2021届高考物理大二轮复习讲义：专题四第12讲电磁感应
文档属性
| 名称 | 2021届高考物理大二轮复习讲义：专题四第12讲电磁感应 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2021-03-17 12:12:45 | ||
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文档简介
第12讲 电磁感应
构建网络
命题特点：电磁感应是电磁学中的重要内容之一，也是高考命题的高频考点，多为选择与计算，主要考查楞次定律、法拉第电磁感应定律，其中电磁感应与电路、力和运动、能量、动量的综合问题是高考难点问题。
思想方法：图象法、守恒法、模型法、等效法。
高考考向1 楞次定律和法拉第电磁感应定律的应用
例1 (2020·江苏省三模)如图所示，金属圆环轨道MN、PQ竖直放置，两环之间ABDC内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B0，AB水平且与圆心等高，CD竖直且延长线过圆心。电阻为r、长为2l的轻质金属杆，一端套在内环MN上，另一端连接带孔金属球，球套在外环PQ上，且都与轨道接触良好。内圆半径r1＝l，外圆半径r2＝3l，PM间接有阻值为R的电阻。让金属杆从AB处无初速释放，金属杆第一次即将离开磁场时，金属球的速度为v，其他电阻不计，忽略一切摩擦，重力加速度为g。求：
(1)金属球向下运动过程中，通过电阻R的电流方向；
(2)金属杆从AB滑动到CD的过程中，通过R的电荷量q；
(3)金属杆第一次即将离开磁场时，R两端的电压U。
1．(2018·全国卷Ⅲ)(多选)如图a，在同一平面内固定有一长直导线PQ和一导线框R，R在PQ的右侧。导线PQ中通有正弦交流电流i，i的变化如图b所示，规定从Q到P为电流的正方向。导线框R中的感应电动势( )
A．在t＝时为零
B．在t＝时改变方向
C．在t＝时最大，且沿顺时针方向
D．在t＝T时最大，且沿顺时针方向
2．(2020·福建省漳州市高三(下)高考模拟(一))(多选)如图甲，线圈所围的面积为0.2 m2，线圈电阻为1 Ω，若图甲中感应电流I的方向为正方向，垂直线圈平面向上磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙，则( )
A．在t＝4 s时，I的方向为负方向
B．前2 s内，通过线圈某截面的总电荷量为0.02 C
C．在3～5 s内，线圈产生的焦耳热为1×10－4 J
D．在时间0～5 s内，I的最大值为0.02 A
高考考向2 电磁感应的图象问题
例2 (2020·贵州省贵阳市高三下学期3月份调研考试)(多选)一正三角形导线框ABC(高度为a)从图示位置沿x轴正向匀速穿过两匀强磁场区域。两磁场区域磁感应强度大小均为B、方向相反、垂直于xOy平面、宽度均为a。下列反映感应电流I(以逆时针方向为电流的正方向)、AB边所受安培力(以向右为正方向)与线框移动距离x的关系图象正确的是( )
3．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在同一平面内有两根平行长导轨，导轨间存在依次相邻的矩形匀强磁场区域，区域宽度均为l，磁感应强度大小相等、方向交替向上向下。一边长为l的正方形金属线框在导轨上向左匀速运动，线框中感应电流i随时间t变化的正确图线可能是( )
4.(2020·云南省大理、丽江、怒江高三毕业生第二次复习统一检测)如图所示，在水平光滑的平行金属导轨左端接一定值电阻R，导体棒ab垂直导轨放置，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中。现给导体棒一向右的初速度v0，不考虑导体棒和导轨电阻，下列图象中，导体棒速度v随时间的变化和通过电阻R的电荷量q随导体棒位移的变化描述正确的是( )
高考考向3 电磁感应中的动力学稳态问题
例3 (2019·全国卷Ⅲ)(多选)如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上。t＝0时，棒ab以初速度v0向右滑动。运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示。下列图象中可能正确的是( )
5. (2020·河南省三市高三(下)第二次质量检测)(多选)如图所示，两块完全相同的金属板平行正对、且竖直固定放置。一粗细均匀、电阻不计的金属杆水平放置在两块金属板之间，且金属杆和两金属板始终良好接触。整个空间存在一个水平向里的匀强磁场，磁场方向垂直于金属杆，且和金属板平行。不计金属杆和金属板之间的摩擦，设两金属板上下足够长。在t＝0时刻，金属杆由静止开始释放，金属杆在两金属板之间竖直向下的运动过程中，关于其a?t、x?t、v?t和v2?x图象，下列正确的是( )
6．(2020·湖北省武汉市武昌区高三(下)6月调研考试(一))(多选)如图所示，CDE和MNP为两根足够长且弯折的平行金属导轨，CD、MN部分与水平面平行，DE和NP与水平面成30°角，间距L＝1 m，CDNM面上有垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小B1＝1 T，DEPN面上有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小B2＝2 T。两根完全相同的导体棒a、b，质量均为m＝0.1 kg，导体棒b与导轨CD、MN间的动摩擦因数均为μ＝0.2，导体棒a与导轨DE、NP之间无摩擦。导体棒a、b的电阻均为R＝1 Ω。开始时，b棒静止在导轨上，现在由静止释放a棒，运动过程中a、b棒始终不脱离导轨，除导体棒外其余电阻不计，滑动摩擦力和最大静摩擦力大小相等，g取10 m/s2，则( )
A．b棒开始向右滑动时，a棒的速度v0＝0.2 m/s
B．若经过1 s，b棒开始滑动，则此过程中，a棒发生的位移为0.24 m
C．若使CDNM面上的磁场竖直向上，大小不变，b棒始终在水平导轨上，经过足够长的时间，a棒做匀速运动
D．若使CDNM面上的磁场竖直向上，大小不变，b棒始终在水平导轨上，经过足够长的时间，b棒做匀加速运动
高考考向4 电磁感应中的能量和动量问题
例4 (2020·河北省石家庄市高三(下)质量检测(二模))(多选)如图，MN和PQ是固定在水平面上电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，水平部分粗糙，右端接一个阻值为R的定值电阻。水平部分导轨区域存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、电阻也为R的金属棒从高为h处由静止释放，在水平导轨上运动距离d时恰好停止。已知金属棒与导轨水平部分间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨间接触良好，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．金属棒克服安培力做的功等于金属棒产生的焦耳热
B．金属棒克服安培力做的功与克服摩擦力做的功之和为mgh
C．金属棒产生的焦耳热为mg(h－μd)
D．金属棒在磁场中运动的时间为－
7.(2018·江苏高考)(多选)如图所示，竖直放置的 形光滑导轨宽为L，矩形匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的高和间距均为d，磁感应强度为B。质量为m的水平金属杆由静止释放，进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等。金属杆在导轨间的电阻为R，与导轨接触良好，其余电阻不计，重力加速度为g。金属杆( )
A．刚进入磁场Ⅰ时加速度方向竖直向下
B．穿过磁场Ⅰ的时间大于在两磁场之间的运动时间
C．穿过两磁场产生的总热量为4mgd
D．释放时距磁场Ⅰ上边界的高度h可能小于
8．(2020·安徽省蚌埠市高三(下)第四次教学质量检查)如图所示，质量为m的“”形金属导轨abcd静止放在光滑水平面(足够大)上，导轨的宽为L，长为2L，cd部分的电阻为R，bc和ad部分电阻不计，P、P′分别为bc和ad的中点，整个导轨处于竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场(未画出，范围足够大)中。一质量为m、长为L、电阻为R的金属棒以速度v从ab端滑上导轨，并最终在PP′处与导轨相对静止。已知金属棒和导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，整个过程金属棒和导轨接触良好。求：
(1)刚滑上导轨时金属棒消耗的电功率；
(2)整个过程金属棒产生的焦耳热；
(3)金属棒从滑上导轨到刚与导轨相对静止所经历的时间。
易错警示 电磁感应中的杆＋导轨模型
例 如图甲所示，光滑金属导轨在同一水平面内，间距为L，导轨有一小段左右断开，为使导轨上的金属棒能匀速通过断开处，在此处铺放了与导轨相平的光滑绝缘材料(图甲中的虚线框处)。质量为m、电阻为R1的均匀金属棒ab垂直于导轨放置在靠近断开处的左侧，另一质量也为m、电阻为R2的均匀金属棒cd垂直于导轨放置在导轨中部某处。导轨MN和PQ足够长，所有导轨的电阻都不计。电源电动势为E、内阻不计。整个装置所在空间有竖直方向的、磁感应强度为B的匀强磁场。闭合开关S，金属棒ab迅即获得水平向右的速度v0并保持该速度到达断开处右侧的导轨上。求：
(1)空间匀强磁场的方向；
(2)通过电源E某截面的电荷量；
(3)棒ab和棒cd最终速度各多大？
(4)若仅将金属棒cd所在处及其右边的导轨间距改为3L，其他条件不变，如图乙所示，导轨MN和M′N′、PQ和P′Q′用导体连通，它们都足够长，从金属棒ab滑上导轨MN和PQ起至开始匀速运动止，这一过程中棒ab和棒cd组成的系统损失的机械能。
专题作业
限时：60分钟 满分：100分
一、选择题(本题共8小题，每小题8分，共64分，其中第1～4题为单选题，第5～8题为多选题)
1．(2020·河北省石家庄市高三(下)一模)如图甲所示为闭合导体线框abcd放在水平桌面的俯视图，桌面内存在竖直方向的匀强磁场，磁感应强度B随时间变化的规律如图乙所示，规定磁场方向竖直向下为正方向，则下列说法正确的是( )
A.时刻bc边所受安培力最大
B.～时间内电流方向为d→c→b→a→d
C.～时间内线框有收缩趋势
D.时刻bc边所受安培力方向向左
2．(2020·浙江高考)如图所示，固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴OO′上，随轴以角速度ω匀速转动。在圆环的A点和电刷间接有阻值为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态。已知重力加速度为g，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是( )
A．金属棒产生的电动势为Bl2ω
B．微粒的电荷量与质量之比为
C．电阻消耗的电功率为
D．电容器所带的电荷量为CBr2ω
3.(2020·江苏省苏锡常镇四市高三(下)二模)为测量线圈L的直流电阻R0，某研究小组设计了如图所示电路。已知线圈的自感系数较大，两电表可视为理想电表，其示数分别记为U、I，实验开始前，S1处于断开状态，S2处于闭合状态。关于实验过程，下列说法不正确的是( )
A．闭合S1，电流表示数逐渐增大至稳定值
B．闭合S1，电压表示数逐渐减小至稳定值
C．待两电表示数稳定后，方可读取U、I的值
D．实验结束后，应先断开S1
4.(2020·辽宁大连二十四中高三模拟)如图所示，在虚线左侧的足够大区域存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，有一个直角三角形金属线框，线框左边与磁场边界平行，线框的电阻为R，线框以垂直虚线方向的速度v0做匀速直线运动，从线框的左边进入磁场时开始计时，E表示线框产生的感应电动势大小，F表示线框受到的安培力大小，P表示线框的电功率的大小，I表示线框中的感应电流，则下列图象中正确的是( )
5．(2020·湖南省永州市高三(下)第三次模拟考试)如图甲所示，在光滑水平面上用恒力F拉一质量为m、边长为a、电阻为R的单匝均匀正方形铜线框，在1位置以速度v0进入磁感应强度为B的匀强磁场并开始计时。若磁场的宽度为b(b>3a)，在3t0时刻线框到达2位置速度又为v0，并开始离开匀强磁场。此过程中v?t图象如图乙所示，则( )
A．t0时刻线框的速度为v0－
B．t＝0时刻，线框右侧边MN两端电压为Bav0
C．0～t0时间内，通过线框某一横截面的电荷量为
D．线框从1位置运动到2位置的过程中，线框中产生的焦耳热为Fb
6．(2020·河北省张家口市高三(下)5月模拟)如图所示，水平光滑轨道处于竖直向上的匀强磁场中，金属杆ab、cd平行静置在导轨上。现用跨过定滑轮的轻绳将cd与光滑斜面上的重物连接，重物拉动cd在水平轨道上运动。重物下滑过程中，金属杆ab、cd始终在水平轨道上运动且与轨道垂直并接触良好。此过程中( )
