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向心加速度
学习目标：
1.知道匀速圆周运动是非匀变速运动，具有指向圆心的加速度——向心加速度。
2.理解向心加速度的产生和向心加速度的概念(重点)
3.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式(重点)
4.掌握应用向心加速度公式求解有关问题的方法(重点、难点)
复习回顾：
一个小球在细线的牵引下，绕光滑桌面上的图钉做匀速圆周运动。
小球受到重力，桌面支持力和细线的拉力作用。FN与G相平衡，合力为F
根据牛顿第二定量，运动物体加速度的方向跟合外力的方向相同。合力F会产生指向圆心的加速度。
向心加速度
1.定义：做匀速圆周运动的物体加速度总指向圆心。这个加速度称为向心加速度。
2.意义：反映速度方向改变快慢的物理量，不表示其大小变化的快慢
3.公式：
4.an与r的关系：
从公式an＝v2/r看，an与r成反比
从公式an=ω2r看，an与r成正比
an与半径r究竟成正比还是成反比？
由a=v2/r知，做匀速圆周运动的物体，其线速度大小一定时，向心加速度与半径成反比
由a=ω2r知，做匀速圆周运动的物体，角速度一定时，向心加速度与半径成正比
应用公式解题时，先确定各点是
线速度大小相等，还是角速度相同
5．圆周运动的性质
在之前的学习中，我们知道，物体做圆周运动，速度方向时刻改变，所以是变速运动。
现在我们知道。不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动
6．变速圆周运动的向心加速度
上节课通过对向心力的学习，我们知道，变速圆周运动所受合外力（F）不指向圆心，它产生了指向圆心的向心力和与圆周相切的分力，两个方面的效果。
再根据牛顿第二定律。我们可知如下结论：
6．变速圆周运动的向心加速度
做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢。所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心。
向心加速度的公式适用于所有圆周运动。包括非匀速圆周运动。但an与v具有瞬时对应性。
1.下列关于向心加速度的说法中正确的是( )
A．向心加速度的方向始终指向圆心
B．向心加速度的方向保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
A 向心加速度的方向时刻指向圆心，A正确；向心加速度的大小不变，方向时刻指向圆心，不断变化，故B、C、D错误
2.下列关于向心加速度的说法中正确的是（ ）
A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
B．向心加速度表示角速度变化的快慢
C．匀速圆周运动的向心加速度大小不变
D．只要是圆周运动，其加速度都是不变的
C
解析
圆周运动有两种情形：一是匀速圆周运动，二是非匀速圆周运动。在匀速圆周运动中，加速度的方向指向圆心，叫向心加速度（大小不变，方向时刻改变）；非匀速圆周运动中加速度可以分解为向心加速度和切向加速度。圆周运动中的加速度是反映速度变化快慢的物理量，故选项C正确。
3.（多选）关于圆周运动，下列说法中正确的是（ ）
A．物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度
B．物体做圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度
C．物体做圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心
AD
物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度；物体做变速圆周运动时，向心加速度只是合加速度的一个分量，A正确、B错误；物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；物体做变速圆周运动时，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度不再指向圆心，C错误、D正确。
4．如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能的是( )
B 做匀速圆周运动的物体的加速度就是向心加速度，其方向指向圆心，B正确。
5.荡秋千是儿童喜爱的一项体育运动，当秋千荡到最高点时，小孩的加速度方向是图中的（ ）
A．a方向
B．b方向
C．c方向
D．d方向
B
最高点时，小孩速度为0，所以向心力及相信加速度为0，加速度方向为切向加速度。
6.如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( )
A．加速度为零
B．加速度恒定
C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心
D 由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误
7．A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30
r/min，B的转速为15
r/min.则两球的向心加速度之比为( )
A．1∶1
B．2∶1
C．4∶1
D．8∶1
D 由题意知A、B两小球的角速度之比ωA∶ωB＝nA∶nB＝2∶1，所以两小球的向心加速度之比aA∶aB＝ωRA∶ωRB＝8∶1，D正确
8．(多选)如图所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑．向心加速度分别为a1、a2、a3，则下列比例关系正确的是( )
9．如图所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω旋转，A、B为球体上两点．下列说法中正确的是( )
A．A、B两点具有相同的角速度
B．A、B两点具有相同的线速度
C．A、B两点具有相同的向心加速度
D．A、B两点的向心加速度方向都指向球心向心加速度
分题型过关练习
对向心加速度的理解
1．下列关于向心加速度的说法中，正确的是( )
A．向心加速度的方向始终与速度的方向垂直
B．向心加速度的方向始终保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
