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18.1.1
平行四边形的性质（第2课时）同步练习
一、选择题
1．（2020秋?莱州市期末）如图1，平行四边形纸片的面积为120，．今沿两对角线将四边形剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并、重合）形成一个对称图形戊，如图2所示．则图形戊中的四边形两对角线长度和为
A．29
B．26
C．24
D．25
2．（2020秋?龙凤区校级期末）若平行四边形的两条对角线长为6
和16
，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是
A．
B．
C．
D．
3．（2020春?江岸区校级月考）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，为的中点，若，则
A．3
B．6
C．9
D．12
4．（2020春?湖里区校级期末）已知的对角线与相交于，，则等于
A．8
B．4
C．14
D．10
5．（2020春?道里区期末）如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则的长是
A．6
B．10
C．12
D．18
6．（2020?宿迁二模）如图，平行四边形中，对角线，相交于点，点是的中点，则与的面积比为
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．（2020秋?钦州期末）如图，直线经过平行四边形的对角线的交点，若四边形的面积为，则四边形的面积为
．
8．如图，在平行四边形中，，，，则
．
9．（2020?黔东南州）以对角线的交点为原点，平行于边的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若点坐标为，则点坐标为
．
10．（2020春?雁塔区校级期末）如图，平行四边形的周长为36，对角线，相交于点．点是的中点，，则的周长为
．
三、解答题
11．（2020春?兰考县期末）如图，的对角线，交于点，直线过点，分别交，于点，．求证：．
12．（2020?重庆）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，．平分．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
13．如图，中，对角线和相交于点，的周长为15，，求对角线与的和是多少？
14．（2020春?邹平市期末）如图，的对角线、相交于点，，，，点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．连接并延长交于点．设点的运动时间为秒．
（1）求的长，（用含的代数式表示）
（2）当四边形是平行四边形时，求的值
（3）当点在线段的垂直平分线上时，直接写出的值．
18.1.1
平行四边形的性质（第2课时）同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2020秋?莱州市期末）如图1，平行四边形纸片的面积为120，．今沿两对角线将四边形剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并、重合）形成一个对称图形戊，如图2所示．则图形戊中的四边形两对角线长度和为
A．29
B．26
C．24
D．25
【解析】解：如图，连接、，
则可得对角线，且与平行四边形的高相等．
平行四边形纸片的面积为120，，
，，
，
又，
则图形戊中的四边形两对角线之和为，
故选：．
2．（2020秋?龙凤区校级期末）若平行四边形的两条对角线长为6
和16
，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是
A．
B．
C．
D．
【解析】解：由题意可知，平行四边形边长的取值范围是：边长，即边长．
只有选项在此范围内，故选．
3．（2020春?江岸区校级月考）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，为的中点，若，则
A．3
B．6
C．9
D．12
【解析】解：平行四边形，
，．
又点是边中点，
，
，
．
故选：．
4．（2020春?湖里区校级期末）已知的对角线与相交于，，则等于
A．8
B．4
C．14
D．10
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
故选：．
5．（2020春?道里区期末）如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则的长是
A．6
B．10
C．12
D．18
【解析】解：四边形是平行四边形，，
，
，，
，
，
故选：．
6．（2020?宿迁二模）如图，平行四边形中，对角线，相交于点，点是的中点，则与的面积比为
A．
B．
C．
D．
【解析】解：四边形是平行四边形
，
，．
．
点是的中点
．
与的面积比为
故选：．
二、填空题
7．（2020秋?钦州期末）如图，直线经过平行四边形的对角线的交点，若四边形的面积为，则四边形的面积为 100 ．
【解析】解：连接，，
四边形是平行四边形，
，，
．
在与中，
，
，
同理可得，，
．
故答案为：100．
8．如图，在平行四边形中，，，，则 ．
【解析】解：在平行四边形中，，，
在中，由勾股定理可知
四边形为平行四边形
，
在中，由勾股定理得：
故答案为：．
9．（2020?黔东南州）以对角线的交点为原点，平行于边的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若点坐标为，则点坐标为 ．
【解析】解：方法一：对角线的交点为原点，点坐标为，
点的坐标为，
故答案为：．
方法二：四边形为平行四边形，
点和关于对角线的交点对称，
又为原点，
点和关于原点对称，
点，
点的坐标为，
故答案为：．
10．（2020春?雁塔区校级期末）如图，平行四边形的周长为36，对角线，相交于点．点是的中点，，则的周长为 14 ．
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
