新人教A版高中数学必修第一册：正余弦函数的图像和性质

授课主题：正余弦函数的图像和性质
教学目标
1．理解：利用单位圆中的正弦线画出正弦函数图象．2．理解正弦函数、余弦函数的性质：周期性和值域．3．利用正弦函数、余弦函数的图象确定相应的对称轴、对称中心及周期等．4．利用正弦函数、余弦函数的单调性求与弦函数有关的单调区间．
教学内容
1．正弦函数、余弦函数的图象1）正弦函数、余弦函数的概念：若对于任意给定的一个实数x，都有唯一确定的值sin
x(或cos
x)与之对应，则称由这个对应法则所确定的函数y＝sin
x
(或y＝cos
x)为正弦函数(或余弦函数)，其定义域是R．2）正弦函数和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．(1)利用单位圆中的正弦线画函数y＝sin
x的图象，其过程可以概括为以下两点：首先是等分单位圆、等分区间[0,2π]和正弦线的平移，进而得到函数y＝sin
x在区间[0,2π]上的图象．其次是利用终边相同的角有相同的正弦值，推知函数y＝sin
x在区间[2kπ，2(k＋1)π](k∈Z，k≠0)上的图象与函数y＝sin
x在区间[0,2π]上的图象形状完全一样，从而可以通过左右平移得到正弦函数y＝sin
x(x∈R)的图象．(2)用同样的方法可以画出余弦函数y＝cos
x(x∈R)的图象．(3)根据诱导公式cos
x＝sin，可以把正弦函数y＝sin
x(x∈R)的图象向左平移单位即得余弦函数y＝cos
x(x∈R)的图象．作简图如下：2．“五点法”作图画正弦函数和余弦函数在[0,2π]上的简图，在所作图形的精确度要求不太高时，我们常用“五点法”作简图：(1)对正弦函数y＝sin
x，取五点：A(0,0)，B，C(π，0)，D，E(2π，0)．这五点描出后，正弦函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象就基本确定了．(2)对余弦函数y＝cos
x，取五点：A(0,1)，B，C(π，－1)，D，E(2π，1)．这五点描出后，余弦函数y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象也就基本确定了．五点作图法必须有三步：列表、描点、连线．连线时要注意曲线的光滑和凸凹．3．正、余弦函数的周期1）周期性定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．2）对周期函数的理解要注意以下几个方面：(1)f(x＋T)＝f(x)是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个x的值，x＋T仍在定义域内，且等式成立；(2)周期T是非零常数，是使函数值重复出现的自变量x的增加值；(3)周期函数的周期不是唯一的，如果T是函数f(x)的周期，那么nT，n∈Z，n≠0也一定是函数f(x)的周期；(4)周期函数的定义域不一定是R，但一定是无界集，至少是一方无界；(5)周期函数并不仅仅局限于三角函数，如函数y＝x－k，(kx当且仅当x＝2kπ＋
(k∈Z)时取最大值1，当且仅当x＝2kπ－
(k∈Z)时取最小值－1；余弦函数y＝cos
x当且仅当x＝2kπ
(k∈Z)时取最大值1，当且仅当x＝2kπ＋π
(k∈Z)时取最小值－1．注意：正余弦函数在整个定义域R上的值域为[－1,1]，在确定函数的值域时，要注意函数的定义域区间．5．正弦函数和余弦函数的单调性1）正弦函数和余弦函数都是周期函数，而对于周期函数，只要弄清楚它在一个周期内所具有的性质，便可以推知它在整个定义域内所具有的性质．对于正弦函数，结合图象知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．根据函数的周期性，我们推知：正弦函数在每个闭区间(k∈Z)上都是增函数，其函数值从－1增加到＋1；在每个闭区间(k∈Z)上都是减函数，其函数值从＋1减小到－1.同样，余弦函数在每个闭区间[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上都是增函数，其函数值从－1增加到＋1；在每个闭区间[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上都是减函数，其函数值从＋1减小到－1.2）正弦函数、余弦函数是单调函数吗？能否说“正弦函数在第一象限是增函数”？答：正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函数．“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为在第一象限，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．6．正弦函数和余弦函数的奇偶性根据诱导公式sin(－x)＝－sin
