2021届高考物理大二轮复习讲义 专题三第10讲带电粒子在复合场中的运动

第10讲　带电粒子在复合场中的运动
构建网络
命题特点：常以计算题的形式考查带电粒子在组合场、复合场中的运动规律，以及带电粒子在电磁场中的多过程运动问题；常以选择题的形式考查电磁技术的应用实例。
思想方法：分解法、临界法、对称法。
高考考向1　带电粒子在组合场中的运动
例1　(2020·浙江省东阳市高三(下)6月模拟)如图所示，在xOy直角坐标系0(1)0(2)匀强磁场的磁感应强度大小；
(3)若仅将匀强磁场的磁感应强度增大到原来的2倍，计算粒子将从什么位置离开电磁场区。
破题关键点
(1)粒子在电场中做什么运动？
(2)如何确定粒子在磁场中的轨迹圆心及轨迹半径？
1．(2020·广东省佛山市高三二模)(多选)如图所示，在y>0的区域内存在两个匀强磁场。以坐标原点O为圆心，半径为R的半圆形区域内磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B2；其余区域的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B1。一比荷为k的带电粒子在加速电场的下极板处无初速释放，经加速后从坐标为(－2R,0)的a点进入磁场，又从坐标为(2R,0)的b点离开磁场，且粒子经过各磁场边界时的速度方向均与该边界线垂直。不计粒子的重力，且不用考虑粒子多次进入B2磁场的情况，则加速电场的电压大小可能为(　　)
A．2kBR2 B．
C. D．
2．(2020·河南省六市高三(下)第二次联合调研检测)(多选)如图所示，在直角坐标系xOy中，0＜x＜d区域内存在沿y轴负方向的匀强电场，x＞d区域内有垂直坐标平面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P(0，d)点以平行于x轴的初速度v0射入电场，经过一段时间粒子从M(d，)点离开电场进入磁场，经磁场偏转后，从N(d，－d)点返回电场，当粒子返回电场时，电场强度大小不变，方向反向。不计粒子重力，不考虑电场方向变化产生的影响。则以下分析正确的是(　　)
A．粒子最后射出电场时速度大小为2v0
B．粒子最后射出电场的位置坐标是(0,2d)
C．电场强度大小为E＝
D．磁场的磁感应强度大小为B＝
高考考向2　带电粒子在复合场中的运动
例2　(2020·江苏省南京市六校联合体高三(下)5月联考)如图所示，位于竖直平面内的坐标系xOy，在其第三象限空间有沿水平方向的、垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，还有沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E＝2 N/C，第一象限空间有沿y轴负方向的、场强大小也为E的匀强电场，并在y>h＝1.6 m的区域有磁感应强度也为B垂直于纸面向外的匀强磁场。一个电荷量为q的油滴从图中第三象限的P点获得一初速度v0＝4 m/s，恰好能沿PO做匀速直线运动(PO与x轴负方向的夹角为θ＝45°)，并从原点O进入第一象限。已知重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)油滴所带电性以及磁场磁感应强度B；
(2)油滴第二次经过y轴的坐标；
(3)若第一象限内是磁感应强度仍为B，位置可变的矩形磁场，能让油滴在第一象限内回到x轴的磁场区域面积S应不小于多少？
破题关键点
(1)在第三象限油滴受几个力的作用？有何特征？
(2)油滴在第一象限y>h区间和y3.(2020·福建省泉州市高三第二次市质量检测)(多选)如图，一带负电的圆环套在倾斜固定的粗糙绝缘长直杆上，圆环的直径略大于杆的直径，杆处于方向垂直纸面向里的匀强磁场中。现给圆环一沿杆向上的初速度v0，在以后的运动过程中，下列关于圆环的速度v随时间t的变化关系图线，可能正确的是(　　)
4.(2020·陕西省渭南市高三上学期教学质量检测(Ⅰ))如图所示，在一个同时存在着均匀磁场和均匀电场的空间，有一带电小球系于一细线的一端，另一端固定于O点，带电小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向成θ＝30°角，线中张力为零。设细线能承受足够大的拉力而不断，如突然撤去磁场，则小球将做(　　)
A．类平抛运动 B．竖直面内的圆周运动
C．倾斜面内的圆周运动 D．水平面内的圆周运动
高考考向3　电磁技术的应用
例3　(2020·北京市朝阳区六校高三下学期四月联考)单位时间内流过管道横截面的液体体积叫做体积流量(以下简称流量)。有一种利用电磁原理测量非磁性导电液体(如自来水、啤酒等)流量的装置，称为电磁流量计。它主要由将流量转换为电压信号的传感器和显示仪表两部分组成。传感器的结构如图所示，圆筒形测量管内壁绝缘，其上装有一对电极a和c，a、c间的距离等于测量管的直径D，测量管的轴线与a、c的连线方向以及通电线圈产生的磁场方向三者相互垂直。当导电液体以如图中所示的方向流过测量管时，测得管壁a、c上两点间的电压为U，并通过与电极连接的仪表显示出液体的流量Q。设磁场均匀恒定，磁感应强度为B，则(　　)
A．若导电液体带负电，则c点电势高
B．若导电液体不带电，则a、c间无电压
C．管中的导电液体流速为
D．管中的导电液体流量为
破题关键点
(1)液体中的载流子是什么？载流子运动稳定时受力有什么特点？
(2)根据定义，流量如何表示？
5.(2020·山东青岛市三模)(多选)化工厂废水排放对环境造成的污染危害很大，为测量排污流量Q，人们在排污管道上安装流量计，流量为单位时间内流过管道横截面的液体的体积，如图为流量计的示意图。左右两端开口的长方体绝缘管道的长、宽、高分别为a、b、c，所在空间有垂直于前后表面、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在上、下两个面的内侧固定有金属板M、N，污水充满管道从左向右匀速流动，污水流过管道时受到的阻力大小f＝kLv2，k是比例系数，L为管道长度，v为污水的流速，测得M、N间电势差为U。下列说法正确的是(　　)
A．电压U与污水中离子浓度有关
B．污水的流量Q＝
C．左、右两侧管口的压强差Δp＝
D．金属板M的电势高于金属板N的电势
6.(2020·北京高三三模)如图所示为一种获得高能粒子的装置原理图，环形管内存在垂直于纸面、磁感应强度大小可调的匀强磁场(环形管的宽度非常小)，质量为m、电荷量为q的带正电粒子可在环中做半径为R的圆周运动。A、B为两块中心开有小孔且小孔距离很近的平行极板，原来电势均为零，每当带电粒子经过A板刚进入A、B之间时，A板电势升高到＋U，B板电势仍保持为零，粒子在两板间的电场中得到加速，每当粒子离开B板时，A板电势又降为零，粒子在电场中一次一次地加速使得动能不断增大，而在环形区域内，通过调节磁感应强度大小可使粒子运行半径R不变。已知极板间距远小于R，则下列说法正确的是(　　)
A．环形区域内匀强磁场的磁场方向垂直于纸面向里
B．粒子从A板小孔处由静止开始在电场力作用下加速，绕行N圈后回到A板时获得的总动能为2NqU
