新人教A版高中数学必修第二册：6.1 平面向量的基本概念及加减法运算 Word版

授课主题
向量的基本概念及加减
教学目标
1．通过再现物理学中学过的力、位移等概念与向量之间的联系，在类比抽象过程中引入向量概念，并建立学生学习向量的认知基础．2．理解向量的有关概念：向量的表示法、向量的模、单位向量、相等向量、共线向量．3．理解向量的和，掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量加法的运算律及向量减法的三角形法则．4．理解向量模的性质．
教学内容
1．向量的概念有下列物理量：位移、路程、速度、速率、力、质量、密度，其中位移、速度、力都是既有大小又有方向的量．路程、速率、质量、密度都是只有大小的量．平面向量是既有大小又有方向的量，向量不能比较大小．数量是只有大小没有方向的量，数量能比较大小．2．向量的几何表示有向线段是带有方向的线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点，B为终点的有向线段记作．起点要写在终点的前面．有向线段包含三个要素起点、方向、长度．向量的有向线段表示方法：向量常用带箭头的线段表示
，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向．向量也可以用黑体的字母表示，如a，b，c.
手写为.
强调：箭头不能不写，否则表示数量．向量的模:
||(或|a|)表示向量(或a)的大小，即长度(也称模)，长度为零的向量称为零向量，记作0，长度等于1个单位的向量称为单位向量．3．共线向量与相等向量平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，通常记作a∥b．我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a．相等向量是长度相等且方向相同的向量，a与b相等，记作a＝b．任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．共线向量：任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量，也就是说，共线向量的方向相同或相反．若a与b共线，即a与b平行，记作a∥b．4．向量加法运算1）向量加法的定义：我们把求两个向量a，b和的运算，叫做向量的加法，记作：a＋b.注意：
(1)两个向量的和仍然是一个向量；(2)零向量与任一向量a有a＋0＝0＋a＝a.2）向量加法的三角形法则：向量与相加时，的终点作为的起点，这时起点A到终点C的向量就是这两个向量的和向量，即＋＝.这种求向量和的方法叫三角形法则．向量加法的三角形法则：“首尾相接，首尾相连”3）向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适用)：以同一点O为起点的两个已知向量为a，b为邻边作OACB，则以O为起点的对角线就是向量的和．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则，如图：4）运算律．(1)向量加法的交换律：a＋b＝b＋a.(2)向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).5．向量的几何表示1）减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
向量减法的三角形法则：“起点相同，指向被减向量”．2）|a＋b|、|a－b|、|a|＋|b|、|a|－|b|之间的关系．对于任意的两个向量a与b，有________≤≤________.
注意：当a，b共线时(包括同向和反向)上式等号成立．题型一　向量有关概念的理解例1　下列结论中正确的是(　　)A．向量的长度和向量的长度相等B．向量a与b平行，则b与a方向相同C．两个有共同起点而长度相等的向量，它们的终点必相同D．若a与b平行同向，且|a|＞|b|，则a＞b解析：A正确．B不正确．共线向量包括方向相同和相反．C不正确．共起点长度相等的向量方向不一定相同．D不正确．向量不能比较大小．答案：A点评：共线向量包括同向和反向，向量相等指向量的大小相等方向相同，0与任意向量共线．巩
固　下列结论中正确的是(　　)A．由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行B．如果|a|＝|b|，则a＝bC．如果|a|＝|b|，则a与b长度相等D．共线向量一定在同一条直线上解析：向量的模也就是向量的长度，故C正确．答案：C题型二　相等向量与平行向量的理解例2　如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量．解析：与相等的向量有、、，与相等的向量有、、，与相等的向量有、、.点评：
两个向量相等要求大小相等且方向相同，缺一不可．巩
