新人教A版高中数学必修第一册：同角三角函数的基本关系

授课主题：同角三角函数的基本关系
教学目标
1．掌握同角三角函数的基本关系式并灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力．2．灵活运用同角三角函数基本关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法．
教学内容
1．同角三角函数的基本关系1）同角三角函数的基本关系式：(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商的关系：tan
α＝.2）同角三角函数基本关系的不同变式：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sin
α＝tan
αcos
α.3）这里“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使得函数有意义的前提下)关系式都成立．如sin22α＋cos22α＝1成立，但sin2α＋cos2β＝1不一定成立．
题型一　利用同角三角函数基本关系求值例1　如果sin
A＝，且A为第一象限的角，试求角A的余弦值和正切值．解析：因为sin
A＝，且A为第一象限的角，sin2A＋cos2A＝1，所以cos
A＝＝，tan
A＝＝.点评：已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．另外也要注意“1”的代换，如“1＝sin2α＋cos2α”．巩
固　已知cos
α＝，且α是第四象限角，求sin
α，tan
α的值．解析：
∵cos
α＝，∴sin2α＝1－cos2α＝，又∵α是第四象限角，∴sin
α＝－，∴tan
α＝＝－.题型二　有关弦化切的求值问题例2　已知＝－，求下列各式的值：(1)tan
α；(2)；(3)sin2α－2cos2α.分析：考查三角函数的求值问题．本题(1)(2)中均为sin
α，cos
α的齐次式，因此可由公式tan
α＝变形为tan
α的表达式，进而代入求解．解析：(1)显然cos
α≠0，将已知等式左边的分子、分母同除以cos
α得＝，即＝－，解得tan
α＝2.(2)∵tan
α＝2，cos
α≠0，将式子的分子、分母同除以cos
α得＝＝＝.(3)∵tan
α＝2，cos
α≠0，将式子变形后的分子、分母同除以cos2α得原式＝＝＝＝.点评：将sin
α，cos
α的齐次式，变形为tan
α的表达式，这是一种常用的解题技巧，应该熟练掌握．巩
固　已知tan
α＝2，求下列各式的值：(1)；(2).解析：(1)∵tan
α＝2，∴cos
α≠0，将式子的分子、分母同除以cos
α得＝＝＝3.(2)∵tan
α＝2，∴cos
α≠0，将式子变形后的分子、分母同除以cos2α得原式＝＝＝＝5.题型三　利用sin
α±cos
α与sin
α·cos
α之间的关系求值例3　
已知sin
α＋cos
α＝a，求下列各式的值：(1)sin
α·cos
α；(2)sin3α＋cos3α.分析：考查sin
α±cosα、sin
α·cos
α型问题的求解．解析：(1)将已知等式平方得1＋2sin
α·cos
α＝a2，∴sin
α·cos
α＝.(2)由于sin3α＋cos3α＝(sin
α＋cos
α)(sin2α－sin
αcos
α＋cos2α)，且sin
α＋cos
α＝a，sin
α·cos
α＝，∴sin3α＋cos3α＝a＝－a3＋a.点评：(1)由sin
α＋cos
α的值可求sin
α·cos
α的值，反之亦然；(2)一般地，知sin
α±cos
α，sin
α·
cos
α三式中一式的值，便可求另外两式的值．巩
固　已知关于x的方程2x2－x＋m＝0的两根为sin
θ和cos
θ，其中θ∈(0,2π)，求：(1)＋的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解析：
(1)由根与系数的关系可知sin
θ＋cos
θ＝，sin
θ·cos
θ＝，则＋＝＝sin
θ＋cos
θ＝.(2)∵sin
θ＋cos
θ＝，平方得1＋2sin
θcos
θ＝，且sin
θ·cos
θ＝，∴1＋m＝，∴m＝.(3)当m＝时，原方程化为2x2－x＋＝0，解得x1＝，x2＝.∴或又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝或θ＝.题型四　化简与证明例4　(1)化简：；求证：＝.(1)解析：＝＝＝|sin
20°－cos
20°|＝cos
20°－sin
20°.(2)证明：证法一左边＝＝＝＝＝＝右边．证法二　由cos2α＝1－sin2α得－cos2
α＝(sin
α＋1)(sin
α－1)，所以＝，由等比定理得＝，所以，原式成立．证法三　左边－右边＝＝＝0，所以，左边＝右边，原式成立．方法四　因为sin
α＋cos
α－1≠0，cos
α≠0，所以要证原式成立，只须证cos
α(sin
α－cos
α＋1)＝(1＋sin
α)(sin
α＋cos
α－1)，即证cos
αsin
α－cos2α＋cos
α＝sin
α＋cos
α－1＋sin2α＋sin
αcos
α－sin
α，即证－cos2α＝－1＋sin2α.上式显然成立，所以原式成立．点评：(1)注意应用三角函数线比较大小得cos
20°>sin
20°；(2)sin2x＋cos2x＝1及(sin
x±cos
x)2＝1±2sin
xcos
x是常用的技巧．巩
固　求证：＝.分析：考查证明问题，可利用sin2α＋cos2α＝1.也可用作差变形求证．证明：证法一　∵sin2α＋cos2α＝1，∴1－cos2α＝sin2α，∴(1＋cos
α)(1－cos
α)＝sin2α，∴＝.证法二　∵sin2α＋cos2α＝1，∴1－cos2α＝sin2α，∴＝＝＝.证法三　∵sin2α＋cos2α＝1，∴1－cos2α＝sin2α，∴－＝.＝＝＝0，∴＝.点评：(1)利用同角三角函数关系式证明时，要熟悉公式，方法有从左至右或从右至左或从两侧同时证明；(2)sin2α＋cos2α＝1是常用的技巧．同时应注意正切化两弦．1．cos
α＝，α∈(0，π)，则tan
α的值等于(　　)A.