C．粒子在绕行的整个过程中，A板电势变化的周期不变
D．粒子绕行第N圈时，环形区域内匀强磁场的磁感应强度为
易错警示 动量定理和动能定理在复合场中的应用
例　在高度为H的竖直区域内分布着互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向左；磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。在该区域上方的某点A，将质量为m、电荷量为＋q的小球，以某一初速度水平抛出，小球恰好在该区域做直线运动。已知重力加速度为g。
(1)求小球平抛的初速度v0的大小；
(2)若电场强度大小为E，求A点距该区域上边界的高度h；
(3)若令该小球所带电荷量为－q，以相同的初速度将其水平抛出，小球离开该区域时，速度方向竖直向下，求小球穿越该区域的时间。
专题作业
　　限时：90分钟　　　满分：100分
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，其中第1题为单选题，第2～8题为多选题)
1.(2020·安徽省皖南八校高三(下)临门一卷)如图所示为质谱仪的原理示意图，初速度为零的带电粒子经加速电场加速，经速度选择器沿直线运动刚好从P点垂直偏转磁场边界进入磁场，经磁场偏转打在荧光屏A1A2上，若加速电压减小为原来的0.9倍，通过调节速度选择器两板间的电压，粒子仍能从P点射入偏转磁场，则(　　)
A．速度选择器两板间电压减小为原来的0.9倍
B．粒子在偏转磁场中运动的时间减小为原来的0.9倍
C．粒子在偏转磁场中做圆周运动的半径减小为原来的0.9倍
D．粒子打在荧光屏上的动能减小为原来的0.9倍
2．(2020·江苏省南京市六校联合体高三(下)5月联考)如图所示为一种质谱仪的工作原理示意图，此质谱仪由以下几部分构成：离子源、加速电场、静电分析器、磁分析器、收集器。加速电场的加速电压为U，静电分析器通道中心线半径为R，通道内有均匀辐射电场，在中心线处的电场强度大小为E；磁分析器中分布着方向垂直于纸面，磁感应强度为B的匀强磁场，其左边界与静电分析器的右边界平行。由离子源发出一个质量为m、电荷量为q的正离子(初速度为零，重力不计)，经加速电场加速后进入静电分析器，沿中心线MN做匀速圆周运动，而后由P点进入磁分析器中，最终经过Q点进入收集器。下列说法正确的是(　　)
A．磁分析器中匀强磁场方向垂直于纸面向外
B．磁分析器中圆心O2到Q点的距离d＝
C．不同离子经相同的加速电压U加速后都可以沿通道中心线安全通过静电分析器
D．静电分析器通道中心线半径为R＝
3．(2020·贵州省安顺市高三下学期3月网上调研)自行车速度计利用霍尔效应传感器获知自行车的运动速率。如图甲所示，自行车前轮上安装一块磁铁，轮子每转一圈，这块磁铁就靠近传感器一次，传感器会输出一个脉冲电压。图乙为霍尔元件的工作原理图。当磁场靠近霍尔元件时，导体内定向运动的自由电荷在磁场力作用下偏转，最终使导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差，即为霍尔电势差。下列说法正确的是(　　)
A．根据单位时间内的脉冲数和自行车车轮的半径即可获知车速大小
B．图乙中霍尔元件的电流I一定是由正电荷定向运动形成的
C．自行车的车速越大，霍尔电势差越高
D．如果长时间不更换传感器的电源，霍尔电势差将减小
4.(2020·河北衡水中学高三月考)如图所示，空间某处存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，一个带负电的金属小球从M点水平射入场区，经一段时间运动到N点，关于小球由M到N的运动，下列说法正确的是(　　)
A．小球可能做匀变速运动
B．小球一定做变加速运动
C．小球动能可能不变
D．小球机械能守恒
5.(2020·江苏省南京市、盐城市高三下学期第二次模拟考试)如图所示，在范围足够大、磁感应强度为B的垂直纸面向里的水平匀强磁场内，固定着倾角θ＝30°的足够长绝缘斜面，一个质量为m、电荷量为＋q的带电小物块置于斜面的顶端且处于静止状态，现增加一水平向左、场强为E＝的匀强电场。设滑动时小物块的电荷量不变，从加入电场开始计时，小物块的摩擦力大小f与时间t、加速度大小a与时间t的关系图象可能正确的是(　　)
6．(2020·江苏省五校高三上学期联考)如图所示，两个半径相同的半圆形光滑轨道分别竖直放在匀强磁场和匀强电场中，轨道两端在同一高度上。两个相同的带正电小球(可视为质点)同时分别从轨道的左端最高点由静止释放，M、N分别为两轨道的最低点，则(　　)
A．两小球第一次到达轨道最低点的速度大小关系为vM>vN
B．两小球第一次到达轨道最低点时对轨道的压力大小关系为NM>NN
C．两小球第一次到达最低点的时间相同
D．两小球都能到达轨道的另一端
7．(2020·河南郑州市二模)如图所示为电磁抽水泵模型，泵体是一个长方体，ab边长为L1，左右两侧面是边长为L2的正方形，在泵体内加入导电剂后，水的电阻率为ρ，泵体所在处有方向垂直泵体前后面向前的匀强磁场B。工作时，泵体的上下两表面接电动势为E的电源(内阻不计)。若电磁泵到水面的高度为h，理想电流表示数为I，不计水在流动中管壁的阻力，重力加速度为g，在抽水泵正常工作过程中，下列说法正确的是(　　)
A．泵体上表面应接电源正极
B．电磁泵不加导电剂也能抽取纯水
C．电源提供的总功率为
D．若t时间内抽取水的质量为m，这部分水离开电磁泵时的动能为EIt－mgh－t
8.(2020·湖北省武汉市高三(下)六月理综)如图所示，在同时存在匀强电场和匀强磁场的空间中取正交坐标系Oxyz(x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上，z轴正方向垂直纸面向外)。匀强磁场方向与Oxy平面平行且与x轴的夹角为60°。一质量为m、电荷量为＋q(q>0)的带电质点沿平行于z轴正方向以速度v0做匀速直线运动，当电场强度取最小值E0时，磁感应强度的大小为B，重力加速度为g，在此情况下，下列判断正确的是(　　)
A．E0＝
B．B＝
C．若仅撤去磁场，带电质点做匀变速曲线运动
D．若仅撤去电场，带电质点做匀变速曲线运动
二、计算题(本题共5小题，共60分，须写出规范的解题步骤)
9.(2020·广西桂林市高三上学期第一次联合调研)(12分)如图所示，直线MN上方有平行于纸面且与MN成45°的有界匀强电场，电场强度大小未知；MN下方为方向垂直于纸面向里的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B。现从MN上的O点向磁场中射入一个速度大小为v、方向与MN成45°角的带正电粒子，该粒子在磁场中运动时的轨道半径为R。该粒子从O点出发记为第一次经过直线MN，第五次经过直线MN时恰好又通过O点。不计粒子的重力。
(1)画出粒子在磁场和电场中运动轨迹的草图，并求出粒子的比荷大小；
(2)求出电场强度E的大小和粒子第二次经过直线MN上O点时的速度大小；
(3)求该粒子从O点出发到再次回到O点所需的时间t。
