新人教A版高中数学必修第一册：任意角和弧度制及任意角的三角函数

授课主题：任意角、弧度制、同角三角函数基本关系
教学目标
1．理解任意角的概念，特别是象限角、区间角、终边相同的角的概念及其表示法．2．理解并掌握弧度制的定义，理解1弧度的定义，能熟练进行弧度与角度的互化．3．理解弧度制表示的弧长、扇形面积公式，能运用弧长、扇形面积公式计算．4．理解并掌握任意角的三角函数的定义及其表示，能熟练求三角函数的值．5．掌握同角三角函数的基本关系式并灵活运用于解题，提高学生分析，解决问题的能力．6．灵活运用同角三角函数基本关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法．
教学内容
1．象限角和轴线角
象限角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．
轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，如果角的终边落在坐标轴上，就把这个角叫做轴线角．
注意：直角坐标系中角的分类是根据角在坐标系内终边的位置而定义的，而初中学习的角的分类是根据角的范围而定义的，通过定义比较我们可以知道锐角是第一象限的角，钝角是第二象限的角，直角，平角，周角都是轴线角．但要注意反之则不然，也就是说第一象限的角不都是锐角．2．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合为．即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．由终边相同的角的定义可知，相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．3．弧度制的概念1）弧度制：我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．2）由弧度定义，一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是确定的，与圆的半径大小无关．4．角度制与弧度制的互化
角度制与弧度制的换算：因为周角所对的弧是整个圆周，其长为2π·r，所以周角的弧度数是2π，但周角又等于360°，所以360°＝2π，所以180°＝π，故得：1°＝，1
rad＝°≈57.3°＝57°18′.度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0π2π5．弧长公式与扇形面积公式1）角度制：半径为R，圆心角为n°的扇形中，圆心角所对的弧长l和面积S分别为：弧长l＝，扇形的面积S＝.2）弧度制：半径为R，圆心角为α
rad的扇形中，圆心角所对的弧长l和面积S分别为：弧长l＝|α|r，扇形的面积S＝l·r＝|α|·r2.3）根据扇形的面积公式和弧长公式，在弧长，面积，圆心角，半径四个量中，只需知道两个量就可以求出其它量．6．任意角的三角函数1）单位圆：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆．2）三角函数的定义：设角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合．在直角坐标系中，角α终边与单位圆交于一点P(x，y)，则r＝|OP|＝1.那么：(1)
y叫做α的正弦，记作sin
α，即y＝sin
α；(2)
x叫做α的余弦，记作cos
α，即x＝cos
α；(3)
叫做α的正切，记作tan
α，即＝tan
α(x≠0)．3）正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统称为三角函数．4）三角函数的值与点P在终边上的位置有关系吗？答：利用三角形的相似性可知任意角α的三角函数值只与α有关，而与点P的位置无关．对于α角的终边上任意一点P，设其坐标为(x，y)，点P到原点的距离r＝>0.(1)比值叫做α的正弦，记作sin
α，即sin
α＝；(2)比值叫做α的余弦，记作cos
α，即cos
α＝；(3)比值叫做α的正切，记作tan
α，即tan
α＝.点P在单位圆上是一种特殊情形．7．三角函数值在各个象限内的符号由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数在各象限的符号．sin
α＝，其中r>0，于是sin
α的符号与y的符号相同，即：当α是第一、二象限角时，sin
α>0；当α是第三、四象限角时，sin
α<0；cos
α＝，其中r>0，于是cos
α的符号与x的符号相同，即：当α是第一、四象限角时，cos
α>0；当α是第二、三象限角时，cos
α<0；tan
α＝，当x与y同号时，它们的比值为正，当x与y异号时，它们的比值为负，即：当α是第一、三象限角时，tan
α>0；当α是第二、四象限角时，tan
α<0.根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：(1)
“sin
α＝：上正下负横为0；cos
α＝：左负右正纵为0；tan
α＝：交叉正负”．(2)