x，cos(－x)＝cos
x，可知正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．从正弦函数y＝sin
x的图象和余弦函数y＝cos
x的图象上也可以看出，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．利用正、余弦函数的周期性和图象可以得出：正弦曲线y＝sin
x既是中心对称图形，又是轴对称图形．其对称中心坐标是(kπ，0)(k∈Z)，对称轴方程是x＝kπ＋(k∈Z)；同理，余弦曲线y＝cos
x既是中心对称图形，又是轴对称图形．其对称中心坐标是(k∈Z)
，对称轴方程是x＝kπ(k∈Z)．题型一　用“五点法”作图例1　　用“五点法”作函数y＝cos在一个周期内的简图．解析：
列表：u0π2πx＝u＋y＝cos
u10－101描点，并用光滑曲线连接起来．图如下：题型二　解最简单三角不等式例2　写出不等式sin
x≥的解集．分析：解答本题可利用数形结合，分别画出y＝sin
x和y＝的图象，通过图象写出不等式的解集．解析：画出y＝sin
x，x∈[0,2π]及y＝的图象，由图象知sin＝sinπ＝，∴当x∈[0,2π]时，由sin
x≥得，≤x≤.∴不等式sin
x≥的解集为.巩
固　已知x∈(0,2π)，在同一坐标系中，画出y＝sin
x和y＝cos
x的图象，并由图象求出使sin
xx成立的x的取值范围是(　　)A.∪　　　
B.∪C.
D.∪解析：观下图知：sin
xx成立的x的取值范围是∪，故选B.答案：B题型三　用图象变换法作简图例3　作函数y＝的图象．分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作出相应函数的图象．解析：∵y＝＝|sin
x|，∴y＝函数y的图象如下图所示，巩
固　作函数y＝的图象．解析：
∵y＝＝|cos
x|，∴y＝函数y的图象如下图所示．题型四　三角函数的周期例4　(1)下列函数中，最小正周期为的是(　　)A．y＝sin
B．y＝sin
2x
C．y＝cos
D．y＝cos
4x(2)函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是(　　)A．0
B.
　　　　
C.
　　　　
D．π解析：(1)考查三角函数的周期．∵周期T＝＝，∴|ω|＝4，故选D.
(2)考查三角函数的奇偶性与诱导公式．显然当φ＝时，y＝sin＝cos
2x为偶函数，故答案应选C.答案：(1)
D
(2)
C点评：用定义求三角函数的周期，就是首先将定义式f(x＋T)＝f(x)先转化为三角恒等式，再利用正、余弦函数的周期为2π，从而列出关于T的等式，使问题获解．巩
固　求下列各函数的最小正周期：(1)y＝cos
2x；(2)y＝sin解析：
(1)∵ω＝2，∴周期T＝＝π；
(2)∵ω＝，∴周期T＝＝4π.题型五　三角函数的值域例5　求下列各函数的值域：(1)y＝3＋2cos；(2)y＝cos2x－sin
x，x∈分析：考查三角函数的值域问题：(1)利用三角函数有界性求值域；(2)用配方法变形求解．解析：(1)∵－1≤cos≤1，∴－2≤2cos≤2，∴1≤3＋2cos≤5，∴1≤y≤5，即函数y＝3＋2cos的值域为[1,5]．(2)y＝cos2x－sin
x＝1－sin2x－sin
x＝－2＋，∵－≤x≤，∴当x＝－，即sin
x＝－时，ymax＝；当x＝，即sin
x＝时，ymin＝－.故函数y＝cos2x－sin
x，x∈的值域为.点评：求三角函数的值域，主要是利用三角函数的有界性求解．(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的，利用三角函数的有界性－1≤sin(ωx＋φ)≤1求解．(2)形如y＝Asin2x＋Bsin
x＋c或可化为此形式的，可用配方法．巩
固　求下列各函数的值域：(1)y＝2sin，x∈；(2)y＝|sin
x|＋sin
x.解析：
(1)∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤，∴0≤sin≤1，∴0≤2sin≤2，∴0≤y≤2，故函数y＝2sin，x∈的值域为[0,2]；(2)∵y＝|sin
x|＋sin
x＝又∵－1≤sin
x≤1，∴0≤y≤2，故函数y＝|sin
x|＋sin
x的值域为[0,2]．题型六　三角函数的单调性例6　(1)求函数y＝2sin的单调增区间；
(2)函数y＝cos的单调递增区间是(　　)A.
