新人教A版高中数学必修第一册2.3一元二次不等式

授课主题：一元二次不等式
教学目标
1．通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．2．了解一元二次不等式及其解的含义．3.含参数的一元二次不等式的解法.4.了解分类讨论的原则和方法.5.运用数形结合的方法，将不等式的解化归为直观、形象的图形关系.
教学内容
1．一元二次不等式的概念1）只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式．如：不等式2x2－x＋1＞0是一元二次不等式．2）使一元二次不等式成立的未知数的取值范围叫一元二次不等式的解集．3）一元二次不等式经过变形，可化成以下两种标准形式：①ax2＋bx＋c＞0(a＞0)；②ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．设二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac，则：(1)Δ＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的解x1，x2，设x1＜x2，则不等式①的解集为{x|xx2}，不等式②的解集为{x|x1固　判断下列不等式哪些是一元二次不等式．(1)x2＋ax－3＞0；(2)－5x2－6x＋3≤0；(3)ax2＋3x－2≥0；(4)3x3＋2x－1＜0.解析：(1)(2)是一元二次不等式，(3)不是，a＝0是一元一次不等式，(4)不是，是一元三次不等式．题型二　一元二次不等式的解法例2　(1)解不等式：3x2＋2x＞2－3x；(2)解不等式：5－4x＞－x2.解析：(1)原不等式整理得3x2＋5x－2＞0，∵Δ＝52－4×3×(－2)＝49＞0，∴方程3x2＋5x－2＝0有两个不等实根x1＝－2，x2＝，由函数y＝3x2＋5x－2的图象，得原不等式的解集为.(2)原不等式整理得x2－4x＋5＞0，∵Δ＝42－4×1×5＝－4＜0，∴由函数y＝x2－4x＋5的图象，得原不等式的解集为R.点评：一元二次不等式的解法一般按照“三步曲”：第一步，化二次项的系数为正数；第二步，求解相应的一元二次方程的根；第三步，根据根的情况结合图象写出一元二次不等式的解集．巩
固　解下列不等式：(1)2＋3x－2x2>0；(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1；(3)x2－2x＋3>0.解析：(1)原不等式可化为2x2－3x－2<0，∴(2x＋1)(x－2)<0.故原不等式的解集是.(2)原不等式可化为2x2－x－1≥0，∴(2x＋1)(x－1)≥0，故原不等式的解集为.(3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，故原不等式的解集是R.题型三　简单分式不等式的解法例3　解不等式＞0解析：原不等式可化为：＜0，即(2x－5)(x－3)＜0.∴x∈，∴原不等式的解集为点评：分式不等式一般可化为二次不等式求解．注意：＞0与(a1x＋b1)(a2x＋b2)＞0同解．巩
固　求下列不等式的解集：(1)＜0；(2)≤2.解析：(1)由＜0，得＞0，此不等式等价于(x＋2)(x－1)＞0，∴原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}．(2)解法一：移项得－2≤0，左边通分并化简有≤0，即≥0，它的同解不等式为∴x＜2或x≥5，∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}．解法二：原不等式可化为≥0，此不等式等价于①或②解①得x≥5，解②得x＜2，∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}．题型四　含参数一元二次不等式的解法例4　解关于x的不等式：x(x－a－1)≥－a.解析：原不等式化为(x－1)(x－a)≥0，相应方程的两根为1，a，故应比较1与a的大小．①当a＞1时，原不等式的解集为{x|x≤1或x≥a}．②当a＝1时，原不等式的解集为R.③当a＜1时，原不等式的解集为{x|x≤a或x≥1}．点评：解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式为Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0；第三层次是根的大小的讨论．巩
固　解关于x的不等式x2－ax－2a2＜0.分析：求出一元二次方程的两根2a，－a，比较两根的大小．解析：方程x2－ax－2a2＝0的判别式Δ＝a2＋8a2＝9a2≥0，得方程两根x1＝2a，x2＝－a，(1)若a＞0，则－a＜x＜2a，此时不等式的解集为{x|－a＜x＜2a}；(2)若a＜0，则2a＜x＜－a，此时不等式的解集为{x|2a＜x＜－a}；(3)若a＝0，则原不等式即为x2＜0，此时解集为?.综上所述，原不等式的解集为当a＞0时，{x|－a＜x＜2a}；当a＜0时，{x|2a＜x＜－a}；当a＝0时，?.题型五　二次项含参数的一元二次不等式的解法例5　解关于x的不等式：ax2－2(a＋1)x＋4＜0.解析：(1)当a＝0时，原不等式的解集为：{x|x＞2}．(2)当a≠0时，原不等式化为：a(x－2)＜0，①当a＜0时，原不等式等价于(x－2)＞0
，此时原不等式的解集为；②当0＜a＜1时，2＜，此时原不等式的解集为；
