新人教A版高中数学必修第一册：指数函数

授课主题：指数函数
教学目标
1．熟练掌握指数函数的图象和性质．2．会求指数型函数y＝kax(k∈R，a＞0且a≠1)的定义域、值域，并能判断其单调性．3．理解指数函数的简单应用模型，培养数学应用意识
教学内容
1．指数函数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量．因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数a＞0的前提下，x可以是任意实数，所以指数函数的定义域为R．2．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象和性质：图象定义域值域性质（1）过定点，即时，（2）在上是减函数（2）在上是增函数（3）时，时，（3）时，时，（4）对于同一个，与的图象关于轴对称（5）接近于，越靠近轴（5）越大，越靠近轴题型一　指数函数概念的理解和应用
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例1　
点评：判断一个函数是否为指数函数，只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一形式，即底数a为不等于1的正常数，指数只能是x，且ax的系数为1.
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巩
固　下列函数是指数函数的是(　　)A．y＝2x＋1
B．y＝x3C．y＝3－x
D．y＝3·2x答案：C题型二　求指数函数的定义域与值域
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例2　求下列函数的定义域与值域：点评：函数y＝af(x)的定义域、值域的求法．(1)函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．(2)函数y＝af(x)的值域的求法如下：①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域D；③求t＝f(x)的值域M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
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巩
固　求下列函数的定义域和值域：题型三　指数函数的图象的应用
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例3　下图是指数函数：①y＝ax(a＞0，且a≠1)，②y＝bx(b＞0，且b≠1)，③y＝cx(c＞0，且c≠1)，④y＝dx(d＞0，且d≠1)的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为(　　)A．a＜b＜1＜c＜d　　　　B．b＜a＜1＜d＜cC．b＜a＜1＜c＜d
D．a＜b＜1＜d＜c解析：法一：在①②中底数小于1且大于零，在y轴右侧，底数越小，图象向下越靠近x轴，故有b＜a，在③④中底数大于1，在y轴右边，底数越大图象向上越靠近y轴，故有d＜c.法二：设直线x＝1与①、②、③、④的图象分别交于点A，B，C，D(如上图)，则其坐标依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，由图象观察可得c＞d＞1＞a＞b.答案：B点评：1.指数函数的图象随底数变化的规律(1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax的图象都与直线x＝1相交于点(1，a)．由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．(2)指数函数的底数与图象间的关系可概括为：在第一象限内，图高则底大．2．指数函数图象问题的处理方法(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点(0,1)；(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)；(3)利用函数的奇偶性与单调性．
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巩
固　图中的曲线是指数函数的图象，已知取四个值，则相应于曲线的依次为_______________．答案：题型四　利用指数函数的单调性比较大小
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例4　比较下列各组数的大小：
点评：比较幂的大小的方法
(1)对于底数相同，但指数不同的幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同，指数相同的幂的大小比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．
(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较．
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巩
固　比较下列各组数的大小：题型五　求指数函数的单调区间例5　确定函数的单调区间，并对其加以证明.点评：1.关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．2．y＝f(u)，u＝g(x)，列函数y＝f[g(x)]的单调性有如下特点：u＝g(x)y＝f(u)y＝f[g(x)]增增增增减减减增减减减增3.求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]的单调性．巩
固　已知a＞0且a≠1，讨论函数的单调性．
题型六　解简单的指数不等式例6　已知不等式a2x＋1≤ax－5(a＞0，且a≠1)，试求x的取值范围．点评：形如ax＞ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分0＜a＜1和a＞1讨论．巩
固　已知集合,,则等于（
）A．{－1,1}　　　B．{－1}
C．{0}
D．{－1,0}题型七　根据指数函数的图象研究其定义域、值域例7　求函数的定义域、值域，并作出图像．点评：含绝对值问题注意讨论去绝对值，指数函数定义域、值域相关问题注意利用函数的图象．巩
固　画出函数y＝2|x＋1|的图象．
分析：通过分类讨论可去掉绝对值号，变为分段函数，进而作出图象．另外，也可把函数y＝2|x＋1|看作由y＝2|x|左移一个单位得到，而y＝2|x|的图象，可由y＝2x的图经对称变换得到．解析：法一：由函数解析式可得法二：故先作出y＝2x(x≥0)的图象，再作关于y轴对称，y＝2|x|的图象，再将y＝2|x|的图象左移一个单位即可得到y＝2|x＋1|的图象．点评：函数y＝ax的图象与y＝a－x的图象关于y轴对称，y＝ax的图象与y＝－ax的图象关于x轴对称，函数y＝ax的图象与y＝－a－x的图象关于坐标原点对称．A组1.