B.C.
D.(以上k∈Z)分析：本题考查复合函数的单调性问题．解析：(1)∵y＝2sin＝－2sin，∴函数y＝2sin的单调增区间是函数u＝2sin的单调减区间，令2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，∴函数y＝2sin的单调增区间为(k∈Z)．(2)∵y＝cos＝cos，∴函数y＝cos的单调增区间是函数y＝cos的单调增区间．令2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴函数y＝cos的单调增区间为(k∈Z)．答案：(1)(k∈Z)　(2)B点评：(1)求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，首先把x的系数化为正的，再利用整体代换，将ωx＋φ代入相应不等式中，求解相应变量的取值范围．(2)求复合函数单调区间时，要先求定义域，同时还要注意内层、外层函数的单调性．巩
固　下列不等式中正确的是
(　　)A．sin>sin
B．cossin
D．cos>>，而正弦函数y＝sin
x在区间上是单调递减函数，故有sin>>，而余弦函数y＝cos
x在区间上是单调递减函数，故有cos－>－>－，而正弦函数y＝sin
x在区间上是单调递增函数，故有sin－>－>－，而余弦函数y＝cos
x在区间上是单调递增函数，故有cos2x；(2)f(x)＝.分析：本题考查函数的奇偶性问题．解析：(1)∵函数的定义域为(－∞，＋∞)，即定义域关于原点对称，且f(－x)＝sin4(－x)－cos4(－x)＋cos(－2x)＝sin4x－cos4x＋cos
2x＝f(x)，∴函数f(x)＝sin4x－cos4x＋cos
2x是偶函数；(2)∵f(0)＝0，f无意义，∴函数f(x)的定义域关于原点不对称，∴函数f(x)＝为非奇非偶函数．点评：判断函数的奇偶性时，必须先检查函数的定义域是否是关于原点的对称区间，如果是，再验证f(－x)与f(x)的关系，进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数．巩
固　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝sin；(2)f(x)＝.解析：(1)∵函数的定义域为(－∞，＋∞)，即定义域关于原点对称，且f(x)＝sin＝cos
2x，显然有f(－x)＝cos(－2x)＝cos
2x＝f(x)，∴函数f(x)＝sin是偶函数；(2)∵2sin
x－1≥0，即sin
x≥，得函数定义域为(k∈Z)，∴函数f(x)的定义域关于原点不对称，∴函数f(x)＝为非奇非偶函数．（周期性、最值）1．函数y＝cos
x的最小、最大值分别为(　　)A．0,1　　　　　
　　　B．－1,1C．－，1
D．－1，解析：由y＝cos
x，≤x≤的图象(如下图)知：当x＝时，y＝cos
x有最大值.当x＝π时，y＝cos
x有最小值－1，故选D.答案：D2．函数y＝sin是(　　)A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数解析：由诱导公式得，y＝sin＝－cos
x，所以该函数为周期为2π的偶函数．答案：D3．函数y＝的周期是(　　)A．2π
B．π
C.
D.答案：C4．函数y＝1＋sin
x最大值为(　　)A．0
B．1
C．2
D．3解析：当x＝时，y＝1＋sin
x有最大值2，故选C.答案：C5．函数y＝4sin＋1的最小正周期为(　　)A.
B．π
C．2π
D．3π解析：y＝4sin＋1的最小正周期为T＝＝π.故选B.答案：B6．已知函数y＝cos(ω>0)的最小正周期为，则ω的值为(　　)A．1
B．±3
C．3
D.解析：∵y＝cos(ω>0)的最小正周期为T＝＝，∴ω＝3，故选C.答案：C7．若函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为，则ω的值为(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8答案：C8．函数y＝sin是(　　)A．周期为2π的偶函数
B．周期为2π的奇函数
C．周期为π的偶函数
D．周期为π的奇函数解析：y＝sin＝cos
x为偶函数，T＝＝2π，故选A.答案：A9．下列说法不正确的是(　　)A．正弦函数、余弦函数的定义域是R，值域是[－1,1]B．余弦函数当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时取得最小值－1C．正弦函数在每个区间(k∈Z)上都是减函数D．余弦函数在每个区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都是减函数答案：D10．下列函数不是周期函数的是(　　)A．y＝sin
x
B．y＝cos
xC．y＝4sin
D．y＝lg
x答案：D11．函数y＝cos2x－3cos
x＋2的最小值为(　　)A．2
B．0C．－
D．6答案：B12．如果|x|≤，则函数y＝cos2x＋sin
x的最小值是(　　)A.
