新人教A版高中数学必修第一册：基本不等式

授课主题：基本不等式
教学目标
1.推导并掌握基本不等式，并从不同角度探索不等式≤的证明过程.2.理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≤”取等号的条件是：当且仅当这两个正数相等.3.熟练掌握基本不等式≤
(，∈R＋)，会用基本不等式证明不等式.4．进一步掌握基本不等式≤.5．会用基本不等式求某些函数的最大值、最小值，能够解决一些简单的实际问题．6．会用基本不等式的变式如≥2(a，b∈R＋)证明不等式．
教学内容
1．两类平均数两个正数的算术平均数与几何平均数．设a，b是任意两个正数，称为a，b的算术平均数；称为a，b的几何平均数．2．重要不等式设a，b∈R，∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.
当且仅当a＝b时，等号成立．3．基本不等式设a，b是任意两个正数，那么≤.当且仅当a＝b时，等号成立．基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．如果把看做是正数a，b的等差中项，看做是正数a，b的等比中项，那么基本不等式也可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．基本不等式的几何意义是“半径不小于半弦”．4．基本不等式的应用已知x，y都是正数，(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2．5．求函数最值的两个基本步骤(1)先证y≥m(m是与自变量无关的常数)或y≤M(M是与自变量无关的常数)；(2)再证存在定义域中的x0，使f(x0)＝m
或f(x0)＝M.有了这两步就可以下结论：y＝f(x)的最小值是m或y＝f(x)的最大值是M.1）不等式a2＋b2≥2ab?ab≤?ab≤2，其中a，b∈R＋.2）不等式a2＋b2≥2ab
?
≥2
，其中a，b∈R＋.3）基本不等式≤中，a，b∈R＋.题型一　不等式的证明例1　已知a，b，c，d都是正数，求证(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.证明：由a，b，c，d都是正数，得≥＞0，≥＞0.∴≥abcd，即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.点评：利用基本不等式证明不等式时，要充分利用基本不等式及其变形，同时注意利用基本不等式成立的条件．对要证明的不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行证明．巩
固　已知x，y都是正数，求证：(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.分析：用基本不等式≥时，注意条件a，b均为正数，并结合不等式的性质，进行推证．证明：∵x，y都是正数，∴x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0，由基本不等式有x＋y≥2＞0，x2＋y2≥2＞0，x3＋y3≥2＞0.再由不等式的性质有(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3.即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3(当且仅当x＝y时取“＝”)．题型二　利用基本不等式求最值例2　(1)若x＞0，求f(x)＝＋3x的最小值；(2)已知x＞2，求x＋的最小值．解析：(1)∵x＞0，由基本不等式得f(x)＝＋3x≥2＝2＝12.当且仅当3x＝，即x＝2时，f(x)取最小值12.(2)∵x＞2，∴x－2＞0，∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6.当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．所以x＋的最小值为6.点评：利用基本不等式求函数的最值，要满足：(1)函数式中各项必须都是正数；(2)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数(定值)；(3)等号成立条件必须存在．巩
固　(1)已知0＜x＜，求函数y＝x(1－3x)的最大值；(2)已知x＞1，求y＝的最小值；(3)已知x＞0，y＞0，＋＝1，求2x＋3y的最小值．解析：(1)∵0＜x＜，∴1－3x＞0，∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤＝，当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．∴当x＝时，函数取最大值.(2)y＝＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝x－1，即(x－1)2＝1时，等式成立，∵x＞1，∴当x＝2时，ymin＝4.(3)2x＋3y＝1·＝(2x＋3y)＝2＋＋＋18≥2＋2＋18＝2＋12＋18＝32，当且仅当y＝2x时取等号，且＋＝1，即x＝4，y＝8时成立，∴2x＋3y的最小值为32.题型三　利用基本不等式解决应用问题例3　某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多少公里处？解析：由已知y1＝；y2＝0.8x(x为仓库与车站距离)，费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2＝8.当且仅当0.8x＝，即x＝5时“＝”成立．答：仓库应建在离车站5公里处．点评：基本不等式在实际中的应用是指利用不等式解决生产、科研和日常生活中的问题，解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论．巩