平行四边形的周长为36，
，
点是的中点，
是的中位线，，
，
的周长；
故答案为：14．
三、解答题
11．（2020春?兰考县期末）如图，的对角线，交于点，直线过点，分别交，于点，．求证：．
【解析】证明：的对角线，交于点，
，，
，
在和中
，
，
．
12．（2020?重庆）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，．平分．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
【解析】（1）解：，
，
，
，
平分，
，
四边形是平行四边形，
，
；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
．
13．如图，中，对角线和相交于点，的周长为15，，求对角线与的和是多少？
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
的周长为15，，
，
，
．
14．（2020春?邹平市期末）如图，的对角线、相交于点，，，，点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．连接并延长交于点．设点的运动时间为秒．
（1）求的长，（用含的代数式表示）
（2）当四边形是平行四边形时，求的值
（3）当点在线段的垂直平分线上时，直接写出的值．
【解析】解：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
；
（2），
当时，四边形是平行四边形，
即，
，
当为秒时，四边形是平行四边形；
（3），
如图：
中，，，
，
，
，
，
，
，
，
是的垂直平分线，
，，
由勾股定理得：，
，
或（舍，
当秒时，点在线段的垂直平分线上．
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精品试卷·第
2
页
（共
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人教版
八年级数学下册
18.1.1
平行四边形的性质（第2课时）
一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
同学们，你认为老人这样分合理吗?为什么?
情景引入
平行四边形的性质：
边
平行四边形的对边平行且相等。
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
AB
CD，
AD
BC
∥
﹦
∥
﹦
角
平行四边形的对角相等。
∵四边形ABCD是平行边形
∴
∠A=∠C，
∠D=∠B.
对角线
O
？
想一想，平行四边形除了边、角这两个要素的性质外，对角线有什么性质？
复习回顾
如图，在
ABCD中，连接AC，BD，并设它们
相交于点O，OA与OC，OB与OD有什么关系？
平行四边形的对角线互相平分．
你能证明这个猜想吗？
OA=OC,OB=OD
AC与BD互相平分
O
新知探究
O
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC
，
AD∥BC.
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∴△AOD≌△COB.
∴OA=OC，OB=OD.
1
2
3
4
平行四边形的对角线互相平分
∵四边形ABCD是平行四边形,
已知：如图，
ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
∴OA=OC=
OB=OD=
证明：
性质3：
符号语言：
△AOD≌△COB
△AOB≌△COD
平行四边形的两条对角线将平行四边形分成的四个小三角形中,相对的两个三角形全等。
新知归纳
A
C
D
B
O
●
老大
老四
老三
老二
E
老人分地合理吗？
老人分地合理
SΔABO=
平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形，都等于平行四边形面积的四分之一。
理由：过点A作AE⊥BD于点E，因为四边形ABCD是平行四边形
所以BO=DO。
所以SΔABO=SΔADO，同理SΔABO=SΔADO=SΔCBO=SΔCDO。
SΔADO=
平行四边形的性质：
边
平行四边形的对边平行且相等。
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
AB
CD，AD
BC
∥
﹦
∥
﹦
角
平行四边形的对角相等。
∵四边形ABCD是平行边形
∴
∠A=∠C，
∠D=∠B.
对角线
O
平行四边形的对角线互相平分。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
小结归纳
1.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A．∠ABO=∠CDO
B．∠BAD=∠BCD
C．AO=CO
D．AC⊥BD
B
C
D
A
O
D
A:基础知识：
分析：由平行四边形的对边平行可知AB∥CD，即答案A正确．
分析：由平行四边形的对角相等，即答案B正确．
分析：由平行四边形的对角线互相平分，即答案C正确．
新知应用
2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AD=16，AC=24，BD=18，则△OBC的周长为（ ）
A.26
B.37
C.40
D.52
B
A:基础知识：
分析：
△OBC的周长=
BC+CO+OB，根据平行四边形的对角线互相平分,对边相等，即可求得答案。．
16
12
9
16
数形结合
18
24
新知应用
3.如图，平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，
△
AOB的周长为15，AB=6，则对角线AC,BD的长度的和是
（ ）
A.9
B.18
C.27
D.36
B
B:变式训练：
分析：△AOB的周长
=AB+BO+OA=15，AB=6，可得
BO+OA=9
再由平行四边形的对角线互相平分，即可求得答案。．
6
数形结合
新知应用
4.在□ABCD中，AC=24,BD=38,AB=m,
则m的取值范围是
(
)
A.