10．(2020·东北三省三校高三下学期第三次联合模拟考试)(12分)如图所示，在平面直角坐标系第Ⅲ象限内充满沿y轴正方向的匀强电场，在第Ⅰ象限的某个圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场(电场、磁场均未画出)；一个比荷为＝k的带电粒子以大小为v0的初速度自点P(－2d，－d)沿x轴正方向运动，恰经原点O进入第Ⅰ象限，粒子穿过匀强磁场后，最终从x轴上的点Q(9d,0)沿y轴负方向进入第Ⅳ象限；已知该匀强磁场的磁感应强度为B＝，不计粒子重力。
(1)求第Ⅲ象限内匀强电场的场强E的大小；
(2)求粒子在匀强磁场中运动的半径R及时间tB；
(3)求圆形磁场区的最小半径rmin。
11．(2020·江苏省七市高三(下)6月第三次调研)(12分)如图甲所示，平行金属板MN水平放置，板长L＝ m，板间距离d＝0.20 m。在竖直平面内建立xOy直角坐标系，使x轴与金属板M、N的中线OO′重合，y轴紧靠两金属板右端。在y轴右侧空间存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小B＝5.0×10－3 T的匀强磁场，M、N板间加随时间t按正弦规律变化的电压uMN，如图乙所示，图中T0未知，两板间电场可看作匀强电场，板外电场可忽略。比荷＝1.0×107 C/kg、带正电的大量粒子以v0＝1.0×105 m/s的水平速度，从金属板左端沿中线OO′连续射入电场，进入磁场的带电粒子从y轴上的 P、Q(图中未画出，P为最高点、Q为最低点)间离开磁场。在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视作恒定不变，忽略粒子重力，求：
(1)进入磁场的带电粒子在电场中运动的时间t0及在磁场中做圆周运动的最小半径r0；
(2)P、Q两点的纵坐标yP、yQ；
(3)若粒子到达Q点的同时有粒子到达P点，满足此条件的电压变化周期T0的最大值。
12．(2020·湖北省武汉市武昌区高三(下)6月调研考试(一))(12分)在竖直平面内建立一平面直角坐标系xOy，x轴沿水平方向，如图甲所示，第一象限有一竖直向下的匀强电场，第二象限内有一水平向左的匀强电场，且第一象限电场强度大小为第二象限电场强度大小的一半。处在第三象限的某种发射装置(图中没有画出)竖直向上射出一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子(可视为质点)，该粒子以初速度v0从x轴负半轴上的A点沿y轴正方向进入第二象限，并从y轴正半轴上的C点沿x轴正方向进入第一象限，粒子经过C点时的动能为A点时动能的4倍。重力加速度为g。试求：
(1)O、C的距离L以及第二象限匀强电场的电场强度E的大小；
(2)若第一象限同时存在按如图乙所示规律变化的磁场，磁场方向垂直于纸面(以垂直纸面向外的磁场方向为正方向，图中B0、T0均为未知量)，并且在t＝时刻粒子由C点进入第一象限，且恰好能通过同一水平线上的D点，速度方向仍然水平，且CD＝OC。若粒子在第一象限中完成一个完整圆周运动的周期与磁场变化周期相同，求交变磁场变化的周期T0的大小；
(3)若第一象限仍同时存在按如图乙所示规律变化的磁场(以垂直纸面向外的磁场方向为正方向，图中B0、T0均为未知量)，调整磁场变化的周期，让粒子在t＝0时刻由C点进入第一象限，且恰能在磁场方向转换时通过x轴上F点，且OF＝OC，求交变磁场的磁感应强度B0的大小应满足的条件。
13．(12分)如图所示，真空中存在着多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，宽度均为d，电场强度为E，方向水平向左；垂直纸面向里的磁场磁感应强度为B1，垂直纸面向外的磁场磁感应强度为B2。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层磁场左侧边界以初速度v0射入，方向与边界夹角为θ，设粒子始终在电场、磁场中运动，除B1、B2、E以外其他的物理量已知，不计粒子的重力。(cos53°＝0.6，sin53°＝0.8)
(1)若θ＝53°且B1＝，要求粒子不穿出电场，则E至少多大？
(2)若B1、E均已知，求粒子从第n层磁场右侧边界穿出时速度的大小；
(3)若B1、E均已知，且粒子从第n层磁场右侧边界穿出时速度方向恰好与原方向平行，求B2的值。
第10讲　带电粒子在复合场中的运动
构建网络
命题特点：常以计算题的形式考查带电粒子在组合场、复合场中的运动规律，以及带电粒子在电磁场中的多过程运动问题；常以选择题的形式考查电磁技术的应用实例。
思想方法：分解法、临界法、对称法。
高考考向1　带电粒子在组合场中的运动
例1　(2020·浙江省东阳市高三(下)6月模拟)如图所示，在xOy直角坐标系0(1)0(2)匀强磁场的磁感应强度大小；
(3)若仅将匀强磁场的磁感应强度增大到原来的2倍，计算粒子将从什么位置离开电磁场区。
破题关键点
(1)粒子在电场中做什么运动？
提示：类平抛运动。
(2)如何确定粒子在磁场中的轨迹圆心及轨迹半径？
提示：根据轨迹半径垂直于射入磁场时的初速度及射出磁场的位置由几何关系确定。
[解析]　(1)设粒子经加速电场加速后的速度为v0
则有qU0＝mv
令磁场左边界与x轴的交点为C点，从M点到C点，粒子在电场中做类平抛运动：
L＝v0t
L＝at2
a＝
联立可得：E＝。
(2)粒子从M进入电场，经C进入磁场，在电场和磁场中的运动轨迹如图甲所示。
粒子在C点进入磁场时，
vy＝at
v＝＝v0
sinα＝＝
粒子在磁场中时洛伦兹力提供向心力：Bqv＝m
根据几何关系可得：rsinα＋rsinβ＝1.5L
根据题意可得α＋β＝90°
解得：B＝ 。
(3)当磁感应强度加倍时，粒子在磁场中的轨迹半径减半，r′＝，
因为r′sinα＋r′<1.5L，
故运动轨迹如图乙所示。
故粒子从磁场左边界F点回到电场时速度方向与水平方向夹角为α，则F、C两点的距离为
Δy＝2×cosα＝0.5L
把粒子从y轴进入电场和由磁场左边界返回电场左边界两段运动看做一个完整的类平抛运动，前后两段运动的时间相同，由磁场左边界返回偏转电场左边界的过程沿y轴方向的位移为：
y′＝a(2t)2－at2＝3L
所以粒子离开电磁场区的位置为：y轴负半轴上距原点O为3L－Δy＝2.5L处。
[答案]　(1)　(2)
(3)y轴负半轴上距原点O为2.5L处
带电粒子在组合场中运动问题的处理方法
(1)解决带电粒子在组合场中运动问题的一般思维模板
(2)用规律选择思路
①带电粒子经过电场区域时利用动能定理或类平抛的知识来处理；
②带电粒子经过磁场区域时利用圆周运动规律结合几何关系来处理。
(3)关注从一种场进入另一种场的衔接速度。
1．(2020·广东省佛山市高三二模)(多选)如图所示，在y>0的区域内存在两个匀强磁场。以坐标原点O为圆心，半径为R的半圆形区域内磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B2；其余区域的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B1。一比荷为k的带电粒子在加速电场的下极板处无初速释放，经加速后从坐标为(－2R,0)的a点进入磁场，又从坐标为(2R,0)的b点离开磁场，且粒子经过各磁场边界时的速度方向均与该边界线垂直。不计粒子的重力，且不用考虑粒子多次进入B2磁场的情况，则加速电场的电压大小可能为(　　)
