6-2
向心力与向心加速度
3-向心加速度
【知识点梳理】
1．向心加速度的物理意义
描述匀速圆周运动线速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢．
2．向心加速度的方向
总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变．
3．圆周运动的性质
不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动．
4．变速圆周运动的向心加速度
做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢．所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心．
5．向心加速度的公式
an＝＝ω2r＝r＝4π2n2r＝4π2f2r＝ωv.
6．对向心加速度大小与半径关系的理解
(1)当r一定时，an∝v2，an∝ω2.
(2)当v一定时，an∝.
(3)当ω一定时，an∝r.
(4)an与r的关系图像如图所示．由an－r图像可以看出：an与r成正比还是反比，要看是ω恒定还是v恒定．
【基础巩固】
1．匀速圆周运动的加速度的方向始终不变．( ×
)
2．匀速圆周运动是匀变速曲线运动．( × )
3．匀速圆周运动的加速度的大小不变．( √ )
4．根据an＝知加速度an与半径r成反比．( × )
5．根据an＝ω2r知加速度an与半径r成正比．( × )
6．任何做圆周运动的加速度都指向圆心．( × )
【例题讲解】
【例1】(多选)关于向心加速度，以下说法正确的是( )
A．物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度
B．物体做圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度
C．物体做圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心
[答案] AD
[解析] 物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度；物体做变速圆周运动时，向心加速度只是合加速度的一个分量，A正确，B错误；物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；物体做变速圆周运动时，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度不再指向圆心，C错误，D正确．
【例2】A、B两物体做匀速圆周运动时的向心加速度随半径变化的关系图像如图所示，A是以坐标轴为渐近线的双曲线，B是一条过原点的倾斜直线，则从图像可以看出( )
A．A物体运动时线速度的大小保持不变
B．A物体运动时角速度的大小保持不变
C．B物体运动时角速度随半径变化而变化
D．B物体运动时线速度的大小保持不变
[答案] A
[解析] 由于图像A为双曲线的一个分支，说明a与r成反比，由向心加速度的公式a＝可知，A物体运动的线速度大小不变，A正确，B错误；由于图像中B为直线，说明a与r成正比，由向心加速度的公式a＝rω2可知B物体运动的角速度不变，C、D错误．
【例3】 (2020·安徽示范中学期中)如图所示的皮带传动装置中，轮B和C同轴，轮A和B通过皮带传动连接(皮带和轮无相对滑动)，且其半径RA＝RC＝2RB，则轮A、B、C边缘上的点的向心加速度之比aA∶aB∶aC等于( )
A．4∶2∶1 B．2∶1∶2
C．1∶2∶4
D．4∶1∶4
[答案] C
[解析] 由于B轮和A轮是皮带传动，皮带传动的特点是两轮与皮带接触点的线速度的大小与皮带的线速度大小相同，故vA＝vB，vB∶vA＝1∶1；由于C轮和B轮共轴，故两轮角速度相同，即ωC＝ωB，故ωC∶ωB＝1∶1，由角速度和线速度的关系式v＝ωR可得vC∶vB＝RC∶RB＝2∶1，则vA∶vB∶vC＝1∶1∶2，又因为RA＝RC＝2RB，根据a＝得：aA∶aB∶aC＝1∶2∶4，故选C.
【随堂练习】
1、关于向心加速度，下列说法正确的是( )
A．向心加速度是描述线速度大小变化快慢的物理量
B．向心加速度是描述线速度的方向变化快慢的物理量
C．向心加速度时刻指向圆心，方向不变
D．向心加速度是平均加速度，大小可用a＝
来计算
[答案]
B.
