新人教A版高中数学必修第一册：正切函数

授课主题：正切函数
教学目标
1．理解正切函数的性质，掌握正切函数的图象的作法．2．能利用正切函数的图象与性质解决与正切函数有关的基本问题．
教学内容
1．正切函数的性质1）正切函数的定义域和值域：定义域为，值域为R．2）正切函数的周期性：y＝tan
x的周期是kπ
(k∈Z，k≠0)，最小正周期是π．3）正切函数的奇偶性与对称性：正切函数是奇函数，其图象是中心对成图形，关于(，0)(k∈Z)中心对称．4）正切函数的单调性：正切函数在开区间
(k∈Z)内都是增函数．5）注意：不能说正切函数在整个定义域上是增函数．正切函数在整个定义域上不具有单调性，因为它的定义域不连续，所以，不能说它在整个定义域上是增函数，正切函数在它的任一个连续区间内是单调递增函数．举反例：x1＝，x2＝，x1x1＝tan
x2这与单调性的定义矛盾．对每一个k∈Z，在开区间内，函数单调递增．2．正切函数的图象根据正切函数y＝tan
x的定义和周期，通过平移单位圆中的正切来作出它在区间上的图象．将正切函数y＝tan
x在区间上的图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y＝tan
x的图象，我们把它叫做正切曲线．正切曲线是被互相平行的直线x＝kπ＋
(k∈Z)所隔开的无数多支曲线组成的．这些平行直线x＝kπ＋
(k∈Z)叫做正切曲线各支的渐近线．结合正切曲线的特征，类比正弦、余弦函数的“五点法”作图，也可用“三点两线”作图法作出正切函数y＝tan
x在一个单调区间上的简图．其中，三点为：，(0,0)，.二线为：x＝－，x＝.画图时，注意图象不能与直线x＝kπ＋(k∈Z)相交．题型一　正切函数的图象例1　函数y＝tan在一个周期内的图象是(　　)分析：本题主要考查函数y＝Atan(ωx＋φ)的图象．解析：方法一
采用三点两线法作出函数y＝tan在一个周期内的简图．即令－＝0，±，求得三点坐标分别为，和，又令－≠±，求得二渐近线方程为x≠－且x≠，故选A.方法二　y＝tan的周期T＝＝2π，而由图象B、D可知周期为π，故可排除B、D.当x＝时，y＝tan＝－tan≠0，故可排除C，因此应选A.方法三　∵y＝tan＝tan，∴此函数图象可由y＝tan的图象向右平移个单位得到，而y＝tan的图象过原点，故原函数的图象过点.又T＝＝2π的只有A，故选A.答案：A巩
固　与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是
(　　)A．x＝　　　　　　　B．x＝－C．x＝－
D．x＝解析：当x＝时，2x＋＝，y＝tan无意义，故x＝与函数的图象不相交．故选D.答案：D题型二　正切函数的周期性例2　求下列函数的最小正周期：(1)y＝－tan；(2)y＝|tan
x|.解析：(1)∵ω＝，∴最小正周期T＝＝＝3.(2)函数y＝|tan
x|的图象是将函数y＝tan
x的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折上去，其余不变，因此函数y＝|tan
x|的最小正周期为π.巩
固　求下列函数的最小正周期：(1)y＝tan；
(2)y＝－tan.解析：(1)∵ω＝，∴最小正周期T＝＝＝.∵ω＝2，∴最小正周期T＝＝.题型三　正切函数的单调性例3　求函数y＝tan的单调减区间．分析：求y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，首先把x的系数化为正的，再利用整体代换，将ωx＋φ代入相应不等式中，求解相应变量x的取值范围．解析：∵y＝tan＝－tan，令kπ－<－.点评：正切函数的单调区间关键点，一是不含边界，二是因正切函数的周期是π的函数，书写单调区间时要注意．巩
固　比较tan
1，tan
2，tan
3的大小．分析：比较正切函数值的大小，应首先把相关角化为同一单调区间的角，再利用单调性比较大小．如不是一个单调区间的角，则可用介值法进行比较．解析：
∵tan
2＝tan(2－π)，tan
3＝tan(3－π)，0<π－3<π－2<，∴－<2－π<3－π<0<1<.而函数y＝tan
x在区间上单调递增，则tan(2－π)1，即tan
231.题型四　正切函数的综合问题例4　画出函数y＝|tan
x|＋tan
x的图象，并指出其定义域、值域、最小正周期和单调增区间．分析：本题主要考查正切函数的图象和性质，应先对tan
x值的符号分类讨论，作出函数y＝|tan
x|＋tan
x的图象后，再进行研究．解析：y＝|tan
x|＋tan
x＝作函数y＝|tan
x|＋tan
x的图象如下图：观察图象知，其定义域为，值域为[0，＋∞)，最小正周期为π，单调增区间为(k∈Z)．点评：含绝对值问题的处理办法，就是讨论去绝对值，再借助图象解决问题。巩