固　例2中与向量共线的向量有哪些？解析：与向量共线的向量有9个：、、、、、、、、.巩
固　在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量．不正确的命题是________(填序号)．答案：①②③⑤题型三　向量在实际生活中的应用例3　一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．(1)作出向量，，；(2)求||.分析：解答本题应首先确定指向标，然后根据行驶方向确定出有关向量，从而求解．解析：(1)如图所示(2)由题意，易知与方向相反，故与共线．又||＝||，∴在四边形ABCD中，AB//CD.∴四边形ABCD为平行四边形．∴||＝||＝200(千米)．点评：(1)准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．(2)要注意能运用向量观点将实际问题抽象成数学模型．“数学建模”能力是中学生能力培养的一个重要方向，需要在平时的学习中积累．巩
固　一架飞机从A点向西北飞行200
km到达B点，再从B点向东飞行100
km到达C点，再从C点向东偏南30°飞行50
km到达D点．问D点在A点的什么方向？D点距A点多远？解析：由||＝100，知C在A的正北方向，||＝100.又由||＝50，∠ACD＝60°知∠CDA＝90°.即∠DAC＝30°，故的方向为南偏西30°，长度为50
km.题型四　有关向量的化简例4　化简：(1)＋＋＝________；(2)＋－＝________；(3)＋＋＝________；(4)－－－＝________.解析：(1)＋＋＝＋＋＝.(2)＋－＝＋＝0.(3)＋＋＝(＋)＋(＋)＝0.(4)－－－＝－(＋)＝.答案：(1)　(2)0　(3)0　(4)点评：封闭图形中所有向量依次相加之和为零向量．巩
固　已知下列各式：①＋＋；②＋＋；③＋＋＋；④＋＋＋.其中结果为0的个数是(　　)A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个解析：①0；②；③；④0.答案：B题型五　以向量为邻边的平行四边形例5　平行四边形ABCD中，＝a，＝b，用a，b表示向量、.解析：由向量加法的平行四边法则得＝a＋b，由向量的减法得＝－＝a－b.点评：
(1)充分利用相等向量进行向量间的转化．(2)以向量a，b为邻边的平行四边形中，(a±b)表示的是两条对角线所在的向量．巩
固　在矩形ABCD中，若||＝3，||＝4，则|＋|＝________.解析：实际上是求分别以3,4为邻边长的矩形的对角线长．答案：5题型六　向量在实际生活中的应用例6　一艘船从A点出发以2
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为4
km/h，求水流的速度．解析：如图，表示水流速度，表示渡船速度，表示船的实际速度．AB⊥AD，在Rt△ABC中，AB＝＝2.所以水流速度为2
km/h.点评：把速度问题转化为向量的加减问题，问题就显得简单明了．巩
固　一艘船从A点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v2，船的实际航行的速度的大小为4
km/h，方向与水流间的夹角是60°，求v1和v2.解析：表示水流速度，表示渡船速度，表示船的实际速度．AB⊥AD，在Rt△ABC中，AB＝4×cos
60°＝2，AD＝4×sin
60°＝2.∴v1＝2
km/h，v2＝2
km/h.题型七　向量模的性质应用例7　若||＝8，||＝5，则||的取值范围是________．解析：∵||＝|－|，≤||≤||＋||，∴3≤||≤13.即||的取值范围为[3,13]．答案：[3,13]点评：对于任意的两个向量a与b，有≤|a±b|≤|a|＋|b|，要从三角形两边之和、差与第三边的大小关系来理解和记忆．巩
固　若向量a、b满足|a|＝5，|b|＝12，则|a＋b|的最小值是________，|a－b|的最大值是________．解析：由向量模的性质≤|a±b|≤|a|＋|b|可得答案．答案：7　171．下列等式正确的个数是(　C　)①a＋0＝a；　②b＋a＝a＋b；　③－(－a)＝a；　④a＋(－a)＝0；　⑤a＋(－b)＝a－b.A．2个　　
B．3个　　
C．4个　　
D．5个2．下列命题：①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a、b之一的方向相同；②△ABC中，必有＋＋＝0；③若＋＋＝0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；④若a、b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．其中真命题的个数为(　B　)A．0个
B．1个
C．2个
D．3个3．化简－＋＋的结果等于(　B　)A.
