新人教A版高中数学必修第一册：函数的定义及三要素

授课主题：函数定义及其三要素
教学目标
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.会使用区间表示某些特定的集合.3.理解函数的定义.
教学内容
1．函数的概念
一般地，设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么f：A→B就称为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，
x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．2．区间设a，b∈R，且a或(，]．(4)实数集R用区间表示为(－∞，＋∞)．(5)把满足x≥a，x>a，x≤a，x怎样检验两个变量之间是否具有函数关系？解析：由函数近代定义知，我们要检验两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：①定义域和对应关系是否给出且定义域为非空数集；②根据给出的对应关系，自变量在其定义域内任一个值，是否都能确定唯一的函数值．2)函数f(x)与f(a)(a是常数)有什么区别与联系？解析：由f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值。3)
如何认识集合{x|a≤x≤b}与区间[a，b]的区别？解析：区间[a，b]一定是无限集，且隐含a＜b，集合{x|a≤x≤b}中对实数，a，b大小关系无限制条件．当a＝b时，{x|a≤x≤b}＝{a}是单元素集：当a＞b时，{x|a≤x≤b}＝?，这两种情况均不能用区间[a，b]表示．题型一　函数概念的理解
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例1　下列对应关系是否为A到B的函数？(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；(3)A＝R，B＝Z，f：x→y＝；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.解析：(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；(3)A中元素负数没有平方根，故在B中没有对应的元素且不一定为整数，故此对应关系不是A到B的函数；(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数．点评：判断所给对应是否是函数，首先观察两个集合A，B是否是非空集合(数集)，其次验证对应关系下，集合A中数x的任意性，集合B中数y的唯一性．
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巩
固　若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从A到B的函数f：A→B的是(　　)解析：A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈A，但B中无与之对应的y；B、C均不满足函数的唯一性，只有D正确．答案：D题型二　“
f
”的含义及函数值的问题
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例2　已知f(x)＝x2－6x.(1)求f(2)，f(a＋1)的值；(2)若f(x)＝－5，求x的值．解析：(1)f(2)＝22－6×2＝－8，f(a＋1)＝(a＋1)2－6(a＋1)＝a2－4a－5.(2)f(x)＝x2－6x＝－5?x＝1或x＝5.点评：(1)在函数y＝f(x)中，x为自变量，f为对应关系，f(x)是对应关系f下x对应的函数值，所以求函数值时，只需将f(x)的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入既可；求f[f(x)]时，一般应遵循由里到外的原则．巩
固　已知f()＝(R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．求：(1)f(2)、g(2)的值；(2)f[g(2)]的值；(3)f[g(x)]的解析式．解析：
题型三　求函数的定义域求函数的定义域需要从这几个方面入手：
（1）分母不为零
（2）偶次根式的被开方数非负。（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1
（5）中；中等等。(
6
)中
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例3　
求下列函数的定义域：①
；②
；③
解：①∵x-2=0，即x=2时，分式无意义，而时，分式有意义，∴这个函数的定义域是.②∵3x+2<0，即x<-时，根式无意义，而，即时，根式才有意义，∴这个函数的定义域是{|}.③∵当，即且时，根式和分式
同时有意义，∴这个函数的定义域是{|且}另解：要使函数有意义，必须：
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例4
求下列函数的定义域：①
②③
④
⑤
解：①要使函数有意义，必须：
即：
∴函数的定义域为：
[]
②要使函数有意义，必须：
∴定义域为：{
x|}③要使函数有意义，必须：
∴函数的定义域为：④要使函数有意义，必须：
∴定义域为：
⑤要使函数有意义，必须：
即
x<
或
x>
∴定义域为：
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例5　若函数的定义域是R，求实数
的取值范围
解：∵定义域是R,∴∴
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例6　
若函数的定义域为[1，1]，求函数的定义域解：要使函数有意义，必须：∴函数的定义域为：
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例7　
已知的定义域为[－1，1]，求的定义域。分析：法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在
[－1，1]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1)中2x－1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。）解：∵f(x)的定义域为[－1，1]，∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1，∴f(2x－1)的定义域为[0，1]。
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例8　已知已知的定义域为[－1，1]，求的定义域。答案：－1≤x2≤1
x2≤1－1≤x≤1
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例9　已知的定义域为[0，1]，求的定义域。因为2x－1是R上的单调递增函数，因此由2x－1，
x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。题型四　求函数的值域（1）利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为{|0}，值域为{|0}；二次函数的定义域为R，当>0时，值域为{}；当<0时，值域为{}.