A．2kBR2 B．
C. D．
答案　ACD
解析　设粒子在a点的速度为v0，由动能定理得Uq＝mv，当粒子速度较大时，粒子在磁场B1中直接从a点经半圆周到达b点，此时粒子运动的轨道半径为r1＝2R，qv0B1＝m，k＝，联立解得U＝2kBR2；若粒子在从a进入磁场到从b离开磁场过程经过磁场B2，则其运动的轨迹如图，设进入磁场B1的半径为r2，则由几何关系有2R＝r2＋，解得r2＝R，则θ＝37°，则粒子在B2中的运动半径为r3＝Rcot37°＝R，由qv0B1＝m，qv0B2＝m，联立解得U＝＝。则A、C、D正确，B错误。
2．(2020·河南省六市高三(下)第二次联合调研检测)(多选)如图所示，在直角坐标系xOy中，0＜x＜d区域内存在沿y轴负方向的匀强电场，x＞d区域内有垂直坐标平面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P(0，d)点以平行于x轴的初速度v0射入电场，经过一段时间粒子从M(d，)点离开电场进入磁场，经磁场偏转后，从N(d，－d)点返回电场，当粒子返回电场时，电场强度大小不变，方向反向。不计粒子重力，不考虑电场方向变化产生的影响。则以下分析正确的是(　　)
A．粒子最后射出电场时速度大小为2v0
B．粒子最后射出电场的位置坐标是(0,2d)
C．电场强度大小为E＝
D．磁场的磁感应强度大小为B＝
答案　CD
解析　粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图所示，粒子从P点运动到M点的过程中做类平抛运动，tanα＝＝2×＝2×＝1，解得α＝，设粒子在M点的速度大小为v1，根据速度的合成与分解得v1＝，解得v1＝v0，粒子从P点运动到M点的过程中，由动能定理有qE＝mv－mv，解得E＝；粒子在磁场中做匀速圆周运动，而后从N点离开磁场进入电场，由几何关系可知，在N点粒子水平方向的分速度大小vx＝v1·cosα，竖直方向分速度大小vy＝v1·sinα，粒子第二次进入电场，水平方向做匀速直线运动，有d＝v1cos45°·t2，解得t2＝；竖直方向，电场强度大小不变，方向相反，故做匀减速直线运动，有y＝v1sinα·t2－at，a＝，联立解得y＝d，粒子最后射出电场的位置坐标是(0，－d)，粒子射出电场时的速度v2＝＝v0(也可根据运动的对称性得出结果)，故A、B错误，C正确。粒子在磁场中运动的过程qv1B＝m，根据几何关系得r＝，联立解得B＝，故D正确。
高考考向2　带电粒子在复合场中的运动
例2　(2020·江苏省南京市六校联合体高三(下)5月联考)如图所示，位于竖直平面内的坐标系xOy，在其第三象限空间有沿水平方向的、垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，还有沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E＝2 N/C，第一象限空间有沿y轴负方向的、场强大小也为E的匀强电场，并在y>h＝1.6 m的区域有磁感应强度也为B垂直于纸面向外的匀强磁场。一个电荷量为q的油滴从图中第三象限的P点获得一初速度v0＝4 m/s，恰好能沿PO做匀速直线运动(PO与x轴负方向的夹角为θ＝45°)，并从原点O进入第一象限。已知重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)油滴所带电性以及磁场磁感应强度B；
(2)油滴第二次经过y轴的坐标；
(3)若第一象限内是磁感应强度仍为B，位置可变的矩形磁场，能让油滴在第一象限内回到x轴的磁场区域面积S应不小于多少？
破题关键点
(1)在第三象限油滴受几个力的作用？有何特征？
提示：油滴受重力、电场力、洛伦兹力三力作用，合力为零。
(2)油滴在第一象限y>h区间和y提示：油滴在y>h区间做匀速圆周运动，在y[解析]　(1)油滴从P点开始在第三象限空间做匀速直线运动，故其所受合力为零，根据三力平衡可以判断油滴带负电，可得mg＝qE，Bqv0＝qE，
解得B＝0.5 T。
(2)由mg＝qE可知，在第一象限yh区域粒子做匀速圆周运动，
且有Bqv0＝m，
解得r＝ m
由题意作油滴运动轨迹，如图甲所示，由几何关系可知，
油滴第二次经过y轴的纵坐标
y＝h＋rcosθ＋r＝ m，
所以油滴第二次经过y轴的坐标为。
(3)如图乙所示，若第一象限的矩形磁场离O点足够远，只要油滴在磁场中的偏转方向大于180°，油滴就能在第一象限回到x轴。
则矩形磁场的面积S>2r·r＝10.24 m2。
[答案]　(1)负电　0.5 T　(2)
(3)10.24 m2
带电粒子在复合场中运动问题的处理方法
(1)明种类：明确复合场的种类及特征。
(2)析特点：正确分析带电粒子的受力特点及运动特点。
(3)画轨迹：画出运动过程示意图，明确圆心、半径及边角关系。
(4)用规律：灵活选择不同的运动规律。
①两场共存，电场与磁场中满足qE＝qvB(或重力场与磁场中满足mg＝qvB)且两力方向相反时，粒子做匀速直线运动，根据受力平衡列方程求解。
②两场共存，电场力与重力都恒定时，粒子平衡时根据平衡条件求解，做匀变速直线运动时用牛顿运动定律、运动学规律或动能定理求解，做匀变速曲线运动时用运动的合成与分解或动能定理求解。
③三场共存，合力为零时，受力平衡，粒子做匀速直线运动或静止。其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直。
④三场共存，粒子做匀速圆周运动时，mg与qE相平衡，根据mg＝qE，由此可计算粒子比荷，判定粒子电性。粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，应用洛伦兹力公式和牛顿运动定律结合圆周运动规律求解，有qvB＝mrω2＝m＝mr＝ma。
⑤当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。
3.(2020·福建省泉州市高三第二次市质量检测)(多选)如图，一带负电的圆环套在倾斜固定的粗糙绝缘长直杆上，圆环的直径略大于杆的直径，杆处于方向垂直纸面向里的匀强磁场中。现给圆环一沿杆向上的初速度v0，在以后的运动过程中，下列关于圆环的速度v随时间t的变化关系图线，可能正确的是(　　)
答案　BC
解析　设直杆与水平面的夹角为θ，开始运动时，圆环所受安培力在竖直平面垂直于直杆斜向上，当qBv0>mgcosθ时，开始运动后，圆环受到的支持力FN先变小后反向变大，摩擦力Ff＝μFN先变小后变大，圆环减速运动的加速度大小a＝也先变小后变大，当速度减小为零时，若μ>tanθ，则圆环静止，若μ4.(2020·陕西省渭南市高三上学期教学质量检测(Ⅰ))如图所示，在一个同时存在着均匀磁场和均匀电场的空间，有一带电小球系于一细线的一端，另一端固定于O点，带电小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向成θ＝30°角，线中张力为零。设细线能承受足够大的拉力而不断，如突然撤去磁场，则小球将做(　　)