[解析]
加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，A错误，B正确；虽然向心加速度时刻指向圆心，但是沿不同的半径指向圆心，所以方向不断变化，C错误；加速度公式a＝
适用于平均加速度的计算，向心加速度一般是指瞬时加速度，D错误．
2、(2020·山西吕梁期中)转篮球是一项难度较高的技巧，其中包含了许多物理知识．如图所示，假设某转篮球的高手能让篮球在他的手指上(手指刚好在篮球的正下方)匀速转动，下列有关描述该高手转篮球的物理知识正确的是( )
A．篮球上各点做圆周运动的圆心在手指上
B．篮球上各点的向心加速度是由手指提供的
C．篮球上各点做圆周运动的角速度相等
D．篮球上各点离转轴越近，做圆周运动的向心加速度越大
[答案]
C.
[解析]
篮球上的各点做圆周运动时，是绕着篮球中心转轴做圆周运动，圆心均在中心转轴上，故A错误；篮球上各点的向心加速度垂直指向转轴，可知向心加速度不是由手指提供的，故B错误；篮球上的各点为同轴转动，角速度相等，故C正确；由于角速度相等，根据an＝ω2r可知，篮球上各点离转轴越近，做圆周运动的向心加速度越小，故D错误．
3、如图所示，O、O′为两个皮带轮，O轮的半径为r，O′轮的半径为R，且R>r，M点为O轮边缘上的一点，N点为O′轮上的任意一点，当皮带轮转动时，(设转动过程中不打滑)则( )
A．M点的向心加速度一定大于N点的向心加速度
B．M点的向心加速度一定等于N点的向心加速度
C．M点的向心加速度可能小于N点的向心加速度
D．M点的向心加速度可能等于N点的向心加速度
[答案]
A.
[解析]
在O′轮的边缘上取一点Q，则Q点和N点在同一个轮子上，其角速度相等，即ωQ＝ωN，又rQ>rN，由向心加速度公式an＝ω2r可知aQ>aN；由于皮带转动时不打滑，Q点和M点都在由皮带传动的两个轮子边缘上，这两点的线速度大小相等，即vQ＝vM，又rQ>rM，由向心加速度公式an＝可知，aQ
aN，A正确．
4、(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是( )
A．向心加速度的方向始终与速度的方向垂直
B．向心加速度的方向保持不变
C．物体做匀速圆周运动时的加速度不变
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
[答案] AD
[解析] 向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变，故A正确，B错误．物体做匀速圆周运动时具有向心加速度，其加速度方向始终指向圆心，即加速度方向不断改变，大小不变，所以做匀速圆周运动的物体的向心加速度是改变的，C错误，D正确．
5、(多选)下列说法中，正确的是( )
A．匀速圆周运动向心加速度大小不变，为匀变速曲线运动
B．圆周运动是变速运动，其加速度方向总是指向圆心
C．向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量
D．向心加速度总是跟速度的方向垂直，方向时刻在改变
[答案] CD
[解析] 匀速圆周运动虽然其向心加速度的大小始终不变，但其向心加速度的方向始终在变化，因而匀速圆周运动不是匀变速曲线运动，A错误；圆周运动是变速运动，其加速度为向心加速度和切向加速度的合加速度，因为向心加速度始终指向圆心，因而，只有在切向加速度为零，即物体做匀速圆周运动时，合加速度的方向才指向圆心，B错误；向心加速度始终垂直于速度的方向，因而，向心加速度是描述速度方向变化快慢的物理量，C、D正确．
6、如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S与转动轴O间的距离是大轮半径的，当大轮边缘上P点的向心加速度大小是12
m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度分别为多大？
[答案] 4
m/s2 24
m/s2
[解析] S点和P点在同一转动轮上，它们的角速度相等，即ωS＝ωP.
设S点和P点到大轮转动轴O的距离分别为rS和rP，由向心加速度公式an＝rω2可得，S与P两点的向心加速度之比为＝
解得aS＝aP＝4
m/s2
皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等，即vP＝vQ
设小轮半径为rQ，由向心加速度公式an＝可得，Q与P两点的向心加速度之比为＝
解得aQ＝aP＝24
m/s2.
