新人教A版高中数学必修第一册：幂函数的图像及其性质

授课主题：幂函数
教学目标
1．通过具体实例了解幂函数的图象和性质.2．类比研究指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质.3．体会幂函数图象的变化规律及蕴含其中的对称性，并能进行简单的应用.
教学内容
1．幂函数的定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中是常数．2．幂函数的图象：函数的图象定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性单调递增在上减在上增单调递增单调递增在和上单调递减公共点图象所在象限一、三一、二一、三一一、三3．幂函数的性质：（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数；（3）时，①幂函数在上是减函数；②在第一象限内，图象向上与轴无限地接近，向右与轴无限地接近．（4）任何幂函数图象都不经过第四象限；（5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点．（6）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；（7）幂函数奇偶性①当为偶数时，为偶函数；②当为奇数，为奇数时，为奇函数；③当为奇数，为偶数时，为非奇非偶函数．特别地，幂函数（），当为偶数时，为偶函数；当为奇数时，为奇函数．题型一　幂函数概念的理解应用例1　函数是幂函数，且当时，是增函数，求的解析式.点评：幂函数y＝xα(α∈R)其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对例1来说，还要根据单调性验根，以免增根．巩
固　函数是幂函数且是奇函数，则实数m的值是___________.答案：-1题型二　利用幂函数的性质比较大小例2　比较下列各组中两个数的大小：
点评：比较两个幂的大小的关键是搞清楚底数与指数是否相同，若底数相同，利用指数函数的性质比较大小；若指数相同，利用幂函数的性质比较大小；若底数指数均不同，考虑利用中间值来比较大小．巩
固　比较下列各组数的大小：
题型三　求幂函数的解析式例3　
巩
固　幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f(9)＝________.答案：3A组
2．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是(　　)A．幂函数
B．对数函数
C．指数函数
D．二次函数解析：本题考查幂的运算性质f(x)f(y)＝axay＝ax＋y＝f(x＋y).
答案：C3．函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋2是幂函数且函数f(x)为偶函数，求m的值．解析：∵f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋2是幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，∴m＝1或m＝2.当m＝1，f(x)＝x3为奇函数，不符合题意；当m＝2时，f(x)＝x4为偶函数，符合题意，∴m＝2.B组1．下列所给出的函数中，属于幂函数的是(　　)A．y＝－x3　　　B．y＝x－3C．y＝2x3
D．y＝x3－1答案：B　答案：B　3．函数y＝x－2在区间上的最大值是(　　)A.
B．－
C．4
D．－4答案：①＜　②＜　③＞　④＜答案：AC组1．给出两个结论：(1)当α＝0时，幂函数y＝xα的图象是一条直线；(2)幂函数y＝xα的图象都经过(0,0)和(1,1)点，则正确的判断是(　　)A．(1)对(2)错
B．(1)错(2)对
C．(1)(2)都错
D．(1)(2)都对答案:C2．上图所示的曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α分别取－1,1，，2四个值，则相应图象依次为：______.答案:C4，C2，C3，C13．设f(x)＝(a－3)x(a＋1)(a－2)，当a为何值时，(1)f(x)为常数函数？(2)f(x)为幂函数？(3)f(x)为正比例函数？
答案:1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是(　　)A．y＝x　　　　　　　　　
B．y＝x－C．y＝x
D．y＝x解析：选D.y＝x＝，其定义域为R，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．2．如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图象．已知α取－2，－，，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为(　　)A．－2，－，，2
B．2，，－，－2C．－，－2,2，
D．2，，－2，－解析：选B.当x＝2时，22＞2＞2－＞2－2，即C1：y＝x2，C2：y＝x，C3：y＝x－，C4：y＝x－2.3．以下关于函数y＝xα当α＝0时的图象的说法正确的是(　　)A．一条直线
B．一条射线C．除点(0,1)以外的一条直线
D．以上皆错解析：选C.∵y＝x0，可知x≠0，∴y＝x0的图象是直线y＝1挖去(0,1)点．4．函数f(x)＝(1－x)0＋(1－x)的定义域为________．解析：，∴x<1.答案：(－∞，1)5．已知幂函数f(x)的图象经过点(2，)，则f(4)的值为(　　)A．16
B.C.
D．2解析：选C.设f(x)＝xn，则有2n＝，解得n＝－，即f(x)＝x－，所以f(4)＝4－＝.6．下列幂函数中，定义域为{x|x＞0}的是(　　)A．y＝x
B．y＝xC．y＝x－
D．y＝x－解析：选D.A.y＝x＝，x∈R；B.y＝x＝，x≥0；C.y＝x－＝，x≠0；D.y＝x－＝，x＞0.7．已知幂函数的图象y＝xm2－2m－3(m∈Z，x≠0)与x，y轴都无交点，且关于y轴对称，则m为(　　)A．－1或1
B．－1,1或3C．1或3
D．3解析：选B.因为图象与x轴、y轴均无交点，所以m2－2m－3≤0，即－1≤m≤3.又图象关于y轴对称，且m∈Z，所以m2－2m－3是偶数，∴m＝－1,1,3.故选B.8．下列结论中，正确的是(　　)①幂函数的图象不可能在第四象限②α＝0时，幂函数y＝xα的图象过点(1,1)和(0,0)③幂函数y＝xα，当α≥0时是增函数④幂函数y＝xα，当α<0时，在第一象限内，随x的增大而减小A．①②
B．③④C．②③
D．①④解析：选D.y＝xα，当α＝0时，x≠0；③中“增函数”相对某个区间，如y＝x2在(－∞，0)上为减函数，①④正确．9．在函数y＝2x3，y＝x2，y＝x2＋x，y＝x0中，幂函数有(　　)A．1个
B．2个C．3个
D．4个解析：选B.y＝x2与y＝x0是幂函数．10．幂函数f(x)＝xα满足x＞1时f(x)＞1，则α满足条件(　　)A．α＞1
B．0＜α＜1C．α＞0
D．α＞0且α≠1解析：选A.当x＞1时f(x)＞1，即f(x)＞f(1)，f(x)＝xα为增函数，且α＞1.11．幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(x)的解析式是________．解析：设f(x)＝xα，则有3α＝＝3?α＝.答案：f(x)＝x12．设x∈(0,1)时，y＝xp(p∈R)的图象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是________．解析：结合幂函数的图象性质可知p<1.答案：p<113．如图所示的函数F(x)的图象，由指数函数f(x)＝ax与幂函数g(x)＝xα“拼接”而成，则aa、aα、αa、αα按由小到大的顺序排列为________．解析：依题意得?所以aa＝()＝[()4]，aα＝()＝[()32]，αa＝()，αα＝()＝[()8]，由幂函数单调递增知aα＜αα＜aa＜αa.答案：aα＜αα＜aa＜αa14．函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m的值．解：根据幂函数的定义得：m2－m－5＝1，解得m＝3或m＝－2，当m＝3时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数；当m＝－2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m＝3.15．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数？解：(1)若f(x)为正比例函数，则?m＝1.(2)若f(x)为反比例函数，则?m＝－1.(3)若f(x)为二次函数，则?m＝.(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±.16．已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象．解：由已知，得m2－2m－3≤0，∴－1≤m≤3.又∵m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3.当m＝0或m＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不适合题意．∴m＝±1或m＝3.当m＝－1或m＝3时，有y＝x0，其图象如图(1)．当m＝1时，y＝x－4，其图象如图(2)．
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