N
，n＞1?＞.3．比较实数大小a＞b?a－b＞0；a＝b?a－b＝0；a＜b?a－b＜0.4．作差法比较大小作差比较法是比较实数大小的最基本也是很重要的方法．基本步骤是：作差、变形、定正负、得结论．题型一　用不等式表示不等关系例1　分别写出满足下列条件的不等关系：(1)一个两位数的个位数字y比十位数字x大，且这个两位数小于30；(2)某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元的单片软件x片和70元的盒装磁盘y盒．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．解析：(1)y＞x＞0,30＞10x＋y＞9，且x，y∈N
；(2)x≥3，y≥2,60x＋70y≤500，且x，y∈N
.点评：在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须具有相同性质，可以进行比较时，才可用；没有可比性的两个(或几个)量之间不可用不等式(组)来表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一．巩
固　用不等号表示下列关系：(1)x为非负数；(2)x为实数，而且大于1不大于6；(3)x与y的平方和不小于2，而且不大于10.解析：(1)x为非负数，表示为不等式x≥0；(2)x为实数，而且大于1不大于6，用不等式表示就是1＜x≤6；(3)x与y的平方和不小于2，而且不大于10，用不等式表示为2≤x2＋y2≤10.题型二　比较大小例2　设x∈R，比较x3与x2－x＋1的大小(写出比较过程)．解析：x3－(x2－x＋1)＝(x3－x2)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)，∵x2＋1＞0，∴当x＞1时，x3＞x2－x＋1；当x＝1时，x3＝x2－x＋1；当x＜1时，x3＜x2－x＋1.点评：比较两数(式)的大小一般利用作差法，作差法比较两个数(式)的大小可归纳为作差→变形→判断符号→下结论．巩
固　已知x＜1，比较x3－1与2x2－2x的大小解析：∵x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)＜0，∴x3－1＜2x2－2x.题型三　实际应用例3　一个棱长为2的正方体的上底面有一点A，下底面有一点B，则A、B两点间的距离d满足的不等式为________．解析：最短距离是棱长2，最长距离是正方体的对角线长2，故2≤d≤2.答案：2≤d≤2点评：不等式是不等关系的符号表示在用不等式表示不等关系时应特别注意能否取等号的问题，如本题中“超过”或“不足”都不能取等号，而“不超过”则包含相等情况，应该取等号．巩
固　一个两位数个位数字为a，十位数字为b，且这个两位数大于50，可用不等关系表示为________．解析：50＜10b＋a＜100，且a，b∈N
题型四　利用不等式的性质判断命题真假例4　判断下列三个命题的真假．(1)若a＜b＜0，则＜；(2)若a＞b，则；(3)若a＞b＞c，则有a|c|＞b|c|.解析：(1)∵a＜b＜0，∴ab＞0，∴＞0.∴a·＜b·.∴＜.∴(1)是假命题．(2)∵函数y＝在R上是减函数．又a＞b，∴.∴(2)是假命题．(3)∵a＞b，|c|≥0，当c≠0时，|c|＞0，∴a|c|＞b|c|；当c＝0时，|c|＝0，∴a|c|＝b|c|＝0，∴(3)是假命题．点评：运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质．解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．巩
固　对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　)A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则＞C．若a＜b＜0，则＞D．若a＞b，＞，则a＞0，b＜0解析：解法一：∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；由a＞b＞0，有ab＞0?＞?＞，故B为假命题；?＞，故C为假命题；?ab＜0.∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．解法二：特殊值排除法，取c＝0，则ac2＝bc2，故A错．取a＝2，b＝1，则＝，＝1，有＜，故B错．取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，有＜，故C错．答案：D题型五　求取值范围问题例5　已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求a－b与的取值范围．解析：因为1＜a＜4,2＜b＜8，所以－8＜－b＜－2.所以1－8＜a－b＜4－2.即－7＜a－b＜2.又因为＜＜，所以＜＜＝2，即＜＜2.点评：本题需使用性质去求解，而不能错误地使用同向不等式相减(除)等．同向不等式只能相加，不能相减．巩