固　一批货物随17列货车从A市以v
km/h的速度匀速直达B市．已知两地路线长400
km，为了安全，两列货车的间距不得小于2
km(货车长度忽略不计)，那么这批货物全部运到B市最快需要多少小时？解析：这批货物从A市全部运到B市的时间至少为t＝＝＋≥2＝8(h)，等号成立的条件是＝，即v＝100.故这批货物全部运到B市最快需要8小时．题型四　用基本不等式与不等式的性质证明不等式例4　已知a，b，c∈R＋，求证：＋＋≥a＋b＋c.证明：由基本不等式：＋≥2
＝2c，同理：＋≥2a，＋≥2b.三式相加即得：＋＋≥a＋b＋c(当且仅当a＝b＝c时取“＝”)．点评：利用不等式a2＋b2≥2ab和a＋b≥2(a＞0，b＞0)时，关键是对式子恰当地变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用．题型五　利用基本不等式与题设条件求最值问题例5　若x，y∈R＋，且2x＋y＝1，求＋的最小值．解析：＋＝＋＝3＋＋≥3＋2，等号成立的条件是：即x＝，y＝
－1.∴当x＝，y＝－1时，＋取最小值3＋2
.点评：使用基本不等式求最值时，各项必须为正数，方可利用基本不等式，同时要注意，等号成立的条件，否则容易出错．巩
固　已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．分析：要求x＋y的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值．这需要对条件进行必要的变形，下面给出二种解法，请仔细体会．解析：解法一：∵＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋.∵x>0，y>0，∴＋≥2＝6.当且仅当＝，即y＝3x时取等号．又＋＝1，∴x＝4，y＝12.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16.解法二：由题可得：x＝(y>9)．x＋y＝＋y＝＋y－9＋9＝＋y－9＋10≥2
＋10＝16.当且仅当＝y－9，即y＝12，x＝4时，x＋y取得最小值16.题型六　利用基本不等式求解应用题例6　如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36
m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24
m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解析：解法一：(1)设每间虎笼长为x
m，宽为y
m，则由条件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18，设每间虎笼面积为S，则S＝xy，由于2x＋3y≥2＝2，∴2≤18，得xy≤，即S≤.当且仅当2x＝3y时等号成立．由解得故每间虎笼长为4.5
m、宽为3
m时，可使每间虎笼面积最大．(2)由条件知S＝xy＝24，设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.∵2x＋3y≥2＝2＝24.∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时等号成立．由解得故每间虎笼长为6
m、宽为4
m时，可使钢筋网总长最小．解法二：(1)设每间虎笼长为x
m、宽为y
m，则由条件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18，x＝9－y.∵x＞0，∴0＜y＜6，S＝xy＝y＝(6－y)·y.∵0＜y＜6，∴6－y＞0，∴S≤·＝.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5，故每间虎笼长为4.5
m、宽为3
m时，可使每间虎笼面积最大．(2)由条件知S＝xy＝24，设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y，由xy＝24，得x＝，∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48.当且仅当＝y，即y＝4时等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长为6
m、宽为4
m时，可使钢筋网总长最小．点评：(1)不等式的应用问题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取得，若取不到，则必须利用函数的单调性去求函数的最值(2)解答不等式应用题的一般步骤；①阅读并理解材料；②建立数学模型；③讨论不等关系；④作出结论．巩
固　某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的平均费用最少)?解析：设使用x年的平均费用为y万元．由已知得，y＝＝1＋＋(x∈N
)≥1＋2×＝3.当且仅当＝，即x＝10时取等号．因此，使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．1．已知a、b∈R，且ab≠0，则在①≥ab；②＋≥2；③ab≤2；④2≤这四个不等式中，恒成立的个数有(　　)A．1个
B．2个
C．3个
D．4个答案：C2．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(　　)A．x＝
B．x≤
C．x＞
D．x≥解析：依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∴1＋x＝≤[(1＋a)＋(1＋b)]＝1＋∴x≤.故选B.答案：B3．已知x、y＞0且x＋y＝1，则p＝x＋＋y＋的最小值为(　　)A．3
B．4C．5