A．类平抛运动 B．竖直面内的圆周运动
C．倾斜面内的圆周运动 D．水平面内的圆周运动
答案　C
解析　由题意可知，电场力与重力等值反向，只由洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，若突然撤去磁场，小球仍受到重力、电场力，还受到细线的拉力，因电场力与重力等值反向，所以小球相当于只受线的拉力作用，从而绕悬挂点在撤去磁场时的速度方向和细线决定的平面内做匀速圆周运动，即小球将做倾斜面内的圆周运动，故C正确。
高考考向3　电磁技术的应用
例3　(2020·北京市朝阳区六校高三下学期四月联考)单位时间内流过管道横截面的液体体积叫做体积流量(以下简称流量)。有一种利用电磁原理测量非磁性导电液体(如自来水、啤酒等)流量的装置，称为电磁流量计。它主要由将流量转换为电压信号的传感器和显示仪表两部分组成。传感器的结构如图所示，圆筒形测量管内壁绝缘，其上装有一对电极a和c，a、c间的距离等于测量管的直径D，测量管的轴线与a、c的连线方向以及通电线圈产生的磁场方向三者相互垂直。当导电液体以如图中所示的方向流过测量管时，测得管壁a、c上两点间的电压为U，并通过与电极连接的仪表显示出液体的流量Q。设磁场均匀恒定，磁感应强度为B，则(　　)
A．若导电液体带负电，则c点电势高
B．若导电液体不带电，则a、c间无电压
C．管中的导电液体流速为
D．管中的导电液体流量为
破题关键点
(1)液体中的载流子是什么？载流子运动稳定时受力有什么特点？
提示：正离子和负离子。正、负离子受到的电场力、洛伦兹力等值反向。
(2)根据定义，流量如何表示？
提示：Q＝。
[解析]　根据安培定则可知通电线圈在测量管处产生的磁场方向竖直向下，根据左手定则可知负离子向c点运动，正离子向a点运动，故无论导电液体带负电还是呈电中性，a、c间都产生电压，a点相当于电源正极，c点相当于电源负极，故a点的电势高，故A、B错误；稳定时，导电液体中的离子受到的电场力等于洛伦兹力，有q＝qvB，解得v＝，故C错误；根据流量公式Q＝Sv＝v，其中v＝，解得管中的导电液体流量Q＝，故D正确。
[答案]　D
组合场、复合场中电磁技术的解题技巧
在电磁技术中，中学阶段常见的是带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中运动的几种模型。如：速度选择器、回旋加速器、质谱仪、磁流体发电机、霍尔元件、电磁流量计等。
其中速度选择器、磁流体发电机、霍尔元件和电磁流量计的共同特征是粒子在仪器中只受电场力和洛伦兹力作用，并且最终电场力和洛伦兹力平衡。所以我们应化繁为简研究实质。
5.(2020·山东青岛市三模)(多选)化工厂废水排放对环境造成的污染危害很大，为测量排污流量Q，人们在排污管道上安装流量计，流量为单位时间内流过管道横截面的液体的体积，如图为流量计的示意图。左右两端开口的长方体绝缘管道的长、宽、高分别为a、b、c，所在空间有垂直于前后表面、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在上、下两个面的内侧固定有金属板M、N，污水充满管道从左向右匀速流动，污水流过管道时受到的阻力大小f＝kLv2，k是比例系数，L为管道长度，v为污水的流速，测得M、N间电势差为U。下列说法正确的是(　　)
A．电压U与污水中离子浓度有关
B．污水的流量Q＝
C．左、右两侧管口的压强差Δp＝
D．金属板M的电势高于金属板N的电势
答案　BD
解析　污水中的离子受到洛伦兹力，正离子向上极板聚集，负离子向下极板聚集，所以金属板M的电势大于金属板N的电势，从而在管道内形成匀强电场，最终离子在电场力和洛伦兹力的作用下平衡，即qvB＝q，解得U＝cvB，可知M、N间的电势差U与污水中离子浓度无关，故D正确，A错误；污水的流量为Q＝Sv＝bc＝，故B正确；污水流过该装置受到的阻力为f＝kLv2＝ka，污水匀速通过该装置，则两侧的压力差等于阻力，SΔp＝bcΔp＝f，则Δp＝＝＝，故C错误。
6.(2020·北京高三三模)如图所示为一种获得高能粒子的装置原理图，环形管内存在垂直于纸面、磁感应强度大小可调的匀强磁场(环形管的宽度非常小)，质量为m、电荷量为q的带正电粒子可在环中做半径为R的圆周运动。A、B为两块中心开有小孔且小孔距离很近的平行极板，原来电势均为零，每当带电粒子经过A板刚进入A、B之间时，A板电势升高到＋U，B板电势仍保持为零，粒子在两板间的电场中得到加速，每当粒子离开B板时，A板电势又降为零，粒子在电场中一次一次地加速使得动能不断增大，而在环形区域内，通过调节磁感应强度大小可使粒子运行半径R不变。已知极板间距远小于R，则下列说法正确的是(　　)
A．环形区域内匀强磁场的磁场方向垂直于纸面向里
B．粒子从A板小孔处由静止开始在电场力作用下加速，绕行N圈后回到A板时获得的总动能为2NqU
C．粒子在绕行的整个过程中，A板电势变化的周期不变
D．粒子绕行第N圈时，环形区域内匀强磁场的磁感应强度为
答案　D
解析　正电荷在A、B间从A运动到B，故电荷顺时针转动，在磁场中洛伦兹力提供向心力，所以磁场方向垂直于纸面向外，故A错误；粒子从A板小孔处由静止开始，每绕行一圈在电场中加速一次，根据动能定理，绕行N圈后回到A板时获得的总动能Ek总＝NqU，故B错误；A板电势变化的周期与粒子在磁场中圆周运动的周期相同，由于粒子每经过极板A、B一次加速一次，根据T＝可知周期要递减，故C错误；粒子在电场中从静止开始加速，绕行第N圈时，由动能定理知NqU＝mv，解得vN＝ ，粒子在磁场中运动时，由牛顿第二定律有m＝qvNBN，解得BN＝＝ ，故D正确。
易错警示 动量定理和动能定理在复合场中的应用
例　在高度为H的竖直区域内分布着互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向左；磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。在该区域上方的某点A，将质量为m、电荷量为＋q的小球，以某一初速度水平抛出，小球恰好在该区域做直线运动。已知重力加速度为g。
(1)求小球平抛的初速度v0的大小；
(2)若电场强度大小为E，求A点距该区域上边界的高度h；
(3)若令该小球所带电荷量为－q，以相同的初速度将其水平抛出，小球离开该区域时，速度方向竖直向下，求小球穿越该区域的时间。
分析与解　(1)设小球进入复合场时，速度方向与水平方向成θ角，小球受力如图甲，有
qv1Bcosθ＝mg，v1＝，
解得v0＝。
(2)小球从A点抛出，进入复合场，由动能定理
mgh＝mv－mv
由受力分析知(mg)2＋(qE)2＝(qv1B)2
解得h＝。
(3)设某时刻带电量为－q的小球在电场和磁场中经某处时速度为v，将其正交分解为vx、vy如图乙，则小球受力如图丙，在从进入到离开电场和磁场区域过程中，
