新人教A版高中数学必修第一册：二倍角

授课主题
二倍角
教学目标
1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程．2．灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正用、逆用公式，进一步学习化归思想方法．3．正确应用和差角公式、倍角公式进行化简、求值和证明．4．理解并掌握二倍角公式的变形式及其应用．
教学内容
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式在公式sin＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β中，令β＝α，得到sin
2α＝2sin
αcos
α，这就是二倍角的正弦公式；在公式cos＝cos
αcos
β－sin
αsin
β中，令β＝α，得到cos
2α＝cos2α－sin2α，这就是二倍角的余弦公式，其变形形式有：cos
2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；在公式tan＝中，令β＝α，得到tan
2α＝，这就是二倍角的正切公式．注意:
tan
2α＝这个公式，因为要使tan
2α，tan
α有意义，即2α≠＋kπ且α≠＋kπ(k∈Z)还有1－tan2α≠0即tan
α≠±1从而推出α≠＋kπ(k∈Z)综上所述α≠＋且α≠＋kπ(k∈Z)而公式S2α、C2α中，角α可以是任意角．2．二倍角公式中应注意的问题(1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解．如8α是4α的二倍角，α是的二倍角，是的二倍角等等．又如α＝2×，＝2×，…，＝2×等等．(2)当α＝kπ＋时，tan
α的值不存在，这时求tan
2α的值可用诱导公式求得．(3)一般情况下，sin
2α≠2sin
α，例如sin≠2sin.(4)公式的逆用变形:升幂公式：1＋cos
α＝2cos2，1－cos
α＝2sin2，1±sin
2α＝2.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.3．公式汇总二倍角公式:sin
2α＝2sinαcosα；cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan
2α＝.升幂公式：1＋cos
α＝2cos2，1－cos
α＝2sin2，1±sin
2α＝2.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.半角公式:sin
＝±
；cos
＝±
；tan
＝±
＝＝.根号前的正负号，由角所在象限确定．题型一　二倍角公式的简单应用例1　已知tan＝2，求：(1)tan的值；(2)的值．分析：本题考查二倍角公式以及弦化切方法的简单应用．解析：(1)∵tan＝2，
∴
tan
α＝＝＝－，∴tan＝＝＝＝－.(2)由(1)知，
tan
α＝－，∴＝＝＝.点评：二倍角是两个角间的相对关系.2x是x的二倍角x是的二倍角.是的二倍角．巩
固　(1)已知cos
α＝－，α∈，求sin
2α，cos
2α，tan
2α之值．(2)已知tan＝2，则的值为________．解析：(1)∵cos
α＝－，α∈，∴sin
α＝－＝－＝－，∴sin
2α＝2sin
αcos
α＝2××＝，cos
2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，tan
2α＝＝.(2)
题型二　利用二倍角公式化简与求值例2　已知sin
θ＋cos
θ＝，0＜θ＜，求sin
2θ，cos
2θ的值．解析：∵0＜sin
θ＋cos
θ＝＜1，且0＜θ＜，∴＜θ＜，2θ∈，将sin
θ＋cos
θ＝，两边平方得sin
2θ＝－，∴cos
2θ＝－
＝－.点评：注意利用(sin
θ±cos
θ)2＝1±sin
2θ的关系解题．巩
固　已知cos＝，x∈.(1)求sin
x的值；(2)求sin的值．解析：方法一　(1)因为x∈，所以x－∈，于是sin＝＝.sin
x＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝.方法二　由题意得cos
x＋sin
x＝，即cos
x＋sin
x＝.又sin2x＋cos2x＝1，从而25sin2x－5sin
x－12＝0，解得sin
x＝或sin
x＝－.因为x∈，所以sin
x＝.(2)∵x∈，∴cos
x＝－＝－＝－.sin
2x＝2sin
xcos
x＝－，cos
2x＝2cos2x－1＝－.∴sin＝sin
2xcos＋cos
2xsin＝－.题型三　利用二倍角公式化简与证明例3　已知tan2β＝tan2α＋.求证：cos
2α－2cos
2β＝1.分析：本题考查利用二倍角公式证明．首先要降幂，然后才可以寻找到二倍角的形式，进而寻找到它们的关系．证明：∵1＋tan2β＝1＋tan2α＋，∴＝，∴cos2α＝2cos2β，∴＝1＋cos
2β，∴1＋cos
2α＝2＋2cos
2β，∴cos
2α－2cos
