新人教A版高中数学必修第一册：辅助角公式及其应用

授课主题
辅助角公式
教学目标
掌握辅助角公式及其应用
教学内容
对于形如的三角式，可变形如下：。上式中的与的平方和为1，故可记=，=，则
由此我们得到结论=，（
）其中由=，=，来确定。通常称式子（
）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为的形式。下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。一.
求周期例1.
求函数的最小正周期。解：所以函数的最小正周期T=π。二.
求最值例2.
已知函数。若，求的最大值和最小值。解：f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=。由。当，即x=0时，最小值；当时取最大值1。从而f(x)在上的最大值是1，最小值是。求单调区间例3.
已知向量，，令，求函数在[0，π]上的单调区间。解：先由。反之再由。所以在上单调递增，在上单调递减。四.
求值域例4.
求函数的值域。解：
所以函数的值域是[-4，4]。五.
图象对称问题例5.
如果函数的图象关于直线=对称，那么=(
)（A）
（B）
（C）1
（D）-1解：可化为
知时，y取得最值，即六.
图象变换例6、
已知函数该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：
七.
求值例7.
已知函数。设α∈（0，π），=，求sinα的值。解：==sin。由=sin()，
得sin()=。
又α∈（0，π）。而sin，
故α+，则
cos(α+)=。sinα=sin[]
=sin=
=。八.
求系数例8.
若函数=的最大值为2，试确定常数的值。解：=
==，其中角由sin=来确定。由已知有，解得a=。九.
解三角不等式例9.
已知函数=，，求使为正值的的集合。解：f(x)=1-cos2x+sin2x
=1+。
由f(x)＞0，有sin2x-则得2kπ-，
故kπ＜x＜kπ+。再由x[0,2π]，可取k=0，1，得所求集合是
。1、函数y＝－sin
x＋cos
x在上的值域是________________________________．答案：[0，]2、已知函数f(x)＝(sin
x－cos
x)sin
x，x∈R，则f(x)的最小正周期是__________．分析：求三角函数的周期，一般是先把函数式化为y＝Asin＋k的形式，再求周期．解析：f(x)＝sin2x－sin
xcos
x＝－sin
2x＝－cos＋，故函数的最小正周期T＝＝π.答案：π3、函数f(x)＝2cos2x＋sin
2x的最小值是________．解析：f(x)＝cos
2x＋sin
2x＋1＝sin＋1，∴所求最小值为1－.答案：1－4、已知sin
α＝＋cos
α，且α∈，则的值为________．解析：由sin
α＝＋cos
α得sin
α－cos
α＝，∴(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
αcos
α＝，∴2sin
αcos
α＝.∴＝＝－(sin
α＋cos
α)，而(sin
α＋cos
α)2＝1＋2sin
αcos
α＝，又∵0＜α＜，∴sin
α＋cos
α＝，∴原式＝－.答案：－5、函数f(x)＝sin
x－cos
x(x∈[－π，0])的单调递增区间是(　　)A.
B.C.
D.解析：f(x)＝2sin(x－)．x∈[－π，0]，∴x－∈，由x－∈得，x∈，∴f(x)的单调增区间是，故选D.答案：D6、求函数f＝5cos2x＋sin2x－4sin
xcos
x的最小值，并求其单调区间．分析：先根据倍角公式“降幂”，化为一个角的三角函数形式．解析：f＝5cos2x＋sin2x－4sin
xcos
x＝3＋2cos
2x－2sin
2x＝3－4sin.∵≤x≤，∴≤2x－≤，∴≤sin≤，∴当2x－＝，即x＝时，f取得最小值3－2.∵函数y＝sin在区间上是单调递增的，∴函数f在区间上是单调递减．点评：这类问题由于兼顾了函数性质以及三角变换，因此是高考考查的热点问题，在此过程中往往还会用到和、差角的特殊形式，因此对于一些常见辅助角的变换要熟悉，如sin
x±cos
x＝sin，sin
x±cos
x＝2sin，cos
x±sin
x＝2sin等．7、已知函数y＝cos2x＋sin
xcos
x＋1.(1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；解析：y＝cos2x＋sin
xcos
x＋1＝＋＋·＋1＝cos
2x＋sin
2x＋＝＋＝sin＋.所以y取最大值时，只需2x＋＝＋2kπ，即x＝＋kπ.所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为.(2)该函数的图象可由y＝sin
x的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解析：将函数y＝sin
x依次进行如下变换：①把函数y＝sin
x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象；②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象；③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)，得到函数y＝sin的图象；
④把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数y＝sin＋的图象．综上得到y＝cos2x＋sin
xcos
x＋1的图象．8．已知函数f(x)＝2sin
xcos
x＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos
2x0的值．解析：由f(x)＝2sin
xcos
x＋2cos2x－1，得f(x)＝(2sin
xcos
x)＋(2cos2x－1)＝sin
2x＋cos
2x＝2sin.∴函数f(x)的最小正周期为π.∵f(x)＝2sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f(0)＝1，f＝2，f＝－1，∴函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f(x0)＝2sin，又∵f(x0)＝，∴sin＝.由x0∈，得2x0＋∈，从而cos＝－＝－.∴cos
2x0＝cos＝coscos＋sinsin＝.1.函数是
（
）A．最小正周期为的奇函数
B.