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例10　
求下列函数的值域①
②
③
（记住图像）
解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②略③
当x>0，∴=，当x<0时，=－∴值域是[2，+).（此法也称为配方法）函数的图像为：（2）二次函数在区间上的值域(最值)：
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例11
求下列函数的最大值、最小值与值域：①；
②；③；
④；解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x=2时，ymin=-3
,无最大值；函数的值域是{y|y-3
}.②∵顶点横坐标2[3,4]，当x=3时，y=
-2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2
[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2
[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,
x=5时，y=6,∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6].（3）单调性法、换元法（三角换元）
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例12
求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。　　解：法一：（单调性法）设f(x)=4x,g(x)=
－√1-3x
,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=
4x－√1-3x
在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。　　小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。法二：换元法(下题讲)
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例13
求函数
的值域
解：（换元法）设，则
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例14
求函数的值域解：（三角换元法）
设
小结：（1）若题目中含有，则可设
（2）若题目中含有则可设，其中（3）若题目中含有，则可设，其中（4）若题目中含有，则可设，其中（5）若题目中含有，则可设其中（4）数形结合
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例15
求
的值域解法一：（图象法）可化为
如图，
观察得值域
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例16
求函数
的值域解：（图象法）如图，值域为
（5）分离常数法
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例17
求函数
的值域（分离常数法）由
，可得值域（6）根的判别式例18
求函数的值域解法一：（判别式法）化为1）时，不成立2）时，得综合1）、2）值域解法二：（复合函数法）令，则
所以，值域题型五　求函数的解析式（1）待定系数法例19
是一次函数，，求的解析式。（2）换元法（配凑法）例20
已知，求的解析式。（3）消元解析法例21
已知，求的解析式。（4）利用函数的奇偶性、周期性例22（1）是R上的奇函数，当>0时，，求的函数解析式。（2）已知，当时，，求：当时，求的函数解析式。A组1．下列各图中，可表示函数y＝f(x)的图象的只可能是(　　)答案：D2．下列各组函数表示同一函数的是(　　)A．y＝与y＝x＋3
B．y＝－1与y＝x－1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)
D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z答案：C　3．给出四个命题：①函数就是定义域到值域的对应关系；②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素；③因为f(x)＝5(x∈R)，这个函数值不随x的变化而变化，所以f(0)＝5也成立；④定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．以上命题正确的有(　　)A．1个
B．2个
C．3个
D．4个答案：DB组1．函数y＝
的定义域为(　　)A．(－∞，－1]　　
　
B．(－∞，－1)
C．[－1，＋∞)
D．(－1，＋∞)答案：D2．设函数f(x)＝x2－3x＋1，则f(a)－f(－a)＝(　　)A．0
B．－6a
C．2a2＋2
D．2a2－6a＋2答案：B3．下列用表给出的函数关系中，当x＝6时，对应的函数值y等于(　　)x0＜x≤11＜x≤55＜x≤10x＞10y1234A.2
B．3
C．4
D．无法确定答案：B4．函数y＝－3x＋1，x∈[－1,1]的值域为________．答案：[－2,4]5．函数y＝的定义域为________．解析：利用解不等式组的方法求解．要使函数有意义，需解得∴原函数的定义域为{x|x≥－1且x≠0}．答案：{x|x≥－1且x≠0}6．已知f(x)＝则f[f(－3)]的值为________．解析：f(－3)＝－3＋4＝1，f(f(－3))＝f(1)＝1－4＝－3.答案：－31．已知集合P＝{x|－4≤x≤4}，Q＝{y|－2≤y≤2}，下列函数不表示从P到Q的函数的是(　　)A．2y＝x
B．y2＝(x＋4)
C．y＝x2－2
D．x2＝－8y答案：B2．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，f(bx)＝9x2－6x＋2，其中xR，a，b为常数，则方程f(ax＋b)＝0的解集为____________．解析：f(bx)＝(bx)2＋2bx＋a＝9x2－6x＋2?
?∴f(2x－3)＝(2x－3)2＋2(2x－3)＋2,
f(ax＋b)＝0，即为4x2－8x＋5＝0，而Δ<0，故方程f(ax＋b)＝0的解集为?.答案：?3．求下列函数的值域：(1)y＝x＋1，x{2,3,4,5,6}；(2)y＝＋1；(3)y＝x2－4x＋6.解析：(1){3,4,5,6,7}．(2)∵≥0，∴y≥1，故值域为{y|y≥1}．(3)∵y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，而(x－2)2≥0，∴y≥2，故值域为{y|y≥2}．4．已知函数f(x)＝.(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；(2)求证f(x)＋f是定值；(3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2
012)＋f的值．解析：(1)∵f(x)＝，∴f(2)＋f＝＋＝1，f(3)＋f＝＋＝1.(2)证明：f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1.(3)由(2)知，f(x)＋f＝1，∴f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1，f(4)＋f＝1，…f(2
012)＋f＝1，∴f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2
012)＋f＝2
011.5．已知f(x)的定义域为(0,1]，求g(x)＝f(x＋a)·f(x－a)
(a≤0)的定义域．解析：由已知得即(a≤0)用数轴法，讨论(1)当a＝0时，x∈(0,1]；(2)当a≤－时，x∈?，即函数不存在；(3)当－-1
0
1
3
4
-4
x
y
1
0
x
y
1
0
5
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