指数函数y＝f(x)的图象经过点(2,4)，那么f(2)·f(4)的值为(　　)A．64　　
B．256
C．8
D．162.设,则有（
）A．y3＞y1＞y2
B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3
D．y1＞y3＞y23．函数的定义域为___________;值域为____________.答案：；B组1．函数f(x)＝的定义域是(　　)A．(－∞，0)　　　
B．[0，＋∞)C．(－∞，0]
D．(－∞，＋∞)解析：由1－2x≥0，得2x≤1，由指数函数y＝2x的性质可知x≤0.答案：C2．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个，……每天分裂一次，现在将一个该细胞放入一个容器，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器的一半时需要的天数是(　　)A．5天
B．6天C．8天
D．9天答案：D　3．若0＜a＜1，b＜－2，则函数y＝ax＋b的图象一定不经过(　　)A．第一象限
B．第二象限C．第三象限
D．第四象限答案：A4．函数＝y的定义域是________．C组1．已知a，b＞1，f(x)＝ax，g(x)＝bx，当f(x1)＝g(x2)＝2时，
有x1＞x2，则a，b的大小关系是(　　)A．a＝b
B．a＞bC．a＜b
D．不能确定解析：∵a＞1，b＞1，由图示知b＞a.答案：C2．定义运算，例如，则函数的值域为______________．3．若函数f(x)＝ax－1＋3恒过定点P，试求点P的坐标．分析：研究f(x)＝ax的图象和f(x)＝ax－1＋3图象的关系，由指数函数恒过(0,1)点推导．解析：将指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象沿x轴右移一个单位，再沿y轴向上平移3个单位，即可得到y＝ax－1＋3的图象，因为y＝ax的图象恒过(0,1)，故相应的y＝ax－1＋3恒过定点(1,4)．4．的最大、最小值．
A组1.
函数f(x)＝3－x－1的值域是(　　)A．R　　　　　　
B．(0，＋∞)C．(－1，＋∞)
D．[0，＋∞)答案：CA.
B.
C.
D.
B组1．已知指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于(　　)A.　　　　　　
B．2
C．4
D.解析：∵指数函数在其定义域内是单调函数，∴端点处取得最大、小值，∴a0＋a＝3，故a＝2.答案：B2．下列不等关系中，正确的是(　　)A.eq
\f(2,3)＜1＜
B.eq
\f(1,3)＜eq
\f(2,3)＜1C．1＜eq
\f(1,3)＜eq
\f(2,3)
D.eq
\f(2,3)＜eq
\f(1,3)＜13．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，对于任意实数x，y都有(　　)A．f(xy)＝f(x)f(y)
B．f(xy)＝f(x)＋f(y)C．f(x＋y)＝f(x)f(y)
D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)解析：f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)．故选C.答案：C4．将函数y＝2x的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位可得到函数__________的图象．答案：y＝2x－1＋25．函数y＝x－2x在区间[－1,
1]上的最大值为________．解析：∵y＝x－2x在区间[－1,1]上是单调减函数，∴当x＝－1时，有最大值为.答案：C组1．函数y＝|2－x－2|的图象是(　　)答案：D2．已知(a2＋a＋2)x＞(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围为(　　)A．(－∞，1)
B.C．(0,2)
D．R解析：∵a2＋a＋2＝2＋＞1，∴由题设知x＞1－x，解得x＞.答案：B3．已知函数f(x)＝a－，若f(x)为奇函数，则a＝__________.解析：∵f(－x)＝a－＝a－，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴a－＝－a?2a＝1?a＝.答案：4．解析：令t＝x2－4x＋3，则y＝3t.(1)当x∈[2，＋∞)时，t＝x2－4x＋3是x的增函数，而y＝3t是t的增函数
，故y＝3x2－4x＋3的单调递增区间是[2，＋∞)．(2)当x∈(－∞，2]时，t＝x2－4x＋3是x的减函数，而y＝3t是t的增函数，故y＝3x2－4x＋3的单调递减区间是(－∞，2]．
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