新人教A版高中数学必修第一册：函数的表示及单调性

授课主题：函数的表示和单调性
教学目标
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.了解简单的分段函数，并能简单应用.3.理解函数的单调性，会用定义法证明函数的单调性.4.会运用函数图象理解和研究函数的单调性.5.会判断常见函数如正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的单调性.
教学内容
函数的表示1．常用的函数表示法
(1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．2．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应法则的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．3．映射1）映射的概念设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f作用下的象，记作f(x)，x称作y的原象．2）一一映射如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射．3）映射与函数由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是非空数集．单调性1．函数的单调性
(1)
如果函数f(x)对区间D内的任意x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在D内是增函数；当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在D内是减函数．
(2)
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1＜x2时，总有f(x1)＜f(x2)[或f(x1)＞f(x2)]．(3)
若函数y＝
f(x)在区间I上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间．2．特殊函数的单调性(1)
a>0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的单调递增区间为．(2)
k>0时，y＝kx＋b在R上是增函数．(3)
函数y＝
(k>0)的单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．3.
注意1．函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．2．研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但不能说函数f(x)＝在定义域上是减函数．3．求单调区间的方法：(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性．4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤：取值——作差变形——定号——判断．若f(x)>0，则判断f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——判断”5．在学习中要注意下列三个方面的问题：(1)映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的．(2)对应、映射、函数三个概念既有区别又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．(3)判断一个对应是否是映射，主要看第一个集合A中的每一个元素在对应法则下是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一，至于B中的每一个元素是否都有原象，则不作要求.
题型一　分段函数的求值例1　已知函数f(x)＝(1)求f[f()]的值；(2)若f(a)＝3，求a的值．解析：
(1)∵－1<<2，∴f()＝()2＝3.而3≥2，∴f[f()]＝f(3)＝2×3＝6.(2)当a≤－1时，f(a)＝a＋2，又f(a)＝3，∴a＝1(舍去)；当－1巩
固　设f(x)＝若f(a)>a，则实数a的取值范围是________．解析：当a≥0时，f(a)＝a－1，解a－1>a，得a<－2与a≥0矛盾，当a<0时，f(a)＝，解>a，得a<－1.∴a<－1.题型二　分段函数的图象及应用例2　已知函数f(x)＝1＋(－2(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，当－2固　已知函数f(x)＝，在平面直角坐标系中作出y＝f(x)的图象，并写出值域．解析：　如图所示，函数y＝f(x)的图象是由f1(x)＝－2(x－)2＋1，x∈[0，)的图象(抛物线的一段)及f2(x)＝－2x＋2，x∈[，1]的图象(一条线段)组成的，其值域为[0,1]．题型三　映射例3　在下列对应关系中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？哪些不是；若是映射，是否是一一映射？(1)A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，对应法则f：“加1”；(2)A＝(0，＋∞)，B＝R，对应法则f：“求平方根”；(3)A＝N，B＝N，对应法则f：“3倍”；(4)A＝R，B＝R，对应法则f：“求绝对值”；(5)A＝R，B＝R，对应法则f：“求倒数”．解析：(1)中集合A中的每一个元素通过法则f作用后，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，显然，对应法则f是A到B的映射，又B中的每一个元素在A中都有唯一的原象与之对应，故f：A→B也是一一映射．(2)中集合A中的每一个元素通过法则f作用后，在集合B中都有两个元素与之对应，显然对应法则f不是A到B的映射，故不是一一映射．(3)中集合A中的每一个元素通过法则f作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f是从A到B的映射，又B中某些元素1、2、4、5……在A中没有原象与之对应，故f：A→B不是一一映射．(4)中集合A中的每一个元素通过法则f作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故法则f是从A到B的映射，但对于B中某些元素在A中可能有两个元素与之对应甚至没有原象，故f：A→B不是一一映射．(5)当x＝0∈A，无意义，故法则f不是从A到B的映射．点评：判断对应f：A→B是否是A到B的映射，须注意两点：(1)明确集合A、B中的元素；(2)判断A的每个元素是否在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，若进一步判断是否为一一映射，还需注意B中的每个元素在A中是否有原象，集合A中的不同元素对应的象是否相同．巩