“一全正二正弦，三正切四余弦”8．诱导公式一由定义可知，三角函数值是由角的终边的位置确定的，因此，终边相同的角的同一三角函数的值相等，这样就有下面的一组公式(诱导公式一)：sin(2kπ＋α)＝sin
α，cos(2kπ＋α)＝cos
α，tan(2kπ＋α)＝tan
α，k∈Z.注意：公式一中的角α不一定是锐角．也就是说，对于任意角α，公式一都成立．9．三角函数的定义域三角函数sin
αcos
αtan
α定义域RR题型一　象限角的确定例1　已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，在0°≤α<360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．
(1)－150°；
(2)730°；
(3)－795°；
(4)950°18′解析：(1)∵－150°＝－360°＋210°，∴在0°≤α<360°范围内，终边与－150°相同的角是210°，它是第三象限角；(2)∵730°＝2×360°＋10°，∴在0°≤α<360°范围内，终边与730°相同的角是10°，它是第一象限角；(3)∵－795°＝－3×360°＋285°，∴在0°≤α<360°范围内，终边与－795°相同的角是285°，它是第四象限角；(4)∵950°18′＝2×360°＋230°18′，∴在0°≤α<360°范围内，终边与950°18′相同的角是230°18′，它是第三象限角．题型二　终边相同的角的表示例2　分别写出终边落在以下直线上的角的集合：(1)终边落在x轴上；(2)终边落在直线y＝x上．解析：(1)在0°≤α<360°范围内，终边落在x轴上的角有0°和180°，与0°角终边相同的角的集合为S1＝{α|α＝k·360°，k∈Z}，与180°角终边相同的角的集合为S2＝{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}．故终边在x轴上的角的集合为：S＝S1∪S2＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°，k∈Z}．(2)在0≤α<360°范围内，终边落在直线y＝x上的角有45°和225°，与45°角终边相同的角的集合为：S3＝，与225°角终边相同的角的集合为：S4＝，故终边在直线y＝x上的角的集合为：S＝S3∪S4＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}．巩
固　与－457°角终边相同的角的集合是(　　)A.
B.C.
D.解析：∵－457°＝－2×360°＋263°，∴－457°与263°是终边相同的角，选C.答案：C巩
固　分别写出终边落在以下直线上的角的集合：(1)终边落在y轴上；(2)终边落在直线y＝－x上；(3)终边落在坐标轴上．解析：(1)在0°≤α<360°范围内，终边落在y轴上的角有90°和270°，与90°角终边相同的角的集合为：S1＝，与270°角终边相同的角的集合为：S2＝{α|α＝{270°＋k·360°，k∈Z}，故终边在y轴上的角的集合为：S＝S1∪S2＝{α|α＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝.(2)在0°≤α<360°范围内，终边落在直线y＝－x上的角有135°和315°，与135°角终边相同的角的集合为：S3＝，与315°角终边相同的角的集合为：S4＝{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z}，故终边在直线y＝－x上的角的集合为：S＝S3∪S4＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}．(3)在0°≤α<360°范围内，终边落在坐标轴上的角有0°，90°，180°和270°.与0°角终边相同的角的集合为S5＝＝，与90°角终边相同的角的集合为S6＝{α|α＝90°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝(4k＋1)·90°，k∈Z}，与180°角终边相同的角的集合为S7＝{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝(4k＋2)·90°，k∈Z}，与270°角终边相同的角的集合为S8＝{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝(4k＋3)·90°，k∈Z}，故终边在坐标轴上的角的集合为：S＝S5∪S6∪S7∪S8＝.题型三　区间角的表示例3　已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α固　(1)分别写出第一、三象限角的集合；(2)写出第一、三象限角的集合．解析：(1)设角α的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，终边落在第一象限内，则角α的集合为A＝{α|k·360°＋0°<α固　已知角α是第二象限角，试问：2α是第几象限角？解析：∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α固　下列说法不正确的是(　　)A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1度的角是圆周的1360所对的圆心角，1弧度的角是圆周的12π所对的圆心角C．根据弧度的定义知，180度一定等于π
