新人教A版高中数学必修第一册：函数最值和奇偶性

授课主题：函数最值和奇偶性
教学目标
1.理解函数的最大(小)值及其几何意义.2.会运用多种方法求函数的值域.3.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.4.会运用函数图象理解和研究函数的性质.
教学内容
1．函数的最值
(1)
最大值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．
(2)
最小值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．(3)
函数的最大(小)值，实际上是函数图象的最高(低)点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性，可得到函数最值．(4)
若函数f(x)满足：对定义域中的任意x都有f(x)≥m，但m不一定是函数f(x)的最小值；若函数f(x)满足：对定义域中的任意x都有f(x)≥f(a)，那么f(a)一定是函数f(x)的最小值，但f(x)取最小值时，x不一定取a.2．奇偶性定义
如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为奇函数；
如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)＝f(x)，则称f(x)为偶函数．
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性．
如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．3．奇偶性的特点由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，而偶函数刚好相反．对于奇函数f(x)
，当f(0)有意义时，f(x)的图象一定过原点．注意1．利用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称．(2)确定f(－x)与f(x)的关系．(3)作出相应结论．2．若f(－x)＝f(x)或
f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数．3．若f(－x)＝－f(x)或
f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．4．函数是奇函数或是偶函数称为函数有奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质．5．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．6．奇函数在其对称区间上的单调性相同、函数值相反．7．偶函数在其对称区间上的单调性相反、函数值相同．8．设f(x)，g(x)有公共的定义域，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．题型一　利用函数的图象求函数的最值
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
例1　函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象如下图所示，求它的最大值、最小值.答案：y＝f(x)在x＝－1.5处取得最小值，即ymin＝－2，在x＝3处取得最大值，即ymax＝3.点评：用图象法求最值的一般步骤是
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
巩
固　函数f(x)的图象如下图所示，则最大值、最小值分别为(　　)答案：C题型二　二次函数在闭区间上的最值例2　求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．解析：∵函数图象的对称轴是x＝a，∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数，∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.∴f(x)min＝.点评：此题为二次函数中区间固定对称轴移动的问题，此类问题应注意对称轴的变化对最值的影响．巩
固　已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]时，求函数f(x)的最值．解析：∵对称轴x＝1，①当1≥t＋2即t≤－1时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.②当≤11时，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.设函数最大值为g(t)，最小值为φ(t)时，则有g(t)＝，φ(t)＝.题型三　实际问题中的最值例3　A、B两城相距100
km，在两地之间距A城x
km处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10
km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．(1)把月供电总费用y表示成x的函数，并求其定义域．(2)核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小？解析：(1)
(2)
则当时，y最小.故当核电站建在距A城时，才能使供电费用最小.点评：1.解决实际问题，首先要理解题意，然后建立数学模型转化成数学问题解决．2．分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键．
3．对分段函数求最大(小)值时，要分别求出函数在各段上的最大(小)值，然后比较，最大(小)的一个即为函数的最大(小)值．巩
固　如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为h＝－x2＋2x＋，x∈[0，]．求水流喷出的高度h的最大值是多少？解析：由函数h＝－x2＋2x＋，x∈[0，]的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点．此时函数取得最大值．对于函数h＝－x2＋2x＋，x∈[0，]，当x＝1时，函数有最大值hmax＝－12＋2×1＋＝(m)．于是水流喷出的最高高度是
m.题型四　判断函数的奇偶性
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
例4　判断下列函数是否具有奇偶性．(1)f(x)＝x＋x3＋x5；(2)f(x)＝x2＋1；(3)f(x)＝x＋1；(4)f(x)＝x2，x∈[－1,3].分析：先求定义域，再判断f(－x)与f(x)的关系．解析：(1)函数f(x)＝x＋x3＋x5的定义域为R.当x∈R，－x∈R.∵f(－x)＝－x－x3－x5＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)．∴f(x)＝x＋x3＋x5为奇函数．(2)函数f(x)＝x2＋1的定义域为R，当x∈R，－x∈R.∵f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，∴f(x)＝x2＋1是偶函数．(3)函数f(x)＝x＋1的定义域是R，当x∈R时，－x∈R，∵f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，(x∈R)∴f(x)＝x＋1既不是奇函数，也不是偶函数．
(4)因为函数的定义域关于原点不对称，存在3∈[－1,3]，而－3?