固　下列对应是否是从A到B的映射，能否构成函数？(1)A＝R，B＝R，f：x→y＝；(2)A＝{0,1,2,9}，B＝{0,1,4,9,64}，f：a→b＝(a－1)2；(3)A＝[0，＋∞)，B＝R，f：x→y2＝x；(4)A＝{x|x是平面M内的矩形}，B＝{x|x是平面M内的圆}，f：作矩形的外接圆．解析：(1)当x＝－1时，y的值不存在，∴不是映射，更不是函数．(2)在f的作用下，A中的0,1,2,9分别对应到B中的1,0,1,64，∴是映射，也是函数．(3)∵当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数．(4)是映射，但不是函数，因为A，B不是数集．题型四　利用图象求单调区间例4　求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝3|x|；　(2)f(x)＝|x2＋2x－3|.解析：(1)
f(x)＝3|x|＝图象如图所示．f(x)在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(2)
令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．点评：函数的单调区间可以是开的，也可以是闭的，也可以是半开半闭的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调．因此，只要单调区间端点使f(x)有意义，都可以使单调区间包括端点．但要注意，不连续的单调区间必须分开写，不能用“∪”符号连接它们．巩
固　写出函数f(x)＝＋1(a≠0)的单调区间．解析：f(x)＝当a>0时，如图①所示，∴单调递增区间为(0，＋∞)，递减区间为(－∞，0)．当a<0时，如图②所示，∴单调递增区间为(－∞，0)，递减区间为(0，＋∞)．　　　　　　①　　　　　　　　　　　②题型五　利用定义证明函数的单调性例5　证明：函数f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．证明：设00.∴Δy＝f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．点评：证明函数的单调性的常用方法是利用函数单调性的定义．其步骤为(1)取值(注意x1、x2的任意性)；(2)作差变形(目的是便于判断符号)；(3)判断差的符号；(4)写出结论．巩
固　利用单调性的定义证明函数y＝x－在(0，＋∞)上是增函数．证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，设x10，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(x∈[2，＋∞))，(1)求f(x)的最小值；(2)若f(x)>a恒成立，求a的取值范围．解析：(1)任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x12，∴x1x2>4,1－>0∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)a恒成立，只须f(x)min>a，即a<.点评：运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．另外f(x)>a恒成立，等价于f(x)min>a，f(x)固　求函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值与最小值；若f(x)0，x1－1>0.∴f(x2)－f(x1)<0.∴f(x2)f(x)max，即a>2.（单调性）A组1．函数f(x)＝x2＋2x＋11的单调增区间是________．答案：[－1，＋∞)2．如果f(x)在区间D上是单调函数，则函数f(x)是增函数(减函数)的说法正确吗？答案：不正确．函数的单调性是函数的局部性质，所以必须说明函数在哪个区间上是增(减)函数．3．已知函数y＝f(x)是R上的增函数，若f(2a－1)>f(2－a)，则实数a的取值范围是________．解析：由2a－1>2－a解得：a>1.答案：(1，＋∞)B组1．使一次函数f(x)＝kx＋b为增函数的一个条件是(　　)A．k＜0　　　B．k≤0C．k＞0
D．k≥0答案：C2．下列说法正确的是(　　)A．反比例函数y＝在区间(0，＋∞)上是减函数B．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上C．反比例函数y＝是R上的减函数D．一次函数f(x)＝－2x＋b是R上的减函数答案：D3．如果二次函数y＝5x2－nx－10在区间(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，则n的值是(　　)A．1
B．－1C．10
D．－10答案：C4．函数y＝的大致图象只能是(　　)答案：B5．函数f(x)图象如下图所示，函数的单调递减区间是________．答案：[－5，－2]和[1,3]6．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是(　　)A．y＝|x|
B．y＝3－xC．y＝
D．y＝－x2＋4答案：AC组1．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论不正确的是(　　)A.>0
B．(x1－x2)
[f(x1)－f(x2)]>0C．f(a)D.>0解析：由增函数的定义知x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，∴A，B，D都正确，故选C.答案：C2．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是(　　)A．(－∞，40]
B．[40,64]C．(－∞，40]∪[64，＋∞)
D．[64，＋∞)解析：只需f(x)＝4x2－kx－8的对称轴x＝相应值在区间[5,8]外面，即≤5或≥8，∴k≤40或k≥64.答案：C3．已知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，判断f(a2－a＋1)与f的大小关系．解析：∵a2－a＋1＝2＋≥，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(a2－a＋1)≤f.4．证明函数f(x)＝x＋在(，＋∞)上是增函数．证明：任取x1，x2∈(，＋∞)，且x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＝(x1－x2)，∵＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞2，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴函数f(x)在(，＋∞)上是增函数.
