6-2
向心力与向心加速度
2-常见的圆周运动模型分析
【知识点梳理】
几种常见的实例如下
实例
向心力
示意图
用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时
绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F向＝F＋G
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动
线的拉力提供向心力，F向＝FT
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止
转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝Ff
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动
重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合
【例题讲解】
【例1】 长为L的细线，一端拴一质量为m的小球(可看做质点)，另一端固定于O点，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，当细线与竖直方向的夹角为α时，求：
(1)细线的拉力F.
(2)小球运动的线速度的大小．
(3)小球运动的角速度及周期．
[答案] (1) (2)
(3)
2π
[解析] 对做匀速圆周运动的小球进行受力分析，如图所示，小球受到重力mg和细线的拉力F的作用．
(1)因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力沿水平方向且指向圆心O′，合力提供小球做匀速圆周运动的向心力．由平行四边形定则得小球受到的合力大小为mgtanα，细线对小球的拉力大小为F＝.
(2)小球在水平面内做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得mgtanα＝m
由几何关系得r＝Lsinα
所以小球运动的线速度大小为v＝.
(3)小球运动的角速度ω＝＝＝
小球运动的周期T＝＝2π
.
【例2】(多选)如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2
kg的木块，它与转台间的最大静摩擦力为Fmax＝6.0
N，绳的一端系在木块上，另一端通过转台的中心孔O(孔光滑)悬挂一个质量m＝1.0
kg的物体，当转台以角速度ω＝5
rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是(g取10
m/s2，M、m均视为质点)
A．0.04
m B．0.08
m
C．0.16
m D．0.32
m
[答案]BCD
[解析]当M有远离轴心运动的趋势时，
有mg＋Fmax＝Mω2rmax，
解得rmax＝＝0.32
m，
当M有靠近轴心运动的趋势时，
有mg－Fmax＝Mω2rmin，
解得rmin＝＝0.08
m.
故选项B、C、D正确．
【例3】有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
[答案] ω＝
[解析] 对座椅进行受力分析，如图所示．
y轴方向上：Fcosθ＝mg①
x轴方向上：Fsinθ＝mω2(r＋Lsinθ)②
则由得tanθ＝
因此ω＝.
【随堂练习】
1、如图所示，质量为1
kg的小球用细绳悬挂于O点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2
m/s，已知球心到悬点的距离为1
m，重力加速度g取10
m/s2，求小球在最低点时对绳的拉力大小．
[答案] 14
N
[解析] 小球在最低点时做圆周运动的向心力由重力mg和绳的拉力FT提供(如图所示)，
即FT－mg＝m
所以FT＝mg＋m＝N＝14
N
由牛顿第三定律得，小球在最低点时对绳的拉力大小为14
N.
2、(水平面内匀速圆周运动的向心力问题)如图所示，有一质量为m的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在水平面内，已知小球与半球形碗的球心O的连线跟竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R，求小球圆周运动的速度及碗壁对小球的弹力．
[答案]
[解析] 根据小球做圆周运动的轨迹找到圆心，确定半径，由题中图可知，圆心为O′，运动半径为r＝Rsinθ，小球受重力mg及碗壁对小球弹力FN的作用，向心力为弹力的水平分力，受力分析如图所示．
由向心力公式F＝m得：
FNsinθ＝m①
竖直方向上小球的加速度为零，所以竖直方向上所受的合力为零，即FNcosθ＝mg，解得：
FN＝②
联立①②两式，可解得小球做匀速圆周运动的速度为：
v＝.
【课后作业】
1、两根长度不同的细线下面分别悬挂小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是( )
[答案]B.