固　已知－≤α＜β≤，求，的取值范围．解析：∵已知－≤α＜β≤，∴－≤＜，－＜≤，两式相加，得－＜＜.∵－＜≤，∴－≤－＜.∴－≤＜，
又知α＜β，∴＜0.故－≤＜0.题型六　利用不等式性质证明简单不等式例6　已知c＞a＞b＞0，求证：＞.证明：∵c＞a＞b＞0，∴－a＜－b＜0，∴0＜c－a＜c－b，∴0＜＜.又a＞b＞0，∴＞.点评：利用不等式性质证明简单的不等式的实质就是根据性质把不等式进行变形，要注意不等式性质成立的条件．如果不能直接由不等式性质得到，可先根据需要证明的不等式的结构，再利用不等式性质进行转化．巩
固　完成下列各题．(1)已知a>b，cb－d.(2)已知a>b，n∈N，n>1，且n为奇数，证明：an>bn；>.分析：由于a>b，cb得a－b>0，由c0.∵(a－c)－(b－d)＝(a－b)＋(d－c)>0.∴a－c>b－d.证法二：∵c－d.又a>b，∴a＋(－c)>b＋(－d)．即a－c>b－d.(2)当a>b≥0时，∵n∈N，且n>1，∴an>bn，>.当a>0>b时，∵n为奇数，∴an>0，bn<0，>0，<0.∴an>bn，>.当0>a>b时，－b>－a>0.∴(－b)n>(－a)n，>.∵n为奇数，∴－bn>－an，－>－.∴an>bn，>.综上所述，an>bn，>.1．判断下列结论是否正确(对的打“√”，错的打“×”)：(1)a＞b，c＝d?ac＞bd(　　)(2)＞?a＞b(　　)(3)a＞b，ab＜0?＜(　　)(4)a＜b＜0，c＜d＜0?ac＞bd(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√2．下面能表示“m与n的和是非正数”的不等式为(　　)A．m＋n＜0　　　B．m＋n＞0C．m＋n≤0
D．m＋n≥0答案：C3．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是(　　)A．f(x)＞g(x)
B．f(x)＝g(x)C．f(x)＜g(x)
D．随x值变化而变化解析：∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，∴f(x)＞g(x)．答案：A4．若b＜0，a＋b＞0，则a－b的值(　　)A．大于零
B．小于零C．等于零
D．不能确定解析：∵b＜0，a＋b＞0，∴a＞－b＞0，∴a－b＞0.答案：A5．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是(　　)A．a＋c≥b－c　　　B．ac＞bcC.＞0
D．(a－b)c2≥0解析：当c＜0时，A、B选项都错；当c＝0时，C错．故选D.事实上，a＞b?a－b＞0，又c2≥0，∴(a－b)·c2≥0.答案：D6．若a＞b，则一定有(　　
)A．a2＞b2
B.＞1C．2a＞2b
D.＜解析：∵a＞b，又y＝2x是R上增函数，∴2a＞2b.选C.取a＝1，b＝－2，否定A，B，D.答案：C7．下列不等式：①a2＋3>2a；②a2＋b2>2(a－b－1)；③x2＋y2>xy.其中恒成立的不等式的个数为(　　)A．0　　　　　B．1　　　　　C．2　　　　　D．3解析：∵a2＋3－2a＝(a－1)2＋2>0，∴a2＋3>2a，即①正确．∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，即②错误．∵x2＋y2－xy＝≥0，即③错误，选B.答案：B8．若x＞1，y＞2，则(1)2x＋y＞______；(2)xy＞______.解析：(1)x＞1?2x＞2，∴2x＋y＞2＋2＝4；(2)xy＞2.答案：(1)4　(2)29．△ABC的三边长分别为a，b,1，则a，b满足的不等关系是