固　设函数y＝10tan，k∈N
当x在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时至少有两次失去意义，求k的最小正整数值．解析：由题设，对两个周期有2T<1，即>2π?2k－1>10π?2k>10π＋1，∴k>≈＝16.2.∵∈N
，∴kmin＝17.1．函数y＝tan的最小正周期是(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.解析：
因为ω＝3，所以最小正周期T＝＝，故选B.答案：B2．下列命题正确的是(　　)A．正切函数在定义域内是增函数B．正弦函数在定义域内是增函数C．函数y＝3tan的图象关于y轴对称D．若x是第一象限角，则y＝tan
x是增函数，y＝cos
x是减函数解析：
正弦函数、余弦函数与正切函数都是区间上的单调函数，可排除A、B、D，故选C.答案：C3．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点，则φ可以是(　　)A．－
B.
C．－
D.解析：将点代入y＝tan(2x＋φ)得，tan＝0，∴φ可以是－.答案：A4．函数y＝lg
tan
x的增区间是(　　)A.(k∈Z)
B.(k∈Z)C.(k∈Z)
D．(kπ，kπ＋π)(k∈Z)解析：由tan
x>0，得kπx在上是增函数．∴函数y＝lg
tan
x的增区间是(k∈Z)．故选B.答案：B5．tan
600°的值是(　　)A．－
B.
C．－
D.解析：tan
600°＝tan(360°＋240°)＝tan
240°＝tan(180°＋60°)＝tan
60°＝.答案：D6．函数f(x)＝tan的单调增区间为(　　)A.，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈ZC.，k∈Z
D.，k∈Z答案：C7．方程tan
x＝－(－πB.C.
D.答案：C8．若f(x)＝tan，则(　　)A．f(0)>f(－1)>f(1)
B．f(0)>f(1)>f(－1)C．f(1)>f(0)>f(－1)
D．f(－1)>f(0)>f(1)解析：由kπ－＜x＋＜kπ＋，k∈Z得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，∴f(－1)＜f(0)．又∵f(1)＝tan＝tan，∴1－，－1,0∈且1－＜－1＜0，∴f(1)＜f(－1)＜f(0)，故选A.答案：A9．函数f(x)＝的定义域为(　　)A.B.C.D.答案：A10．函数y＝tan
x，x∈的值域为________．答案：11．正切函数y＝tan
x在区间上的值域为　　　　.答案：[－1,1]12．求不等式tan
x≥的解集.分析：本题可利用图象直观解决．解析：作正切函数y＝tan
x在区间上的简图，观察图象，且由正切函数y＝tan
x在区间上单调递增，tan＝.∵tan
x≥
，即tan
x≥tan，∴在区间内，不等式tan
x≥的解集，故由正切函数的周期性可知原不等式的解集为(k∈Z)．13．函数y＝tan的定义域为________．解析：∵3x－≠kπ＋，k∈Z且x∈R，∴x≠＋，k∈Z，且x∈R，故定义域为：.答案：14．利用正切函数图象解不等式．(1)tan
x≥－1；(2)tan
2x≤－1.分析：本题可先作出y＝tan
x在上的图象，然后由tan＝－1，并结合图象的升降(单调性)便可去掉法则“tan”，从而建立自变量间的关系．解析：(1)因为tan
x≥－1，tan＝－1，在内，满足条件的x为：－≤x＜，由正切函数的图象及周期性可知，满足此不等式的x的取值集合为.(2)在
内，tan＝－1.所以不等式tan
2x≤－1的解集由不等式kπ－＜2x≤kπ－，k∈Z确定．解得－＜x≤－，k∈Z.所以不等式tan
2x≤－1的解集为.15.已知f(x)＝x2＋2x·tan
θ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值与最小值；解析：(1)当θ＝－时，f(x)＝x2－x－1.∵x∈[－1，]，∴当x＝时，f(x)min＝－；当x＝－1时，f(x)max＝.(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数．解析：(2)函数f(x)＝x2＋2x·tan
θ－1的对称轴为x＝－tan
θ，∵y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，∴－tan
θ≤－1或－tan
θ≥，即tan
θ≥1或tan
θ≤－.又θ∈，∴－<θ≤－或≤θ<，即θ的取值范围是∪.