在水平方向上，由动量定理∑(qE－qvyB)·Δt＝0－mv0
即BqH－Eqt＝mv0，解得t＝－。
答案　(1)　(2)　(3)－
易错警示　在复合场中如果粒子做不规则曲线运动，通常可以从能量和动量的角度求解。①洛伦兹力不做功，不会改变动能的大小；②洛伦兹力在某一方向的分力的冲量与其垂直方向的位移有关，即洛伦兹力在y方向分力的冲量为∑qvxBΔt＝qBx，洛伦兹力在x方向分力的冲量为∑qvyBΔt＝qBy。
专题作业
　　限时：90分钟　　　满分：100分
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，其中第1题为单选题，第2～8题为多选题)
1.(2020·安徽省皖南八校高三(下)临门一卷)如图所示为质谱仪的原理示意图，初速度为零的带电粒子经加速电场加速，经速度选择器沿直线运动刚好从P点垂直偏转磁场边界进入磁场，经磁场偏转打在荧光屏A1A2上，若加速电压减小为原来的0.9倍，通过调节速度选择器两板间的电压，粒子仍能从P点射入偏转磁场，则(　　)
A．速度选择器两板间电压减小为原来的0.9倍
B．粒子在偏转磁场中运动的时间减小为原来的0.9倍
C．粒子在偏转磁场中做圆周运动的半径减小为原来的0.9倍
D．粒子打在荧光屏上的动能减小为原来的0.9倍
答案　D
解析　设初速度为零的粒子经加速电场加速后速度大小为v，由动能定理有，U1q＝mv2，在速度选择器中q＝qvB，则 ＝，若加速电压U1减小为原来的0.9倍，则速度选择器两板间电压U2减小为原来的 倍，A错误；粒子在偏转磁场中运动半个周期，而周期与粒子的速度无关，则若加速电压U1减小为原来的0.9倍，则粒子在偏转磁场中运动的时间不变，B错误；粒子在偏转磁场中做圆周运动的半径r＝＝，可知若加速电压U1减小为原来的0.9倍，粒子在偏转磁场中做圆周运动的半径减小为原来的倍，C错误；粒子在速度选择器和磁场中动能不发生变化，由Ek＝mv2＝U1q，可知若加速电压U1减小为原来的0.9倍，则粒子打在荧光屏上的动能减小为原来的0.9倍，D正确。
2．(2020·江苏省南京市六校联合体高三(下)5月联考)如图所示为一种质谱仪的工作原理示意图，此质谱仪由以下几部分构成：离子源、加速电场、静电分析器、磁分析器、收集器。加速电场的加速电压为U，静电分析器通道中心线半径为R，通道内有均匀辐射电场，在中心线处的电场强度大小为E；磁分析器中分布着方向垂直于纸面，磁感应强度为B的匀强磁场，其左边界与静电分析器的右边界平行。由离子源发出一个质量为m、电荷量为q的正离子(初速度为零，重力不计)，经加速电场加速后进入静电分析器，沿中心线MN做匀速圆周运动，而后由P点进入磁分析器中，最终经过Q点进入收集器。下列说法正确的是(　　)
A．磁分析器中匀强磁场方向垂直于纸面向外
B．磁分析器中圆心O2到Q点的距离d＝
C．不同离子经相同的加速电压U加速后都可以沿通道中心线安全通过静电分析器
D．静电分析器通道中心线半径为R＝
答案　ACD
解析　正离子在磁分析器中沿顺时针转动，所受洛伦兹力指向圆心，根据左手定则，磁分析器中匀强磁场方向垂直于纸面向外，故A正确；设离子在静电分析器中时速度为v，由牛顿第二定律有qE＝m，离子在磁分析器中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可得Bqv＝m，联立以上各式可得r＝ ，因此d＝r＝ ，故B错误；初速度为零的正离子经过加速电场，由动能定理有qU＝mv2－0，结合qE＝m，可得R＝，故D正确；由R＝可知，对于不同的离子，当U、E不变时，R不变，则所有离子都能沿通道中心线安全通过静电分析器，C正确。
3．(2020·贵州省安顺市高三下学期3月网上调研)自行车速度计利用霍尔效应传感器获知自行车的运动速率。如图甲所示，自行车前轮上安装一块磁铁，轮子每转一圈，这块磁铁就靠近传感器一次，传感器会输出一个脉冲电压。图乙为霍尔元件的工作原理图。当磁场靠近霍尔元件时，导体内定向运动的自由电荷在磁场力作用下偏转，最终使导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差，即为霍尔电势差。下列说法正确的是(　　)
A．根据单位时间内的脉冲数和自行车车轮的半径即可获知车速大小
B．图乙中霍尔元件的电流I一定是由正电荷定向运动形成的
C．自行车的车速越大，霍尔电势差越高
D．如果长时间不更换传感器的电源，霍尔电势差将减小
答案　AD
解析　根据单位时间内的脉冲数可知车轮转动的周期T，已知车轮半径，根据v车＝，可求解车轮边缘处的线速度大小，即车速大小，A正确；若题图乙中电流I由正电荷从右向左运动形成，则由左手定则可知正电荷将向前表面聚集，从而使前表面电势高于后表面，B错误；设霍尔元件前、后面间距为d，电荷在元件中运动稳定后：q＝qvB，根据电流的微观表达式：I＝nqSv，式中n为元件内单位体积的自由电荷数，q为单个自由电荷的电荷量，S为电流流过的横截面积，v为自由电荷定向移动的速率，解得霍尔电压：UH＝，与自行车速度无关，C错误；由UH＝知，如果长时间不更换传感器的电源，电源电动势减小，回路电流I减小，则霍尔电势差将减小，D正确。
4.(2020·河北衡水中学高三月考)如图所示，空间某处存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，一个带负电的金属小球从M点水平射入场区，经一段时间运动到N点，关于小球由M到N的运动，下列说法正确的是(　　)
A．小球可能做匀变速运动
B．小球一定做变加速运动
C．小球动能可能不变
D．小球机械能守恒
答案　BC
解析　小球从M到N，速度方向变化，则与速度方向垂直的洛伦兹力方向也变化，所以合力方向变化，故不可能做匀变速运动，一定做变加速运动，A错误，B正确；若电场力和重力等大反向，则电场力和重力做功之和为零，而洛伦兹力不做功，所以小球的动能可能不变，C正确；从M到N过程中有电场力做功，所以机械能不守恒，D错误。
5.(2020·江苏省南京市、盐城市高三下学期第二次模拟考试)如图所示，在范围足够大、磁感应强度为B的垂直纸面向里的水平匀强磁场内，固定着倾角θ＝30°的足够长绝缘斜面，一个质量为m、电荷量为＋q的带电小物块置于斜面的顶端且处于静止状态，现增加一水平向左、场强为E＝的匀强电场。设滑动时小物块的电荷量不变，从加入电场开始计时，小物块的摩擦力大小f与时间t、加速度大小a与时间t的关系图象可能正确的是(　　)
答案　BD
解析　如图所示，加电场后，物块受到水平向左的电场力，大小为F电＝mg，和竖直向下的重力合成可得合力为F＝2mg，方向沿斜面向下；此时斜面受到的压力为零，物块所受摩擦力为零；物块开始运动后，受到垂直斜面向下的洛伦兹力，随速度的增加，洛伦兹力变大，则物块对斜面的压力变大，摩擦力f＝μqvB逐渐变大。由2mg－μqvB＝ma，可知增加电场后，物块做加速度逐渐变小的变加速直线运动，且f和a变化越来越慢，直到2mg＝f时，加速度a＝0，物块做匀速直线运动。故B、D正确，A、C错误。