【课后作业】
1、(多选)一小球被细绳拴着，在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心加速度为an，那么( )
A．角速度ω＝
B．时间t内通过的路程s＝t
C．周期T＝
D．时间t内可能发生的最大位移为2R
[答案] ABD
[解析] 由an＝ω2R，得ω＝，A正确；由an＝，得线速度v＝，所以时间t内通过的路程s＝t，B正确；由an＝ω2R＝R，得T＝2π，C错误；对于做圆周运动的物体而言，位移大小即圆周上两点间的距离，最大值为2R，D正确．
2、(匀速圆周运动的向心加速度)关于做匀速圆周运动物体的向心加速度方向，下列说法正确的是( )
A．与线速度方向始终相同
B．与线速度方向始终相反
C．始终指向圆心
D．始终保持不变
[答案] C
[解析] 做匀速圆周运动的物体，它的向心加速度始终与线速度垂直且指向圆心，加速度的大小不变，方向时刻变化，所以C正确．
3、(多选)(对向心加速度的理解)下列关于向心加速度的说法正确的是( )
A．向心加速度只反映速度的方向变化快慢，不反映速度的大小变化快慢
B．向心加速度就是圆周运动的加速度
C．在匀速圆周运动中，向心加速度就是物体的合加速度
D．在匀速圆周运动中，向心加速度的方向不变
[答案] AC
[解析] 向心加速度的方向始终指向圆心与速度方向垂直，改变速度的方向不改变速度的大小，在匀速圆周运动中，向心加速度为合加速度，在非匀速圆周运动中，向心加速度不指向圆心，故A、C正确，B、D错误．
4、(向心加速度与皮带传动结合)如图所示，A、B两轮绕轴O转动．A和C两轮用皮带传动，A、B、C三轮的半径之比为2∶3∶3，a、b、c为三个轮边缘上的点．求a、b、c三点的向心加速度之比．
[答案] 6∶9∶4
[解析] 因A、B两轮绕同轴转动，所以有ωa＝ωb，由an＝rω2可得aa∶ab＝2∶3，又因为A和C两轮用皮带传动，所以有va＝vc，由an＝得aa∶ac＝rc∶ra＝3∶2，综上所述，可得aa∶ab∶ac＝6∶9∶4.
5、如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( )
A．加速度为零
B．加速度恒定
C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心
[答案]
D
[解析]
由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误．
6、如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点与轮4边缘的c点相比( )
线速度之比为1∶4
角速度之比为4∶1
向心加速度之比为8∶1
向心加速度之比为1∶8
[答案]
D
[解析]
由题意知2va＝2v3＝v2＝vc，其中v2、v3为轮2和轮3边缘的线速度，所以va∶vc＝1∶2，A错误；设轮4的半径为r，则aa＝＝＝＝ac，即aa∶ac＝1∶8，C错误，D正确；＝＝，B错误．
7、关于圆周运动的概念，以下说法中正确的是( )
A．匀速圆周运动是速度恒定的运动
B．做匀速圆周运动的物体，向心加速度越大，物体的速度增加得越快
C．做圆周运动物体的加速度方向一定指向圆心
D．物体做半径一定的匀速圆周运动时，其线速度与角速度成正比
[答案]
D
[解析]
匀速圆周运动的速度方向是轨迹切线方向，时刻改变，故A错误．做匀速圆周运动的物体，速度大小不变，方向改变，向心加速度越大，速度方向改变的越快，故B错误．只有匀速圆周运动的加速度始终指向圆心，变速圆周运动的加速度不指向圆心，故C错误．物体做半径一定的匀速圆周运动时，根据v＝rω，其线速度与角速度成正比，故D正确．
8、如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能的是( )
[答案]
B
[解析]
做匀速圆周运动的物体的加速度就是向心加速度，其方向指向圆心，B正确．
9、A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们( )
A．线速度大小之比为4∶3
B．角速度大小之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为2∶1
D．向心加速度大小之比为1∶2
[答案]A
[解析]因为相同时间内他们通过的路程之比是4∶3，根据v＝，则它们的线速度之比为4∶3，故A正确；运动方向改变的角度之比为3∶2，根据ω＝，则角速度之比为3∶2，故B错误；根据v＝ωr可得圆周运动的半径之比为＝×＝，故C错误；根据a＝vω得，向心加速度之比为＝＝×＝，故D错误．故选A.
