5-2
运动的合成与分解
3-关联速度问题
【知识点梳理】
1．“关联”速度问题：物体斜着拉绳(杆)或绳(杆)斜着拉物体时，两端所连接物体的速度关系问题．
2．“关联”速度的分解规律
(1)分解依据
①物体的实际运动是合运动．
②由于绳(杆)不可伸长，所以绳(杆)两端所连物体的速度沿着绳(杆)方向的分速度大小相同．
(2)分解方法：将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)的两个分量．
(3)常见的速度分解情形
（乙）
（丙）（丁）
【例题讲解】
【例1】(2020·黑龙江牡丹江期末)如图所示，汽车通过滑轮拉重物A，汽车沿水平方向向右匀速运动，滑轮与绳的摩擦不计，则物体的运动情况是( )
A．匀速上升 B．加速上升
C．先加速后减速
D．减速上升
[答案]B.
[解析]设绳子与水平方向的夹角为θ，将小车的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向的两个分量，沿绳子方向的速度等于A的速度，根据平行四边形定则，vA＝vcos
θ，车子在匀速向右的运动过程中，绳子与水平方向的夹角减小，所以A的速度增大，A做加速上升运动，故B正确．
【例2】 如图所示，以速度v沿竖直杆匀速下滑的物体A用轻绳通过定滑轮拉物体B，当绳与水平面夹角为θ时，物体B的速度为( )
A．v B.
C．vcos
θ
D．vsin
θ
[答案]D
[解析]将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，如图所示，根据平行四边形定则得，vB＝vsin
θ，故D正确．
【例3】如图所示，AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2，则v1、v2的关系是( )
A．v1＝v2 B．v1＝v2cos
θ
C．v1＝v2tan
θ
D．v1＝v2sin
θ
[答案]C
[解析]可以把B两点的速度分解，如图所示，由于杆不能变长或变短，沿杆方向的速度应满足v1x＝v2x，即v1cos
θ＝v2sin
θ，v1＝v2tan
θ，C正确．
【随堂练习】
1、(多选)如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和小球B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L.由于微小的扰动，A球沿竖直滑槽向下运动，B球沿水平滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未标出)，关于两球速度vA与vB的关系，下列说法正确的是( )
A．若θ＝30°，则A、B两球的速度大小相等
B．若θ＝45°，则A、B两球的速度大小相等
C．vA＝vBtan
θ
D．vA＝vBsin
θ
[答案]BC.
[解析]当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解可知(如图所示)，沿杆方向两分速度相等，vAcos
θ＝vBsin
θ，即vA＝vBtan
θ.当θ＝45°时，vA＝vB.
2、如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车以速度v匀速向右运动到如图所示位置时，物体P的速度为( )
A．v
B．vcos
θ C. D．vcos2
θ
[答案]B
[解析]如图所示，绳子与水平方向的夹角为θ，将小车的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，沿绳子方向的速度等于P的速度，根据平行四边形定则得，vP＝vcos
θ，故B正确，A、C、D错误．故选B.
3、如图所示，人在岸上以恒定速度v拉船，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为( )
A．vcos
θ
B．
C．v
D．vsin
θ
[答案]B.
[解析]将船的速度按如图所示进行分解，人拉绳行走的速度v＝v船cos
θ，故v船＝，B正确．
4、如图所示，一铁球用细线悬挂于天花板上，静止垂在桌子的边缘，悬线穿过一光盘的中间孔，手推光盘在桌面上平移，光盘带动悬线紧贴着桌子的边缘以速度v沿水平方向匀速运动，当光盘由A位置运动到图中虚线所示的B位置时，悬线与竖直方向的夹角为θ，此时铁球( )
A．竖直方向速度大小为vcos
θ
B．竖直方向速度大小为vsin
θ
C．竖直方向速度大小为vtan
θ
D．相对于地面速度大小为v
[答案]B.
[解析]将光盘的速度在沿绳和垂直于绳的方向分解，如图所示，沿绳方向的分量v′＝vsin
θ，这就是桌面以上绳子变长的速度，也等于铁球上升的速度，B正确，A、C错误；由题意可知铁球在水平方向上速度与光盘相同，竖直方向速度为vsin
θ，可得铁球相对于地面速度大小为v，D错误．
【课后作业】
1、（多选）(2020·云南昆明期末)如图所示，水平向右沿直线行驶的小车通过细绳和定滑轮将重物以速率v竖直向上匀速提升，在此过程中，不计细绳与滑轮间的摩擦，下列说法正确的是( )
A．小车做加速运动
B．小车做减速运动
C．细绳对小车的拉力逐渐变大
D．细绳对小车的拉力大小不变
[答案]BD.
[解析]将小车的速度分解，如图，由平行四边形定则可知v车＝，则随着小车向右运动，θ减小，v车减小，即小车做减速运动，A错误，B正确；因物块匀速上升，可知绳子对物块的拉力不变，即绳子的张力不变，绳子对小车的拉力大小不变，C错误，D正确．
2、（多选）小河宽80
m，河中各点水流速度与各点到较近河岸边的距离关系为v水＝kx(k＝0.1
s－1)，一小船以4
m/s
速度垂直于河岸渡河，则下列说法中正确的是( )
A．小船渡河时的轨迹为直线
B．小船渡河时的轨迹为曲线
C．小船到达距河对岸20
m处，船的渡河速度为4
m/s
D．小船到达距河对岸50
m处，船的渡河速度为5
m/s
[答案]BD.