B.C．－1
D.答案：D13．若f(x)＝cosx，x∈N＋，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
011)＝________.解析：f(x)＝cosx∵T＝＝8，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
011)＝cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋…＋cos＝251
＋＋0＋＝0.答案：014．函数f(x)＝asin
x＋b的最大值和最小值分别为3和－1，求实数a，b的值．解析：当a>0时，由解得a＝2，b＝1；当a<0时，由解得a＝－2，b＝1.（单调性、奇偶性）1．下列命题正确的是(　　)A．y＝sin
x在[0，π]内是单调函数B．在第二象限内，y＝sin
x是减函数，y＝cos
x也是减函数C．y＝cos
x的增区间是[0，π]D．y＝sin
x在区间上是减函数答案：D2．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是
(　　)A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间上是增函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数解析：由函数的f(x)＝sin＝－cos
x(x∈R)可以得到函数f(x)是偶函数，选择D.答案：D3．设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则(　　)A．aB．aD．b>，而函数y＝sin
x在区间上单调递增，则a＝sin>，且a<1，又函数y＝cos
x在区间上单调递减，则b＝cos<.∵单位圆的正切线中，若>>，则c＝tan>tan＝1，∴c>1>a>b，故选D.答案：D4．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，π]时，f(x)＝－sin
x，则f的值为(　　)A．－
B.
C．－
D.解析：f＝f＝f＝f＝－sin＝－.答案：C5．设函数f(x)＝(x∈R)，则f(x)(　　)A．在区间上是增函数
B．在区间上是减函数C．在区间上是增函数
D．在区间上是减函数解析：作函数y＝sin的图象，并将图象在x轴下方的部分对折到x轴的上方，观察图象可知答案选A.答案：
A6．下列命题正确的是(　　)A．y＝－2sin
x为偶函数B．y＝－3cos
x＋1为偶函数C．y＝sin
x－1是奇函数D．y＝|sin
x|既不是奇函数也不是偶函数答案：B7．使y＝sin
x和y＝cos
x均为减函数的一个区间是(　　)A.　　　　　　　B.C.
D.解析：由y＝sin
x，x∈[0,2π]与y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象知：y＝sin
x和y＝cos
x的均为减函数的一个区间是：，故选B.答案：B8．函数y＝|sin
x|的一个单调增区间(　　)A.
B.C.
D.答案：C9．有下列命题：①y＝sin
x的递增区间是(k∈Z)；②y＝sin
x在第一象限是增函数；③y＝sin
x在上是增函数．其中正确的个数是(　　)A．1个
B．2个
C．3个
D．0个解析：①y＝sin
x的递增区间是(k∈Z)．②函数的单调性是相对于某一区间来说的，与所在象限无关．③正确．故选A.答案：A10．函数y＝3cos2x－4cos
x＋1，x∈的最小值是(　　)A．－
B.
C．0
D．－解析：y＝32－，∵x∈，∴cos
x∈.当cos
x＝时，y取到最小值为ymin＝3×2－＝－.故选D.答案：D11．设函数f(x)＝xcos
x＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝______.答案：－912．判断函数f(x)＝sin的奇偶性．分析：判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．解析：∵x∈R，f(x)＝sin＝－cos，∴f(－x)＝－cos＝－cos＝f(x)，∴函数f(x)＝sin为偶函数．13．求函数y＝3cos＋2的单调区间．解析：由2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)得kπ－π≤x≤kπ－(k∈Z)．∴函数的单调增区间是(k∈Z)．由2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．∴函数的单调减区间是(k∈Z)．14．若函数f(x)＝a－bsin
x的最大值为，最小值为－，求函数g(x)＝－4asin
bx的最值和最小正周期．解析：当b>0时，由题意得解得a＝，b＝1.∴g(x)＝－2sin
x．此时函数g(x)的最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π.当b<0时，由题意得解得a＝，b＝－1.∴g(x)＝2sin
x．此时函数g(x)最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π.
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