B.
C.
D.答案：A5．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则(　A　)A．a与b方向相同
B．a＝bC．a＝－b
D．a与b方向相反6．化简－＋所得结果是(　　)A.　　　　　B.
C．0
D.答案：C7．在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|的值为(　　)A．0
B．1
C.
D．2答案：B8．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向(　　)A．与向量a方向相同
B．与向量a方向相反C．与向量b方向相同
D．与向量b方向相反答案：A9．向量(＋)＋(＋)＋等于(　　)A.
B.
C.
D.解析：(＋)＋(＋)＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝.故选C.答案：C10．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.答案：211．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝120°，则|a＋b|＝________.答案：312．在正六边形ABCDEF中，＝m，＝n，则＝__________.解析：在正六边形ABCDEF中，＝＝－＝m－n.答案：m－n13．如图，已知O为平行四边行ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，求.解析：∵＝，＝－，＝－，∴－＝－，＝－＋，∴＝a－b＋c.14．如图，O是正方形ABCD的中心，化简下列各式：(1)＋；(2)＋.答案：(1)＋＝　(2)＋＝15．已知：△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点．求证：DEBC.证明：因为D、E分别为AB、AC的中点，故＝，＝.＝－＝(－)＝.所以DEBC.1．下列各物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的个数是(　　)A．1个　　
　B．2个　
　　C．3个　
　　D．4个解析：②③④⑤是向量，故选D.答案：D2．下列四个命题：①时间、速度、加速度都是向量；②向量的模一定是正实数；③所有的单位向量都相等；④共线向量一定在同一条直线上．其中正确的命题有(　　)A．0个　　
B．1个　　
C．2个　　
D．3个答案：A3．如图，在圆O中，向量、、是(　　)A．有相同的起点B．单位向量C．模相等的向量D．相等的向量答案：C4．如图，在四边形ABCD中，＝，则相等的向量是(　　)A.
与　　　　　　B.
与C.
与　　　　　　D.
与答案：D5．下列关于向量的说法中正确的是
(　　)A．长度相等的两向量必相等B．两向量相等，其长度不一定相等C．向量的大小与有向线段起点无关D．两个向量相等，则它们的起点和终点都相同答案：C6．在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，则(　　)A.与共线　　　　　B.与共线C.与相等
D.与相等答案：B7．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是(　　)A．与相等的向量只有一个(不含)B．与的模相等的向量有9个(不含)C.的模恰为模的倍D.与不共线答案：D　8．已知向量a，b是两个非零向量，，分别是与a，b同方向的单位向量，则以下各式正确的是(　　)A.＝
B.＝或＝－C.＝1
D．||＝||答案：D9．若|a|＝2，b＝a，则|b|＝______，b的方向与a______.若b＝－a，则|b|＝______，b的方向与a______.答案：2　相同　2　相反10．给出以下4个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________．答案：①③④11．在如图所示的向量a、b、c、d、e中(小正方形的边长为1)：(1)是共线向量的有________________________________________________________________________．答案：
a与d、b与e(2)是相反向量的有________________________________________________________________________．答案：a与d(3)是否存在相等向量？________________________________________________________________________.答案：不存在(4)模相等的向量是________________________________________________________________________．答案：a、d、c12．如图，△ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB的中点，在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段所表示的向量中：(1)与向量共线的有________________________________________________________________________．答案：、、、、、、　(2)与向量的模相等的有________________________________________________________________________．答案：、、、、(3)与向量相等的有________________________________________________________________________．答案：、13．已知四边形ABCD，＝，且||＝||，则四边形ABCD的形状是__________．解析：∵＝，∴AB∥DC，∴四边形ABCD为梯形．∵||＝||，∴四边形ABCD为等腰梯形．答案：等腰梯形14．在平面上任意确定一点O，点P在点O“东偏北60°，3
cm”处，点Q在点O“南偏西30°，3
cm”处，画出点P和点Q相对于点O的位置向量(即知起点O，方向和长度，确定点P、Q)．解析：所求图如下：
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