5-2
运动的合成与分解
2-小船渡河模型
【知识点梳理】
1．小船渡河问题可以基于以下几点进行理解和分析
(1)将船实际的运动看成船随水流的运动和船在静水中的运动的合运动．
(2)如图所示，v水表示水流速度，v静水表示船在静水中的速度，将船的速度v静水沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，v∥＝v静水cosθ，则v水－v静水cosθ为船实际上沿水流方向的运动速度，v⊥＝v静水sinθ为船在垂直于河岸方向的运动速度．两个方向的运动情况相互独立、互不影响．
2．两类渡河问题
(1)渡河时间最短问题
渡河时间仅由v静水垂直于河岸的分量v⊥决定，即t＝(d为河宽)，与v水无关．要使渡河时间最短，应使船在垂直河岸方向的速度最大，如图所示，当sinθ＝1，即v静水垂直于河岸时，渡河所用时间最短，最短时间为t＝，与v水无关．
(2)渡河位移最小问题
渡河位移由实际运动轨迹的方向决定，要使渡河位移最小，应使合位移(或合速度)方向尽可能与河岸垂直．
①当v水.
②当v水>v静水时，不论船的航向如何，总是会被水冲向下游，此时合速度v与河岸方向的夹角α越大，船渡河的位移越小．那么，在什么条件下α角最大呢？如图所示，以v水矢量的末端为圆心，以v静水的大小为半径画圆，当合速度与圆相切时，α角最大．这时船头指向与河岸的夹角θ满足cosθ＝，最小位移s＝d，渡河时间t＝＝
.
【例题讲解】
【例1】(多选)关于轮船渡河，下列说法正确的是( )
A．水流的速度越大，渡河的时间越长
B．欲使渡河时间最短，船头的指向应垂直河岸
C．欲使轮船垂直驶达对岸，则船的速度与水流速度的合速度应垂直河岸
D．轮船相对水的速度越大，渡河的时间一定越短
[答案] BC
[解析] 轮船渡河时间t＝，其中v⊥为轮船速度在垂直河岸方向的分速度，可见当船头垂直河岸时，渡河时间最短；渡河时间与水流速度无关，A、D错误，B正确；欲使轮船垂直驶达对岸，则船的合速度方向应垂直河岸，C正确．
【例2】(2020·山东临沂高一检测)小船要横渡一条200
m宽的河，水流速度为3
m/s，船在静水中的航速是5
m/s.
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？(sin
37°＝0.6)
(3)如果水流速度变为10
m/s，要使小船航程最短，应如何航行？
[答案] (1)40
s 正对岸下游120
m处
(2)船头指向与岸的上游成53°角 50
s
(3)船头指向与岸的上游成60°角
[解析] (1)因为小船垂直于河岸的速度即小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t＝＝
s＝40
s，小船沿河流方向的位移x＝v水t＝3×40
m＝120
m，即小船经过40
s，在正对岸下游120
m处靠岸．
(2)
要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图甲所示，
则v合＝
＝4
m/s，经历时间t＝＝
s＝50
s.
又cos
θ＝＝＝0.6，即船头指向与河岸的上游所成角度为53°.
(3)
如果水流速度变为10
m/s，如图乙所示，应使v合的方向垂直于v船，故船头应偏向上游，与河岸成θ′角，有cos
θ′＝＝，解得θ′＝60°，即船头指向与岸的上游成60°角．
【随堂练习】
1、一轮船以一定的速度垂直河流向对岸行驶，当河水匀速流动时，轮船所通过的路程、过河所用的时间与水流速度的正确关系是( )
A．水速越大，路程越长，时间越长
B．水速越大，路程越短，时间越短
C．水速越大，路程和时间都不变
D．水速越大，路程越长，时间不变
[答案]D
[解析]轮船渡河的运动是两个分运动的合成：假设河水不流动，轮船在静止的河水中垂直对岸行驶；假设轮船不运行，而河水流动，则轮船随河水一起向下游漂动．这两个分运动具有独立性，因而河水流速增大不影响轮船到达对岸的时间，但在相同的时间里，沿水流方向移动的位移要增大，因而选项D正确．]
2、小船以一定的速率垂直于河岸向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是( )
A．水速大时，位移大，但时间不变
B．水速大时，位移大，时间也大
C．水速小时，位移小，时间也小
D．位移、时间大小与水速大小无关
[答案]A.
[解析]将小船的运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，水流的运动不影响垂直于河岸方向上的运动，在垂直于河岸方向上，t＝，船的静水速不变，所以过河的时间不变．水速的大小影响船沿河岸方向上的位移，x＝v水t，时间不变，水速越大，沿河岸方向上的位移越大，根据运动的合成，发生的位移越大，故A正确，B、C、D错误．
3、已知河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，且v2>v1，下面用小箭头表示小船及船头的指向，则能正确反映小船在最短时间内渡河、最短位移渡河的情景图示依次是 ( )
A．①② B．①⑤
C．④⑤
D．②③
[答案]C.