③当a＞1时，＜2，此时原不等式的解集为；④当a＝1时，原不等式的解集为?.点评：熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要不重不漏．一般地：(1)当二次项系数不确定时，要分二次项系数等于零、大于零、小于零三种情况进行讨论．(2)判别式大于零时，只需讨论两根大小．(3)判别式不确定时，要分判别式大于零、等于零、小于零三种情况进行讨论．巩
固　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＞0.解析：当a＝0时，原不等式可化为－x＋1＞0，即x＜1，当a＜0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)＞0，即(x－1)＜0.∴＜x＜1.当a＞0时，原不等式可化为(x－1)＞0，其解的情况应由与1的大小关系决定，故①当＞1，即0＜a＜1时，有x＞或x＜1；②当＜1，即a＞1时，有x＞1或x＜；③当＝1，即a＝1时，有x≠1.综上所述：当a＜0时，原不等式解集为eq
\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\f(1,a)＜x＜1))；当a＝0时，原不等式解集为{x|x＜1}；当0＜a＜1时，原不等式解集为x|x＜1或x＞；当a＝1时，原不等式解集为{x|x∈R且x≠1}；当a＞1时，原不等式解集为.题型六　二次方程、二次函数、二次不等式间的关系例6　若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．解析：解法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a＜0，又×2＝＜0，则c＞0.又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴－＝，∴＝－.又＝－，∴b＝－a，c＝－a.∴不等式变为x2＋x＋a＜0，即2ax2＋5ax－3a＞0，又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0.∴所求不等式的解集为解法二：由已知得a＜0且＋2＝－，×2＝知c＞0.设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别x1，x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝，其中＝，－＝＝＝＋，∴x1＝＝－3，x2＝.∴不等式cx2＋bx＋a＜0(c＞0)的解集为.点评：如果对一元二次不等式解的意义不理解，将不能由y＝ax2＋bx＋c(a≥0)的解集得出ax2＋bx＋c＝0的两根为－和2，即使知道，还有同学不能通过解集的形式得出a＜0，又不能通过×2＝－得出c＞0，导致错解．
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巩
固　已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，x2＋x－6＜0的解集为B，x2＋ax＋b＜0的解集为C，若C＝A∩B，求a，b的值．解析：x2－2x－3＜0的解集A为{x|－1＜x＜3}．x2＋x－6＜0的解集为B为{x|－3＜x＜2}．∵C＝A∩B?集合C为{x|－1＜x＜2}，∴－1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根．∴a＝－1，b＝－2.1．不等式(x＋2)(3－x)＞0的解集是(　　)A．{x|x＞3或x＜－2}　　　B．{x|－3＜x＜2}C．{x|x＞2或x＜－3}
D．{x|－2＜x＜3}答案：D2．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是(　　)A.B.C.D.解析：由已知可得6x2＋x－2≥0，即(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥或x≤－.答案：B3．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1B．BAC．A＝B
D．A∩B＝?解析：化简集合后，直接判断集合间的关系．∵A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1B．x2－2x＋5>0C．x2＋6x＋10>0
D．2x2－3x＋4<0解析：利用“Δ”判断，在不等式x2＋6x＋10>0中，Δ＝62－40<0，∴不等式x2＋6x＋10＝0的解集为R，选C.答案：C5．不等式x2＋x－2<0的解集为________．答案：(－2,1)6．不等式x2≤4的解集是________．答案：[－2,2]7．不等式9－x2＞0的解集是________．解析：由9－x2＞0?x2－9＜0，方程x2－9＝0的两根为－3,3，结合y＝x2－9的图象得原不等式的解集是{x|－3＜x＜3}．用区间表示为：(－3,3)．答案：(－3,3)8．不等式x2－4x＋4≤0的解集是________．解析：方程x2－4x＋4＝0有两个相等的实根x1＝x2＝2.结合y＝x2－4x＋4的图象得原不等式的解集是{2}．答案：{2}9．不等式x2＞2的解集是________．答案：(－∞，－)∪(，＋∞)10．不等式x(4－x)≤5的解集是______．解析：由x(4－x)≤5?x2－4x＋5≥0，∵Δ＝(－4)2－4×5＜0，∴方程x2－4x＋5＝0无实根，结合y＝x2－4x＋5的图象得原不等式的解集为实数集R.答案：R11．不等式x(3－x)≥x(x＋2)＋1的解集是____．解析：由x(3－x)≥x(x＋2)＋1?2x2－x＋1≤0.∵Δ＝(－1)2－4×2×1＜0，∴方程2x2－x＋1＝0无实根，结合y＝2x2－x＋1的图象得原不等式的解集为?.