10、(多选)如图所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑．向心加速度分别为a1、a2、a3，则下列比例关系正确的是( )
A.＝ B.＝
C.＝
D.＝
[答案]BD
[解析]由于皮带不打滑，v1＝v2，a＝，故＝＝，A错，B对；由于右边两轮共轴转动，ω2＝ω3，a＝rω2，＝＝，C错，D对．
11、关于匀速圆周运动向心加速度的物理意义，下列说法正确的是( )
A．描述线速度方向变化的快慢
B．描述线速度大小变化的快慢
C．描述位移方向变化的快慢
D．描述角速度变化的快慢
[答案] A
[解析] 向心加速度描述了线速度方向变化的快慢，故A对；匀速圆周运动的线速度大小是不变的，故B错；描述位移变化的是速度，故C错；匀速圆周运动的角速度恒定，故D错．
12、(多选)下列说法正确的是( )
A．匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度
B．做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在改变，所以必有加速度
C．做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速(曲线)运动
D．匀速圆周运动的加速度大小虽然不变，但方向始终指向圆心，加速度的方向发生了变化，所以匀速圆周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动
[答案] BD
[解析] 加速度恒定的运动才是匀变速运动，向心加速度的方向时刻改变．匀速圆周运动是速度的大小不变、而速度的方向时刻变化的运动，所以B、D正确．
13、如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能的是( )
[答案] B
[解析] 做匀速圆周运动的物体的加速度就是向心加速度，其方向指向圆心，选项B正确．
14、(多选)一质点做半径为r的匀速圆周运动，它的向心加速度、角速度、线速度、周期分别为a、ω、v、T.下列关系式正确的有( )
A．ω＝
B．v＝r
C．a＝vω
D．T＝2π
[答案] ACD
[解析] 因为a＝ω2r，所以ω＝，A正确；因为a＝ω2r，又v＝ωr，所以v＝，a＝vω，B错误，C正确；因为a＝2r，所以T＝2π，故D正确．
15、A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动(如图)，在相同的时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们( )
A．线速度大小之比为4∶3
B．角速度大小之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为2∶1
D．向心加速度大小之比为1∶2
[答案] A
[解析] 运动时间相同，由v＝可知路程之比即为线速度大小之比，为4∶3，A正确；运动方向改变的角度之比即为对应扫过的圆心角之比，由于时间相同，由ω＝可知角速度大小之比为3∶2，B错误；根据v＝rω可知r＝，故圆周运动半径之比为8∶9，C错误；由向心加速度an＝＝vω可知向心加速度大小之比为2∶1，D错误．
16、(多选)如右图所示为摩擦传动装置，B轮转动时带动A轮跟着转动，已知转动过程中轮缘间无打滑现象，下列说法中正确的是( )
A．A、B两轮转动的方向相同
B．A、B两轮转动的方向相反
C．A、B转动的角速度之比为1∶3
D．A、B轮缘上点的向心加速度之比为3∶1
[答案] BC
[解析] A、B两轮边缘的线速度大小相等，但转动方向相反，A项错误，B项正确；由v＝ωr知ω与r成反比，A、B角速度之比为1∶3，C项正确；由an＝知an与r成反比，A、B轮缘上点的向心加速度之比为1∶3，D项错误．(共18张PPT)
向心加速度
学习目标：
1．理解速度变化量是矢量，能够确定其大小和方向．
2．理解向心加速度的概念，知道向心加速度的方向．
3．掌握向心加速度与线速度、角速度的关系.