[解析]小船以最短时间渡河时，因河流宽度一定，就要求小船在垂直于河岸方向上的分速度最大，即小船相对于静水的航行方向也即船头的指向须始终垂直于河岸，则此时小船的实际运动方向必偏向于下游，应选④.当小船以最短的位移渡河时，由于v2>v1，小船可垂直到达河对岸，此时船头的指向应偏向于河上游，对应于图⑤，故C正确．
4、一艘船的船头始终正对河岸方向行驶，如图所示．已知船在静水中行驶的速度为v1，水流速度为v2，河宽为d.则下列判断正确的是( )
A．船渡河时间为
B．船渡河时间为
C．船渡河过程被冲到下游的距离为·d
D．船渡河过程被冲到下游的距离为·d
[答案]C
[解析]船正对河岸运动，渡河时间最短t＝，沿河岸运动的位移s2＝v2t＝·d，所以A、B、D选项错误，C选项正确．
【课后作业】
1、(多选)一条机动船载客渡河，若其在静水中的速度一定，河水的流速也不变，且v船>v水，则( )
A．船垂直到达对岸，渡河最省时
B．使船身方向垂直于河岸，渡河最省时
C．船沿垂直于河岸的轨迹航行，渡河位移最短
D．使船身方向垂直于河岸，渡河位移最短
[答案]BC.
[解析]因河流宽度是一定的，当船沿垂直于河岸方向上的速度最大时，渡河时间最短；当船身方向(即船的静水速度方向，也即船相对于水流的速度方向)垂直于河岸时，垂直于河岸方向上的速度等于船在静水中的速度且最大，渡河时间最短，但船会随水流向下游漂移，合位移大小大于河的宽度，不是最短的渡河位移；由于船在静水中速度大于水流速度，根据平行四边形定则，当船身指向偏向上游合适的角度时，合速度的方向可以与河岸垂直，船可以垂直到达对岸，此时位移最小．但垂直于河岸的速度小于船在静水中的速度，故渡河时间不是最短，可见，B、C正确，A、D错误．
2、(多选)已知河水自西向东流动，流速为v1，小船在静水中的速度为v2，且v2>v1，用小箭头表示船头的指向及小船在不同时刻的位置，虚线表示小船过河的路径，则下图中可能正确的是( )
[答案]CD
[解析]小船的路径应沿合速度方向，不可能与船头指向相同，故A、B错误，C、D正确．
3、(2020·黑龙江牡丹江期末)船在静水中的速度为v1，水流的速度为v2，河宽为d，当船头垂直于河岸航行时( )
A．实际航程最短
B．水速减小时渡河时间变长
C．过河时间最短
D．水速增大时渡河时间变长
[答案]C.
[解析]如果水流速度为v2，船渡河过程被冲到下游的距离为：x＝v2t＝d，实际航程不是最短，A错误；船渡河的时间与水流速度无关，B错误；河宽为d，船垂直于河岸的速度为v1，过河最短时间为：t＝，C正确；船渡河的时间与水流速度无关，D错误．
4、小船横渡一条河，船在静水中的速度大小不变，方向始终垂直于河岸．已知小船的部分运动轨迹如图所示，则可判断，此过程中河水的流速( )
A．越接近B岸水速越大
B．越接近B岸水速越小
C．由A到B水速先增大后减小
D．水流速度恒定
[答案]B.
[解析]小船对地速度等于在静水中速度与随水流运动速度的矢量和，若水流速度恒定，则小船对地速度也恒定，运动轨迹应为直线，D错误；由于小船运动轨迹的弯曲方向不变，则水流速度变化情况不变，C错误；因为只有水流速度发生变化，则加速度方向应平行于水流速度方向，由轨迹的弯曲方向可知，加速度方向应向左，与水流方向相反，故越接近B岸，水流速度越小，A错误，B正确．
5、(2020·福建南平期末)某船要渡过60
m宽的河，船渡河的最短时间是12
s；若船沿垂直于河岸的直线到达正对岸，渡河时间是15
s，则船在静水中的速率v1及河水的流速v2分别为( )
A．v1＝5
m/s v2＝4
m/s
B．v1＝5
m/s v2＝3
m/s
C．v1＝4
m/s v2＝5
m/s
D．v1＝4
m/s v2＝3
m/s
[答案]B.