radD．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径的长短有关解析：
根据角度与弧度的定义可知，无论是角度制还是弧度制，角的大小都与半径的长短无关，所以D错误，故选D.答案：D题型六　弧度制与角度制的换算例6　将下列各角化成2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式，并指出是第几象限角？(1)1
140°；
(2)－π；
(3)π；
(4)－315°.解析：(1)1
140°＝π＝6π＋，π与的终边相同，故π是第一象限角；(2)－π＝－6π＋，－π与的终边相同，是第二象限角；(3)π＝2π＋，是第三象限角；(4)－315°＝－360°＋45°＝－2π＋，是第一象限角．巩
固　(1)把－1
480°角化成2kπ＋α(k∈Z,0≤α<2π)的形式；(2)若β∈[－4π，0]，且β与－1
480°角的终边相同，求β.解析：
(1)－1
480°＝－＝－10π＋＝2×(－5)π＋；(2)β与－1
480°角的终边相同，∴β＝2kπ＋α＝2kπ＋，又∵β∈[－4π，0]，∴β1＝－2π＋＝－，β2＝－4π＋＝－.巩
固　(1)把－1
480°角化成2kπ＋α(k∈Z,0≤α<2π)的形式；(2)若β∈[－4π，0]，且β与－1
480°角的终边相同，求β.解析：
(1)－1
480°＝－＝－10π＋＝2×(－5)π＋；(2)β与－1
480°角的终边相同，∴β＝2kπ＋α＝2kπ＋，又∵β∈[－4π，0]，∴β1＝－2π＋＝－，β2＝－4π＋＝－.题型七　用弧度制表示角例7　用弧度制表示顶点在原点，始边重合x轴非负半轴，终边落在下图中阴影部分内的角的集合(包括边界)．解析：(1)图(1)中的阴影部分表示为{α|45°＋k·180°≤α≤90°＋k·180°，k∈Z}，化为弧度制为；(2)图(2)中的阴影部分表示为{α|k·90°≤α≤45°＋k·90°，k∈Z}，化为弧度制为；(3)图(3)中的阴影部分表示为{α|－120°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}，化为弧度制为.题型八　弧长公式与扇形面积公式的应用例8　(1)已知扇形周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数；(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积；(3)已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？解析：由l＝|α|·R及S＝l·R单独应用或联立，可做到知二求一．(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，则解得或代入弧长公式l＝θ·r?θ＝，所以有θ＝8
rad>2π(rad)(舍去)或θ＝(rad)．(2)设扇形弧长为l，因为圆心角72°＝72×＝
rad，所以扇形弧长l＝|α|·r＝×20＝8π，于是，扇形的面积S＝l·r＝×8π×20＝80π.(3)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，则l＋2r＝4，所以l＝4－2r，所以S＝l·r＝×(4－2r)×r＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1，此是时，θ＝＝＝2(rad)．巩
固　一扇形周长为20
cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积？解析：设扇形的圆心角为α，半径为r，由已知条件得，扇形的弧长l＝α·r，∴2r＋αr＝20，α＝－2，S＝·α·r2＝10r－r2＝－(r－5)2＋25，当r＝5，α＝2时，Smax＝25(cm)2.题型九　利用三角函数的定义求三角函数值例9　已知角α的终边过点P(－3,2)，求sin
α，cos
α，tan
α的值．分析：本题考查角α的三角函数值，已知x＝－3，y＝2，先求出r，然后根据三角函数的定义求解．解析：∵x＝－3，y＝2，∴r＝＝，∴sin
α＝＝＝eq
\r(13)，cos
α＝＝＝－，tan
α＝＝＝－.点评：(1)解已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有两种；①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sin
α＝，余弦值cos
α＝.(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论巩
固　在平面直角坐标系中，若角α终边经过点P(－3,4)，则cos
α的值为
(　　)A．－
B．－
C.