6．(2020·江苏省五校高三上学期联考)如图所示，两个半径相同的半圆形光滑轨道分别竖直放在匀强磁场和匀强电场中，轨道两端在同一高度上。两个相同的带正电小球(可视为质点)同时分别从轨道的左端最高点由静止释放，M、N分别为两轨道的最低点，则(　　)
A．两小球第一次到达轨道最低点的速度大小关系为vM>vN
B．两小球第一次到达轨道最低点时对轨道的压力大小关系为NM>NN
C．两小球第一次到达最低点的时间相同
D．两小球都能到达轨道的另一端
答案　AB
解析　设轨道半径为r，两小球从开始到第一次到达最低点，由动能定理有mgr＝mv，mgr－qEr＝mv，则vM>vN，A正确；两小球从开始到第一次到达最低点，与在磁场中运动时相比，电场力对小球的运动起阻碍作用，则小球在电场中第一次到达最低点所用时间较长，C错误；根据牛顿第三定律可知，在轨道最低点时的支持力大小NM′＝NM，NN′＝NN，小球在磁场中运动第一次到达最低点时，NM′－mg－BqvM＝m，解得：NM＝m＋mg＋BqvM，小球在电场中运动第一次到达最低点时，NN′－mg＝m，解得NN＝m＋mg，又因为vM>vN，可知NM>NN，B正确；由于磁场力对小球不做功，整个过程中小球的机械能守恒，所以在磁场中的小球可以到达轨道的另一端，而小球向右运动时电场力对小球做负功，所以小球在到达轨道另一端之前速度就减为零了，故在电场中的小球不能到达最右端，D错误。
7．(2020·河南郑州市二模)如图所示为电磁抽水泵模型，泵体是一个长方体，ab边长为L1，左右两侧面是边长为L2的正方形，在泵体内加入导电剂后，水的电阻率为ρ，泵体所在处有方向垂直泵体前后面向前的匀强磁场B。工作时，泵体的上下两表面接电动势为E的电源(内阻不计)。若电磁泵到水面的高度为h，理想电流表示数为I，不计水在流动中管壁的阻力，重力加速度为g，在抽水泵正常工作过程中，下列说法正确的是(　　)
A．泵体上表面应接电源正极
B．电磁泵不加导电剂也能抽取纯水
C．电源提供的总功率为
D．若t时间内抽取水的质量为m，这部分水离开电磁泵时的动能为EIt－mgh－t
答案　AD
解析　当泵体上表面接电源的正极时，电流从上向下流过泵体，这时水受到的磁场力水平向左，泵中的水将向左流动，故A正确；液体导电时，电磁泵才能工作，故电磁泵不能抽取不导电的纯水，故B错误；根据电阻定律，泵体内水的电阻R＝ρ＝ρ×＝，水消耗的热功率为P＝，而电源提供的电功率为EI，故C错误；若t时间内抽取水的质量为m，根据能量守恒定律，则这部分水离开泵时的动能为Ek＝EIt－mgh－t，故D正确。
8.(2020·湖北省武汉市高三(下)六月理综)如图所示，在同时存在匀强电场和匀强磁场的空间中取正交坐标系Oxyz(x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上，z轴正方向垂直纸面向外)。匀强磁场方向与Oxy平面平行且与x轴的夹角为60°。一质量为m、电荷量为＋q(q>0)的带电质点沿平行于z轴正方向以速度v0做匀速直线运动，当电场强度取最小值E0时，磁感应强度的大小为B，重力加速度为g，在此情况下，下列判断正确的是(　　)
A．E0＝
B．B＝
C．若仅撤去磁场，带电质点做匀变速曲线运动
D．若仅撤去电场，带电质点做匀变速曲线运动
答案　BC
解析　质点做匀速直线运动时，其受力如图1所示，带电质点受到重力mg(大小及方向均已知)、洛伦兹力qv0B(方向已知)、电场力qE0(大小及方向均未知)的作用做匀速直线运动，根据力的合成知识分析可知当电场力方向与磁场方向相同时，场强有最小值E0，根据物体的平衡条件有qE0＝mgsin60°，qv0B＝mgcos60°，解得E0＝，B＝，故A错误，B正确；撤去磁场后，带电质点受到重力mg和电场力qE0作用，其合力沿PM方向并与v0方向垂直，合力的大小等于qv0B，故带电质点在与Oxz平面成30°角的平面内做类平抛运动，如图2所示，故C正确；若仅撤去电场，质点所受合外力与速度方向不在一条直线，故在运动过程中洛伦兹力为变力，根据平行四边形定则可知合外力是变力，所以加速度改变，带电质点不可能做匀变速曲线运动，故D错误。
二、计算题(本题共5小题，共60分，须写出规范的解题步骤)
9.(2020·广西桂林市高三上学期第一次联合调研)(12分)如图所示，直线MN上方有平行于纸面且与MN成45°的有界匀强电场，电场强度大小未知；MN下方为方向垂直于纸面向里的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B。现从MN上的O点向磁场中射入一个速度大小为v、方向与MN成45°角的带正电粒子，该粒子在磁场中运动时的轨道半径为R。该粒子从O点出发记为第一次经过直线MN，第五次经过直线MN时恰好又通过O点。不计粒子的重力。
(1)画出粒子在磁场和电场中运动轨迹的草图，并求出粒子的比荷大小；
(2)求出电场强度E的大小和粒子第二次经过直线MN上O点时的速度大小；
(3)求该粒子从O点出发到再次回到O点所需的时间t。
答案　(1)图见解析　　(2)vB　v
(3)(2＋π)
解析　(1)粒子的运动轨迹如图所示，
由牛顿第二定律qvB＝m，得＝。
(2)由几何关系得Oc＝2R，粒子从c到O做类平抛运动，且在垂直、平行电场方向上的位移相等，s⊥＝s∥＝Ocsin45°＝2R
类平抛运动的时间为t3＝＝
s∥＝at＝t
又R＝
联立解得E＝vB
粒子在电场中的加速度大小为a＝＝，
回到O点时，沿电场线方向的分速度
v2＝at3＝＝2v，
垂直于电场线方向的分速度v1＝v，
粒子第二次经过O点的速度大小v′＝＝v
(3)粒子在磁场中运动的总时间为t1＝
粒子做直线运动所需时间为t2＝＝＝
联立得粒子从出发到再次回到O点所需时间
t＝t1＋t2＋t3＝(2＋π)。
10．(2020·东北三省三校高三下学期第三次联合模拟考试)(12分)如图所示，在平面直角坐标系第Ⅲ象限内充满沿y轴正方向的匀强电场，在第Ⅰ象限的某个圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场(电场、磁场均未画出)；一个比荷为＝k的带电粒子以大小为v0的初速度自点P(－2d，－d)沿x轴正方向运动，恰经原点O进入第Ⅰ象限，粒子穿过匀强磁场后，最终从x轴上的点Q(9d,0)沿y轴负方向进入第Ⅳ象限；已知该匀强磁场的磁感应强度为B＝，不计粒子重力。
(1)求第Ⅲ象限内匀强电场的场强E的大小；
(2)求粒子在匀强磁场中运动的半径R及时间tB；
(3)求圆形磁场区的最小半径rmin。
答案　(1)　(2)　　(3)d
解析　(1)粒子在第Ⅲ象限做类平抛运动：
2d＝v0tE
a＝
d＝at
解得：场强E＝＝。
(2)设粒子到达O点瞬间，速度大小为v1，与x轴夹角为α：
vy＝atE＝
v1＝＝v0
tanα＝＝，α＝
粒子在磁场中，洛伦兹力提供向心力：qv1B＝m
解得粒子在匀强磁场中运动的半径R＝＝
粒子在磁场中的偏转角：θ＝＋α＝π
在磁场中的运动时间tB＝＝。
(3)如图，粒子进入磁场和离开磁场的位置恰位于磁场区的某条直径两端时，圆形磁场最小，2Rcosα＝2rmin
解得rmin＝Rcosα＝d。