A．ab杆一直做加速运动
B．最终ab杆的加速度等于cd杆的加速度
C．cd杆中的感应电流一直增大
D．cd杆先做加速运动后做匀速运动
7.(2020·河北桃城衡水中学高三模拟)如图所示，电阻不计、间距为L的光滑平行金属导轨水平放置于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导轨左端接一定值电阻R。质量为m、电阻为r的金属棒MN置于导轨上，受到垂直于金属棒的水平外力F的作用由静止开始运动，外力F与金属棒速度v的关系是F＝F0＋kv(F0、k是常量)，金属棒与导轨始终垂直且接触良好。金属棒中感应电流为i，受到的安培力大小为FA，电阻R两端的电压为UR，感应电流的功率为P，它们随时间t变化图象可能正确的有( )
8．(2020·云南省红河州高三(下)第三次检测)如图甲所示，绝缘水平面上有一间距L＝1 m的金属导轨，导轨右侧接一阻值为R＝3 Ω的电阻。在导轨间虚线范围内存在垂直导轨平面的匀强磁场，磁场的宽度d＝1 m，磁感应强度大小B＝0.5 T。现有一质量为m＝0.1 kg、电阻r＝2 Ω、长为L＝1 m的导体棒ab，以一定的初速度v0从导轨的左端开始向右运动，穿过磁场区域的过程中，回路中感应电流i随时间t变化的图象如图乙所示。已知导体棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.3，导轨电阻不计，则导体棒ab穿过磁场区域的过程中( )
A．导体棒ab做匀减速直线运动
B．导体棒ab刚进入磁场时的速度为5 m/s
C．导体棒ab通过磁场的时间为0.5 s
D．整个回路中产生的焦耳热为0.3 J
二、计算题(本题共2小题，共36分，须写出规范的解题步骤)
9．(2020·江西省九江市十校高三(下)模拟)(18分)如图甲所示，匝数为n、总电阻为r、横截面积为S的竖直螺线管与两足够长的固定平行光滑导轨相连，导轨间距为L，倾角为θ。导轨间有磁感应强度大小为B0、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场。长为L、电阻为4r的导体棒ab放在导轨上，始终与导轨垂直且接触良好。螺线管内有竖直方向、分布均匀的变化磁场(图中未画出)，磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示。闭合开关S，ab恰好处于静止状态。重力加速度大小为g，定值电阻R的阻值为4r，导轨电阻和空气阻力均不计，忽略螺线管磁场对ab的影响。
(1)求0～3t0时间内通过螺线管的电荷量q；
(2)求导体棒ab的质量m；
(3)若将开关S断开，将ab由静止释放，求ab沿导轨上滑的最大速度vm。
10．(2020·湖北省武汉市高三(下)六月理综)(18分)如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距为L。导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B。在区域Ⅰ中，将质量为m、电阻为R的导体棒ab放在导轨上，且被两立柱挡住，在区域Ⅱ中将质量为2m、电阻为R的导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑，经时间t，ab刚好离开立柱。ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，重力加速度为g。试求：
(1)t时刻cd棒的速度大小vt；
(2)在时间t内cd棒产生的电能Ecd；
(3)ab棒中电流的最大值Im。
第12讲 电磁感应
构建网络
命题特点：电磁感应是电磁学中的重要内容之一，也是高考命题的高频考点，多为选择与计算，主要考查楞次定律、法拉第电磁感应定律，其中电磁感应与电路、力和运动、能量、动量的综合问题是高考难点问题。
思想方法：图象法、守恒法、模型法、等效法。
高考考向1 楞次定律和法拉第电磁感应定律的应用
例1 (2020·江苏省三模)如图所示，金属圆环轨道MN、PQ竖直放置，两环之间ABDC内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B0，AB水平且与圆心等高，CD竖直且延长线过圆心。电阻为r、长为2l的轻质金属杆，一端套在内环MN上，另一端连接带孔金属球，球套在外环PQ上，且都与轨道接触良好。内圆半径r1＝l，外圆半径r2＝3l，PM间接有阻值为R的电阻。让金属杆从AB处无初速释放，金属杆第一次即将离开磁场时，金属球的速度为v，其他电阻不计，忽略一切摩擦，重力加速度为g。求：
(1)金属球向下运动过程中，通过电阻R的电流方向；
(2)金属杆从AB滑动到CD的过程中，通过R的电荷量q；
(3)金属杆第一次即将离开磁场时，R两端的电压U。
破题关键点
(1)感应电流的方向如何判断？
提示：用右手定则或楞次定律判断。
(2)旋转切割时，如何求解感应电动势的平均值？
提示：＝ ΔΦ＝B0ΔS＝π(r－r)B0
(3)旋转切割时，如何求解感应电动势的瞬时值？
提示：根据E＝BLv中来计算，其中v中表示杆中点的线速度。
[解析] (1)金属球向下运动过程中，由楞次定律可以判断出通过R的电流方向由M指向P。
(2)金属杆从AB滑动到CD的过程中q＝Δt
＝
＝
ΔΦ＝B0ΔS＝π(r－r)B0，
联立得出q＝。
(3)金属杆第一次即将离开磁场时，设金属杆与内环连接端的线速度为vC，则产生的电动势为E＝B0·2l·(v＋vC)
v＝ωr2
vC＝ωr1
联立得出E＝B0lv
R两端的电压U＝R＝。
[答案] (1)由M指向P (2) (3)
1.感应电流方向的判断方法
(1)右手定则，即根据导体在磁场中做切割磁感线运动的情况进行判断。
(2)楞次定律，即根据穿过闭合回路的磁通量的变化情况进行判断。
2．楞次定律中“阻碍”的主要表现形式
(1)阻碍原磁通量的变化——“增反减同”。
(2)阻碍相对运动——“来拒去留”。
(3)使线圈面积有扩大或缩小的趋势——“增缩减扩”。
(4)阻碍原电流的变化(自感现象)——“增反减同”。
3．感应电动势大小的计算
情景图
研究对象 回路(不一定闭合) 一段直导线(或等效直导线) 绕一端转动的一段导体棒 绕位于线框平面内且与B垂直的轴转动的导线框
表达式 E＝n E＝BLv E＝BL2ω 从图示时刻计时
E＝NBS·
ωcosωt
1．(2018·全国卷Ⅲ)(多选)如图a，在同一平面内固定有一长直导线PQ和一导线框R，R在PQ的右侧。导线PQ中通有正弦交流电流i，i的变化如图b所示，规定从Q到P为电流的正方向。导线框R中的感应电动势( )
A．在t＝时为零
B．在t＝时改变方向
C．在t＝时最大，且沿顺时针方向
D．在t＝T时最大，且沿顺时针方向
答案 AC
解析 由图b可知，导线PQ中电流在t＝时达到最大值，变化率为零，导线框R中磁通量变化率为零，根据法拉第电磁感应定律，在t＝时导线框中产生的感应电动势为零，A正确；在t＝时，导线PQ中电流图象斜率方向不变，导致导线框R中磁通量变化率的正负不变，根据楞次定律，所以在t＝时，导线框中产生的感应电动势方向不变，B错误；由于在t＝时，导线PQ中电流图象斜率最大，电流变化率最大，导致导线框R中磁通量变化率最大，根据法拉第电磁感应定律，在t＝时导线框中产生的感应电动势最大，由楞次定律可判断出感应电动势的方向为顺时针方向，C正确；由楞次定律可判断出在t＝T时感应电动势的方向为逆时针方向，D错误。
2．(2020·福建省漳州市高三(下)高考模拟(一))(多选)如图甲，线圈所围的面积为0.2 m2，线圈电阻为1 Ω，若图甲中感应电流I的方向为正方向，垂直线圈平面向上磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙，则( )
A．在t＝4 s时，I的方向为负方向
B．前2 s内，通过线圈某截面的总电荷量为0.02 C
C．在3～5 s内，线圈产生的焦耳热为1×10－4 J
D．在时间0～5 s内，I的最大值为0.02 A
答案 ABD
解析 在t＝4 s时，穿过线圈的磁场方向向上，且磁感应强度B在减小，即磁通量在减小，根据楞次定律判断可知，感应电流的方向为负方向，故A正确；前2 s内，通过线圈某截面的总电荷量为q＝·Δt＝·Δt＝＝＝ C＝0.02 C，故B正确；在3～5 s内，感应电动势为E＝n＝＝×0.2 V＝0.01 V，线圈产生的焦耳热为Q＝t＝×2 J＝2×10－4 J，故C错误；由E＝n＝可知，图乙图线斜率越大，感应电动势越大，所以零时刻线圈的感应电动势最大，即Em＝nS＝×0.2 V＝0.02 V，由欧姆定律得I的最大值Im＝＝0.02 A，故D正确。
高考考向2 电磁感应的图象问题
例2 (2020·贵州省贵阳市高三下学期3月份调研考试)(多选)一正三角形导线框ABC(高度为a)从图示位置沿x轴正向匀速穿过两匀强磁场区域。两磁场区域磁感应强度大小均为B、方向相反、垂直于xOy平面、宽度均为a。下列反映感应电流I(以逆时针方向为电流的正方向)、AB边所受安培力(以向右为正方向)与线框移动距离x的关系图象正确的是( )
破题关键点
(1)感应电流的方向如何判断？
提示：根据楞次定律或右手定则判断。
(2)感应电流的大小如何计算？
提示：根据公式E＝Blv计算。
[解析] 在0[答案] AC
解决电磁感应图象问题的一般步骤
(1)明确图象的种类，即是B?t图还是Φ?t图，或者E?t图、I?t图、F?t图、v?t图、E?x图、I?x图等。
(2)分析电磁感应的具体过程。
(3)用右手定则或楞次定律确定方向对应关系。
(4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等规律写出函数关系式。
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等。
(6)画图象或判断图象。
3．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在同一平面内有两根平行长导轨，导轨间存在依次相邻的矩形匀强磁场区域，区域宽度均为l，磁感应强度大小相等、方向交替向上向下。一边长为l的正方形金属线框在导轨上向左匀速运动，线框中感应电流i随时间t变化的正确图线可能是( )
答案 D
解析 如图甲，线框左端从①移动到②的过程中线框左边切割磁感线产生的电流方向是顺时针，线框右边切割磁感线产生的电流方向也是顺时针，线框两边切割磁感线产生的电动势方向相同，所以E＝2×Blv，则电流为i＝＝，电流恒定且方向为顺时针。
如图乙，线框从②移动到③的过程中线框左右两边切割磁感线产生的电动势大小相等，方向相反，所以回路中电流表现为零。
如图丙，线框从③到④的过程中，线框左边切割磁感线产生的电流方向是逆时针，而线框右边切割磁感线产生的电流方向也是逆时针，所以电流的大小为i＝＝，方向为逆时针。当线框再向左运动时，线框左边切割磁感线产生的电动势方向是顺时针，线框右边切割磁感线产生的电动势方向是逆时针，此时回路中电流表现为零，故线框在运动过程中电流是周期性变化，故D正确。
4.(2020·云南省大理、丽江、怒江高三毕业生第二次复习统一检测)如图所示，在水平光滑的平行金属导轨左端接一定值电阻R，导体棒ab垂直导轨放置，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中。现给导体棒一向右的初速度v0，不考虑导体棒和导轨电阻，下列图象中，导体棒速度v随时间的变化和通过电阻R的电荷量q随导体棒位移的变化描述正确的是( )
答案 B
解析 由电磁感应定律可知，导体棒向右做切割磁感线运动，产生感应电流，受到向左的安培力，导体棒做减速运动，随着速度减小，感应电流减小，导体棒所受的安培力减小，则加速度减小，故其v?t图象是斜率逐渐减小的曲线，故A错误，B正确；在导体棒运动过程中，通过电阻R的电量q＝＝，则知其q?x图象是过原点的倾斜直线，故C、D错误。
高考考向3 电磁感应中的动力学稳态问题
例3 (2019·全国卷Ⅲ)(多选)如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上。t＝0时，棒ab以初速度v0向右滑动。运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示。下列图象中可能正确的是( )
破题关键点
(1)怎么计算电路中的电动势？
提示：根据E＝BLv求解ab单独运动产生的感应电动势与cd单独运动产生的感应电动势，然后求二者之差。
(2)两杆所受的安培力沿什么方向？大小如何变化？
提示：ab所受安培力向右，cd所受安培力向左。两者所受安培力均不断减小。
[解析] 导体棒ab运动，切割磁感线，产生感应电流，导体棒ab受安培力F作用，速度减小，导体棒cd受安培力F′作用，速度变大，如图所示，感应电流I＝＝，安培力F＝F′＝BIl＝＝ma，随着v1减小，v2增大，则F＝F′减小，两棒的加速度大小a减小，直到v1＝v2＝v共，a＝0，两棒做匀速运动，两棒组成的系统动量守恒，则mv0＝2mv共，v共＝，A正确，B错误。由前面分析知，v1－v2随时间减小得越来越慢，最后为0，则感应电流I＝随时间减小得越来越慢，最后为0，C正确，D错误。