2．关于做匀速圆周运动的物体的向心加速度，下列说法正确的是( )
A．向心加速度的大小和方向都不变
B．向心加速度的大小和方向都不断变化
C．向心加速度的大小不变，方向不断变化
D．向心加速度的大小不断变化，方向不变
3．关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是( )
A．它描述的是线速度大小变化的快慢
B．它描述的是线速度方向变化的快慢
C．它描述的是物体运动的路程变化的快慢
D．它描述的是角速度变化的快慢
4．（多选）关于质点做匀速圆周运动的下列说法中正确的是( )
A．由a＝可知，a与r成反比
B．由a＝ω2r可知，a与r成正比
C．当v一定时，a与r成反比
D．由ω＝2πn可知，角速度ω与转速n成正比
5.如图所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线，表示质点P的图线是双曲线，表示质点Q的图线是过原点的一条直线，由图线可知( )
A．质点P的线速度大小不变
B．质点P的角速度大小不变
C．质点Q的角速度随半径变化
D．质点Q的线速度大小不变
传动装置的向心加速度
6.如图所示，O、O1为两个皮带轮，O轮的半径为r，O1轮的半径为R，且R>r，M点为O轮边缘上的一点，N点为O1轮上的任意一点．当皮带轮转动时(设转动过程中不打滑)，则( )
A．M点的向心加速度一定大于N点的向心加速度
B．M点的向心加速度一定等于N点的向心加速度
C．M点的向心加速度可能小于N点的向心加速度
D．M点的向心加速度可能等于N点的向心加速度
7.如图所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮的半径．已知r2＝2r1，r3＝1.5r1.A、B、C分别是3个轮边缘上的点，则质点A、B、C的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)( )
A．1∶2∶3
B．2∶4∶3
C．8∶4∶3
D．3∶6∶2
8.如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点和轮4边缘的c点相比( )
A．线速度之比为1∶4
B．角速度之比为4∶1
C．向心加速度之比为8∶1
D．向心加速度之比为1∶8
9．如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点．左侧是一套轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r.b点在小轮上，到小轮中心的距离为r.已知c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上．若在传动过程中皮带不打滑，则以下判断正确的是( )
A．a点与b点的向心加速度大小相等
B．a点与b点的角速度大小相等
C．a点与c点的线速度大小相等
D．a点与d点的向心加速度大小相等
向心加速度与其他运动规律的结合
10．如图所示，定滑轮的半径r＝2
cm，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a＝2
m/s2匀加速运动，在重物由静止下落1
m的瞬间，滑轮边缘上的点的角速度ω＝______
rad/s，向心加速度an＝______
m/s2
11.如图所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆半径为R；乙做自由落体运动，当乙下落至A点时，甲恰好第一次运动到最高点B，求甲物体匀速圆周运动的向心加速度
综合应用
12．如图所示，半径为R的圆盘绕过圆心的竖直轴OO′匀速转动，在距轴为r处有一竖直杆，杆上用长为L的细线悬挂一小球．当圆盘以角速度ω匀速转动时，小球也以同样的角速度做匀速圆周运动，这时细线与竖直方向的夹角为θ，则小球的向心加速度大小为( )
A．ω2R
B．ω2r
C．ω2Lsin
θ
D．ω2(r＋Lsin
θ)
13.一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是4
rad/s，盘面上距盘中心0.01
m的位置有一个质量为0.1
kg的小物体能够随盘一起转动，如图所示。求物体转动的向心加速度的大小和方向
14.如图所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍，压路机匀速行驶时，大轮边缘上A点的向心加速度为0.12
m/s2，那么小轮边缘上B点的向心加速度为多大？大轮上距轴心的距离为的C点的向心加速度为多大？
15.如图所示，某滑板运动员恰好从B点进入半径为2
m的圆弧轨道，该圆弧轨道在C点与水平轨道相接，运动员滑到C点时的速度大小为10
m/s，求他到达C点前、后的瞬时加速度(不计各种阻力)
巩固过关练习
1．（多选）一小球被细绳拴着，在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心加速度为an，那么( )
A．小球运动的角速度ω＝
B．小球在时间t内通过的路程s＝t
C．小球做匀速圆周运动的周期T＝
D．小球在时间t内可能发生的最大位移为2R
2.如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能的是( )
3.一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4
m/s，转动周期为2
s，则下列说法错误的是( )
A．角速度为0.5
rad/s
B．转速为0.5
r/s
C．轨迹半径为
m
D．加速度大小为4π
m/s2
4.a、b两辆玩具车在各自的圆轨道上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比为3∶4，转过的角度之比为2∶3，则它们的向心加速度大小之比为( )
A．2∶1
B．1∶2
C．9∶16
D．4∶9
5.A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30
r/min，B的转速为15
r/min.则两球的向心加速度之比为( )
A．1∶1
B．2∶1
C．4∶1
D．8∶1
6.如图所示，半径为R的圆环竖直放置，一轻弹簧一端固定在环的最高点A，一端系一带有小孔穿在环上的小球，弹簧原长为R.将小球从静止释放，释放时弹簧恰无形变，小球运动到环的最低点时速率为v，这时小球向心加速度的大小为( )
A.