最小正周期为的偶函数
C.
最小正周期为的奇函数
D.
最小正周期为的偶函数
答案：A解析：因为为奇函数,,所以选A.2.已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是（
）
A.
B.
C.
D.
答案：C解析：，由题设的周期为，∴，由得，，故选C3.设函数，其中，则导数的取值范围是（
）A.
B.
C.
D.
答案
D解析
，选D4.函数的最小正周期为（
）A．
B．
C．
D．
答案：A解析：由可得最小正周期为,故选A.5.若函数，，则的最大值为（
）A．1
B．
C．
D．答案：B解析：因为==当是，函数取得最大值为2.
故选B6、已知函数，则是（
）A、最小正周期为的奇函数
B、最小正周期为的奇函数C、最小正周期为的偶函数
D、最小正周期为的偶函数答案：D解析：7.函数的最小值和最大值分别为（
）A.
－3，1
B.
－2，2
C.
－3，
D.
－2，解析：∵
∴当时，，当时，；故选Ｃ；答案：C8.若函数，则是（
）A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数
D．最小正周期为的偶函数答案：D9.已知函数（
a、b为常数，，）在处取得最小值，则函数是（　）A．偶函数且它的图象关于点对称
　
B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称　
D．奇函数且它的图象关于点对称答案：
D　10.当时，函数的最小值为（
）A.2
B.
C.4
D.答案：C11.已知函数，，则的最小正周期是
．答案：解析：,所以函数的最小正周期。12.函数的最小值是_____________________
.答案：解析：，所以最小值为：13.函数的最小值是
。答案：
解析：
，所以最小值为：14.函数的最小正周期是__________________
.解析：故最小正周期为π，本题主要考察了三角恒等变换及相关公式，属中档题15.函数的最小正周期是__________________
。答案
16.已知函数（I）求函数的最小正周期。(II)
求函数的最大值及取最大值时x的集合。17.已知函数（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值解：（Ⅰ）=
（Ⅱ）
因为,所以，当时取最大值2；当时，去最小值-1。18.已知函数。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值。解：（I）
（II）=
=,
因为，
所以，当时，取最大值6；当时，取最小值19.已经函数(Ⅰ)函数的图象可由函数的图象经过怎样变化得出？（Ⅱ）求函数的最小值，并求使用取得最小值的的集合。20.已知函数．（Ⅰ）求函数的最大值；（II）求函数的零点的集合。21.已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.解析：本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力．解：（Ⅰ）∵，∴函数的最小正周期为.（Ⅱ）由，∴，∴在区间上的最大值为1，最小值为.22.设函数f(x)=cos(2x+)+sinx.（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期.（2）设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，，且C为锐角，求sinA.解:
（1）f(x)=cos(2x+)+sinx.=所以函数f(x)的最大值为,最小正周期.
（2）==－,
所以,
因为C为锐角,
所以,又因为在ABC
中,
cosB=,
所以
,
所以
.23.设函数f(x)=2在处取最小值.（1）求的值;（2）在ABC中,分别是角A,B,C的对边,已知,求角C..解:
（1）
因为函数f(x)在处取最小值，所以,由诱导公式知,因为,所以.所以
（2）因为,所以,因为角A为ABC的内角,所以.又因为所以由正弦定理,得,也就是,因为,所以或.当时,;当时,.24.设函数的最小正周期为．（Ⅰ）求的最小正周期．（Ⅱ）若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得到，求的单调增区间．解：（Ⅰ）依题意得，故的最小正周期为.
（Ⅱ）依题意得:
由
解得\
故的单调增区间为:
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