11．(2020·江苏省七市高三(下)6月第三次调研)(12分)如图甲所示，平行金属板MN水平放置，板长L＝ m，板间距离d＝0.20 m。在竖直平面内建立xOy直角坐标系，使x轴与金属板M、N的中线OO′重合，y轴紧靠两金属板右端。在y轴右侧空间存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小B＝5.0×10－3 T的匀强磁场，M、N板间加随时间t按正弦规律变化的电压uMN，如图乙所示，图中T0未知，两板间电场可看作匀强电场，板外电场可忽略。比荷＝1.0×107 C/kg、带正电的大量粒子以v0＝1.0×105 m/s的水平速度，从金属板左端沿中线OO′连续射入电场，进入磁场的带电粒子从y轴上的 P、Q(图中未画出，P为最高点、Q为最低点)间离开磁场。在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视作恒定不变，忽略粒子重力，求：
(1)进入磁场的带电粒子在电场中运动的时间t0及在磁场中做圆周运动的最小半径r0；
(2)P、Q两点的纵坐标yP、yQ；
(3)若粒子到达Q点的同时有粒子到达P点，满足此条件的电压变化周期T0的最大值。
答案　(1)3.46×10－6 s　2.0 m　(2)4.1 m　3.9 m
(3)2.51×10－4 s
解析　(1)能从极板右侧离开电场的带电粒子在电场中运动的时间t0＝
代入数据得t0＝3.46×10－6 s
t＝nT0(n＝0,1,2，…)时刻射入电场的带电粒子在电场中不发生偏转，进入磁场做圆周运动的半径最小。粒子在磁场中运动时有qv0B＝
代入数据解得r0＝2.0 m。
(2)设两板间电压为U1时，带电粒子刚好从极板边缘射出电场，则有q＝ma，d＝at
代入数据解得U1＝ V，在电压小于等于 V时，带电粒子才能从两板间射出电场，电压大于 V时，带电粒子打在极板上，不能从两板间射出。带电粒子刚好从极板边缘射出电场时，速度最大。
设粒子恰好射出电场时速度大小为v，方向与x轴的夹角为θ，在磁场中做圆周运动的半径为r，
则tanθ＝，vcosθ＝v0，qvB＝
弦长D＝2rcosθ
代入数据解得θ＝30°
则有D＝＝4.0 m
如图所示，从极板M边缘射出的带电粒子，在磁场中转过120°，经过P点，
则yP＝＋D＝4.1 m
从极板N边缘射出的带电粒子，在磁场中转过240°，经过Q点，
则yQ＝D－＝3.9 m。
(3)带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝，粒子到达Q点的同时有粒子到达P点，则这两个粒子开始运动的时间差为，到达Q点的粒子进入磁场的时刻可能是，，，，…到达P点的粒子进入磁场的时刻可能是，，，，…
当电压变化周期T0有最大值Tm时应满足关系－＝
解得Tm＝×10－4 s＝2.51×10－4 s。
12．(2020·湖北省武汉市武昌区高三(下)6月调研考试(一))(12分)在竖直平面内建立一平面直角坐标系xOy，x轴沿水平方向，如图甲所示，第一象限有一竖直向下的匀强电场，第二象限内有一水平向左的匀强电场，且第一象限电场强度大小为第二象限电场强度大小的一半。处在第三象限的某种发射装置(图中没有画出)竖直向上射出一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子(可视为质点)，该粒子以初速度v0从x轴负半轴上的A点沿y轴正方向进入第二象限，并从y轴正半轴上的C点沿x轴正方向进入第一象限，粒子经过C点时的动能为A点时动能的4倍。重力加速度为g。试求：
(1)O、C的距离L以及第二象限匀强电场的电场强度E的大小；
(2)若第一象限同时存在按如图乙所示规律变化的磁场，磁场方向垂直于纸面(以垂直纸面向外的磁场方向为正方向，图中B0、T0均为未知量)，并且在t＝时刻粒子由C点进入第一象限，且恰好能通过同一水平线上的D点，速度方向仍然水平，且CD＝OC。若粒子在第一象限中完成一个完整圆周运动的周期与磁场变化周期相同，求交变磁场变化的周期T0的大小；
(3)若第一象限仍同时存在按如图乙所示规律变化的磁场(以垂直纸面向外的磁场方向为正方向，图中B0、T0均为未知量)，调整磁场变化的周期，让粒子在t＝0时刻由C点进入第一象限，且恰能在磁场方向转换时通过x轴上F点，且OF＝OC，求交变磁场的磁感应强度B0的大小应满足的条件。
答案　(1)　　(2)(n＝1,2,3，…)
(3)B0＝(n＝1,2,3，…)
解析　(1)设粒子从A点运动至C点所用时间为t，在C点时速度大小为vC，根据题意可得vC＝2v0
在竖直方向上粒子做匀减速直线运动，取竖直向上为正方向，则
0－v＝－2gL
－mgt＝0－mv0
取水平向右为正方向，则qEt＝m·2v0－0
解得L＝，E＝。
(2)由第(1)问及题干可知＝mg，因此带电粒子在第一象限做速度为2v0的匀速圆周运动。
设带电粒子在第一象限做圆周运动的半径为R，周期为T0′，使粒子从C点运动到同一水平线上的D点，如图1所示，则
q·2v0B0＝m
由位移关系可得n(4R)＝L(n＝1,2,3，…)
粒子在磁场中匀速圆周运动的周期T0′＝
则磁场变化的周期T0＝T0′＝(n＝1,2,3，…)
(3)使粒子从C点运动到F点的一种情况如图2所示，根据题意可知∠CO′F＝60°，则每经过磁场的半个周期粒子必然位于直线CF上，其转过的圆心角为60°，设粒子运动轨道半径为R′，
则nR′＝2L(n＝1,2,3，…)，
又R′＝
故交变磁场磁感应强度大小应满足的关系为B0＝(n＝1,2,3，…)。
13．(12分)如图所示，真空中存在着多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，宽度均为d，电场强度为E，方向水平向左；垂直纸面向里的磁场磁感应强度为B1，垂直纸面向外的磁场磁感应强度为B2。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层磁场左侧边界以初速度v0射入，方向与边界夹角为θ，设粒子始终在电场、磁场中运动，除B1、B2、E以外其他的物理量已知，不计粒子的重力。(cos53°＝0.6，sin53°＝0.8)
(1)若θ＝53°且B1＝，要求粒子不穿出电场，则E至少多大？
(2)若B1、E均已知，求粒子从第n层磁场右侧边界穿出时速度的大小；
(3)若B1、E均已知，且粒子从第n层磁场右侧边界穿出时速度方向恰好与原方向平行，求B2的值。
答案　(1)　(2)
(3)B1＋
解析　(1)当θ＝53°且B1＝时，设粒子在磁场B1中做圆周运动的半径为R1，
根据洛伦兹力提供向心力可得：qv0B1＝m
设粒子进入电场时与界面夹角为β，
在磁场B1中，由几何关系：R1cosβ－R1cosθ＝d
解得：β＝37°
粒子在电场中沿场强方向做匀减速运动，当E最小时，有：(v0sinβ)2－0＝2d
所以Emin＝。
(2)对粒子，设从第n层磁场右侧边界穿出时速度的大小为vn，
根据动能定理可得：－nEqd＝mv－mv
解得：vn＝ 。
(3)对粒子，全过程中，在垂直于电场方向上只有洛伦兹力有冲量，设向上为正方向，由动量定理可得：
n(B1qd－B2qd)＝mvncosθ－mv0cosθ
解得B2＝B1＋。