[解析]当船以最短时间渡河时，船头指向正对岸，则渡河时间为：t1＝，所以船在静水中的速度为：v1＝＝
m/s＝5
m/s，故C、D错误；当船垂直于河岸到达正对岸时，合速度垂直于河岸，渡河时间为：t2＝，代入数据得：v2＝3
m/s，故A错误，B正确．
6、如图所示，一条小船位于200
m宽的河的正中A点处，从这里向下游100
m处有一危险区，当时水流速度为
4
m/s，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是( )
A.
m/s
B．
m/s
C．2
m/s
D．4
m/s
[答案]C.
[解析]恰使小船避开危险区，小船应沿直线AB到达对岸，如图所示，则有tan
θ＝＝，所以θ＝30°.当船头与AB垂直时，小船在静水中的速度最小．最小速度为v1＝v2sin
θ＝4sin
30°
m/s＝2
m/s，故C正确．
7、(2020·内蒙古赤峰期末)一条笔直的河流沿东西走向，两岸平行，各处的宽度均为d＝80
m，水流的速度均为v水＝3
m/s，船在静水中的速度恒为v船＝5
m/s，则( )
A．渡河的最短时间为20
s
B．渡河的最短位移为90
m
C．保持船头沿南北方向到达对岸，渡河位移最短
D．船能够沿南北方向的直线渡到正对岸
[答案]D.
[解析]当v船方向与河岸垂直时，渡河时间最短，t＝＝16
s，故A错误；当小船合速度的方向与河岸的方向垂直时，渡河位移最短，设此时船头的方向与河岸的夹角为θ，cos
θ＝＝，船渡河的位移为河宽d＝80
m，船能够沿南北方向的直线渡到正对岸，故B、C错误，D正确．
8、小船要横渡一条200
m宽的河，水流速度为3
m/s，船在静水中的航速是5
m/s.
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？(sin37°＝0.6)
[答案] (1)小船经过40
s，在正对岸下游120
m处靠岸
(2)船头指向河岸的上游，与岸成角度为53°行驶，50
s到达对岸
[解析] (1)小船垂直河岸的速度即小船在静水中的行驶速度，在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间
t＝＝
s＝40
s，
小船沿河流方向的位移
x＝v水t＝3×40
m＝120
m，
即小船经过40
s，在正对岸下游120
m处靠岸．
(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合速度v合应垂直于河岸，如图所示，则
v合＝＝4
m/s，
经历时间t＝＝
s＝50
s.
又cosθ＝＝＝0.6，
即船头指向河岸的上游，与岸所成角度为53°.(共12张PPT)
小船渡河模型
关于船的小知识
“小船渡河
”模型
小船渡河两大问题
1、如何渡河时间最短？
2、如何渡河位移最短？
“小船渡河
”模型
船的实际运动
v（相对于河岸的运动）可看成是随水以速度
v水
漂流的运动和以速度
v船
相对于静水的划行运动的合运动。这两个分运动互不干扰具有等时性。
d
关于渡河的最短时间
当v船
垂直于河岸时，渡河时间最短：
v船
v水
tmin=
v船
d
v
θ
tanθ=
v水
v船
v船
v水
v沿河岸的分速度
v垂直河岸的分速度
v船
v沿河岸的分速度
v垂直河岸的分速度
当船与河岸方向有夹角时，垂直于河岸的分速度减小。
d
关于渡河的最短位移
当合速度v
方向垂直于河岸时，渡河位移最短，且为河宽d
。
v船
θ
v水
渡河时间：
t
=
=
v
d
v船
sinθ
d
cosθ=
v船
v水
v
v船>v水
d
关于渡河的最短位移
当v船方向与合速度v
方向垂直时，有最短渡河位移lmin
。
v船最短位移：
t
=
v
lmin
cosθ=
v水
v船
v水
lmin
lmin=
cosθ
d
B
C
D
E
A
v船
θ
θ
θ
渡河时间：
v
v船
(1)过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t最短＝
(d为河宽)．
d
v船
v
θ
v水
小结
(2)v水最短＝d.
(3)v水>v船时过河路径最短：合速度不可
能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方
法如下：如图所示，以v2矢量末端为
圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从
v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短．
由图可知：sinθ＝
，
最短航程：x最短＝
小结
【例1】(多选)关于轮船渡河，下列说法正确的是( )
A．水流的速度越大，渡河的时间越长
B．欲使渡河时间最短，船头的指向应垂直河岸
C．欲使轮船垂直驶达对岸，则船的速度与水流速度的合速度应垂直河岸
D．轮船相对水的速度越大，渡河的时间一定越短
BC
例题讲解
【例2】(2020·山东临沂高一检测)小船要横渡一条200
m宽的河，水流速度为3
m/s，船在静水中的航速是5
m/s.
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？
(sin
37°＝0.6)
(3)如果水流速度变为10
m/s，要使小船航程最短，应如何航行？
例题讲解
谢谢观看，完成课后作业！