（函数表示）
A组1．设函数f(x)＝则f[]的值为(　　)A.
B．－
C.
D．18答案：A2．已知f(x)＝，g(x)＝，则当x<0时，f[g(x)]为(　　)A．－x
B．－x2
C．x
D．x2答案：B3．函数f(x)＝的值域是(　　)A．R
B．(0，＋∞)C．(0,2)∪(2，＋∞)
D．[0,2]∪[3，＋∞)答案：D4．给出下列两个集合之间的对应关系，回答问题：①A＝{你们班的同学}，B＝{体重}，f：每个同学对应自己的体重；②M＝{1,2,3,4}，N＝{2,4,6,8}，f：n＝2m，n∈N，m∈M；③M＝R，N＝{x|x≥0}，f：y＝x4；④A＝{中国，日本，美国，英国}，B＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f：对于集合A中的每一个国家，在集合B中都有一个首都与它对应．上述四个对应中是映射的有______，是函数的有______，是一一映射的有________．(　　)A．3个　2个　1个
B．3个　3个　2个C．4个　2个　2个
D．2个　2个　1个答案：CB组1．y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为(　　)A．y＝
B．y＝－
C．y＝
D．y＝－解析：∵y＝，∴1＝，k＝2，∴y＝.答案：C2．若f(x＋1)＝2x＋3，则f(3)的大小为(　　)A．9
B．7
C．11
D．12解析：取x＝2，则由f(x＋1)＝2x＋3，得f(3)＝7.答案：B3．设f(x)＝则f{f[f(－1)]}＝(　　)A．π＋1
B．0
C．π
D．－1解析：f{f[f(－1)]}＝f{f[0]}＝f(π)＝π＋1.答案：A4．(2013·大纲卷)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x－1)的定义域为(　　)A．(－1,1)
B.
C．(－1,0)
D.答案：B5．已知函数f(x)＝若f(x)＝10，则x＝________.解析：若x≤0，则f(x)＝x2＋1＝10，即x＝－3.若x＞0，则f(x)＝－2x＝10，即x＝－5与x＞0矛盾，故舍去，故x＝－3.答案：－36．下列各个对应不是映射的是(　　)答案：AC组1．函数y＝x|x|的图象大致是(　　)答案：A2．已知函数f(x)＝(a，b为常数)，且方程f(x)－x＋12＝0有两个实根为x1＝3，x2＝4，求函数f(x)的解析式．解析：将x1、x2代入方程－x＋12＝0得得所以f(x)＝(x≠2)．3．求下列函数的解析式：(1)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)；解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2.由f(x＋1)－f(x)＝x－1，得恒等式2ax＋a＋b＝x－1，得a＝，b＝－.故所求函数的表达式为f(x)＝x2－x＋2.(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)，f(x＋1)，f(x2)．解析：∵f(＋1)＝x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，又∵≥0，＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)，f(x＋1)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x(x≥0)，f(x2)＝(x2)2－1＝x4－1(x≤－1或x≥1)．
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