[答案] AC
1.电磁感应中动力学问题的分析思路
2．常见的电磁感应动力学模型
导体杆在导轨上运动时，由于导体杆受到的安培力会阻碍相对运动，最终会达到速度或加速度稳定的状态，可能是匀速运动，可能静止，还可能在恒定外力作用下匀加速运动。如下表所示。
(1)单杆模型
常见模型 最终状态
静止
匀速运动
匀速运动
匀速运动
匀加速运动
(2)双杆模型
常见模型 最终状态
以共同速度匀速运动
以不同速度匀速运动
以相同加速度匀加速
以不同加速度匀加速
5. (2020·河南省三市高三(下)第二次质量检测)(多选)如图所示，两块完全相同的金属板平行正对、且竖直固定放置。一粗细均匀、电阻不计的金属杆水平放置在两块金属板之间，且金属杆和两金属板始终良好接触。整个空间存在一个水平向里的匀强磁场，磁场方向垂直于金属杆，且和金属板平行。不计金属杆和金属板之间的摩擦，设两金属板上下足够长。在t＝0时刻，金属杆由静止开始释放，金属杆在两金属板之间竖直向下的运动过程中，关于其a?t、x?t、v?t和v2?x图象，下列正确的是( )
答案 AC
解析 金属杆下落时，两个金属板分别积聚正、负电荷，相当于一个带电的平行板电容器。设经过时间t时，金属杆下落速度为v，电容器的带电量为Q，电容器两板之间的电压为U，金属杆切割磁感线产生的感应电动势为E，则有C＝，E＝Bdv，U＝E，解得Q＝CBdv，在极短的时间间隔(t，t＋Δt)内，电容器带电量的变化量ΔQ和金属杆速度的变化量Δv满足ΔQ＝CBdΔv，故＝CBd，而通过金属杆的电流I＝，金属杆的加速度a＝，联立可知，在Δt时间内金属杆所受安培力为F＝BId＝CB2d2a，由牛顿第二定律有mg－F＝ma，解得a＝，则可知金属杆在下落过程中做匀加速直线运动，故A、C正确；金属杆做初速度为零的匀加速直线运动，故x?t图象为开口向上的抛物线，v2?x图象为正比例函数图象，故B、D错误。
6．(2020·湖北省武汉市武昌区高三(下)6月调研考试(一))(多选)如图所示，CDE和MNP为两根足够长且弯折的平行金属导轨，CD、MN部分与水平面平行，DE和NP与水平面成30°角，间距L＝1 m，CDNM面上有垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小B1＝1 T，DEPN面上有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小B2＝2 T。两根完全相同的导体棒a、b，质量均为m＝0.1 kg，导体棒b与导轨CD、MN间的动摩擦因数均为μ＝0.2，导体棒a与导轨DE、NP之间无摩擦。导体棒a、b的电阻均为R＝1 Ω。开始时，b棒静止在导轨上，现在由静止释放a棒，运动过程中a、b棒始终不脱离导轨，除导体棒外其余电阻不计，滑动摩擦力和最大静摩擦力大小相等，g取10 m/s2，则( )
A．b棒开始向右滑动时，a棒的速度v0＝0.2 m/s
B．若经过1 s，b棒开始滑动，则此过程中，a棒发生的位移为0.24 m
C．若使CDNM面上的磁场竖直向上，大小不变，b棒始终在水平导轨上，经过足够长的时间，a棒做匀速运动
D．若使CDNM面上的磁场竖直向上，大小不变，b棒始终在水平导轨上，经过足够长的时间，b棒做匀加速运动
答案 BD
解析 整个过程中，a棒一直沿导轨向下滑动，根据右手定则可知电流方向为顺时针(俯视)，根据左手定则可知b棒受到向左的安培力，所以b棒只能向左运动，当b棒开始滑动时，b棒受到的安培力应满足Fb＝μmg＝0.2 N，且有Fb＝B1I0L，I0＝，E＝B2Lv0，联立解得v0＝0.2 m/s，故A错误。若t＝1 s时，b棒开始滑动，对a棒由动量定理得mgtsinθ－B2Lt＝mv0，其中t＝＝，联立解得x＝＝0.24 m，故B正确。若CDNM面上的磁场竖直向上，大小为B1，设a棒的速度大小为v1时，b棒的速度大小为v2，由电磁感应定律可知，电路中的电流I＝＝，经过足够长时间稳定后，电流I保持不变，则＝＝0，有B2·＝B1，设此时a棒的加速度为a1，b棒的加速度为a2，则有mgsinθ－B2IL＝ma1，B1IL－μmg＝ma2，可得a1＝0.2 m/s2，a2＝0.4 m/s2，即a、b棒都做匀加速运动，故C错误，D正确。
高考考向4 电磁感应中的能量和动量问题
例4 (2020·河北省石家庄市高三(下)质量检测(二模))(多选)如图，MN和PQ是固定在水平面上电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，水平部分粗糙，右端接一个阻值为R的定值电阻。水平部分导轨区域存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、电阻也为R的金属棒从高为h处由静止释放，在水平导轨上运动距离d时恰好停止。已知金属棒与导轨水平部分间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨间接触良好，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．金属棒克服安培力做的功等于金属棒产生的焦耳热
B．金属棒克服安培力做的功与克服摩擦力做的功之和为mgh
C．金属棒产生的焦耳热为mg(h－μd)
D．金属棒在磁场中运动的时间为－
破题关键点
(1)如何求解金属棒产生的焦耳热？
提示：根据能量守恒定律求解。
(2)如何求解金属棒在磁场中运动的时间？
提示：根据动量定理求解。
(3)如何求解安培力的冲量？
提示：I安＝∑BILΔt＝BqL＝BL＝。
[解析] 根据功能关系知，金属棒克服安培力做的功等于金属棒以及电阻R上产生的焦耳热之和，故A错误；设金属棒克服安培力所做的功为W，对整个过程，由动能定理得mgh－μmgd－W＝0，解得μmgd＋W＝mgh，故B正确；金属棒克服安培力所做的功为W＝mg(h－μd)，则电路中产生的总的焦耳热Q＝W＝mg(h－μd)，金属棒与电阻R串联，且二者阻值相等，则金属棒产生的焦耳热为mg(h－μd)，故C正确；金属棒在下滑过程中，其机械能守恒，由机械能守恒定律得mgh＝mv，解得金属棒经过弯曲导轨底部的速度大小v0＝，金属棒穿过磁场的过程，通过R的电量为q＝＝，设金属棒在磁场中的运动时间为Δt，根据动量定理有－BLΔt－μmgΔt＝0－mv0，其中q＝Δt，联立解得Δt＝－，故D正确。
[答案] BCD
1.由于电磁感应，导体棒做变加速运动时，如果只需要求解导体棒的初末状态或整个过程的物理量(如末速度、电热、电荷量、位移、运动时间)，则一般从能量或动量的角度求解。
2．求解电磁感应问题中焦耳热的三个途径
(1)感应电路为纯电阻电路时产生的焦耳热等于克服安培力做的功，即Q＝W克安，一般用于电流变化的电路。
(2)感应电路中电阻产生的焦耳热等于电流通过电阻做的功，即Q＝I2Rt，一般用于电流恒定的电路。
(3)感应电路中产生的焦耳热可通过能量守恒定律列方程求解。
3．电磁感应中电量或位移的求解方法
(1)根据磁通量的变化量求电量或位移：q＝·Δt，＝，＝，联立得q＝。
对于导体杆平动切割磁感线，ΔΦ＝BLx，此时q＝。
(2)根据动量定理求电量或位移：导体只在安培力作用下运动时，安培力的冲量等于动量的改变量，BLΔt＝Δp，q＝·Δt，可得q＝。
如果导体杆平动切割磁感线运动，q＝，x＝。
7.(2018·江苏高考)(多选)如图所示，竖直放置的 形光滑导轨宽为L，矩形匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的高和间距均为d，磁感应强度为B。质量为m的水平金属杆由静止释放，进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等。金属杆在导轨间的电阻为R，与导轨接触良好，其余电阻不计，重力加速度为g。金属杆( )
A．刚进入磁场Ⅰ时加速度方向竖直向下
B．穿过磁场Ⅰ的时间大于在两磁场之间的运动时间
C．穿过两磁场产生的总热量为4mgd
D．释放时距磁场Ⅰ上边界的高度h可能小于
答案 BC
解析 由于金属杆进入两个磁场时的速度相等，而穿出磁场后金属杆做加速度为g的加速运动，所以金属杆进入磁场Ⅰ、Ⅱ时都做减速运动，A错误；对金属杆受力分析，根据－mg＝ma可知，金属杆在磁场中做加速度减小的减速运动，其进出磁场的v?t图象如图所示，由于0～t1和t1～t2图线与t轴包围的面积相等(都为d)，所以t1>(t2－t1)，B正确；从进入磁场Ⅰ到进入磁场Ⅱ之前的过程中，根据能量守恒，金属棒减小的机械能全部转化为焦耳热，所以Q1＝mg·2d，所以穿过两个磁场过程中产生的热量为4mgd，C正确；若金属杆进入磁场做匀速运动，则－mg＝0，得v＝，由前面分析可知金属杆进入磁场的速度大于，根据h＝得金属杆进入磁场的高度应大于＝，D错误。
8．(2020·安徽省蚌埠市高三(下)第四次教学质量检查)如图所示，质量为m的“”形金属导轨abcd静止放在光滑水平面(足够大)上，导轨的宽为L，长为2L，cd部分的电阻为R，bc和ad部分电阻不计，P、P′分别为bc和ad的中点，整个导轨处于竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场(未画出，范围足够大)中。一质量为m、长为L、电阻为R的金属棒以速度v从ab端滑上导轨，并最终在PP′处与导轨相对静止。已知金属棒和导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，整个过程金属棒和导轨接触良好。求：
(1)刚滑上导轨时金属棒消耗的电功率；
(2)整个过程金属棒产生的焦耳热；
(3)金属棒从滑上导轨到刚与导轨相对静止所经历的时间。
答案 (1) (2)mv2－μmgL
(3)－
解析 (1)根据电磁感应定律可知，金属棒刚滑上导轨时，产生的电动势为E＝BLv
根据闭合电路欧姆定律可知电路中的电流为I＝
金属棒消耗的电功率为P＝I2R
解得P＝。
(2)设金属棒和导轨相对静止时的共同速度为v1，整个过程金属棒产生的焦耳热为Q，由动量守恒定律可知
mv＝2mv1
根据能量守恒定律2Q＋μmgL＝mv2－·2mv
联立解得Q＝mv2－μmgL。
(3)以金属棒为研究对象，由动量定理可知
I安＋If＝mv1－mv
摩擦力的冲量If＝－μmgt
安培力的冲量I安＝－BLt
又有＝＝
磁通量的变化量为ΔΦ＝BL2
联立解得t＝－。
易错警示 电磁感应中的杆＋导轨模型
例 如图甲所示，光滑金属导轨在同一水平面内，间距为L，导轨有一小段左右断开，为使导轨上的金属棒能匀速通过断开处，在此处铺放了与导轨相平的光滑绝缘材料(图甲中的虚线框处)。质量为m、电阻为R1的均匀金属棒ab垂直于导轨放置在靠近断开处的左侧，另一质量也为m、电阻为R2的均匀金属棒cd垂直于导轨放置在导轨中部某处。导轨MN和PQ足够长，所有导轨的电阻都不计。电源电动势为E、内阻不计。整个装置所在空间有竖直方向的、磁感应强度为B的匀强磁场。闭合开关S，金属棒ab迅即获得水平向右的速度v0并保持该速度到达断开处右侧的导轨上。求：
(1)空间匀强磁场的方向；
(2)通过电源E某截面的电荷量；
(3)棒ab和棒cd最终速度各多大？
(4)若仅将金属棒cd所在处及其右边的导轨间距改为3L，其他条件不变，如图乙所示，导轨MN和M′N′、PQ和P′Q′用导体连通，它们都足够长，从金属棒ab滑上导轨MN和PQ起至开始匀速运动止，这一过程中棒ab和棒cd组成的系统损失的机械能。
分析与解 (1)闭合开关，电流由b到a，而ab受到的安培力向右，故磁场方向竖直向下。
(2)对ab棒，设受安培力时间为Δt，这段时间的平均电流为I，平均安培力为F，通过金属棒某截面的电荷量q等于通过电源某截面的电荷量，由动量定理，有：
FΔt＝mv0
且F＝ILB
q＝IΔt
联立解得：q＝。
(3)棒ab和棒cd在运动过程中受到的安培力大小相等、方向相反，最终两棒以相同速度v做匀速运动，由动量守恒定律，有：mv0＝2mv
解得：v＝
即棒ab和棒cd最终速度均为。
(4)ab滑上MN和PQ时速度仍为v0，由于电磁感应，安培力使ab减速、使cd加速，直至电路中电流为0(即总感应电动势为0)而各自匀速运动，设ab和cd匀速运动的速度分别是v1、v2，从ab滑上MN和PQ至匀速经历的时间为t，这一过程回路中的平均电流为I′，由动量定理，有：
对ab棒：－I′LBt＝mv1－mv0
对cd棒：I′·3L·Bt＝mv2
由电磁感应规律E′＝BLv
有：BLv1＝B·3L·v2
解得：v1＝，v2＝
棒ab和棒cd组成的系统损失的机械能ΔE为：
ΔE＝mv－
解得：ΔE＝mv。
答案 (1)竖直向下 (2) (3) (4)mv
易错警示 1.杆＋导轨模型可以考查学生综合运用动力学、能量、动量的观点解决电磁感应问题的能力，难度较高。
2．应用动量观点解决电磁感应综合问题可分为两类：
(1)利用动量定理求感应电荷量或运动位移
在导体棒做非匀变速运动的问题中，应用动量定理可以解决牛顿运动定律不易解决的问题。
如：BLΔt＝Δp，q＝·Δt，可得q＝。
Δt＝Δp，x＝Δt，可得x＝。
(2)利用动量守恒定律分析双导体杆问题