D．6解析：此题很容易出错，认为x＋≥2，y＋≥2，∴p≥4，错选B，错误的原因是x、y不能同时取到1.正确解法：x＋＋y＋＝3＋＋≥3＋2＝5.答案：C4．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(　　)A．6　　
　B．4　
　　C．2　　
　D．8解析：2a＋2b≥2＝2＝2＝4，等号成立，当且仅当2a＝2b.即a＝b＝，故选B.答案：B5．如果a2＋b2＝4，则ab的最________值是________；如果ab＝2，则a2＋b2的最________值是________．答案：大
2
小
46．如果a>0，b>0，则＋的最小值是________；如果ab>0，则＋的范围是________.答案：2
[2，＋∞)7．若x，y∈R＋，且x＋4y＝20，则x·y的最大值是________________．解析：∵20＝x＋4y≥2＝4，∴≤5?xy≤25.等号成立的条件是x＝4y＝10.即x＝10，y＝.∴xy的最大值是25.答案：258．已知a，b∈R＋，如果ab＝1，那么a＋b的最小值为________；如果a＋b＝1，那么ab的最大值为__________．解析：∵a，b∈R＋，∴≥，∴a＋b≥2＝2.故当ab＝1时，a＋b取最小值2，此时a＝b＝1.又当a＋b＝1时，≤＝，∴ab≤.故当a＝b＝时，ab取最大值.答案：2　9．已知a，b，c都是正数，求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.证明：∵a，b，c都是正数，∴a＋b≥2＞0，b＋c≥2＞0，c＋a≥2＞0，∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc，即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，当且仅当a＝b＝c时等号成立．10．求函数y＝(x>－1)的最小值．解析：∵x>－1，∴x＋1>0.∴y＝＝＝(x＋1)＋＋5≥2＋5＝9.当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立．∴当x＝1时，函数y＝(x>－1)取得最小值为9.1．“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义．(1)当a＝b时等号成立的含意是：a＝b?＝
；(2)仅当a＝b时等号成立的含意是：＝?a＝b
；综合起来，其含意是：
＝?a＝b.2．设a，b∈R，不等式a2＋b2≥2ab?ab≤?ab≤2.3．基本不等式的几种变式：设a＞0，b＞0，则a＋≥2，＋≥2，≥2a－b.4．用基本不等式≤求最值时的三个要点：(1)式中各项均为正数；(2)含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)等号能成立．以上三点可简记为：“一正、二定、三相等”．1．若x>0，则函数y＝－x－(　　)A．有最大值－2
B．有最小值－2C．有最大值2
D．有最小值2解析：∵x>0，∴x＋≥2.∴－x－≤－2.当且仅当x＝1时，等号成立，故函数y＝－x－有最大值－2.答案：A2．数列{an}的通项公式an＝，则数列{an}中的最大项是(　　)A．第9项
B．第8项和第9项C．第10项
D．第9项和第10项解析：an＝＝∵n＋≥2，且n∈N
，∴当n＝9或10时，n＋最小，an取最大值．故选D.答案：D3．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则ab＋的最小值为(　　)A．2
B.
C.
D．不存在解析：∵a，b∈R＋，a＋b＝1，∴≤＝，∴0＜ab≤.令t＝ab，则f(t)＝t＋在上单调递减，∴f(t)的最小值为f＝＋4＝，故选C.答案：C4．某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金，某顾客要购买10
g黄金，售货员先将5
g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将5
g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金(　　)A．大于10
g
B．小于10
gC．大于等于10
g
D．小于等于10
g解析：设两臂长分别为a，b，两次放入的黄金数是x，y，依题意有ax＝5b，by＝5a，∴xy＝25.∵≥，∴x＋y≥10，又a≠b，∴x≠y.∴x＋y＞10.即两次所得黄金数大于10克，故选A.答案：A5．函数f(x)＝的最大值为(　　)A.
B.
C.
D．1解析：当x＝0时，f(0)＝0；当x＞0时，x＋1≥2＞0，∴f(x)≤＝，当且仅当x＝1时等号成立．故函数f(x)＝的最大值为.答案：B6．某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0B．27
C．20
D．16答案：A7．函数y＝3x2＋(x>0)的最小值是(　　)A．3－3
B．－3C．6
D．6－3答案：D8．设x＞1，则当x＝__________时，y＝x＋取最小值：___________.解析：∵x＞1，∴x－1＞0.又y＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1.等号成立的条件是x－1＝，即x＝1＋.故当x＝1＋时，y取最小值1＋2.答案：＋1　2＋19．(1)求函数y＝＋x(x＞3)的最小值；解析：∵x＞3，∴y＝＋x＝＋(x－3)＋3≥5，当且仅当x－3＝，即x＝4时取等号．∴ymin＝5.(2)求函数y＝x(a－2x)(x＞0，a为大于2x的常数)的最大值；解析：∵x＞0，a＞2x，∴y＝x(a－2x)＝·2x·(a－2x)≤·＝，当且仅当x＝时，取等号，∴ymax＝.
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