[－1,3]．∴f(x)＝x2，x∈[－1,3]既不是偶函数，也不是奇函数．点评：判断函数奇偶性的方法(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
巩
固　判断函数的奇偶性：f(x)＝|x＋1|－|x－1|解析：函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称，因为f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)．所以f(x)是奇函数．题型五　奇偶函数的图象及应用例5　(1)奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必过点(　　)(2)设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________．解析：(1)根据奇函数图象的特征：奇函数的图象关于原点对称，知点(a，f(a))在其图象上，则它关于原点的对称点(－a，－f(a))也必在其图象上．
(2)由于偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)＜0的解．∵当x∈[0,5]时，f(x)＜0的解为2＜x≤5，所以当x∈[－5,0]时，f(x)＜0的解为－5≤x＜－2.∴f(x)＜0的解集是{x|－5≤x＜－2或2＜x≤5}．答案：(1)C　(2){x|－5≤x＜－2或2＜x≤5}点评：已知函数的奇偶性及部分图象，根据对称性可补出另一部分图象．奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反．巩
固　偶函数f(x)(x∈R)满足：f(－4)＝f(1)＝0，且在区间[0,3]与[3，＋∞)上分别递减和递增，使f(x)＜0的自变量范围是(　　)A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
B．(－4，－1)∪(1,4)C．(－∞，－4)∪(－1,0)
D．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)解析：根据题目条件，想象函数图象如下：答案：B题型六　利用函数的奇偶性求函数的解析式例6　已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，求当x∈(0，＋∞)时，f(x)的表达式．解析：当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，因为x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，所以f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4，因为f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－x－x4.点评：解答该类问题的思路(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)．注意，若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0.巩
固　若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求当x≥0时，函数f(x)的解析式．分析：将x<0时，f(x)的解析式转化到x>0上，这是解决本题的关键．
解析：由f(x)是奇函数，
当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－{(－x)[1－(－x)]}＝x(1＋x)当x＝0时，f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
∴当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．
（奇偶性）A组1．判断下列函数的奇偶性:①y＝－x2；②y＝x3；③y＝x2－x；④y＝0.答案：①偶函数　②奇函数　③非奇非偶函数　④既是奇函数又是偶函数2．若奇函数f(x)的定义域为[p，q]，则p＋q＝________.答案：03．定义域R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2x＋1中，奇函数的个数是(　　)A．4
B．3
C．2
D．1答案：CB组1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)的值为(　　)A．－1　　　B．0　　　C．1　　　D．无法确定解析：∵f(x)为R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.答案：B2．(2013·山东卷)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝(　　)A．－2
B．0
C．1
D．2答案：A3．如果偶函数在区间[a，b]上有最大值，那么该函数在区间[－b，－a]上(　　)A．有最大值　　
B．有最小值
C．没有最大值
D．没有最小值解析：∵偶函数图象关于y轴对称，由偶函数在区间[a，b]上具有最大值，∴在区间[－b，－a]上有最大值．答案：A4．已知f(x)＝ax3＋bx＋5，其中a，b为常数，若f(－7)＝－7，则f(7)＝(　　)A．7
B．－7
C．12