D.解析：
∵x＝－3，y＝4，∴r＝＝5，∴cos
α＝＝＝－，故选B.答案：B巩
固　已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sin
α，cos
α，tan
α的值．分析：
因为角α的终边是一条射线，故应分两种情况进行讨论．可在直线上取一特殊点转化成例1类似的问题，进而求解．解析：
当角α的终边在第一象限时，角α的终边上取点P(1,2)，∵x＝1，y＝2，∴r＝＝，∴sin
α＝＝＝，cos
α＝＝＝，tan
α＝＝＝2.当角α的终边在第三象限时，角α的终边上取点Q(－1，－2)，∵x＝－1，y＝－2，∴r＝＝，∴sin
α＝＝＝－，cos
α＝＝＝－，tan
α＝＝＝2.题型十　应用诱导公式(一)进行化简、求值例10　求下列各三角函数的值：(1)cos(－1
050°)；(2)sin.解析：(1)∵－1
050°＝－3×360°＋30°，∴－1
050°角与30°角的终边相同，∴cos(－1
050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos
30°＝；(2)∵－π＝－4×2π＋，∴－π角与角的终边相同，∴sin＝sin＝sin＝.巩
固　求值：cosπ＋tan＝________.解析：∵cosπ＝cos＝，tan＝tan＝tan＝，∴cosπ＋tan＝＋.答案：＋题型十一　判断三角函数值的符号问题例11　
(1)若角α分别是第二、三、四象限角，则点P(sin
α，cos
α)分别落在第________、________和________象限．(2)依据三角函数线，作出如下四个判断：①sin＝sin；②cos＝cos；③tan>tan；④sin>sin.其中判断正确的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个解析：(1)当角α是第二象限角时，sin
α>0，cos
α<0，则点P(sin
α，cos
α)在第四象限；当角α是第三象限角时，sin
α<0，cos
α<0，则点P(sin
α，cos
α)在第三象限；当角α是第四象限角时，sin
α<0，cos
α>0，则点P(sin
α，cos
α)在第二象限．(2)在平面直角坐标系中作单位圆，依次作相关角的三角函数线，由图象可知sin≠sin，cos＝cos，tansin，∴序号②④判断正确，答案选B.答案：(1)四　三　二
(2)
B巩
固　判断下列各三角函数值的符号：sin
3，cos
4，tan
5.解析：
∵<3<π，π<4<π，<5<2π，∴sin
3>0，cos
4<0，tan
5<0.A组1．下列说法正确的是(　　)A．1弧度角的大小与圆的半径无关B．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等D．用弧度表示的角都是正角解析：
∵1
rad＝＝57.3°＝57°18′，其大小与圆的半径无关．答案：A2．某扇形的面积为1
cm2，周长为4
cm，那么该扇形圆心角的弧度数为(　　)A．2°
B．2
C．4°
D．4解析：
∵4＝|α|·r＋2r?r＝，且1＝|α|·r2，∴1＝|α|·2，解得|α|＝2，故选B.
答案：
B3．一条弦长等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是(　　)A.
B.
C．1
D．π答案：A4．扇形弧长为π，面积为π，圆的半径是　　　　.解析：弧长l＝π.∵S扇＝lr＝π，∴×πr＝π，即r＝2，∴圆的半径为2.答案：2B组1．将－300°化为弧度等于(　　)A－　　
　B．－
C．－
D．－答案：B　2．将－1
485°化成2kπ＋α，(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　)A．－8π＋
B．－8π－C．－10π－
D．－10π＋答案：D3．已知半径为1的扇形面积为π，则扇形的圆心角为(　　)A.π
B.π
C.π
D.π答案：C4．终边在x轴正半轴上的角的集合为________，终边在x轴负半轴上的角的集合为________，终边在x轴上的角的集合为________，终边在y轴正半轴上的角的集合为________，终边在y轴负半轴上的角的集合为________，终边在y轴上的角的集合为________，终边在坐标轴上的角的集合为________.