在相互平行的光滑水平轨道间的双棒做切割磁感线运动时，由于这两根导体棒所受的安培力等大反向，合外力为零，故若不受其他外力，两导体棒的总动量守恒，解决此类问题往往要应用动量守恒定律。(本例题第(4)问中双杆组成的系统动量不守恒，须用动量定理分析解决)
专题作业
限时：60分钟 满分：100分
一、选择题(本题共8小题，每小题8分，共64分，其中第1～4题为单选题，第5～8题为多选题)
1．(2020·河北省石家庄市高三(下)一模)如图甲所示为闭合导体线框abcd放在水平桌面的俯视图，桌面内存在竖直方向的匀强磁场，磁感应强度B随时间变化的规律如图乙所示，规定磁场方向竖直向下为正方向，则下列说法正确的是( )
A.时刻bc边所受安培力最大
B.～时间内电流方向为d→c→b→a→d
C.～时间内线框有收缩趋势
D.时刻bc边所受安培力方向向左
答案 D
解析 时刻＝0，即线框中磁通量变化率为零，则线框中的感应电动势为零，没有感应电流产生，故bc边所受安培力为零，A错误；～时间内磁场竖直向下且磁感应强度减小，根据楞次定律可知，线框中感应电流方向为a→b→c→d→a，故B错误；～时间内线框的磁通量减小，根据楞次定律可知，线框有扩张的趋势，故C错误；时刻处于0～时间内，磁感应强度变大，线框的磁通量增大，故线框有收缩趋势，bc边受到的安培力方向向左，故D正确。
2．(2020·浙江高考)如图所示，固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴OO′上，随轴以角速度ω匀速转动。在圆环的A点和电刷间接有阻值为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态。已知重力加速度为g，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是( )
A．金属棒产生的电动势为Bl2ω
B．微粒的电荷量与质量之比为
C．电阻消耗的电功率为
D．电容器所带的电荷量为CBr2ω
答案 B
解析 金属棒绕OO′轴转动切割磁感线，产生的电动势E＝Br·＝Br2ω，A错误；电容器两极板间的电压等于电源电动势E，带电微粒在两极板间处于静止状态，则q＝mg，即＝＝＝，B正确；电阻消耗的电功率P＝＝，C错误；电容器所带的电荷量Q＝CE＝，D错误。
3.(2020·江苏省苏锡常镇四市高三(下)二模)为测量线圈L的直流电阻R0，某研究小组设计了如图所示电路。已知线圈的自感系数较大，两电表可视为理想电表，其示数分别记为U、I，实验开始前，S1处于断开状态，S2处于闭合状态。关于实验过程，下列说法不正确的是( )
A．闭合S1，电流表示数逐渐增大至稳定值
B．闭合S1，电压表示数逐渐减小至稳定值
C．待两电表示数稳定后，方可读取U、I的值
D．实验结束后，应先断开S1
答案 D
解析 闭合S1，由于线圈的自感电动势，导致电路中电流慢慢增大至稳定值，故A正确；闭合S1，电压表示数等于线圈两端的电压，U＝U外－IR，电路中电流慢慢增大至稳定值，则电压表示数逐渐减小至稳定值，故B正确；实验目的是测量线圈L的直流电阻，因此需要等到线圈产生的自感电动势为零，两电表示数稳定后，方可读取U、I的值，此时R0＝，故C正确；实验结束后，若先断开开关S1，由于L的自感作用，会产生极大的自感电动势，会使L和电压表组成新的回路，电压表两端将被加上反向电压，从而造成电表损坏，故D错误。
4.(2020·辽宁大连二十四中高三模拟)如图所示，在虚线左侧的足够大区域存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，有一个直角三角形金属线框，线框左边与磁场边界平行，线框的电阻为R，线框以垂直虚线方向的速度v0做匀速直线运动，从线框的左边进入磁场时开始计时，E表示线框产生的感应电动势大小，F表示线框受到的安培力大小，P表示线框的电功率的大小，I表示线框中的感应电流，则下列图象中正确的是( )
答案 A
解析 如图所示，设直角三角形的左侧直角边边长为L0，右侧锐角为θ。t时刻，线框切割磁感线的有效长度为L＝(L0－v0ttanθ)，感应电动势为E＝BLv0＝B(L0－v0ttanθ)v0＝BL0v0－Bvtanθ·t，故E与t为一次函数关系，其图线为横截距、纵截距为正、斜率为负的直线，故A正确；感应电流I＝＝＝，故I与t是一次函数关系，是条直线，故D错误；线框所受安培力大小F＝BIL＝B××(L0－v0ttanθ)＝，故F与t为二次函数关系，其图线为开口向上的曲线，故B错误；电功率等于克服安培力的功率，P＝Fv0＝，故P与t为二次函数关系，其图线为开口向上的曲线，故C错误。
5．(2020·湖南省永州市高三(下)第三次模拟考试)如图甲所示，在光滑水平面上用恒力F拉一质量为m、边长为a、电阻为R的单匝均匀正方形铜线框，在1位置以速度v0进入磁感应强度为B的匀强磁场并开始计时。若磁场的宽度为b(b>3a)，在3t0时刻线框到达2位置速度又为v0，并开始离开匀强磁场。此过程中v?t图象如图乙所示，则( )
A．t0时刻线框的速度为v0－
B．t＝0时刻，线框右侧边MN两端电压为Bav0
C．0～t0时间内，通过线框某一横截面的电荷量为
D．线框从1位置运动到2位置的过程中，线框中产生的焦耳热为Fb
答案 CD
解析 根据图象可知，在t0～3t0时间内，线框做匀加速直线运动，合力等于F，根据牛顿第二定律可得加速度大小为a＝，在t0时刻线框的速度为v＝v0－a·2t0＝v0－，故A错误；t＝0时刻，线框右侧边MN两端电压为外电压，线框产生的感应电动势为E＝Bav0，MN间的电压为U外＝E＝Bav0，故B错误；线框进入磁场过程中，流过某一截面的电量为q＝IΔt＝Δt，而E＝＝，联立解得q＝，故C正确；由图可知，线框在位置1和位置2时的速度相等，根据动能定理有Fb－W安＝ΔEk＝0，解得W安＝Fb，线框克服安培力所做的功全部转化为焦耳热，故产生的焦耳热为Fb，故D正确。
6．(2020·河北省张家口市高三(下)5月模拟)如图所示，水平光滑轨道处于竖直向上的匀强磁场中，金属杆ab、cd平行静置在导轨上。现用跨过定滑轮的轻绳将cd与光滑斜面上的重物连接，重物拉动cd在水平轨道上运动。重物下滑过程中，金属杆ab、cd始终在水平轨道上运动且与轨道垂直并接触良好。此过程中( )
A．ab杆一直做加速运动
B．最终ab杆的加速度等于cd杆的加速度
C．cd杆中的感应电流一直增大
D．cd杆先做加速运动后做匀速运动
答案 AB
解析 重物拉动cd在水平轨道上运动，由于安培力作用，cd做加速度越来越小的加速运动，ab做加速度越来越大的加速运动，最终加速度相同，故A、B正确；ab与cd最终加速度相等，此时两者速度差恒定，根据E＝Blv可知，回路中的电动势恒定不变，所以回路中的电流恒定不变，故C错误；由以上分析可知，cd最终做加速运动，故D错误。
7.(2020·河北桃城衡水中学高三模拟)如图所示，电阻不计、间距为L的光滑平行金属导轨水平放置于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导轨左端接一定值电阻R。质量为m、电阻为r的金属棒MN置于导轨上，受到垂直于金属棒的水平外力F的作用由静止开始运动，外力F与金属棒速度v的关系是F＝F0＋kv(F0、k是常量)，金属棒与导轨始终垂直且接触良好。金属棒中感应电流为i，受到的安培力大小为FA，电阻R两端的电压为UR，感应电流的功率为P，它们随时间t变化图象可能正确的有( )
答案 BC
解析 设金属棒在某一时刻速度为v，由题意可知，感应电动势E＝BLv，感应电流i＝＝v，金属棒所受安培力方向水平向左，其大小FA＝BiL＝，R两端电压UR＝iR＝v，感应电流的功率P＝Ei＝v2。分析金属棒运动情况，由力的合成和牛顿第二定律可得：F合＝F－FA＝F0＋kv－v＝F0＋v，a＝，因为金属棒从静止开始运动，所以F0>0，且F合>0，即a>0，加速度方向水平向右。
①若k＝，F合＝F0，即a＝，金属棒水平向右做匀加速直线运动，有v＝at。则i∝t，FA∝t，UR∝t，P∝t2，所以在此情况下没有选项符合；②若k>，F合随v增大而增大，即a随v增大而增大，说明金属棒做加速度增大的加速运动，根据四个物理量与速度的关系可知B符合；③若k<，F合随v增大而减小，即a随v增大而减小，说明金属棒在做加速度减小的加速运动，直到加速度减小为0后金属棒做匀速直线运动，根据四个物理量与速度的关系可知C符合。
8．(2020·云南省红河州高三(下)第三次检测)如图甲所示，绝缘水平面上有一间距L＝1 m的金属导轨，导轨右侧接一阻值为R＝3 Ω的电阻。在导轨间虚线范围内存在垂直导轨平面的匀强磁场，磁场的宽度d＝1 m，磁感应强度大小B＝0.5 T。现有一质量为m＝0.1 kg、电阻r＝2 Ω、长为L＝1 m的导体棒ab，以一定的初速度v0从导轨的左端开始向右运动，穿过磁场区域的过程中，回路中感应电流i随时间t变化的图象如图乙所示。已知导体棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.3，导轨电阻不计，则导体棒ab穿过磁场区域的过程中( )
A．导体棒ab做匀减速直线运动
B．导体棒ab刚进入磁场时的速度为5 m/s
C．导体棒ab通过磁场的时间为0.5 s
D．整个回路中产生的焦耳热为0.3 J
答案 BC
解析 导体棒在磁场中运动的速度为v时，其加速度大小为a＝＝μg＋，则随着速度v的减小，加速度逐渐减小，即导体棒ab做加速度逐渐减小的减速直线运动，A错误；由图读出ab刚进入磁场时的电流i0＝0.5 A，根据闭合电路欧姆定律得i0＝，根据法拉第电磁感应定律得E＝BLv0，联立解得v0＝＝ m/s＝5 m/s，B正确；导体棒通过磁场的过程，取向右为正方向，由动量定理得－μmgt－BLt＝mv－mv0，而t＝t＝，v＝＝ m/s＝3 m/s，联立解得t＝0.5 s，C正确；导体棒通过磁场的过程，由动能定理得－μmgd－W安＝mv2－mv，解得回路产生的焦耳热Q＝W安＝0.5 J，D错误。
二、计算题(本题共2小题，共36分，须写出规范的解题步骤)
9．(2020·江西省九江市十校高三(下)模拟)(18分)如图甲所示，匝数为n、总电阻为r、横截面积为S的竖直螺线管与两足够长的固定平行光滑导轨相连，导轨间距为L，倾角为θ。导轨间有磁感应强度大小为B0、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场。长为L、电阻为4r的导体棒ab放在导轨上，始终与导轨垂直且接触良好。螺线管内有竖直方向、分布均匀的变化磁场(图中未画出)，磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示。闭合开关S，ab恰好处于静止状态。重力加速度大小为g，定值电阻R的阻值为4r，导轨电阻和空气阻力均不计，忽略螺线管磁场对ab的影响。
(1)求0～3t0时间内通过螺线管的电荷量q；
(2)求导体棒ab的质量m；
(3)若将开关S断开，将ab由静止释放，求ab沿导轨上滑的最大速度vm。
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)0～3t0时间内，穿过螺线管的磁通量的变化量为：
ΔΦ＝B0S－＝B0S
回路的总电阻为R总＝r＋＝3r
此时间内通过螺线管的电荷量为q＝Δt＝Δt
而＝n
解得q＝。
(2)由题图乙可知＝
根据法拉第电磁感应定律有E＝n··S
根据闭合电路的欧姆定律可得，通过螺线管的电流为I＝
此时通过导体棒ab的电流为I1＝
导体棒ab恰好处于静止状态，可知其受力平衡，有
mgsinθ＝B0I1L
解得m＝。
(3)开关S断开，感应电动势不受影响，仍为E＝
ab的速度最大时，ab受力平衡，有mgsinθ＝B0I2L，
ab切割磁感线产生的感应电动势为Eab＝B0Lvm
回路中的总感应电动势为E总＝E－Eab
此时通过螺线管的电流为I2＝
解得vm＝。
10．(2020·湖北省武汉市高三(下)六月理综)(18分)如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距为L。导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B。在区域Ⅰ中，将质量为m、电阻为R的导体棒ab放在导轨上，且被两立柱挡住，在区域Ⅱ中将质量为2m、电阻为R的导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑，经时间t，ab刚好离开立柱。ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，重力加速度为g。试求：
(1)t时刻cd棒的速度大小vt；
(2)在时间t内cd棒产生的电能Ecd；
(3)ab棒中电流的最大值Im。
答案 (1) (2)－ (3)
解析 (1)t时刻cd棒的速度大小vt，由法拉第电磁感应定律有E＝BLv1
回路中电流I＝
ab棒刚好离开立柱，则有BIL＝mgsin30°
解得vt＝。
(2)设时间t内cd棒下滑x，以沿斜面向下为正方向，由动量定理得(2mgsin30°)t－t＝2mvt，
即(2mgsin30°)t－BLt＝2mvt
由能量守恒定律有Ecd＝(2mgsin30°)x－·2mv