D．17解析：∵f(－7)＝－7，∴a(－7)3＋b(－7)＋5＝－7，∴73a＋7b＝12.∴f(7)＝73a＋7b＋5＝12＋5＝17.答案：D5．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间是________．解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴k－1＝0，∴k＝1，∴f(x)＝－x2＋3的递减区间为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)C组1．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(　　)A．f(x)f(－x)是奇函数
B．f(x)|f(－x)|是奇函数C．f(x)－f(－x)是偶函数
D．f(x)＋f(－x)是偶函数解析：取f(x)＝x，则f(x)f(－x)＝－x2是偶函数，A错，f(x)|f(－x)|＝x2是偶函数，B错；f(x)－f(－x)＝2x是奇函数，C错．故选D.答案：D2．已知定义在R上的偶函数f(x)的单调递减区间为[0，＋∞)，则使f(x)＜f(2)成立的自变量取值范围是(　　)A．(－∞，2)　　　
B．(2，＋∞)C．(－2,2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：∵f(x)是偶函数且在[0，＋∞)为减区间，示意图如下：由图示可知：f(x)＜f(2)成立的自变量的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：D3．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x2.求当x∈(－∞，＋∞)时，f(x)的表达式．解析：当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，因为x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x2，所以f(－x)＝(－x)－(－x)2，因为f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x＋x2.综上，x∈(－∞，＋∞)时，f(x)＝4．已知函数f(x)＝－x3＋3x.求证：(1)函数f(x)是奇函数；证明：显然f(x)的定义域是R.。设任意x∈R，∵f(－x)＝－(－x)3＋3(－x)＝－(－x3＋3x)＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数．(2)函数f(x)在区间(－1,1)上是增函数．证明：在区间(－1,1)上任取x1，x2，且x1＜x2.f(x2)－f(x1)＝－(x2－x1)(x＋x2x1＋x)＋3(x2－x1)＝(x2－x1)(3－x－x2x1－x)．因为－1＜x1＜x2＜1，所以(x2－x1)＞0，(3－x－x2x1－x)＞0，所以f(x2)＞f(x1)．所以函数f(x)＝－x3＋3x在区间(－1,1)上是增函数．（最值）A组1．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是
(　　)A．f(－2)，0
B．0,2
C．f(－2)，2
D．f(2)，2解析：观察函数图象知，图象最低点的纵坐标为f(－2)，最高点的纵坐标为2，故选C.答案：C2．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为
(　　)A．－1
B．0
C．1
D．2答案：C3．设函数，则的最小值和最大值为（
）A.
－1
，3
B.
0
，3
C.
－1，4
D.
－2，0答案：AB组1．函数y＝在[2,3]上的最小值为(　　)A．2　　　B.　　　C.　　　D．－答案：B2．函数f(x)＝的最大值是(　　)A.
B.
C.
D.答案：D3．已知函数f(x)＝x2－2，其中x∈[0,2]，这个函数的最大值和最小值分别为(　　)A．－2和1
B．2和－2C．2和－1
D．－1和2解析：∵f(x)＝x2－2，x∈[0,2]是单调递增函数，∴ymax＝f(2)＝2，ymin＝f(0)＝－2.答案：B4．函数y＝(x－1)2，x∈(－1,5)的最小值为______．答案：05．已知f(x＋4)＝4x2＋4x＋3(x∈R)，那么函数f(x)的最小值为________．解析：∵f(x＋4)＝4x2＋4x＋3，设x＋4＝t，则x＝t－4，∴f(t)＝4(t－4)2＋4(t－4)＋3＝4t2－28t＋51.∴f(x)＝4x2－28x＋51＝42＋2，∴f(x)min＝2.答案：26．已知0＜t≤，那么－t的最小值是(　　)A.　　
B.
C．2
D．－2解析：∵y＝－t在上为减函数，∴t＝时有最小值.答案：AC组1．已知函数f(x)＝x2－4x，x∈[1,5)，则此函数的值域为(　　)A．[－4，＋∞)
B．[－3,5)C．[－4,5]
D．[－4,5)答案：D2．函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是(　　)A．[2，＋∞)
B．[2,4]C．(－∞，2]
D．[0,2]答案：B3．设函数f(x)＝x2－2x＋2(x∈[t，t＋1])的最小值为g(t)．求g(t)的表达式．解析：∵f(x)＝(x－1)2＋1，①当t＋1≤1，即t≤0时，由图1知截取了减区间上的一段g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1.②当1＜t＋1≤2，即0＜t≤1时，正巧将顶点截取在内，g(t)＝f(1)＝1(图2)．③当t＋1＞2，即t＞1时，由图3知截取了增区间上一段g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.综上知，g(t)＝4．已知函数f(x)＝求f(x)的值域．解析：f(x)＝作出f(x)的图象(如下图)．由图可知，f(x)的值域为(－3,8]．
PAGE