[解析]小船同时参与了两个分运动：一个是垂直于河岸相对于水的匀速运动，另一个是随水流向下游方向的变速运动，故其实际运动的初速度与加速度一定不共线，A错误，B正确；小船到达距对岸20
m时，所在处水流速度v水＝2
m/s，此时船的渡河速度为
m/s＝2
m/s，C错误；同理，小船到达距河岸对岸50
m处即距出发点所在岸30
m时水流速度为3
m/s，船的渡河速度为5
m/s，D正确．
3、（多选）(2020·江西南昌高一检测)如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d.现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处)，下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
A．小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2mg
B．小环到达B处时，重物上升的高度为(－1)d
C．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
D．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
[答案]ABD.
[解析]小环释放后，其下落速度v增大，绳与竖直杆间的夹角θ减小，而v1＝vcos
θ，故v1增大，由此可知小环刚释放时重物具有向上的加速度，绳中张力一定大于2mg，A正确；小环到达B处时，绳与直杆间的夹角为45°，重物上升的高度h＝(－1)d，B正确；如图所示，将小环速度v进行正交分解，v1＝vcos
45°＝v，所以小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于，C错误，D正确．
4、用跨过定滑轮的绳把湖中小船向右拉到岸边的过程中，如图所示，如果保持绳子的速度v不变，则小船的速度( )
A．不变
B．逐渐增大
C．逐渐减小
D．先增大后减小
[答案] B
[解析] 小船的运动为实际运动，即为合运动，故把小船的运动分解为沿绳子方向和垂直于绳子斜向下方向的两个分运动，如图所示．小船运动过程中保持绳子速度大小不变，两个分运动方向始终垂直，合运动方向不变，绳子与水平方向的夹角θ逐渐增大．v船＝，由于θ不断增大，则cosθ不断减小，故v船逐渐增大．选项A、C、D错误，B正确．
5．如图所示，AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2，则v1、v2的关系是( )
A．v1＝v2
B．v1＝v2cosθ
C．v1＝v2tanθ
D．v1＝v2sinθ
[答案] C
[解析] 可以把A、B两点的速度分解，如图所示，由于杆不能变长或变短，沿杆方向的速度应满足v1x＝v2x，即v1cosθ＝v2sinθ，v1＝v2tanθ，C正确．
6、(多选)如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为Ff，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v，人的拉力大小为F，则此时( )
A．人拉绳行走的速度为vcosθ
B．人拉绳行走的速度为
C．船的加速度为
D．船的加速度为
[答案]C
[解析] 船的速度产生了两个效果：
一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度按如右图所示进行分解，人拉绳行走的速度v绳＝vcosθ，所以选项A正确．在水平方向，根据牛顿第二定律可知Fcosθ－Ff＝ma，所以a＝，C正确．(共12张PPT)
小船渡河模型
小船渡河两大问题
1、如何渡河时间最短？
2、如何渡河位移最短？
(1)过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t最短＝
(d为河宽)．
d
v船
v
θ
v水
复习回顾
(2)v水最短＝d.
(3)v水>v船时过河路径最短：合速度不可
能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方
法如下：如图所示，以v2矢量末端为
圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从
v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短．
由图可知：sinθ＝
，
最短航程：x最短＝
复习回顾
关联速度问题
关联速度问题之绳子
如图所示，纤绳以恒定速率v
沿水平方向通过定滑轮牵引小船靠岸，当纤绳与水面夹角为θ时，船的速度为多大？
v
θ
A
B
C
v∥
若要使船匀速靠岸，则纤绳的速度v有何特点？（匀速？加速？减速？）
沿绳方向的伸长或收缩运动
垂直于绳方向的旋转运动
注意：沿绳的方向上各点的速度大小相等
v⊥
v船
关联速度问题之杆
放在墙角的均匀直杆AB，A端靠在竖直墙上，B
端放在水平地面上。当AB杆与水平面的夹角为θ时，B端的速度为vB，则A点的速度为多大？
A
B
θ
vA
vB
vA∥
vA⊥
vB⊥
vB∥
沿杆方向的运动
垂直于杆方向的旋转运动
注意：沿杆的方向上各点的速度相等
常见关联速度模型
（甲）
（乙）
（丙）
（丁）
例题讲解
【例1】(2020·黑龙江牡丹江期末)如图所示，汽车通过滑轮拉重物A，汽车沿水平方向向右匀速运动，滑轮与绳的摩擦不计，则物体的运动情况是( )
A．匀速上升 B．加速上升
C．先加速后减速
D．减速上升
B
例题讲解
【例2】 如图所示，以速度v沿竖直杆匀速下滑的物体A用轻绳通过定滑轮拉物体B，当绳与水平面夹角为θ时，物体B的速度为( )
A．v B.
C．vcos
θ
D．vsin
θ
D
例题讲解
【例3】如图所示，AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2，则v1、v2的关系是( )
A．v1＝v2 B．v1＝v2cos
θ
C．v1＝v2tan
θ
D．v1＝v2sin
θ
C
谢谢观看，完成课后作业！