解得Ecd＝－。
(3)当ab棒开始运动后，两导体棒均切割磁感线运动，由电磁感应定律可知，回路中电流I＝
对两导体棒进行受力分析：
对ab棒BIL－mgsin30°＝maab
对cd棒2mgsin30°－BIL＝2macd
可知从t时刻开始，ab棒沿导轨向上做初速度为零、加速度不断增大的加速运动，cd沿导轨向下做初速度不为零、加速度逐渐减小的加速运动，在此过程中，回路中电流不断增大；
当电流最大时，vcd－vab最大，即Δvcd－Δvab＝0
也就是aab＝acd
联立解得Im＝。
构建网络
命题特点：电磁感应是电磁学中的重要内容之一，也是高考命题的高频考点，多为选择与计算，主要考查楞次定律、法拉第电磁感应定律，其中电磁感应与电路、力和运动、能量、动量的综合问题是高考难点问题。
思想方法：图象法、守恒法、模型法、等效法。
高考考向1 楞次定律和法拉第电磁感应定律的应用
例1 (2020·江苏省三模)如图所示，金属圆环轨道MN、PQ竖直放置，两环之间ABDC内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B0，AB水平且与圆心等高，CD竖直且延长线过圆心。电阻为r、长为2l的轻质金属杆，一端套在内环MN上，另一端连接带孔金属球，球套在外环PQ上，且都与轨道接触良好。内圆半径r1＝l，外圆半径r2＝3l，PM间接有阻值为R的电阻。让金属杆从AB处无初速释放，金属杆第一次即将离开磁场时，金属球的速度为v，其他电阻不计，忽略一切摩擦，重力加速度为g。求：
(1)金属球向下运动过程中，通过电阻R的电流方向；
(2)金属杆从AB滑动到CD的过程中，通过R的电荷量q；
(3)金属杆第一次即将离开磁场时，R两端的电压U。
1．(2018·全国卷Ⅲ)(多选)如图a，在同一平面内固定有一长直导线PQ和一导线框R，R在PQ的右侧。导线PQ中通有正弦交流电流i，i的变化如图b所示，规定从Q到P为电流的正方向。导线框R中的感应电动势( )
A．在t＝时为零
B．在t＝时改变方向
C．在t＝时最大，且沿顺时针方向
D．在t＝T时最大，且沿顺时针方向
2．(2020·福建省漳州市高三(下)高考模拟(一))(多选)如图甲，线圈所围的面积为0.2 m2，线圈电阻为1 Ω，若图甲中感应电流I的方向为正方向，垂直线圈平面向上磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙，则( )
A．在t＝4 s时，I的方向为负方向
B．前2 s内，通过线圈某截面的总电荷量为0.02 C
C．在3～5 s内，线圈产生的焦耳热为1×10－4 J
D．在时间0～5 s内，I的最大值为0.02 A
高考考向2 电磁感应的图象问题
例2 (2020·贵州省贵阳市高三下学期3月份调研考试)(多选)一正三角形导线框ABC(高度为a)从图示位置沿x轴正向匀速穿过两匀强磁场区域。两磁场区域磁感应强度大小均为B、方向相反、垂直于xOy平面、宽度均为a。下列反映感应电流I(以逆时针方向为电流的正方向)、AB边所受安培力(以向右为正方向)与线框移动距离x的关系图象正确的是( )
3．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在同一平面内有两根平行长导轨，导轨间存在依次相邻的矩形匀强磁场区域，区域宽度均为l，磁感应强度大小相等、方向交替向上向下。一边长为l的正方形金属线框在导轨上向左匀速运动，线框中感应电流i随时间t变化的正确图线可能是( )
4.(2020·云南省大理、丽江、怒江高三毕业生第二次复习统一检测)如图所示，在水平光滑的平行金属导轨左端接一定值电阻R，导体棒ab垂直导轨放置，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中。现给导体棒一向右的初速度v0，不考虑导体棒和导轨电阻，下列图象中，导体棒速度v随时间的变化和通过电阻R的电荷量q随导体棒位移的变化描述正确的是( )
高考考向3 电磁感应中的动力学稳态问题
例3 (2019·全国卷Ⅲ)(多选)如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上。t＝0时，棒ab以初速度v0向右滑动。运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示。下列图象中可能正确的是( )
5. (2020·河南省三市高三(下)第二次质量检测)(多选)如图所示，两块完全相同的金属板平行正对、且竖直固定放置。一粗细均匀、电阻不计的金属杆水平放置在两块金属板之间，且金属杆和两金属板始终良好接触。整个空间存在一个水平向里的匀强磁场，磁场方向垂直于金属杆，且和金属板平行。不计金属杆和金属板之间的摩擦，设两金属板上下足够长。在t＝0时刻，金属杆由静止开始释放，金属杆在两金属板之间竖直向下的运动过程中，关于其a?t、x?t、v?t和v2?x图象，下列正确的是( )
6．(2020·湖北省武汉市武昌区高三(下)6月调研考试(一))(多选)如图所示，CDE和MNP为两根足够长且弯折的平行金属导轨，CD、MN部分与水平面平行，DE和NP与水平面成30°角，间距L＝1 m，CDNM面上有垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小B1＝1 T，DEPN面上有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小B2＝2 T。两根完全相同的导体棒a、b，质量均为m＝0.1 kg，导体棒b与导轨CD、MN间的动摩擦因数均为μ＝0.2，导体棒a与导轨DE、NP之间无摩擦。导体棒a、b的电阻均为R＝1 Ω。开始时，b棒静止在导轨上，现在由静止释放a棒，运动过程中a、b棒始终不脱离导轨，除导体棒外其余电阻不计，滑动摩擦力和最大静摩擦力大小相等，g取10 m/s2，则( )
A．b棒开始向右滑动时，a棒的速度v0＝0.2 m/s
B．若经过1 s，b棒开始滑动，则此过程中，a棒发生的位移为0.24 m
C．若使CDNM面上的磁场竖直向上，大小不变，b棒始终在水平导轨上，经过足够长的时间，a棒做匀速运动
D．若使CDNM面上的磁场竖直向上，大小不变，b棒始终在水平导轨上，经过足够长的时间，b棒做匀加速运动
高考考向4 电磁感应中的能量和动量问题
例4 (2020·河北省石家庄市高三(下)质量检测(二模))(多选)如图，MN和PQ是固定在水平面上电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，水平部分粗糙，右端接一个阻值为R的定值电阻。水平部分导轨区域存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、电阻也为R的金属棒从高为h处由静止释放，在水平导轨上运动距离d时恰好停止。已知金属棒与导轨水平部分间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨间接触良好，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．金属棒克服安培力做的功等于金属棒产生的焦耳热
B．金属棒克服安培力做的功与克服摩擦力做的功之和为mgh
C．金属棒产生的焦耳热为mg(h－μd)
D．金属棒在磁场中运动的时间为－
7.(2018·江苏高考)(多选)如图所示，竖直放置的 形光滑导轨宽为L，矩形匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的高和间距均为d，磁感应强度为B。质量为m的水平金属杆由静止释放，进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等。金属杆在导轨间的电阻为R，与导轨接触良好，其余电阻不计，重力加速度为g。金属杆( )
A．刚进入磁场Ⅰ时加速度方向竖直向下
B．穿过磁场Ⅰ的时间大于在两磁场之间的运动时间
C．穿过两磁场产生的总热量为4mgd
D．释放时距磁场Ⅰ上边界的高度h可能小于
8．(2020·安徽省蚌埠市高三(下)第四次教学质量检查)如图所示，质量为m的“”形金属导轨abcd静止放在光滑水平面(足够大)上，导轨的宽为L，长为2L，cd部分的电阻为R，bc和ad部分电阻不计，P、P′分别为bc和ad的中点，整个导轨处于竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场(未画出，范围足够大)中。一质量为m、长为L、电阻为R的金属棒以速度v从ab端滑上导轨，并最终在PP′处与导轨相对静止。已知金属棒和导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，整个过程金属棒和导轨接触良好。求：
(1)刚滑上导轨时金属棒消耗的电功率；
(2)整个过程金属棒产生的焦耳热；
(3)金属棒从滑上导轨到刚与导轨相对静止所经历的时间。
易错警示 电磁感应中的杆＋导轨模型
例 如图甲所示，光滑金属导轨在同一水平面内，间距为L，导轨有一小段左右断开，为使导轨上的金属棒能匀速通过断开处，在此处铺放了与导轨相平的光滑绝缘材料(图甲中的虚线框处)。质量为m、电阻为R1的均匀金属棒ab垂直于导轨放置在靠近断开处的左侧，另一质量也为m、电阻为R2的均匀金属棒cd垂直于导轨放置在导轨中部某处。导轨MN和PQ足够长，所有导轨的电阻都不计。电源电动势为E、内阻不计。整个装置所在空间有竖直方向的、磁感应强度为B的匀强磁场。闭合开关S，金属棒ab迅即获得水平向右的速度v0并保持该速度到达断开处右侧的导轨上。求：
(1)空间匀强磁场的方向；
(2)通过电源E某截面的电荷量；
(3)棒ab和棒cd最终速度各多大？
(4)若仅将金属棒cd所在处及其右边的导轨间距改为3L，其他条件不变，如图乙所示，导轨MN和M′N′、PQ和P′Q′用导体连通，它们都足够长，从金属棒ab滑上导轨MN和PQ起至开始匀速运动止，这一过程中棒ab和棒cd组成的系统损失的机械能。
专题作业
限时：60分钟 满分：100分
一、选择题(本题共8小题，每小题8分，共64分，其中第1～4题为单选题，第5～8题为多选题)
1．(2020·河北省石家庄市高三(下)一模)如图甲所示为闭合导体线框abcd放在水平桌面的俯视图，桌面内存在竖直方向的匀强磁场，磁感应强度B随时间变化的规律如图乙所示，规定磁场方向竖直向下为正方向，则下列说法正确的是( )
A.时刻bc边所受安培力最大
B.～时间内电流方向为d→c→b→a→d
C.～时间内线框有收缩趋势
D.时刻bc边所受安培力方向向左
2．(2020·浙江高考)如图所示，固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴OO′上，随轴以角速度ω匀速转动。在圆环的A点和电刷间接有阻值为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态。已知重力加速度为g，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是( )
A．金属棒产生的电动势为Bl2ω
B．微粒的电荷量与质量之比为
C．电阻消耗的电功率为
D．电容器所带的电荷量为CBr2ω
3.(2020·江苏省苏锡常镇四市高三(下)二模)为测量线圈L的直流电阻R0，某研究小组设计了如图所示电路。已知线圈的自感系数较大，两电表可视为理想电表，其示数分别记为U、I，实验开始前，S1处于断开状态，S2处于闭合状态。关于实验过程，下列说法不正确的是( )
A．闭合S1，电流表示数逐渐增大至稳定值
B．闭合S1，电压表示数逐渐减小至稳定值
C．待两电表示数稳定后，方可读取U、I的值
D．实验结束后，应先断开S1
4.(2020·辽宁大连二十四中高三模拟)如图所示，在虚线左侧的足够大区域存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，有一个直角三角形金属线框，线框左边与磁场边界平行，线框的电阻为R，线框以垂直虚线方向的速度v0做匀速直线运动，从线框的左边进入磁场时开始计时，E表示线框产生的感应电动势大小，F表示线框受到的安培力大小，P表示线框的电功率的大小，I表示线框中的感应电流，则下列图象中正确的是( )
5．(2020·湖南省永州市高三(下)第三次模拟考试)如图甲所示，在光滑水平面上用恒力F拉一质量为m、边长为a、电阻为R的单匝均匀正方形铜线框，在1位置以速度v0进入磁感应强度为B的匀强磁场并开始计时。若磁场的宽度为b(b>3a)，在3t0时刻线框到达2位置速度又为v0，并开始离开匀强磁场。此过程中v?t图象如图乙所示，则( )
A．t0时刻线框的速度为v0－
B．t＝0时刻，线框右侧边MN两端电压为Bav0
C．0～t0时间内，通过线框某一横截面的电荷量为
D．线框从1位置运动到2位置的过程中，线框中产生的焦耳热为Fb
6．(2020·河北省张家口市高三(下)5月模拟)如图所示，水平光滑轨道处于竖直向上的匀强磁场中，金属杆ab、cd平行静置在导轨上。现用跨过定滑轮的轻绳将cd与光滑斜面上的重物连接，重物拉动cd在水平轨道上运动。重物下滑过程中，金属杆ab、cd始终在水平轨道上运动且与轨道垂直并接触良好。此过程中( )