2β＝1.点评：
有条件的等式证明，常常先观察条件式及欲证式中左右两边的三角函数式的区别与联系，灵活使用条件变形即可得证．巩
固　求证：＝tan.分析：本题考查利用二倍角公式证明．①直接利用二倍角公式将原式化为的三角函数形式；②首先看分母，利用“1”与三角函数的关系，将已知条件化简后再向右边靠近．证明：证法一＝＝＝＝＝＝tan.证法二　＝＝＝＝＝＝tan.点评：
无条件的等式证明，常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因)，证明的形式有化繁为简、左右归一、变更论证等．不论采用什么证明方式和方法，都要认真分析等式两边三角函数的特点、角度和函数关系，找出差异，寻找证明的突破口．题型四　二倍角公式与其他知识的综合问题例4　已知α，β∈，tan
α与tan
β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，求α＋β.分析：本题考查三角函数公式在方程中的应用问题．利用韦达定理求得根与系数的关系代入求解是常用方法之一．解析：由韦达定理有∴tan
α<0，tan
β<0.∴tan(α＋β)＝＝＝.∵α，β∈，且tan
α<0，tan
β<0，∴α，β∈，∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－.巩
固　在半圆形钢板上截取一块矩形材料，当截取的矩形的长和宽与半圆的半径之比为多少时，所截矩形的面积最大？解析：如右图所示，设∠AOB＝θ，且θ为锐角，半圆的半径为R，则面积最大的矩形ABCD必内接于半圆O，且两边长分别为|AB|＝Rsin
θ，|DA|＝2|OA|＝2Rcos
θ.则这个矩形的面积为S矩形ABCD＝|AB|·|DA|＝Rsin
θ·2Rcos
θ＝R2sin
2θ.所以，当sin
2θ＝1(θ为锐角)，即θ＝45°时，矩形ABCD的面积取得最大值R2.即当这个矩形的长和宽与半圆的半径的比是2∶1∶时，所截矩形的面积最大．题型五　倍角公式的变形与应用例5　已知cos
α＝－，且180°<α<270°，求tan的值．分析：本题可直接利用公式tan＝±
来解，也可由cos
α＝－解出sin
α，再根据公式tan＝或tan＝求解．对第一种解法，要注意符号的选择．解析：方法一　∵180°<α<270°，∴90°<<135°，即角是第二象限角，∴tan<0，故tan＝－
＝－
＝－2.方法二　∵180°<α<270°，即角α是第三象限角，∴sin
α＝－＝－
＝－，故tan＝＝＝－2.或tan＝＝＝－2.点评：两种解法有异曲同工之妙，用半角公式来解题，尤其要注意角的取值范围对符号的影响．第二种解法实际也对符号进行了确定，只不过转移至sin
α了．巩
固　已知<α<2π，试化简－.分析：本题是一个根式，要想化简，根据化简的基本思想，需要消去根式，联想恒等式1±sin
α＝2可以帮助求解．解析：∵<α<2π，∴<<π，从而有sin＋cos<0，sin－cos>0.∴－＝－＝－sin－cos＋cos－sin＝－2sin.巩
固　求证：＋＝分析：半角公式、倍角公式的灵活运用．证明：证法一　原式＝＋＝＋＝＝.证法二　原式＝＝＝＝.题型六　两角和与差公式的变形与应用例6　已知锐角α，β满足条件cos
2α－cos
2β＝cos
2－，求α－β的值．分析：已知等式的左边是2α和2β的余弦函数差，右边是α－β的二倍角函数，要求α－β的值，考虑先求出α－β的某个三角函数值，把已知等式左边用和差化积公式，右边用二倍角公式化开，就会出现α－β的三角函数，然后再化简求值．解析：∵cos
2α－cos
2β＝cos
2－，∴－2sinsin＝1－2sin2－，即2sin2－2sinsin＋＝0，2[sin2－sinsin＋sin2]＋－sin2＝0，∴2[sin－sin]2＋cos2＝0，∴∴则sin＝，又∵0<α<，0<β<，∴－<α－β<，∴α－β＝.点评：由已知条件求值类的题目我们一般先找出所求与已知的联系，再用适当的方法求解，此题中所求为α－β的值，故我们在已知等式左右两边想办法凑出与α－β有关的三角函数来．等式的左边要凑出与α－β有关的三角函数，很自然的应该想到和差化积公式，所以熟练运用公式是快速解题的关键．巩
固　求证：tan－tan＝.分析：从消除恒等式左右两边的差异入手，将右边的角x,2x凑成，的形式，注意到x＝－，2x＝＋.证明：右边＝＝＝＝－＝tan－tan＝左边．A组1．若sin＝，cos＝－，则角α是(　　)A．第一象限的角
B．第二象限的角
C．第三象限的角
D．第四象限的角解析：∵sin
α＝2sincos＝2××＝－<0，cos
α＝cos2－sin2＝2－2＝－<0，∴角α是第三象限角．故选C.答案：C2．设sin
2α＝－sin
α，α∈(，π)，则tan
2α的值是________．分析：由sin
2α＝2sin
αcos
α及sin
2α＝－sinα，α∈解出α，进而求得tan
2α的值．解析：∵sin
2α＝－sin
α，∴2sinαcos
α＝－sin
α.∵α∈，sin
α≠0，∴cos
α＝－，∴α＝π，∴tan
2α＝tanπ＝tan＝tan＝.答案：3．的值是(　　)A.
B．－
C.