复习回顾
1、向心力的定义？
2、速度改变的条件？
3、向心力的效果？
物体做匀速圆周运动时所受合外力的方向始终指向轨迹的圆心，这个指向圆心的合外力称为向心力．
加速度是速度改变的原因。
只改变速度方向，不改变速度大小
向心加速度
v1
v2
速度时刻在改变，有加速度
由向心力及牛顿第二定律得
或
由于向心力始终垂直于速度，因此向心加速度也始终垂直于速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。
向心加速度
物理意义：描述匀速圆周运动线速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢．
方向：总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变．
性质：不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动．
向心加速度
变速圆周运动的向心加速度：做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢．所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心．
公式转换：
对向心加速度大小与半径关系的理解
基础巩固
1．匀速圆周运动的加速度的方向始终不变．(
)
2．匀速圆周运动是匀变速曲线运动．(
)
3．匀速圆周运动的加速度的大小不变．(
)
4．根据an＝知加速度an与半径r成反比．(
)
5．根据an＝ω2r知加速度an与半径r成正比．(
)
6．任何做圆周运动的加速度都指向圆心．(
)
×
×
×
×
×
√
例题讲解
【例1】(多选)关于向心加速度，以下说法正确的是(
)
A．物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度
B．物体做圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度
C．物体做圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心
AD
例题讲解
【例2】A、B两物体做匀速圆周运动时的向心加速度随半径变化的关系图像如图所示，A是以坐标轴为渐近线的双曲线，B是一条过原点的倾斜直线，则从图像可以看出( )
A．A物体运动时线速度的大小保持不变
B．A物体运动时角速度的大小保持不变
C．B物体运动时角速度随半径变化而变化
D．B物体运动时线速度的大小保持不变
A
例题讲解
【例3】 (2020·安徽示范中学期中)如图所示的皮带传动装置中，轮B和C同轴，轮A和B通过皮带传动连接(皮带和轮无相对滑动)，且其半径RA＝RC＝2RB，则轮A、B、C边缘上的点的向心加速度之比aA∶aB∶aC等于( )
A．4∶2∶1 B．2∶1∶2
C．1∶2∶4
D．4∶1∶4
C
随堂练习
1、关于向心加速度，下列说法正确的是( )
A．向心加速度是描述线速度大小变化快慢的物理量
B．向心加速度是描述线速度的方向变化快慢的物理量
C．向心加速度时刻指向圆心，方向不变
D．向心加速度是平均加速度，大小可用a＝
来计算
B
随堂练习
2、(2020·山西吕梁期中)转篮球是一项难度较高的技巧，其中包含了许多物理知识．如图所示，假设某转篮球的高手能让篮球在他的手指上(手指刚好在篮球的正下方)匀速转动，下列有关描述该高手转篮球的物理知识正确的是( )
A．篮球上各点做圆周运动的圆心在手指上
B．篮球上各点的向心加速度是由手指提供的
C．篮球上各点做圆周运动的角速度相等
D．篮球上各点离转轴越近，做圆周运动的向心加速度越大
C
随堂练习
3、如图所示，O、O′为两个皮带轮，O轮的半径为r，O′轮的半径为R，且R>r，M点为O轮边缘上的一点，N点为O′轮上的任意一点，当皮带轮转动时，(设转动过程中不打滑)则( )
A．M点的向心加速度一定大于N点的向心加速度
B．M点的向心加速度一定等于N点的向心加速度
C．M点的向心加速度可能小于N点的向心加速度
D．M点的向心加速度可能等于N点的向心加速度
A
随堂练习
4、(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是(
)
A．向心加速度的方向始终与速度的方向垂直
B．向心加速度的方向保持不变
C．物体做匀速圆周运动时的加速度不变
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
AD
随堂练习
5、(多选)下列说法中，正确的是(
)
A．匀速圆周运动向心加速度大小不变，为匀变速曲线运动
B．圆周运动是变速运动，其加速度方向总是指向圆心
C．向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量
D．向心加速度总是跟速度的方向垂直，方向时刻在改变
CD
随堂练习
6、如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S与转动轴O间的距离是大轮半径的，当大轮边缘上P点的向心加速度大小是12
m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度分别为多大？
[答案] 4
m/s2 24
m/s2
谢谢观看，完成课后作业！