B.
C.
D.
7．在图中，A、B为咬合传动的两齿轮，RA＝2RB，则A、B两轮边缘上两点的关系正确的是( )
A．角速度之比为2:1
B．向心加速度之比为1:2
C．周期之比为1:2
D．转速之比为2:1
8．如图所示，两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的2倍，E为大轮半径的中点，C、D分别是大轮和小轮边缘上的一点，则E、C、D三点向心加速度大小关系正确的是( )
A．anC＝anD＝2anE
B．anC＝2anD＝2anE
C．anC＝＝2anE
D．anC＝＝anE
9．做匀速圆周运动的两物体甲和乙，它们的向心加速度分别为a1和a2，且a1>a2，下列判断正确的是( )
A．甲的线速度大于乙的线速度
B．甲的角速度比乙的角速度小
C．甲的轨道半径比乙的轨道半径小
D．甲的速度方向比乙的速度方向变化快
10．如图所示，摩擦轮A和B通过中介轮C进行传动，A为主动轮，A的半径为20
cm，B的半径为10
cm，A、B两轮边缘上的点，角速度之比为__________；向心加速度之比为__________
在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动．若运动员的转速为30
r/min，女运动员触地冰鞋的线速度为4.8
m/s，求女运动员做圆周运动的角速度、触地冰鞋做圆周运动的半径及向心加速度大小
12.飞机由俯冲转为拉起的一段轨迹可以看成圆弧，如图所示，如果这段圆弧的半径r＝800
m，飞行员承受的加速度为8
g．飞机在最低点P的速率不得超过多少？(g＝10
m/s2)
13.如图所示,一轿车以30
m/s的速率沿半径为60
m的圆跑道行驶,当轿车从A运动到B时,轿车和圆心的连线转过的角度为90°,求:
(1)此过程中轿车位移的大小;
(2)此过程中轿车通过的路程;
(3)轿车运动的向心加速度的大小。
分题型练习答案
1
A 向心加速度方向始终指向圆心，与速度方向垂直，方向时刻在变化，故选项A正确，B错误；在匀速圆周运动中向心加速度的大小不变，方向时刻变化，故选项C、D错误
2
C
匀速圆周运动，向心加速度大小不变，方向指向圆心，时刻变化。
3
B 向心加速度始终与速度垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。故选B
4
CD
考虑a与r的关系时，要先确定v、ω哪个不变。AB错，C对。因2π为常数，D对。
5
A 由图象知，质点P的向心加速度随半径r的变化曲线是双曲线，因此可以判定质点P的向心加速度ap与半径r的积是一个常数k，即apr＝k，ap＝，与向心加速度的计算公式ap＝对照可得v2＝k，即质点P的线速度v＝，大小不变，A选项正确；同理，知道质点Q的向心加速度aQ＝k′r与a＝ω2r对照可知ω2＝k′，ω＝(常数)，质点Q的角速度保持不变．因此选项B、C、D皆不正确
6
A 因为两轮通过皮带传动，且皮带不打滑，故两轮边缘各点的线速度大小一定相等。在大轮边缘上任取一点Q，因为R>r，所以由an＝可知，aQ
aN
7
C A点与B点的线速度大小相同，根据向心加速度公式：an＝，可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1。B点、C点是固定在一起的轮上的两点，所以它们的角速度相同，根据向心加速度公式：an＝rω2，可得aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5。所以aA∶aB∶aC＝8∶4∶3，故选C
8
D [由题意知2va＝2v3＝v2＝vc，其中v2、v3为轮2和轮3边缘的线速度，所以va∶vc＝1∶2，A错；设轮4的半径为r，则aa＝＝＝＝ac，即aa∶ac＝1∶8，C错，D对；＝＝＝，B错
9
CD 根据皮带传动装置的特点，首先确定b、c、d三点处于同一个整体上，其角速度相同；a、c两点靠皮带连接，其线速度大小相等．设a点的线速度为v、角速度为ω，则v＝ωr，所以c点的线速度大小为v＝ω′2r，可求c点的角速度ω′＝.根据向心加速度的公式可求a、b、c、d的向心加速度分别为a1＝ω2r、a2＝ω2r、a3＝ω2r、a4＝ω2r，故正确选项为C、D