D．－解析：原式＝＝＝＝.故选A.答案：A4．直接应用二倍角的正弦、余弦、正切公式求下列各式的值：(1)sin
75°cos
75°；(2)cos215°－sin215°；(3).解析：(1)sin
75°cos
75°＝sin
150°＝.(2)cos215°－sin215°＝cos
30°＝.(3)＝tan
30°＝.B组1．函数y＝cos2x－sin2x的最小正周期是(　　)A．π　　　　B.　　　　C.　　　　D．2π解析：∵y＝cos
2x，∴函数的最小正周期T＝π.故选A.答案：A2．化简·的结果是(　　)A．tan
α
B．tan
2α
C．1
D.解析：原式＝·＝tan
2α.故选B.答案：B3．化简sinsin的结果是(　　)A.sin
2x
B.cos
2xC．－cos
2x
D．－sin
2x解析：原式＝＝＝(cos2x－sin2x)＝cos
2x.故选B.答案：B4．已知cos
α＝－，且π<α<，则cos＝
(　　)A.
B．－
C.
D．－解析：∵cos
α＝2cos2－1，∴cos2＝＝.∵π<α<，∴<<，∴cos＝－＝－.故选B.答案：B5．当3π<α<4π时，化简
－
(　　)A.sin
B．－sinC.sin
D．－sin解析：
－＝－＝－，∵3π<α<4π，∴<<2π，∴sin<0，cos>0.∴原式＝sin＋cos＝sin.故选A.答案：AC组1．已知三角形的一个内角α满足sin
α＋cos
α＝，则三角形的形状是(　　)A．锐角三角形
B．钝角三角形C．直角三角形
D．等腰三角形解析：∵sin
α＋cos
α＝，且sin2α＋cos2α＝1，∴1＋sin
2α＝，∴sin
2α＝－<0，又α是三角形的一个内角，故α是钝角．故选B.答案：B2．已知函数f(x)＝2cos
2x＋sin2x.(1)求f的值；解析：f＝2cos＋sin2＝－1＋＝－.(2)求f(x)的最大值和最小值．解析：f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)＝3cos2x－1，x∈R.∵cos
x∈，∴当cos
x＝±1时，f(x)取最大值2；当cos
x＝0时，f(x)取最小值－1.3．已知sin
α＋cos
α＝(0<α<π)，求cos
2α的值．解析：∵sin
α＋cos
α＝，∴(sin
α＋cos
α)2＝，2sin
αcos
α＝－，又0<α<π，∴sin
α>0，cos
α<0.∵(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
αcos
α＝，∴sin
α－cos
α＝.∴cos
2α＝(cos
α＋sin
α)(cos
α－sin
α)＝－×＝－.
A组1．下列各式中恒成立的是(　　)A．tan＝
　　
B．cos2＝C．tan＝±
　D．tan
2α＝解析：A.tan＝不恒成立．恒成立的条件是sin
α≠0，C．tan＝±不恒成立．恒成立的条件是cos
α≠－1，D．tan
2α＝不恒成立．恒成立的条件是tan
α≠±1，B恒成立，故选B.答案：B2．已知sin
α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)A．－　　　　B．－　　　　C.　　　　D.解析：原式＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－.故选B.答案：B3．化简的结果是(　　)A．－cos
1
B．cos
1
C.cos
1
D．－cos
1答案：CB组1．已知180°＜α＜360°，则cos＝(　　)A.
　　　　　　　　B.
C．－
D．－
解析：∵90°＜＜180°，∴cos＝－
.答案：C2．将函数y＝sin
2x的图象向左平移个单位，
再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是(　　)A．y＝2cos2x
B．y＝2sin2xC．y＝1＋sin
D．y＝cos
2x解析：将函数y＝sin
2x的图象向左平移个单位，得到函数y＝sin
2，即y＝sin＝cos
2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y＝1＋cos
2x＝2cos2x，故选A.答案：A3．已知tan
θ＝2，则sin2θ＋sin
θcos
θ－2cos2θ＝(　　)A．－
B.
C．－
D.解析：sin2θ＋sin
θcos
θ－2cos2θ＝＝＝＝.故选D.答案：D4．如果tan(α＋β)＝，tan＝，那么的值为(　　)A.
B.
C.
D.答案：B5．若sin＝，则cos＝(　　)A．－
B．－
C.
D.解析：cos＝－cos＝－cos＝－cos＝－＝－1＋2×＝－.答案：AC组1．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sin
Bcos
A＝sin
Acos
C＋cos
Asin
C.(1)求角A的大小；解析：A＋C＝π－B，A，B∈(0，π)?sin(A＋C)＝sin
B＞02sin
Bcos
A＝sin
Acos
C＋cos
Asin
C＝sin(A＋C)＝sin
B?cos
A＝?A＝.
(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．解析：设＝a，＝b，＝c，则|a|2＝a·a＝(b－c)·(b－c)＝b·b＋c·c－2b·c＝b2＋c2－2bccos
A?a＝?b2＝a2＋c2?B＝.在Rt△ABD中，AD＝＝＝.
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