A．ab杆一直做加速运动
B．最终ab杆的加速度等于cd杆的加速度
C．cd杆中的感应电流一直增大
D．cd杆先做加速运动后做匀速运动
7.(2020·河北桃城衡水中学高三模拟)如图所示，电阻不计、间距为L的光滑平行金属导轨水平放置于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导轨左端接一定值电阻R。质量为m、电阻为r的金属棒MN置于导轨上，受到垂直于金属棒的水平外力F的作用由静止开始运动，外力F与金属棒速度v的关系是F＝F0＋kv(F0、k是常量)，金属棒与导轨始终垂直且接触良好。金属棒中感应电流为i，受到的安培力大小为FA，电阻R两端的电压为UR，感应电流的功率为P，它们随时间t变化图象可能正确的有( )
8．(2020·云南省红河州高三(下)第三次检测)如图甲所示，绝缘水平面上有一间距L＝1 m的金属导轨，导轨右侧接一阻值为R＝3 Ω的电阻。在导轨间虚线范围内存在垂直导轨平面的匀强磁场，磁场的宽度d＝1 m，磁感应强度大小B＝0.5 T。现有一质量为m＝0.1 kg、电阻r＝2 Ω、长为L＝1 m的导体棒ab，以一定的初速度v0从导轨的左端开始向右运动，穿过磁场区域的过程中，回路中感应电流i随时间t变化的图象如图乙所示。已知导体棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.3，导轨电阻不计，则导体棒ab穿过磁场区域的过程中( )
A．导体棒ab做匀减速直线运动
B．导体棒ab刚进入磁场时的速度为5 m/s
C．导体棒ab通过磁场的时间为0.5 s
D．整个回路中产生的焦耳热为0.3 J
二、计算题(本题共2小题，共36分，须写出规范的解题步骤)
9．(2020·江西省九江市十校高三(下)模拟)(18分)如图甲所示，匝数为n、总电阻为r、横截面积为S的竖直螺线管与两足够长的固定平行光滑导轨相连，导轨间距为L，倾角为θ。导轨间有磁感应强度大小为B0、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场。长为L、电阻为4r的导体棒ab放在导轨上，始终与导轨垂直且接触良好。螺线管内有竖直方向、分布均匀的变化磁场(图中未画出)，磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示。闭合开关S，ab恰好处于静止状态。重力加速度大小为g，定值电阻R的阻值为4r，导轨电阻和空气阻力均不计，忽略螺线管磁场对ab的影响。
(1)求0～3t0时间内通过螺线管的电荷量q；
(2)求导体棒ab的质量m；
(3)若将开关S断开，将ab由静止释放，求ab沿导轨上滑的最大速度vm。
10．(2020·湖北省武汉市高三(下)六月理综)(18分)如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距为L。导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B。在区域Ⅰ中，将质量为m、电阻为R的导体棒ab放在导轨上，且被两立柱挡住，在区域Ⅱ中将质量为2m、电阻为R的导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑，经时间t，ab刚好离开立柱。ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，重力加速度为g。试求：
(1)t时刻cd棒的速度大小vt；
(2)在时间t内cd棒产生的电能Ecd；
(3)ab棒中电流的最大值Im。
第12讲 电磁感应
构建网络
命题特点：电磁感应是电磁学中的重要内容之一，也是高考命题的高频考点，多为选择与计算，主要考查楞次定律、法拉第电磁感应定律，其中电磁感应与电路、力和运动、能量、动量的综合问题是高考难点问题。
思想方法：图象法、守恒法、模型法、等效法。
高考考向1 楞次定律和法拉第电磁感应定律的应用
例1 (2020·江苏省三模)如图所示，金属圆环轨道MN、PQ竖直放置，两环之间ABDC内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B0，AB水平且与圆心等高，CD竖直且延长线过圆心。电阻为r、长为2l的轻质金属杆，一端套在内环MN上，另一端连接带孔金属球，球套在外环PQ上，且都与轨道接触良好。内圆半径r1＝l，外圆半径r2＝3l，PM间接有阻值为R的电阻。让金属杆从AB处无初速释放，金属杆第一次即将离开磁场时，金属球的速度为v，其他电阻不计，忽略一切摩擦，重力加速度为g。求：
(1)金属球向下运动过程中，通过电阻R的电流方向；
(2)金属杆从AB滑动到CD的过程中，通过R的电荷量q；
(3)金属杆第一次即将离开磁场时，R两端的电压U。
破题关键点
(1)感应电流的方向如何判断？
提示：用右手定则或楞次定律判断。
(2)旋转切割时，如何求解感应电动势的平均值？
提示：＝ ΔΦ＝B0ΔS＝π(r－r)B0
(3)旋转切割时，如何求解感应电动势的瞬时值？
提示：根据E＝BLv中来计算，其中v中表示杆中点的线速度。
[解析] (1)金属球向下运动过程中，由楞次定律可以判断出通过R的电流方向由M指向P。
(2)金属杆从AB滑动到CD的过程中q＝Δt
＝
＝
ΔΦ＝B0ΔS＝π(r－r)B0，
联立得出q＝。
(3)金属杆第一次即将离开磁场时，设金属杆与内环连接端的线速度为vC，则产生的电动势为E＝B0·2l·(v＋vC)
v＝ωr2
vC＝ωr1
联立得出E＝B0lv
R两端的电压U＝R＝。
[答案] (1)由M指向P (2) (3)
1.感应电流方向的判断方法
(1)右手定则，即根据导体在磁场中做切割磁感线运动的情况进行判断。
(2)楞次定律，即根据穿过闭合回路的磁通量的变化情况进行判断。
2．楞次定律中“阻碍”的主要表现形式
(1)阻碍原磁通量的变化——“增反减同”。
(2)阻碍相对运动——“来拒去留”。
(3)使线圈面积有扩大或缩小的趋势——“增缩减扩”。
(4)阻碍原电流的变化(自感现象)——“增反减同”。
3．感应电动势大小的计算
情景图
研究对象 回路(不一定闭合) 一段直导线(或等效直导线) 绕一端转动的一段导体棒 绕位于线框平面内且与B垂直的轴转动的导线框
表达式 E＝n E＝BLv E＝BL2ω 从图示时刻计时
E＝NBS·
ωcosωt
1．(2018·全国卷Ⅲ)(多选)如图a，在同一平面内固定有一长直导线PQ和一导线框R，R在PQ的右侧。导线PQ中通有正弦交流电流i，i的变化如图b所示，规定从Q到P为电流的正方向。导线框R中的感应电动势( )
A．在t＝时为零
B．在t＝时改变方向
C．在t＝时最大，且沿顺时针方向
D．在t＝T时最大，且沿顺时针方向
答案 AC
解析 由图b可知，导线PQ中电流在t＝时达到最大值，变化率为零，导线框R中磁通量变化率为零，根据法拉第电磁感应定律，在t＝时导线框中产生的感应电动势为零，A正确；在t＝时，导线PQ中电流图象斜率方向不变，导致导线框R中磁通量变化率的正负不变，根据楞次定律，所以在t＝时，导线框中产生的感应电动势方向不变，B错误；由于在t＝时，导线PQ中电流图象斜率最大，电流变化率最大，导致导线框R中磁通量变化率最大，根据法拉第电磁感应定律，在t＝时导线框中产生的感应电动势最大，由楞次定律可判断出感应电动势的方向为顺时针方向，C正确；由楞次定律可判断出在t＝T时感应电动势的方向为逆时针方向，D错误。
2．(2020·福建省漳州市高三(下)高考模拟(一))(多选)如图甲，线圈所围的面积为0.2 m2，线圈电阻为1 Ω，若图甲中感应电流I的方向为正方向，垂直线圈平面向上磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙，则( )
A．在t＝4 s时，I的方向为负方向
B．前2 s内，通过线圈某截面的总电荷量为0.02 C
C．在3～5 s内，线圈产生的焦耳热为1×10－4 J
D．在时间0～5 s内，I的最大值为0.02 A
答案 ABD
解析 在t＝4 s时，穿过线圈的磁场方向向上，且磁感应强度B在减小，即磁通量在减小，根据楞次定律判断可知，感应电流的方向为负方向，故A正确；前2 s内，通过线圈某截面的总电荷量为q＝·Δt＝·Δt＝＝＝ C＝0.02 C，故B正确；在3～5 s内，感应电动势为E＝n＝＝×0.2 V＝0.01 V，线圈产生的焦耳热为Q＝t＝×2 J＝2×10－4 J，故C错误；由E＝n＝可知，图乙图线斜率越大，感应电动势越大，所以零时刻线圈的感应电动势最大，即Em＝nS＝×0.2 V＝0.02 V，由欧姆定律得I的最大值Im＝＝0.02 A，故D正确。
高考考向2 电磁感应的图象问题
例2 (2020·贵州省贵阳市高三下学期3月份调研考试)(多选)一正三角形导线框ABC(高度为a)从图示位置沿x轴正向匀速穿过两匀强磁场区域。两磁场区域磁感应强度大小均为B、方向相反、垂直于xOy平面、宽度均为a。下列反映感应电流I(以逆时针方向为电流的正方向)、AB边所受安培力(以向右为正方向)与线框移动距离x的关系图象正确的是( )
破题关键点
(1)感应电流的方向如何判断？
提示：根据楞次定律或右手定则判断。
(2)感应电流的大小如何计算？
提示：根据公式E＝Blv计算。
[解析] 在0
解决电磁感应图象问题的一般步骤
(1)明确图象的种类，即是B?t图还是Φ?t图，或者E?t图、I?t图、F?t图、v?t图、E?x图、I?x图等。
(2)分析电磁感应的具体过程。
(3)用右手定则或楞次定律确定方向对应关系。
(4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等规律写出函数关系式。
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等。
(6)画图象或判断图象。
3．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在同一平面内有两根平行长导轨，导轨间存在依次相邻的矩形匀强磁场区域，区域宽度均为l，磁感应强度大小相等、方向交替向上向下。一边长为l的正方形金属线框在导轨上向左匀速运动，线框中感应电流i随时间t变化的正确图线可能是( )
答案 D
解析 如图甲，线框左端从①移动到②的过程中线框左边切割磁感线产生的电流方向是顺时针，线框右边切割磁感线产生的电流方向也是顺时针，线框两边切割磁感线产生的电动势方向相同，所以E＝2×Blv，则电流为i＝＝，电流恒定且方向为顺时针。
如图乙，线框从②移动到③的过程中线框左右两边切割磁感线产生的电动势大小相等，方向相反，所以回路中电流表现为零。
如图丙，线框从③到④的过程中，线框左边切割磁感线产生的电流方向是逆时针，而线框右边切割磁感线产生的电流方向也是逆时针，所以电流的大小为i＝＝，方向为逆时针。当线框再向左运动时，线框左边切割磁感线产生的电动势方向是顺时针，线框右边切割磁感线产生的电动势方向是逆时针，此时回路中电流表现为零，故线框在运动过程中电流是周期性变化，故D正确。
4.(2020·云南省大理、丽江、怒江高三毕业生第二次复习统一检测)如图所示，在水平光滑的平行金属导轨左端接一定值电阻R，导体棒ab垂直导轨放置，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中。现给导体棒一向右的初速度v0，不考虑导体棒和导轨电阻，下列图象中，导体棒速度v随时间的变化和通过电阻R的电荷量q随导体棒位移的变化描述正确的是( )
答案 B
解析 由电磁感应定律可知，导体棒向右做切割磁感线运动，产生感应电流，受到向左的安培力，导体棒做减速运动，随着速度减小，感应电流减小，导体棒所受的安培力减小，则加速度减小，故其v?t图象是斜率逐渐减小的曲线，故A错误，B正确；在导体棒运动过程中，通过电阻R的电量q＝＝，则知其q?x图象是过原点的倾斜直线，故C、D错误。
高考考向3 电磁感应中的动力学稳态问题
例3 (2019·全国卷Ⅲ)(多选)如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上。t＝0时，棒ab以初速度v0向右滑动。运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示。下列图象中可能正确的是( )
破题关键点
(1)怎么计算电路中的电动势？
提示：根据E＝BLv求解ab单独运动产生的感应电动势与cd单独运动产生的感应电动势，然后求二者之差。
(2)两杆所受的安培力沿什么方向？大小如何变化？
提示：ab所受安培力向右，cd所受安培力向左。两者所受安培力均不断减小。
[解析] 导体棒ab运动，切割磁感线，产生感应电流，导体棒ab受安培力F作用，速度减小，导体棒cd受安培力F′作用，速度变大，如图所示，感应电流I＝＝，安培力F＝F′＝BIl＝＝ma，随着v1减小，v2增大，则F＝F′减小，两棒的加速度大小a减小，直到v1＝v2＝v共，a＝0，两棒做匀速运动，两棒组成的系统动量守恒，则mv0＝2mv共，v共＝，A正确，B错误。由前面分析知，v1－v2随时间减小得越来越慢，最后为0，则感应电流I＝随时间减小得越来越慢，最后为0，C正确，D错误。