1．函数y＝4sin(2x＋π)的最小正周期是(　　)A.
B．πC．2π
D．4π解析：∵y＝4sin(2x＋π)＝－4sin
2x，∴最小正周期为T＝π.故选B.答案：B2．已知函数f(x)＝sin(x∈R)．下面结论错误的是(　　)A．f(x)的最小正周期为2πB．f(x)在区间上是增函数C．f(x)的图象关于直线x＝0对称D．f(x)是奇函数解析：∵f(x)＝sin＝－cos
x，∴A，B，C均正确．故选D.答案：D3．函数f(x)＝sin是(　　)A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数解析：∵f(x)＝sin＝sin＝cos
2x，∴f(x)是偶函数．故选B.答案：B4．下列函数在上是增函数的是(　　)A．y＝sin
x
B．y＝cos
xC．y＝sin
2x
D．y＝cos
2x解析：函数y＝sin
x和y＝cos
x在上是减函数，函数y＝sin
2x在上不是单调函数，函数y＝cos
2x在上是增函数．故选D.答案：D5．函数f(x)＝tan的单调增区间为(　　)A.(k∈Z)
B．(kπ，kπ＋π)(k∈Z)C.(k∈Z)
D.(k∈Z)解析：由kπ－x与y＝tan
x的图象在上的交点的个数为(　　)A．0
B．1
C．2
D．3解析：由sin
x＝tan
x，得sin
x－＝0，即sin
x＝0.由此可知在上只有一解x＝0，故两函数图象在上只有一个交点，故选B.答案：B7．tan
1，sin
2，tan
3的大小顺序是________．解析：∵－<<1<，∴tan
1>tan
＝1.而sin
2<1，∴tan
1>sin
2>0.又3∈，∴tan
3<0.∴tan
1>sin
2>tan
3.答案：tan
1>sin
2>tan
38．tan与tan的大小关系是________．解析：tan＝tan＝tan
.tan＝tan＝tan.∵0<<<，∴tantan.答案：tan>tan9．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，T∈(1,3)，则正整数ω的最大值为________．解析：∵T＝，T∈(1,3)，∴1<<3，即<ω<2π.∴正整数ω的最大值为6.答案：610．求函数y＝acos
x＋b(a<0)的最大值与最小值及相应的x值．解析：∵a<0，－1≤cos
x≤1，∴当cos
x＝1，即x＝2kπ(k∈Z)时，ymin＝a＋b；当cos
x＝－1，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymax＝－a＋b.11．求函数y＝3＋2sin，x∈的最大值与最小值，并求出取最值时x的值．解析：∵x∈.∴0≤2x＋≤.∴当2x＋＝，即x＝时，ymin＝3－；当2x＋＝，即x＝时，ymax＝5.12．方程sin
x＝在x∈上有两个实数根，求a的取值范围．解析：在同一坐标系中作出函数y＝sin
x，x∈和y＝的图象如图所示．由图象可知，当≤<1，即－1x＝在x∈上有两个实根．
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