B.
C．±
D．±答案：B2．若β∈[0,2π)且＋＝sin
β－cos
β，则β的取值范围是(　　)A.
B.
C.
D.解析：由＋＝sin
β－cos
β，得|sin
β|＋|cos
β|＝sin
β－cos
β，∴sin
β≥0且cos
β≤0.又β∈[0,2π)，∴β∈.故选B.答案：B3．已知tan
α＝－，则的值是(　　)A.
B．3
C．－
D．－3解析：＝＝＝＝＝＝－.答案：C4．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值等于(　　)A．2
B．－2C．－2或2
D．0解析：∵α终边在直线x＋y＝0上，∴α＝2kπ＋或α＝2kπ－(k∈Z)，α＝2kπ＋(k∈Z)时，sin
α＝，cos
α＝－，∴原式＝＋＝0.α＝2kπ－(k∈Z)时，sin
α＝－，cos
α＝，原式＝＋＝0，故选D.答案：D5．已知sin
α＝，<α<π，则tan
α＝________.答案：－26．已知sin
θ＝，cos
θ＝，则m＝________；tan
θ＝________.解析：由sin2θ＋cos2θ＝1得，2＋2＝1解得，m＝0或m＝8.当m＝0时，sin
θ＝－，cos
θ＝，∴tan
θ＝－.当m＝8时，sin
θ＝，cos
θ＝－，∴tan
θ＝－.答案：0或8　－或－7．化简下列各式：(1)；(2).解析：(1)＝＝＝cos
40°.(2)＝＝＝＝1.8．已知sin
α＝，并且α是第二象限角，求cos
α，tan
α的值．解析：∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α＝1－2＝2.又∵α是第二象限角，∴cos
α<0，即有cos
α＝－，从而tan
α＝＝－.9．已知在△ABC中，sin
A＋cos
A＝，(1)求sin
A·cos
A；解析：(1)由sin
A＋cos
A＝两边平方得：1＋2sin
A·cos
A＝，∴sin
A·cos
A＝－.(2)判断△ABC是锐角还是钝角三角形；解析：(2)由(1)sin
A·cos
A＝－知，cos
A<0，且0A的值．解析：(3)联立解得，sin
A＝，cos
A＝－∴tan
A＝＝－.10．已知sin
β＋cos
β＝，且0<β<π.求sin
βcos
β、sin
β－cos
β的值．解析：由sin
β＋cos
β＝可得：sin2β＋2sin
βcos
β＋cos2β＝1＋2sin
βcos
β＝，∴sin
βcos
β＝－，∴(sin
β－cos
β)2＝1－2sin
βcos
β＝.∵sin
βcos
β<0，且0<β<π，∴sin
β>0，cos
β<0.∴sin
β－cos
β＝.1．下列为同一个角的正弦与余弦值可能正确的是(　　)A．sin
A＝，cos
A＝B．sin
A＝，cos
A＝C．sin
A＝，cos
A＝－D．sin
A＝，cos
A＝解析：因只有选项C中sin2A＋cos2A＝＋＝1，故选C.答案：C2．若sin
A＝，cos
A＝－，求tan
A的值．解析：tan
A＝＝＝－2.3．下列四个命题正确的是(　　)A．sin2α＋cos2β＝1B．sin
α＝0，且cos
α＝－1C．tan
α＝1，且cos
α＝－1D．tan
α＝－，α为第二象限角解析：
显然当sin
α＝0，且cos
α＝－1时，sin2α＋cos2α＝1，而在sin2α＋cos2β＝1中，当α＝，β＝时不成立，
故选B.答案：B4．设a<0，角α的终边经过点P(－3a,4a)，那么sin
α＋2cos
α的值等于(　　)A.　　
　B．－　　
　C.　　
　D．－解析：∵r＝＝－5a，α为第四象限角．∴sin
α＝＝－，cos
α＝＝.故sin
α＋2cos
α＝，故选A.答案：A5．已知θ是第二象限角，则
可化简为(　　)A．sin
θ
cos
θ
B．－sin
θ
cos
θC．2sin
θ
cos
θ
D．－2sin
θ
cos
θ答案：B6．已知α是第三象限角，sin
α＝－，则tan
α＝________.解析：由且α是第三象限角，可得cos
α＝－，所以tan
α＝＝.答案：
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