[答案] AC
1.电磁感应中动力学问题的分析思路
2．常见的电磁感应动力学模型
导体杆在导轨上运动时，由于导体杆受到的安培力会阻碍相对运动，最终会达到速度或加速度稳定的状态，可能是匀速运动，可能静止，还可能在恒定外力作用下匀加速运动。如下表所示。
(1)单杆模型
常见模型 最终状态
静止
匀速运动
匀速运动
匀速运动
匀加速运动
(2)双杆模型
常见模型 最终状态
以共同速度匀速运动
以不同速度匀速运动
以相同加速度匀加速
以不同加速度匀加速
5. (2020·河南省三市高三(下)第二次质量检测)(多选)如图所示，两块完全相同的金属板平行正对、且竖直固定放置。一粗细均匀、电阻不计的金属杆水平放置在两块金属板之间，且金属杆和两金属板始终良好接触。整个空间存在一个水平向里的匀强磁场，磁场方向垂直于金属杆，且和金属板平行。不计金属杆和金属板之间的摩擦，设两金属板上下足够长。在t＝0时刻，金属杆由静止开始释放，金属杆在两金属板之间竖直向下的运动过程中，关于其a?t、x?t、v?t和v2?x图象，下列正确的是( )
答案 AC
解析 金属杆下落时，两个金属板分别积聚正、负电荷，相当于一个带电的平行板电容器。设经过时间t时，金属杆下落速度为v，电容器的带电量为Q，电容器两板之间的电压为U，金属杆切割磁感线产生的感应电动势为E，则有C＝，E＝Bdv，U＝E，解得Q＝CBdv，在极短的时间间隔(t，t＋Δt)内，电容器带电量的变化量ΔQ和金属杆速度的变化量Δv满足ΔQ＝CBdΔv，故＝CBd，而通过金属杆的电流I＝，金属杆的加速度a＝，联立可知，在Δt时间内金属杆所受安培力为F＝BId＝CB2d2a，由牛顿第二定律有mg－F＝ma，解得a＝，则可知金属杆在下落过程中做匀加速直线运动，故A、C正确；金属杆做初速度为零的匀加速直线运动，故x?t图象为开口向上的抛物线，v2?x图象为正比例函数图象，故B、D错误。
6．(2020·湖北省武汉市武昌区高三(下)6月调研考试(一))(多选)如图所示，CDE和MNP为两根足够长且弯折的平行金属导轨，CD、MN部分与水平面平行，DE和NP与水平面成30°角，间距L＝1 m，CDNM面上有垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小B1＝1 T，DEPN面上有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小B2＝2 T。两根完全相同的导体棒a、b，质量均为m＝0.1 kg，导体棒b与导轨CD、MN间的动摩擦因数均为μ＝0.2，导体棒a与导轨DE、NP之间无摩擦。导体棒a、b的电阻均为R＝1 Ω。开始时，b棒静止在导轨上，现在由静止释放a棒，运动过程中a、b棒始终不脱离导轨，除导体棒外其余电阻不计，滑动摩擦力和最大静摩擦力大小相等，g取10 m/s2，则( )
A．b棒开始向右滑动时，a棒的速度v0＝0.2 m/s
B．若经过1 s，b棒开始滑动，则此过程中，a棒发生的位移为0.24 m
C．若使CDNM面上的磁场竖直向上，大小不变，b棒始终在水平导轨上，经过足够长的时间，a棒做匀速运动
D．若使CDNM面上的磁场竖直向上，大小不变，b棒始终在水平导轨上，经过足够长的时间，b棒做匀加速运动
答案 BD
解析 整个过程中，a棒一直沿导轨向下滑动，根据右手定则可知电流方向为顺时针(俯视)，根据左手定则可知b棒受到向左的安培力，所以b棒只能向左运动，当b棒开始滑动时，b棒受到的安培力应满足Fb＝μmg＝0.2 N，且有Fb＝B1I0L，I0＝，E＝B2Lv0，联立解得v0＝0.2 m/s，故A错误。若t＝1 s时，b棒开始滑动，对a棒由动量定理得mgtsinθ－B2Lt＝mv0，其中t＝＝，联立解得x＝＝0.24 m，故B正确。若CDNM面上的磁场竖直向上，大小为B1，设a棒的速度大小为v1时，b棒的速度大小为v2，由电磁感应定律可知，电路中的电流I＝＝，经过足够长时间稳定后，电流I保持不变，则＝＝0，有B2·＝B1，设此时a棒的加速度为a1，b棒的加速度为a2，则有mgsinθ－B2IL＝ma1，B1IL－μmg＝ma2，可得a1＝0.2 m/s2，a2＝0.4 m/s2，即a、b棒都做匀加速运动，故C错误，D正确。
高考考向4 电磁感应中的能量和动量问题
例4 (2020·河北省石家庄市高三(下)质量检测(二模))(多选)如图，MN和PQ是固定在水平面上电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，水平部分粗糙，右端接一个阻值为R的定值电阻。水平部分导轨区域存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、电阻也为R的金属棒从高为h处由静止释放，在水平导轨上运动距离d时恰好停止。已知金属棒与导轨水平部分间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨间接触良好，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．金属棒克服安培力做的功等于金属棒产生的焦耳热
B．金属棒克服安培力做的功与克服摩擦力做的功之和为mgh
C．金属棒产生的焦耳热为mg(h－μd)
D．金属棒在磁场中运动的时间为－
破题关键点
(1)如何求解金属棒产生的焦耳热？
提示：根据能量守恒定律求解。
(2)如何求解金属棒在磁场中运动的时间？
提示：根据动量定理求解。
(3)如何求解安培力的冲量？
提示：I安＝∑BILΔt＝BqL＝BL＝。
[解析] 根据功能关系知，金属棒克服安培力做的功等于金属棒以及电阻R上产生的焦耳热之和，故A错误；设金属棒克服安培力所做的功为W，对整个过程，由动能定理得mgh－μmgd－W＝0，解得μmgd＋W＝mgh，故B正确；金属棒克服安培力所做的功为W＝mg(h－μd)，则电路中产生的总的焦耳热Q＝W＝mg(h－μd)，金属棒与电阻R串联，且二者阻值相等，则金属棒产生的焦耳热为mg(h－μd)，故C正确；金属棒在下滑过程中，其机械能守恒，由机械能守恒定律得mgh＝mv，解得金属棒经过弯曲导轨底部的速度大小v0＝，金属棒穿过磁场的过程，通过R的电量为q＝＝，设金属棒在磁场中的运动时间为Δt，根据动量定理有－BLΔt－μmgΔt＝0－mv0，其中q＝Δt，联立解得Δt＝－，故D正确。
[答案] BCD
1.由于电磁感应，导体棒做变加速运动时，如果只需要求解导体棒的初末状态或整个过程的物理量(如末速度、电热、电荷量、位移、运动时间)，则一般从能量或动量的角度求解。
2．求解电磁感应问题中焦耳热的三个途径
(1)感应电路为纯电阻电路时产生的焦耳热等于克服安培力做的功，即Q＝W克安，一般用于电流变化的电路。
(2)感应电路中电阻产生的焦耳热等于电流通过电阻做的功，即Q＝I2Rt，一般用于电流恒定的电路。
(3)感应电路中产生的焦耳热可通过能量守恒定律列方程求解。
3．电磁感应中电量或位移的求解方法
(1)根据磁通量的变化量求电量或位移：q＝·Δt，＝，＝，联立得q＝。
对于导体杆平动切割磁感线，ΔΦ＝BLx，此时q＝。
(2)根据动量定理求电量或位移：导体只在安培力作用下运动时，安培力的冲量等于动量的改变量，BLΔt＝Δp，q＝·Δt，可得q＝。
如果导体杆平动切割磁感线运动，q＝，x＝。
7.(2018·江苏高考)(多选)如图所示，竖直放置的 形光滑导轨宽为L，矩形匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的高和间距均为d，磁感应强度为B。质量为m的水平金属杆由静止释放，进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等。金属杆在导轨间的电阻为R，与导轨接触良好，其余电阻不计，重力加速度为g。金属杆( )
A．刚进入磁场Ⅰ时加速度方向竖直向下
B．穿过磁场Ⅰ的时间大于在两磁场之间的运动时间
C．穿过两磁场产生的总热量为4mgd
D．释放时距磁场Ⅰ上边界的高度h可能小于
答案 BC
解析 由于金属杆进入两个磁场时的速度相等，而穿出磁场后金属杆做加速度为g的加速运动，所以金属杆进入磁场Ⅰ、Ⅱ时都做减速运动，A错误；对金属杆受力分析，根据－mg＝ma可知，金属杆在磁场中做加速度减小的减速运动，其进出磁场的v?t图象如图所示，由于0～t1和t1～t2图线与t轴包围的面积相等(都为d)，所以t1>(t2－t1)，B正确；从进入磁场Ⅰ到进入磁场Ⅱ之前的过程中，根据能量守恒，金属棒减小的机械能全部转化为焦耳热，所以Q1＝mg·2d，所以穿过两个磁场过程中产生的热量为4mgd，C正确；若金属杆进入磁场做匀速运动，则－mg＝0，得v＝，由前面分析可知金属杆进入磁场的速度大于，根据h＝得金属杆进入磁场的高度应大于＝，D错误。
8．(2020·安徽省蚌埠市高三(下)第四次教学质量检查)如图所示，质量为m的“”形金属导轨abcd静止放在光滑水平面(足够大)上，导轨的宽为L，长为2L，cd部分的电阻为R，bc和ad部分电阻不计，P、P′分别为bc和ad的中点，整个导轨处于竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场(未画出，范围足够大)中。一质量为m、长为L、电阻为R的金属棒以速度v从ab端滑上导轨，并最终在PP′处与导轨相对静止。已知金属棒和导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，整个过程金属棒和导轨接触良好。求：
(1)刚滑上导轨时金属棒消耗的电功率；
(2)整个过程金属棒产生的焦耳热；
(3)金属棒从滑上导轨到刚与导轨相对静止所经历的时间。
答案 (1) (2)mv2－μmgL
(3)－
解析 (1)根据电磁感应定律可知，金属棒刚滑上导轨时，产生的电动势为E＝BLv
根据闭合电路欧姆定律可知电路中的电流为I＝
金属棒消耗的电功率为P＝I2R
解得P＝。
(2)设金属棒和导轨相对静止时的共同速度为v1，整个过程金属棒产生的焦耳热为Q，由动量守恒定律可知
mv＝2mv1
根据能量守恒定律2Q＋μmgL＝mv2－·2mv
联立解得Q＝mv2－μmgL。
(3)以金属棒为研究对象，由动量定理可知
I安＋If＝mv1－mv
摩擦力的冲量If＝－μmgt
安培力的冲量I安＝－BLt
又有＝＝
磁通量的变化量为ΔΦ＝BL2
联立解得t＝－。
易错警示 电磁感应中的杆＋导轨模型
例 如图甲所示，光滑金属导轨在同一水平面内，间距为L，导轨有一小段左右断开，为使导轨上的金属棒能匀速通过断开处，在此处铺放了与导轨相平的光滑绝缘材料(图甲中的虚线框处)。质量为m、电阻为R1的均匀金属棒ab垂直于导轨放置在靠近断开处的左侧，另一质量也为m、电阻为R2的均匀金属棒cd垂直于导轨放置在导轨中部某处。导轨MN和PQ足够长，所有导轨的电阻都不计。电源电动势为E、内阻不计。整个装置所在空间有竖直方向的、磁感应强度为B的匀强磁场。闭合开关S，金属棒ab迅即获得水平向右的速度v0并保持该速度到达断开处右侧的导轨上。求：
(1)空间匀强磁场的方向；
(2)通过电源E某截面的电荷量；
(3)棒ab和棒cd最终速度各多大？
(4)若仅将金属棒cd所在处及其右边的导轨间距改为3L，其他条件不变，如图乙所示，导轨MN和M′N′、PQ和P′Q′用导体连通，它们都足够长，从金属棒ab滑上导轨MN和PQ起至开始匀速运动止，这一过程中棒ab和棒cd组成的系统损失的机械能。
分析与解 (1)闭合开关，电流由b到a，而ab受到的安培力向右，故磁场方向竖直向下。
(2)对ab棒，设受安培力时间为Δt，这段时间的平均电流为I，平均安培力为F，通过金属棒某截面的电荷量q等于通过电源某截面的电荷量，由动量定理，有：
FΔt＝mv0
且F＝ILB
q＝IΔt
联立解得：q＝。
(3)棒ab和棒cd在运动过程中受到的安培力大小相等、方向相反，最终两棒以相同速度v做匀速运动，由动量守恒定律，有：mv0＝2mv
解得：v＝
即棒ab和棒cd最终速度均为。
(4)ab滑上MN和PQ时速度仍为v0，由于电磁感应，安培力使ab减速、使cd加速，直至电路中电流为0(即总感应电动势为0)而各自匀速运动，设ab和cd匀速运动的速度分别是v1、v2，从ab滑上MN和PQ至匀速经历的时间为t，这一过程回路中的平均电流为I′，由动量定理，有：
对ab棒：－I′LBt＝mv1－mv0
对cd棒：I′·3L·Bt＝mv2
由电磁感应规律E′＝BLv
有：BLv1＝B·3L·v2
解得：v1＝，v2＝
棒ab和棒cd组成的系统损失的机械能ΔE为：
ΔE＝mv－
解得：ΔE＝mv。
答案 (1)竖直向下 (2) (3) (4)mv
易错警示 1.杆＋导轨模型可以考查学生综合运用动力学、能量、动量的观点解决电磁感应问题的能力，难度较高。
2．应用动量观点解决电磁感应综合问题可分为两类：
(1)利用动量定理求感应电荷量或运动位移
在导体棒做非匀变速运动的问题中，应用动量定理可以解决牛顿运动定律不易解决的问题。
如：BLΔt＝Δp，q＝·Δt，可得q＝。
Δt＝Δp，x＝Δt，可得x＝。
(2)利用动量守恒定律分析双导体杆问题