24B.14C.7D.7B
C
D
A
O
C
C:拓展延伸：
分析：由平行四边形的对角线互相平分可知，OA=
AC=12，
OB=
BD=19，在△AOB中，利用三角形三边关系，可得BO－AO＜AB＜
BO＋AO,即可求得答案。
m
利用平行四边形的对角线互相平分可以解决对角线或边的取值范围问题,在解答时应联系“三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”来解决.
19
12
新知应用
5.若平行四边形的一边长为5,则它的两条对角线长可以是
(
)
Ａ
12和2
Ｂ3和4
Ｃ
4和6
Ｄ4和8
O
D
B
A
C
D
变式训练：
新知应用
例2：如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，
求BC、CD的长；
解：
∴△ABC是直角三角形.
又∵AC⊥BC
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=8，CD=AB=10.
又∵OA=OC,
∴
∴
AC⊥BC，
AC、OC的长；
OC=
AC=3.
BO、BD的长；
∵
△OBC是直角三角形,
∴
又∵OB=OD
ABCD的面积.
∴S
=
BC×AC=8×6=48.
ABCD
∴
BD=2OB=2
B
C
D
A
●
O
10
8
8
10
3
例题讲解
E
F
EF过点O，且与AB，CD分别相交于点E，F.
求证
OE=OF.
A
B
C
D
O
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
OD=OB,
∴∠ODF=∠OBE,
∠DFO=∠BEO,
∴△DOF≌△BOE.
∴OE=OF.
分析：要证OE=OF，根据所给条件可证△DOF≌△BOE或△COF≌△AOE。由平行四边形的对边平行，对角线互相平分
证全等。
O
E
F
变式训练1
E
F
A
B
C
D
B
C
D
O
思考：改变直线EF的位置，请判断下列图中，OE=OF还成立吗?
A
E
F
O
OE=OF还成立.
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
变式训练2
E
F
A
B
C
D
O
思考：如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？
D
E
F
O
平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等。
自行证明
C
A
B
过对角线交点的任意一条直线都将平行四边形分成
面积相等的两部分。
变式训练3
1.如图,
平行四边形ABCD中，AC，BD交于O点，点E、F分别是OA，CO的中点，试判断线段BE,DF的关系并证明你的结论．
解：BE＝DF，BE∥DF.
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵点E、F分别是OA,CO的中点
∴OE＝OF.
在△OFD和△OEB中，
OE＝OF，∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，
∴△OFD≌△OEB.
∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF，
∴BE∥DF.
分析：线段BE，DF的关系是指数量和位置两种关系.
本题还有其他方法，
大家不妨试试吧
新知应用
2.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD=2AB，E是OA的中点．求证：BE⊥AC．
分析：由平行四边形的性质得出BD=2OB，再证明OB=AB，由E为OA的中点，根据三线合一性质即可证出BE⊥AC．
又∵E是OA的中点，
∴BE⊥AC．
∵BD=2AB，
∴OB=AB，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2OB.
∴△OAB是等腰三角形.
新知应用
18.1.1
平行四边形的性质
知
识
思
想
转
化
思
想
“猜想——验证——证明”
研究方法.
方
法
探索新知识
数形结合思想
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对角线互相平分
课堂小结
选做：
1、数学书第49页习题18.1第3题
必做：
小明家有一块平行四边形菜地，菜地中有一口井，为了浇水的方便，小明建议妈妈经过水井修一条路，可以把菜地分成面积相等的两部分.
同学们，你知道聪明的小明是怎么帮妈妈分的吗？
2、如图，四边形ABCD是平行四边形中，
AB=
，AD=4，AC⊥BC.
求△DBC
比△ABC的周长长多少？
A
B
C
D
O
课后作业
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