答案：?12．解下列不等式．(1)4x2＋4x＋1＞0；(2)x2＋25≤10x；(3)－3x2＋6x＞2；(4)2x2－4x＋7≥0.解析：(1)因为4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2＞0，所以原不等式的解集为.(2)原不等式可化为x2－10x＋25≤0，即(x－5)2≤0，故原不等式的解集为{x|x＝5}．(3)原不等式可化为3x2－6x＋2＜0，∵Δ＝12＞0，方程3x2－6x＋2＝0的两根是x1＝1－，x2＝1＋，∴原不等式的解集为.(4)因为Δ＝－40＜0，所以方程2x2－4x＋7＝0无实根，而函数y＝2x2－4x＋7的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.13．解不等式组：－10，所以x<－2或x>0；由②得(x＋3)(x－1)≤0，所以－3≤x≤1.∴原不等式组的解集为{x|－3≤x<－2或0D．a＞0，Δ＞0答案：C2．已知不等式x2＋px＋q＜0的解集是{x|－3＜x＜2}，则(　　)A．p＝－1，q＝6
B．p＝1，q＝6C．p＝1，q＝－6
D．p＝－1，q＝－6解析：由不等式x2＋px＋q＜0的解集是{x|－3＜x＜2}，知－3,2是方程x2＋px＋q＝0的两根，由根与系数的关系求出p，q的值．答案：C3．若a＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解是(　　)A．x＞5a或x＜－a
B．x＞－a或x＜5aC．5a＜x＜－a
D．－a＜x＜5a解析：由题可得(x－5a)(x＋a)＞0，∵a＜0，∴5a＜－a，∴x＞－a或x＜5a.答案：B4．不等式<0的解集为(　　)A．(－1,0)∪(0，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－1,0)D．(－∞，－1)答案：D5．设m＋n＞0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)＞0的解是(　　)A．x＜－n或x＞m　　　B．－n＜x＜mC．x＜－m或x＞n
D．－m＜x＜n解析：方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，∵m＋n＞0，∴m＞－n，结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象，得原不等式的解是－n＜x＜m.故选B.答案：B6．已知2a＋1＜0，关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是(　　)A．{x|x＜5a或x＞－a}
B．{x|x＞5a或x＜－a}C．{x|－a＜x＜5a}
D．{x|5a＜x＜－a}解析：方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a,5a，∵2a＋1＜0，∴a＜－.∴－a＞5a，结合y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集是{x|x＜5a或x＞－a}．故选A.答案：A7．不等式x2＋mx＋>0恒成立的条件是________．答案：00恒成立；当k≠0时，则k满足即解之得00的解集是________．解析：从表中取三组数据(－1，－4)、(0，－6)、(1，－6)分别代入函数表达式，得解得∴二次函数表达式为y＝x2－x－6.由x2－x－6>0得(x－3)(x＋2)>0，∴x<－2或x>3.答案：{x|x<－2或x>3}10．关于x的不等式x(x－a2－1)≤0的解集是________．解析：方程x(x－a2－1)＝0的两根为0，a2＋1，且a2＋1＞0，故不等式x(x－a2－1)≤0的解集是{x|0≤x≤a2＋1}．答案：{x|0≤x≤a2＋1}11.
若关于x的不等式＞0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________.解析：注意到等价于(x－a)(x＋1)＞0，而解集为x＜－1或x＞4，从而a＝4.答案：412．已知实数a满足不等式－3＜a＜3，解关于x的不等式：(x－a)(x＋1)＞
0.解析：方程(x－a)(x＋1)＝0的两根为－1，a.①当a＜－1即－3＜a＜－1时，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞－1}；②当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；③当a＞－1即－1＜a＜3时，原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞a}．13．解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a＞0)．解析：将不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0变形为(x－a)(x－a2)＞0，当0＜a＜1时，有a＞a2，所以不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；当a＝1时，a＝a2＝1，所以不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；当a＞1时，有a＜a2，所以不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}．
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