新人教A版高中数学必修第一册：函数y=sin(wx+y)的图像

授课主题：函数的图像和性质
教学目标
1．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，理解φ，ω，A对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．2．会用“五点法”作出函数y＝Asin(ωx＋φ)及函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象．3．理解并掌握通过对函数y＝sin
x的图象进行平移变换及伸缩变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的方法．
教学内容
1．ω、φ、A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的作用1）y＝sin(x＋φ)的图象与y＝sin
x图象的关系．y＝sin(x＋φ)的图象可以看作是把y＝sin
x的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个长度单位而得到．2）y＝sin(ωx＋φ)的图象与y＝sin(x＋φ)图象的关系．y＝sin(ωx＋φ)的图象可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍，纵坐标不变而得到．一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的图象，可以看作是用下面的方法得到的：先画出y＝sin
x的图象，再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个长度单位，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变，这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．3)
由y＝sin
x的图象变换出y＝sin(ωx＋φ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换．途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y＝sin
x的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的(ω＞0)倍，便得y＝sin(ωx＋φ)的图象．途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换先将y＝sin
x的图象上各点的横坐标变为原来的(ω＞0)倍，再沿x轴向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移个单位，便得y＝sin(ωx＋φ)的图象．两者最大的区别就是平移单位的不同．2．“五点法”作图用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象．(1)确定函数的最小正周期T＝；(2)令ωx＋φ分别等于0，，π，，2π确定这五个关键点，列表如下：x－ωx＋φ0π2πy0A0－A0这五个点为：P1，P2
(，A)，P3，P4(，－A)，P5.其中，P1，P3，P5均为零点(图象与x轴的交点)，P2是最大值点，P4是最小值点，这五个点分别称为第一、二、三、四、五个关键点．(3)描点，画出函数在一个周期内的图象，再向左、右无限扩展，就得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象．这里用到了整体代换的数学思想方法，即把ωx＋φ看成一个整体．把函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质问题转化为y＝sin
x的性质和图象问题去处理．3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质1）y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调递增区间由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋
(k∈Z)求得，单调减区间由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋
(k∈Z)求得．2）y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程由ωx＋φ＝kπ＋
(k∈Z)求得，即x＝(k∈Z)；对称中心横坐标由ωx＋φ＝kπ
(k∈Z)求得，即x＝(k∈Z)，得对称中心坐标为(k∈Z)．3）当φ＝kπ＋
(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数；当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数；当φ≠kπ＋且φ≠kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)是非奇非偶函数；4）在物理学中，y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示简谐运动的运动方程，这时参数A，ω，φ有如下物理意义：(1)A称为简谐运动的振幅，它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离．(2)T＝称为简谐运动的周期，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需的时间[即函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最小正周期]．(3)f＝＝称为简谐运动的频率，它表示单位时间内做简谐运动的物体往复运动的次数．(4)ωx＋φ叫做相位，当x＝0时的相位φ称为初相．5）对于y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[1，＋∞)，若A<0，ω<0时，物理意义变化了吗？答：振幅应为－A，周期为T＝，φ不是初相，应先用诱导公式化为正数后，再确定初相φ.如y＝－sin的初相φ≠－，因为A＝－1<0，y＝－sin＝sin＝sin，初相为φ＝.题型一　“五点法”作函数图象及相关问题例1　用“五点法”画出函数y＝2sin的图象，并指出函数的单调区间．分析：注意“五点法”的作图步骤：列表、描点、成图．解析：列表如下：2x＋0π2πx－y020－20描点、成图．图如下图所示：由图象知在一个周期内，函数在区间上单调递减，又因为函数的周期为π，所以函数的单调递减区间是(k∈Z)．同理，函数的单调递增区间为(k∈Z)．巩
固　作函数f(x)＝sin在长度为一个周期的区间上的图象，并求函数f(x)在区间上的最大值、最小值．解析：列表如下：2x－0π2πxy00－0作图如下：由图象得函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为f＝－1.题型二　函数图象的变换问题例2　指出将函数y＝sin
x的图象变换为函数y＝sin的图象的两种方法．分析：考查函数图象的变换问题．两种变换途径为：(1)x→x＋→2x＋；(2)x→2x→2＝2x＋.点评：在图象变换时，一般先平移后伸缩，较为简单．巩