答案：
A组1．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(　　)A．90°－α
B．90°＋αC．360°－α
D．180°＋α解析：
∵α是第一象限角，∴k·360°＋0°<α400°的角是第四象限的角；③－300°的角与160°的角的终边相同；④相等的角的终边一定相同；⑤终边相同的角一定相等．其中正确命题的序号是____________．解析：∵1
400°＝3×360°＋320°，∴1
400°的角与320°的角的终边相同，而320°＝360°－40°是第四象限的角，∴1
400°的角是第四象限的角．②对．∵－300°＝－360°＋60°，∴－300°的角与60°的角的终边相同．③错．又由相关定义知①④正确，⑤不正确．故答案应填①②④.答案：①②④3．已知角A的终边与单位圆的交点为P0，求角α的正弦、余弦和正切值．解析：由三角函数定义知，sin
α＝y＝，cos
α＝x＝－，tan
α＝＝－.4．已知角α的终边过点P0(－3，－4)，求角α的正弦、余弦和正切值.解析：∵r＝＝5，∴sin
α＝－，cos
α＝－，tan
α＝.5．若－<α<0，则点Q(cos
α，sin
α)位于(　　)A．第一象限　　　　　　　B．第二象限C．第三象限
D．第四象限解析：
∵－<α<0，则cos
α>0，sin
α<0，故选D.答案：D6．已知角α的终边过点P，则cos
α＝(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D．±解析：
∵点P是单位圆上一点，则cos
α＝x＝，
故选B.答案：B7．角α＝－，则sin
α，tan
α的值分别为(　　)A．－1，不存在
B．1，不存在C．－1,0
D．1,0解析：由三角函数的定义及终边相同角的概念知A正确，故选A.答案：A8．有下列四个命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不相等；③若sin
α>0，则α是第一或第二象限角；④若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos
α＝
.其中，不正确命题的个数是(　　)A．1个
B．2个
C．3个
D．4个解析：
①正确；②不正确；③不正确，例：α＝也成立；④不正确．故选C.答案：C9．若sin
α<0且tan
α>0，则α(　　)A．第一象限角
B．第二象限角C．第三象限角
D．第四象限角解析：∵sin
α<0，∴α在第三、四象限．又∵tan
α>0，∴α在第一、三象限．故α在第三象限．答案：CB组1．角α的终边落在y＝－x(x>0)上，则sin
α的值等于(　　)A．±　　　B.　　　C．±　　　D．－答案：D2．sin
330°等于(　　)A．－
B．－
C.
D.答案：B3．若角θ的终边经过点，则tan
θ的值是(　　)A．－
B．－
C.
D.答案：A4．判断正误．(1)锐角是第一象限角(　　)
答案：√(2)第一象限角一定是锐角(　　)
答案：×(3)直角是终边在y轴非负半轴上的角(　　)
答案：√(4)终边在y轴非负半轴上的角是直角(　　)
答案：×(5)钝角是第二象限角(　　)
答案：√(6)第二象限角是钝角(　　)
答案：×5．设M＝{小于90°的角}，N＝{第一象限的角}，则M∩N＝(　　)A．{锐角}　
B．{小于90°的角}C．{第一象限的角}
D．以上都不对答案：D6．与－1
500°终边相同的角可以表示为(　　)A．k
·
360°＋1
500°，k∈Z
B．k
·
360°＋60°，k∈ZC．k
·
360°－60°，k∈Z
D．k
·
360°＋100°，k∈Z答案：C7．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是(　　)A．{α|－45°≤α≤120°}B．{α|120°≤α≤315°}C．{α|k
·
360°－45°≤α≤k
·
360°＋120°，k∈Z}D．{α|k
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360°＋120°≤α≤k
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360°＋315°，k∈Z}答案：C8．若α＝k
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180°＋45°，k∈Z，则α是第______象限角(　　)A．一或三
B．一或二C．二或四
D．三或四答案：AC组1．若θ是第三象限角，且cos>0，则是第____角(　　)A．一象限
B．二象限C．三象限
D．四象限解析：∵θ是第三象限角，∴2kπ＋π<θ<2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋<0，∴只能是第四象限角，故选D.答案：D2．已知α为第三象限角，则所在的象限是(　　)A．第一或第二象限
B．第二或第三象限C．第一或第三象限
D．第二或第四象限解析：∵α是第三象限角，∴k·360°＋180°<α000°终边相同的最小正角是________．解析：∵－1
000°＝－3×360°＋80°，∴与－1
000°终边相同的最小正角是80°.答案：80°
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