10
解析 由题意知，滑轮边缘上的点的线速度与物体的速度相等，由推论公式2ax＝v2，得v＝2
m/s.又因v＝rω，所以ω＝100
rad/s，an＝vω＝200
m/s2
11
解析 设乙下落到A点的时间为t，则对乙满足R＝gt2，得t＝，
这段时间内甲运动了T，即T＝①
又由于an＝ω2R＝R②
由①②得：an＝π2g
12
D 小球运动的轨迹是水平面内的圆，如题图中虚线所示，其圆心是水平面与转轴OO′的交点，所以圆周运动的半径为r＋Lsin
θ，由an＝rω2，可知其加速度大小为ω2(r＋Lsin
θ)，选项D正确
13
解析 由an＝rω2得an＝0.01×42
m/s2＝0.16
m/s2，方向指向圆心
14
解析 压路机匀速行驶时，vB＝vA，
由an＝，得＝＝2
得aB＝2aA＝0.24
m/s2
又ωA＝ωC，由an＝ω2r，得＝＝
得aC＝aA＝0.04
m/s2
15
50
m/s2，方向竖直向上 0
解析 运动员经圆弧滑到C点前做圆周运动．因为不计各种阻力，故经过C点之前的瞬间，运动员只在竖直方向上受力，只有向心加速度．由an＝得运动员到达C点前的瞬时加速度a1＝
m/s2＝50
m/s2，方向竖直向上．运动员滑过C点后，进入水平轨道做匀速直线运动，故加速度a2＝0
巩固过关练习答案
1
ABD
解析 由an＝Rω2可得ω＝
，A项正确；由an＝可得v＝，所以t时间内通过的路程s＝vt＝t，B项正确；由an＝Rω2＝·R，可知T＝2π，C项错误；位移由初位置指向末位置的有向线段来描述，对于做圆周运动的小球而言，位移大小即为圆周上两点间的距离，最大值为2R，D项正确
2
B 做匀速圆周运动的物体的加速度就是向心加速度，其方向指向圆心，B正确
3
A [角速度为ω＝＝π
rad/s，A错误；转速为n＝＝0.5
r/s，B正确；半径r＝＝
m，C正确；向心加速度大小为an＝＝4π
m/s2，D正确
4
B a、b两玩具车的线速度之比va∶vb＝sa∶sb＝3∶4，角速度之比ωa∶ωb＝θa∶θb＝2∶3，故它们的向心加速度之比aa∶ab＝vaωa∶vbωb＝1∶2，B正确
5
D 由题意知A、B两小球的角速度之比ωA∶ωB＝nA∶nB＝2∶1，所以两小球的向心加速度之比aA∶aB＝ωRA∶ωRB＝8∶1，D正确
6
A 小球沿圆环运动，其运动轨迹就是圆环所在的圆，轨迹的圆心就是圆环的圆心，运动轨迹的半径就是圆环的半径，小球运动到环的最低点时，其向心加速度的大小为，加速度方向竖直向上．选项A正确
7
B解析 根据两轮边缘线速度大小相等．由v＝rω、ω＝知角速度之比为1:2，A项错误；由an＝得向心加速度之比为1:2，B项正确；由T＝得周期之比为2:1，C项错误；由n＝，转速之比为1:2，故D项错误
8
C 同轴转动，C、E两点的角速度相等，由an＝ω2r，有＝2，即anC＝2anE；两轮边缘点的线速度大小相等，由an＝，有＝，即anC＝anD，故选C
9
D 由于不知甲和乙做匀速圆周运动的半径大小关系，故不能确定它们的线速度、角速度的大小关系，A、B、C错；向心加速度是表示线速度方向变化快慢的物理量，a1>a2，表明甲的速度方向比乙的速度方向变化快，D对
10
1:2 1:2
解析 由题知，A、B、C三轮边缘上的点的线速度相等．所以v＝rAωA＝rBωB，故＝＝，又a＝vω∝ω，所以＝.
11
解析 男女运动员的转速、角速度是相同的，
由ω＝2πn得ω＝2×3.14×30/60
rad/s＝3.14
rad/s
由v＝ωr得r＝＝
m＝1.53
m
由a＝ω2r得a＝3.142×1.53
m/s2＝15.1
m/s2.
12
80
m/s解析 飞机在最低点做圆周运动，其向心加速度最大不得超过8
g才能保持飞行员安全，由an＝得v＝＝
m/s＝80
m/s.
13
解析:如图所示,v=30
m/s,r=60
m,θ=90°。
(1)轿车的位移为从初位置A到末位置B的有向线段的长度x=r/sin45°≈84.9
m;
(2)路程等于弧长l=1/4
2πr=94.2m(3)向心加速度大小：an=v2/r=15
m/s2