[解析]小球做匀速圆周运动，设细线与竖直方向的夹角为θ，mgtan
θ＝mω2Lsin
θ，整理得：Lcos
θ＝是常量，即两球处于同一高度，故B正确．
2、(匀速圆周运动问题)如图所示，半径为r的圆筒，绕竖直中心轴OO′旋转，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒内壁间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力与滑动摩擦力相同，要使a不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] D
[解析]
对物块受力分析知Ff＝mg，FN＝mω2r，又由于Ff≤μFN，所以解这三个方程得角速度ω至少为，D选项正确．
3、(一般曲线运动问题)一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图甲所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示．则在其轨迹最高点P处的曲率半径是( )
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 物体做斜上抛运动，最高点速度即为斜上抛的水平速度vP＝v0cosα，最高点重力提供向心力mg＝m，由两式得ρ＝＝.
4、(匀速圆周运动中各物理量间的制约关系)未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示．当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力．为达到上述目的，下列说法正确的是( )
A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大
B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小
C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大
D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小
[答案] B
[解析] 旋转舱对宇航员的支持力提供宇航员做圆周运动的向心力，即mg＝mω2r，解得ω＝，即旋转舱的半径越大，角速度越小，而且与宇航员的质量无关，选项B正确．
5、如图所示，质量为m的物体，沿半径为r的圆轨道自A点滑下，A与圆心O等高，滑至B点(B点在O点正下方)时的速度为v.已知物体与轨道间的动摩擦因数为μ，求物体在B点所受的摩擦力．
[答案] μm
[解析] 物体由A滑到B的过程中，受到重力、轨道弹力及摩擦力的作用，做圆周运动．物体在B点的受力情况如图所示，其中轨道弹力FN与重力G＝mg的合力提供物体做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得FN－mg＝，得FN＝mg＋，则滑动摩擦力为Ff＝μFN＝μm.(共18张PPT)
常见的圆周运动模型分析
学习目标：
1.知道物体做圆周运动需要的向心力来源；
2.通过实验得出影响向心力的因素；
3.理解线速度、半径和质量对向心力的影响；
复习回顾
1、向心力的定义？
2、向心力的作用效果有哪些？
物体做匀速圆周运动时所受合外力的方向始终指向轨迹的圆心，这个指向圆心的合外力称为向心力．
只改变速度方向，不改变速度大小
过山车与旋转椅
过山车与旋转椅
探究影响向心力大小的因素
控制变量法
（1）相同速度相同质量不同半径；
（2）相同速度相同半径不同质量；
（3）相同半径相同质量不同速度；
向心力
（1）相同速度相同质量不同半径：半径越大所需力越小。
（2）相同速度相同半径不同质量：质量越大所需力越大。
（3）相同半径相同质量不同速度：速度越大所需力越大。
向心力大小：
由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的方向．
匀速圆周运动与变速圆周运动
几种常见模型
例题讲解
【例1】 长为L的细线，一端拴一质量为m的小球(可看做质点)，另一端固定于O点，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，当细线与竖直方向的夹角为α时，求：
(1)细线的拉力F.
(2)小球运动的线速度的大小．
(3)小球运动的角速度及周期．
例题讲解
例题讲解
【例2】(多选)如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2
kg的木块，它与转台间的最大静摩擦力为Fmax＝6.0
N，绳的一端系在木块上，另一端通过转台的中心孔O(孔光滑)悬挂一个质量m＝1.0
kg的物体，当转台以角速度ω＝5
rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是(g取10
m/s2，M、m均视为质点)（
）
A．0.04
m B．0.08
m C．0.16
m D．0.32
m
BCD
例题讲解
例题讲解
【例3】有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
例题讲解
随堂练习
1、如图所示，质量为1
kg的小球用细绳悬挂于O点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2
m/s，已知球心到悬点的距离为1
m，重力加速度g取10
m/s2，求小球在最低点时对绳的拉力大小．
[答案] 14
N
随堂练习
2、(水平面内匀速圆周运动的向心力问题)如图所示，有一质量为m的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在水平面内，已知小球与半球形碗的球心O的连线跟竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R，求小球圆周运动的速度及碗壁对小球的弹力．
谢谢观看，完成课后作业！
