新人教A版高中数学必修第一册：指数的基本运算

授课主题：指数运算
教学目标
1．理解根式的概念和性质，并能熟练进行相关计算．2．掌握n次方根的性质，理解分数指数幂的概念．3．掌握根式与分数指数幂的互化．4．掌握有理数指数幂的运算和根式与分数指数幂的运算．5．准确运用分数指数幂的运算性质进行计算．
教学内容
1．整数指数幂
1）正整数指数幂的含义：2）零指数幂：3）负整数指数幂：2．分数指数幂1）如果存在实数x，使得xn＝a(a∈R，n>1，且n∈N
)，则x叫做a的n次方根．特别的，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．2）式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．3）(1)n∈N
时，()n＝a.(2)n为正奇数时，＝a；n为正偶数时，＝|a|.4）分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝
(a>0，m、n∈N
，且为既约分数)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝
(a>0，m、n∈N
，且为既约分数)；(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．5）在进行幂和根式的化简时，一般先将根式化成幂的形式，化小数指数幂为分数指数幂，化负指数为正指数，并尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值和运算．3．有理数指数幂的运算(1)aras＝ar＋s
(a>0，r、s∈Q)；(2)(ar)s＝ars
(a>0，r、s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr
(a>0，b>0，r∈Q)．类型一、根式例1.求下列各式的值：（1）.【答案】
-3；；；【总结升华】（1）求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个，例如，4的平方根是，但不是.（2）根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，何时可换.【变式】计算下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）-2；（2）3；（3）；（4）.例2.计算：（1）；（2）.【解析】（1）=+-==||+||-||=+-（）=2
（2）===【变式】化简：（1）；（2）【答案】（1）；（2）类型二、指数运算、化简、求值例3.用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可．（1）（2）；（3）；（4）解法一：从里向外化为分数指数幂=====解法二：从外向里化为分数指数幂．
=====【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简（1）；【答案】（1）；（2）．【变式2】把下列根式化成分数指数幂：（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）=；
（2）；（3）；（4）=
=．例4
.计算：(1)；(2)(3)．【解析】(1)原式=；
(2)原式=；
(3)原式=-5+6+4--(3-)=2；注意：（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂.【变式1】计算下列各式：(1)；　　(2).【解析】(1)原式=；(2)原式.【变式2】计算下列各式：【解析】原式=16++5+2+=21+．例5.化简下列各式.(1)
；　　(2)；　　(3).【解析】(1)(2)(3)【变式1】化简：.【解析】原式=.注意：当n为偶数时，.【变式2】化简【解析】应注意到之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，原式.【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.【变式3】化简下列式子：(1)
(2)
(3)【答案】
；；【解析】(1)原式(2)∴由平方根的定义得：(3).例6.已知，求的值．【解析】
从已知条件中解出的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值．，，，==【变式1】求值：(1)已知，求的值；(2)已知>0，
>0，
且，，求的值.【解析】(1)由，两边同时平方得x+2+x-1=25，整理得：x+x-1=23，则有；
(2)a>0，
b>0，
又∵
ab=ba，
∴∴
.1．下列说法中：①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．其中正确的是
(　　)A．①③④
B．②③④C．②③
D．③④答案：D2．已知x5＝6，则x等于
(　　)A.
B.
C．－
D．±答案：B3．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是
(　　)A.
B.
C.
D.答案：C4.
运算的结果是
(　　)A．2
B．－2C．±2
D．不确定答案：A5．
若2(　　)A．5－2a
B．2a－5C．1
D．－1答案：C6．
若＋(a－2)0有意义，则a的取值范围是
(　　)A．a≥0
B．a＝2C．a≠2
D．a≥0且a≠2答案：D7．
已知xy≠0且＝－2xy，则有
(　　)A．xy＜0
B．xy＞0C．x＞0，y＞0
D．x＜0，y＜0答案：A8.
＋＋的值为
(　　)A．－6
B．2－2C．2
D．6答案：A9．当有意义时，化简－的结果是
(　　)A．2x－5
B．－2x－1C．－1
D．5－2x答案：C10．已知a∈R，n∈N
，给出四个式子：①；②；③；④，其中没有意义的是________．(只填式子的序号即可)答案：③11．化简＋的结果为________．答案：012．若x<0，则|x|－＋＝________.答案：113．写出使下列各式成立的x的取值范围：(1)＝；(2)＝(5－x).解　(1)由于根指数是3，故有意义即可，此时x－3≠0，即x≠3.(2)∵＝＝(5－x)，∴，∴－5≤x≤5.14．计算下列各式的值：(1)(n>1，且n∈N
)；(2)(n>1，且n∈N
)；(3)＋－.解　(1)当n为奇数时，＝3－π；当n为偶数时，＝π－3.(2)＝|x－y|，当x≥y时，＝x－y；当xA组答案：C3．求值：答案：9；1.4B组1．化简[(－)2]－的值等于(　　)A.　　　　　B．－
C.　
D．－解析：[(－)2]－＝3－＝.答案：C2.
＝成立的条件是(　　)A．x＜1
B．x≠1
C.≥0
D．x≥2解析：?∴x≥2.答案：D3．(－2)100＋(－2)101等于(　　)A．－1
B．2100
C．(－2)100
D．－2100解析：(－2)100＋(－2)101＝(－2)100＋(－2)(－2)100＝(－2)100[1＋(－2)]＝－(－2)100＝－2100.答案：D4．若x2＝9，则x＝________；若x3＝8，则x＝_________.答案：±3　25．已知a＋a－＝3，则a2＋a－2＝________________________________.6．设b＞0，用分数指数幂表示下列各式：(1)b2·＝________；(2)＝________.答案：7．计算2－＋＋－的结果是(　　)A．1
B．2
C.
D．2－C组1．求值：2××＝________.2．化简下列各式：
解析：.解析：
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