固　已知函数f(x)＝sin(x∈R)．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的最大值及取得最大值时的x的集合．解析：(1)∵f(x)＝sin，∴当2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，因此，函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)由已知，g(x)＝sin，∴当sin＝1，即x＋＝2kπ＋，即x＝2kπ＋，k∈Z时，g(x)max＝.∴当时，g(x)的最大值为.题型三　求函数的解析式问题例3　下图为函数y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|＜图象的一部分，则函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式为_____________．分析：这是一个完整的图象，我们所需要的信息都可以在图中看出，因此要做的只是将图中信息与参数相联系．由于思考的角度不一样，所以有以下三种解法．解析：方法一(最值法，即利用图象中的最大或最小值点)　由图象可知，振幅A＝2，半周期，T＝－＝?T＝π，∴ω＝＝＝2，可计算得点在图象上，且为图象上的最大值点，因此，令×2＋φ＝，解得φ＝，∴所求的函数解析式为y＝2sin.方法二(五点作图法，即利用五点作图找对应点的方法)　由图象可知，振幅A＝2，又图象过点和，根据五点作图法原理(以上两点可判为五点作图中的第三点和第五点)，有解得ω＝2，φ＝，∴所求的函数解析式为y＝2sin.方法三(图象变换法，即利用图象变换的方法．看已知图象与函数y＝sin
x的图象之间的关系)　由图象可知，振幅A＝2，周期T＝π，图象过点和，可知图象由y＝2sin
2x向左平移而得到，有y＝2sin
2＝2sin.∴所求的函数解析式为y＝2sin.答案：y＝2sin点评：(1)如果从图象可以确定振幅和周期，则可直接确定函数式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数ω和A，再选取最大值点的数据代入ωx＋φ＝求出φ.(2)通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，所选择的点要认清其属于“五点法”中的第几位置点，并能正确代入列式．(3)运用逆向思维的方法，先确定函数的基本函数式y＝Asin
ωx，根据图象平移规律可以确定相关的参数．巩
固　已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如下图所示，如果A>0，ω>0，|φ|<，则(　　)A．A＝4　　　　　　　　　B．ω＝1C．φ＝
D．B＝4解析：方法一　∵2A＝4，∴A＝2；且由图象可知B＝2，周期＝－＝?T＝＝π，∴ω＝2，可排除A、B、D.故选C.方法二　由y＝2sin(2x＋φ)＋2过点，得4＝2sin＋2，即sin＝1，且－<φ<，∴＋φ＝，φ＝.答案：C巩
固　函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如下，则此函数的解析式可为(　　)A．y＝2sin
B．y＝2sinC．y＝2sin
D．y＝2sin解析：由图象知A＝2，周期＝＋＝?T＝＝π，∴ω＝2，由y＝2sin(2x＋φ)的图象过点，得2＝2sin，即sin＝1，∴可取－＋φ＝，得φ＝.答案：AA组1．要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin
x的图象(　　)A．向右平移个单位　　
B．向右平移个单位C．向左平移个单位
D．向左平移个单位解析：牢记平移法则“左加右减，上加下减”是解决此类问题的关键．答案：B2．把函数y＝cos
x的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移个单位，则所得图象表示的函数的解析式为(　　)A．y＝2sin
2x
B．y＝－2sin
2xC．y＝2cos
D．y＝2cos解析：把函数y＝cos
x的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，所得图象表示的函数的解析式为y＝cos
2x，再把纵坐标扩大到原来的两倍，所得图象表示的函数的解析式为y＝2cos
2x，然后把图象向左平移个单位，所得图象表示的函数的解析式为y＝2cos
2?y＝－2sin
2x.故选B.答案：B3．把y＝sin
x的图象向左平移个单位，得到函数________的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数________的图象．解析：向左平移个单位，即以x＋代x，得到函数y＝sin，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以x代x，得到函数：y＝sin.答案：y＝sin　y＝sin4．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ≤π)的图象如图所示，则φ＝________.解析：由图可知，＝2π－＝，∴T＝，∴ω＝，得函数y＝sin，把点(2π，1)代入上式，有1＝sin，且－π≤φ<π，∴φ＝.答案：B组1．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos
2x的图象(　　)A．向左平移1个单位
B．向右平移1个单位C．向左平移个单位
D．向右平移个单位解析：y＝cos
2x→y＝cos(2x＋1)向左平移.故选C.答案：C2．函数y＝sin图象的对称轴方程可能是(　　)A．x＝－
B．x＝－C．x＝
D．x＝解析：令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝π＋(k∈Z)，令k＝0得该函数的一条对称轴为x＝.本题也可用代入验证法来解．答案：D3．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则f＝________.解析：由图象知最小正周期T＝×＝＝，故ω＝3，又x＝时，f(x)＝0，即2sin＝0，又|φ|<，∴φ＝，∴f＝2sin＝0.答案：04．已知函数y＝asin＋b在x∈上的值域为[－5,1]，求a，b的值．分析：先由x的范围确定sin的范围，再根据a的符号，讨论a，b的取值．解析：∵x∈，∴2x＋∈，sin∈.当a＞0时，解得当a＜0时，解得∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1.1．函数y＝3sin(2x＋)的最小正周期为________．答案：π2．把函数y＝sin
x(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是(　　)A．y＝sin，x∈R
B．y＝sin，x∈RC．y＝sin，x∈R
D．y＝sin，x∈R答案：C3．函数y＝cos的图象的一个对称中心是(　　)A.
B.C.
D.答案：C4．用“五点法”作y＝2sinx的图象时，描出的五点的横坐标应该是(　　)A．0，，π，，2π
B．0，，，，πC．0，π，2π，3π，4π
D．0，，，，
解析：y＝2sinx五个关键点的横坐标由x＝0，，π，，2π，即x＝0，π，2π，3π，4π.答案：C5．函数y＝3sin的振幅、相位、初相分别是________．答案：振幅为3，相位为x－，初相为－.6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，<)的部分图象如图所示．则函数f(x)的解析式为(　　)A．f(x)＝2sinB．f(x)＝2sinC．f(x)＝2sinD．f(x)＝2sin解析：显然有A＝2，且周期有＝－＝?T＝π，由T＝＝π，得ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，由图象得2×＋φ＝，|φ|<，得φ＝，∴f(x)＝2sin，故选D.
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