________________.解析：由三边长的关系得，a＋b＞1，且b＋1＞a，且a＋1＞b.答案：10．用“＞”“＜”或“＝”填空：(1)已知a＜b＜c＜0，则ac______bc；______；______.(2)已知x∈R，则x2＋2______2x.解析：(1)∵a＜b，c＜0，∴ac＞bc.又a＜b＜0?0＞＞，c＜0，∴＜.再由a＜b＜0?－a＞－b＞0?＞?>.(2)∵x2＋2－2x＝(x－1)2＋1＞0，∴x2＋2＞2x.答案：(1)＞　＜　＞　(2)＞11．已知a＞b，则不等式①a2＞b2；②＜；③＞中不能成立的有________(填序号)．解析：由a＞b?a2＞b2，反例：a＝1，b＝－2时有a2＜b2，①错；由a＞b?＜，反例：a＝1，b＝－2时有＞，②错；由a＞b?＞，反例：a＝1，b＝－2时有＜，③错．答案：①②③12．(1)比较x2＋3与3x的大小；解析：(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝＋≥＞0，∴x2＋3＞3x.(2)已知a、b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．解析：(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．∵a＞0，b＞0，且a≠b，∴(a－b)2＞0，a＋b＞0，∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，即a3＋b3＞a2b＋ab2.1．已知a＞b，判断下列不等式的正确性(对的打“√”，错的打“×”)：(1)
＜(　　)(2)
ac2＞bc2(c≠0)(　　)(3)
lg(a－b)＞0(　　)(4)
a－c＞b－c(　　)解析：(1)取a＝1，b＝－2知＞，(1)错；(2)∵c≠0，∴c2＞0，又a＞b，∴ac2＞bc2.(2)对；(3)当a－b∈(0,1]时，lg(a－b)≤0.(3)错；(4)∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－c)．(4)对．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√2．已知＜＜0，判断下列不等式的正确性(对的打“√”，错的打“×”)：(1)
a2＜b2(　　)(2)
ab＜b2(　　)(3)
＋＞2(　　)(4)
|a|＋|b|＞|a＋b|(　　)解析：∵＜＜0，∴a＜0，b＜0且－＜0，即＜0，∴b－a＜0，即b＜a＜0.(1)由b＜a＜0?－b＞－a＞0?b2＞a2，(1)对；(2)由b＜a＜0，又b＜0?b2＞ab，(2)对；(3)＋－2＝＝＞0，(3)对；(4)由a＜0，b＜0?|a＋b|＝|a|＋|b|，(4)错．答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
3．已知a≥b，则下列不等式正确的是(　　)A.
≥　　　　
B．ac2≥bc2C.
＞
D．(ac)2≥(bc)2答案：B4．如果aB．abD．－<－答案：D5．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是(　　)A．－2＜α－β＜0
B．－2＜α－β＜－1C．－1＜α－β＜0
D．－1＜α－β＜1答案：A6．如下图，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y与销量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系．当销量x满足下列哪个条件时，该公司盈利(　　)A．x>a
B．xD．0≤x≤a解析：当xa时，f(x)>g(x)，选A.答案：A7．若a，b，m∈R＋，a＜b，将a克食盐加入b－a克水中，所得溶液的盐的质量分数为P1，将a＋m克食盐加入b－a克水中，所得溶液的质量分数为P2，对P1
、P2的大小判断正确的是(　　)A．P1＜P2
B．P1＝P2C．P1＞P2
D．P1与P2大小不确定解析：P1＝＝，P2＝＝，P1－P2＝－＝，又∵a＜b，m，a，b∈R＋，∴P1－P2＜0，即P1＜P2.故选A.答案：A8．设x>1，－1)A．M＝a＋b，m＝2ab　　　B．M＝2ab，m＝2
C．M＝a＋b，m＝2
D．M＝2，m＝2ab解析：a＋b－2＝(－)2≥0，∴a＋b≥2.又0＜a＜1,0＜b＜1，∴0＜ab＜1，∴＞ab.∴2＞2ab，∴M＝a＋b，m＝2ab.故选A.答案：A10．已知0＜a＜1,2＜b＜4，则b－2a的取值范围是________．解析：由0＜a＜1?0＜2a＜2?－2＜－2a＜0.又2＜b＜4，两式相加得：0＜b－2a＜4.答案：(0,4)11．已知x＞0，则－____－
(填“＞”“＜”或者“＝”)解析：－＝，－＝，又＋＞＋＞0，∴＜
.答案：＜12．已知a＞b＞0，比较下列各组两式的大小：(1)a＋与b＋；(2)与.解析：(1)∵a＞b＞0
，∴＞，∴a＋＞b＋.(2)∵－＝＝＜0，∴＞.
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