在相互平行的光滑水平轨道间的双棒做切割磁感线运动时，由于这两根导体棒所受的安培力等大反向，合外力为零，故若不受其他外力，两导体棒的总动量守恒，解决此类问题往往要应用动量守恒定律。(本例题第(4)问中双杆组成的系统动量不守恒，须用动量定理分析解决)
专题作业
限时：60分钟 满分：100分
一、选择题(本题共8小题，每小题8分，共64分，其中第1～4题为单选题，第5～8题为多选题)
1．(2020·河北省石家庄市高三(下)一模)如图甲所示为闭合导体线框abcd放在水平桌面的俯视图，桌面内存在竖直方向的匀强磁场，磁感应强度B随时间变化的规律如图乙所示，规定磁场方向竖直向下为正方向，则下列说法正确的是( )
A.时刻bc边所受安培力最大
B.～时间内电流方向为d→c→b→a→d
C.～时间内线框有收缩趋势
D.时刻bc边所受安培力方向向左
答案 D
解析 时刻＝0，即线框中磁通量变化率为零，则线框中的感应电动势为零，没有感应电流产生，故bc边所受安培力为零，A错误；～时间内磁场竖直向下且磁感应强度减小，根据楞次定律可知，线框中感应电流方向为a→b→c→d→a，故B错误；～时间内线框的磁通量减小，根据楞次定律可知，线框有扩张的趋势，故C错误；时刻处于0～时间内，磁感应强度变大，线框的磁通量增大，故线框有收缩趋势，bc边受到的安培力方向向左，故D正确。
2．(2020·浙江高考)如图所示，固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴OO′上，随轴以角速度ω匀速转动。在圆环的A点和电刷间接有阻值为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态。已知重力加速度为g，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是( )
A．金属棒产生的电动势为Bl2ω
B．微粒的电荷量与质量之比为
C．电阻消耗的电功率为
D．电容器所带的电荷量为CBr2ω
答案 B
解析 金属棒绕OO′轴转动切割磁感线，产生的电动势E＝Br·＝Br2ω，A错误；电容器两极板间的电压等于电源电动势E，带电微粒在两极板间处于静止状态，则q＝mg，即＝＝＝，B正确；电阻消耗的电功率P＝＝，C错误；电容器所带的电荷量Q＝CE＝，D错误。
3.(2020·江苏省苏锡常镇四市高三(下)二模)为测量线圈L的直流电阻R0，某研究小组设计了如图所示电路。已知线圈的自感系数较大，两电表可视为理想电表，其示数分别记为U、I，实验开始前，S1处于断开状态，S2处于闭合状态。关于实验过程，下列说法不正确的是( )
A．闭合S1，电流表示数逐渐增大至稳定值
B．闭合S1，电压表示数逐渐减小至稳定值
C．待两电表示数稳定后，方可读取U、I的值
D．实验结束后，应先断开S1
答案 D
解析 闭合S1，由于线圈的自感电动势，导致电路中电流慢慢增大至稳定值，故A正确；闭合S1，电压表示数等于线圈两端的电压，U＝U外－IR，电路中电流慢慢增大至稳定值，则电压表示数逐渐减小至稳定值，故B正确；实验目的是测量线圈L的直流电阻，因此需要等到线圈产生的自感电动势为零，两电表示数稳定后，方可读取U、I的值，此时R0＝，故C正确；实验结束后，若先断开开关S1，由于L的自感作用，会产生极大的自感电动势，会使L和电压表组成新的回路，电压表两端将被加上反向电压，从而造成电表损坏，故D错误。
4.(2020·辽宁大连二十四中高三模拟)如图所示，在虚线左侧的足够大区域存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，有一个直角三角形金属线框，线框左边与磁场边界平行，线框的电阻为R，线框以垂直虚线方向的速度v0做匀速直线运动，从线框的左边进入磁场时开始计时，E表示线框产生的感应电动势大小，F表示线框受到的安培力大小，P表示线框的电功率的大小，I表示线框中的感应电流，则下列图象中正确的是( )
答案 A
解析 如图所示，设直角三角形的左侧直角边边长为L0，右侧锐角为θ。t时刻，线框切割磁感线的有效长度为L＝(L0－v0ttanθ)，感应电动势为E＝BLv0＝B(L0－v0ttanθ)v0＝BL0v0－Bvtanθ·t，故E与t为一次函数关系，其图线为横截距、纵截距为正、斜率为负的直线，故A正确；感应电流I＝＝＝，故I与t是一次函数关系，是条直线，故D错误；线框所受安培力大小F＝BIL＝B××(L0－v0ttanθ)＝，故F与t为二次函数关系，其图线为开口向上的曲线，故B错误；电功率等于克服安培力的功率，P＝Fv0＝，故P与t为二次函数关系，其图线为开口向上的曲线，故C错误。
5．(2020·湖南省永州市高三(下)第三次模拟考试)如图甲所示，在光滑水平面上用恒力F拉一质量为m、边长为a、电阻为R的单匝均匀正方形铜线框，在1位置以速度v0进入磁感应强度为B的匀强磁场并开始计时。若磁场的宽度为b(b>3a)，在3t0时刻线框到达2位置速度又为v0，并开始离开匀强磁场。此过程中v?t图象如图乙所示，则( )
A．t0时刻线框的速度为v0－
B．t＝0时刻，线框右侧边MN两端电压为Bav0
C．0～t0时间内，通过线框某一横截面的电荷量为
D．线框从1位置运动到2位置的过程中，线框中产生的焦耳热为Fb
答案 CD
解析 根据图象可知，在t0～3t0时间内，线框做匀加速直线运动，合力等于F，根据牛顿第二定律可得加速度大小为a＝，在t0时刻线框的速度为v＝v0－a·2t0＝v0－，故A错误；t＝0时刻，线框右侧边MN两端电压为外电压，线框产生的感应电动势为E＝Bav0，MN间的电压为U外＝E＝Bav0，故B错误；线框进入磁场过程中，流过某一截面的电量为q＝IΔt＝Δt，而E＝＝，联立解得q＝，故C正确；由图可知，线框在位置1和位置2时的速度相等，根据动能定理有Fb－W安＝ΔEk＝0，解得W安＝Fb，线框克服安培力所做的功全部转化为焦耳热，故产生的焦耳热为Fb，故D正确。
6．(2020·河北省张家口市高三(下)5月模拟)如图所示，水平光滑轨道处于竖直向上的匀强磁场中，金属杆ab、cd平行静置在导轨上。现用跨过定滑轮的轻绳将cd与光滑斜面上的重物连接，重物拉动cd在水平轨道上运动。重物下滑过程中，金属杆ab、cd始终在水平轨道上运动且与轨道垂直并接触良好。此过程中( )
A．ab杆一直做加速运动
B．最终ab杆的加速度等于cd杆的加速度
C．cd杆中的感应电流一直增大
D．cd杆先做加速运动后做匀速运动
答案 AB
解析 重物拉动cd在水平轨道上运动，由于安培力作用，cd做加速度越来越小的加速运动，ab做加速度越来越大的加速运动，最终加速度相同，故A、B正确；ab与cd最终加速度相等，此时两者速度差恒定，根据E＝Blv可知，回路中的电动势恒定不变，所以回路中的电流恒定不变，故C错误；由以上分析可知，cd最终做加速运动，故D错误。
7.(2020·河北桃城衡水中学高三模拟)如图所示，电阻不计、间距为L的光滑平行金属导轨水平放置于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导轨左端接一定值电阻R。质量为m、电阻为r的金属棒MN置于导轨上，受到垂直于金属棒的水平外力F的作用由静止开始运动，外力F与金属棒速度v的关系是F＝F0＋kv(F0、k是常量)，金属棒与导轨始终垂直且接触良好。金属棒中感应电流为i，受到的安培力大小为FA，电阻R两端的电压为UR，感应电流的功率为P，它们随时间t变化图象可能正确的有( )
答案 BC
解析 设金属棒在某一时刻速度为v，由题意可知，感应电动势E＝BLv，感应电流i＝＝v，金属棒所受安培力方向水平向左，其大小FA＝BiL＝，R两端电压UR＝iR＝v，感应电流的功率P＝Ei＝v2。分析金属棒运动情况，由力的合成和牛顿第二定律可得：F合＝F－FA＝F0＋kv－v＝F0＋v，a＝，因为金属棒从静止开始运动，所以F0>0，且F合>0，即a>0，加速度方向水平向右。
①若k＝，F合＝F0，即a＝，金属棒水平向右做匀加速直线运动，有v＝at。则i∝t，FA∝t，UR∝t，P∝t2，所以在此情况下没有选项符合；②若k>，F合随v增大而增大，即a随v增大而增大，说明金属棒做加速度增大的加速运动，根据四个物理量与速度的关系可知B符合；③若k<，F合随v增大而减小，即a随v增大而减小，说明金属棒在做加速度减小的加速运动，直到加速度减小为0后金属棒做匀速直线运动，根据四个物理量与速度的关系可知C符合。
8．(2020·云南省红河州高三(下)第三次检测)如图甲所示，绝缘水平面上有一间距L＝1 m的金属导轨，导轨右侧接一阻值为R＝3 Ω的电阻。在导轨间虚线范围内存在垂直导轨平面的匀强磁场，磁场的宽度d＝1 m，磁感应强度大小B＝0.5 T。现有一质量为m＝0.1 kg、电阻r＝2 Ω、长为L＝1 m的导体棒ab，以一定的初速度v0从导轨的左端开始向右运动，穿过磁场区域的过程中，回路中感应电流i随时间t变化的图象如图乙所示。已知导体棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.3，导轨电阻不计，则导体棒ab穿过磁场区域的过程中( )
A．导体棒ab做匀减速直线运动
B．导体棒ab刚进入磁场时的速度为5 m/s
C．导体棒ab通过磁场的时间为0.5 s
D．整个回路中产生的焦耳热为0.3 J
答案 BC
解析 导体棒在磁场中运动的速度为v时，其加速度大小为a＝＝μg＋，则随着速度v的减小，加速度逐渐减小，即导体棒ab做加速度逐渐减小的减速直线运动，A错误；由图读出ab刚进入磁场时的电流i0＝0.5 A，根据闭合电路欧姆定律得i0＝，根据法拉第电磁感应定律得E＝BLv0，联立解得v0＝＝ m/s＝5 m/s，B正确；导体棒通过磁场的过程，取向右为正方向，由动量定理得－μmgt－BLt＝mv－mv0，而t＝t＝，v＝＝ m/s＝3 m/s，联立解得t＝0.5 s，C正确；导体棒通过磁场的过程，由动能定理得－μmgd－W安＝mv2－mv，解得回路产生的焦耳热Q＝W安＝0.5 J，D错误。
二、计算题(本题共2小题，共36分，须写出规范的解题步骤)
9．(2020·江西省九江市十校高三(下)模拟)(18分)如图甲所示，匝数为n、总电阻为r、横截面积为S的竖直螺线管与两足够长的固定平行光滑导轨相连，导轨间距为L，倾角为θ。导轨间有磁感应强度大小为B0、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场。长为L、电阻为4r的导体棒ab放在导轨上，始终与导轨垂直且接触良好。螺线管内有竖直方向、分布均匀的变化磁场(图中未画出)，磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示。闭合开关S，ab恰好处于静止状态。重力加速度大小为g，定值电阻R的阻值为4r，导轨电阻和空气阻力均不计，忽略螺线管磁场对ab的影响。
(1)求0～3t0时间内通过螺线管的电荷量q；
(2)求导体棒ab的质量m；
(3)若将开关S断开，将ab由静止释放，求ab沿导轨上滑的最大速度vm。
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)0～3t0时间内，穿过螺线管的磁通量的变化量为：
ΔΦ＝B0S－＝B0S
回路的总电阻为R总＝r＋＝3r
此时间内通过螺线管的电荷量为q＝Δt＝Δt
而＝n
解得q＝。
(2)由题图乙可知＝
根据法拉第电磁感应定律有E＝n··S
根据闭合电路的欧姆定律可得，通过螺线管的电流为I＝
此时通过导体棒ab的电流为I1＝
导体棒ab恰好处于静止状态，可知其受力平衡，有
mgsinθ＝B0I1L
解得m＝。
(3)开关S断开，感应电动势不受影响，仍为E＝
ab的速度最大时，ab受力平衡，有mgsinθ＝B0I2L，
ab切割磁感线产生的感应电动势为Eab＝B0Lvm
回路中的总感应电动势为E总＝E－Eab
此时通过螺线管的电流为I2＝
解得vm＝。
10．(2020·湖北省武汉市高三(下)六月理综)(18分)如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距为L。导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B。在区域Ⅰ中，将质量为m、电阻为R的导体棒ab放在导轨上，且被两立柱挡住，在区域Ⅱ中将质量为2m、电阻为R的导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑，经时间t，ab刚好离开立柱。ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，重力加速度为g。试求：
(1)t时刻cd棒的速度大小vt；
(2)在时间t内cd棒产生的电能Ecd；
(3)ab棒中电流的最大值Im。
答案 (1) (2)－ (3)
解析 (1)t时刻cd棒的速度大小vt，由法拉第电磁感应定律有E＝BLv1
回路中电流I＝
ab棒刚好离开立柱，则有BIL＝mgsin30°
解得vt＝。
(2)设时间t内cd棒下滑x，以沿斜面向下为正方向，由动量定理得(2mgsin30°)t－t＝2mvt，
即(2mgsin30°)t－BLt＝2mvt
由能量守恒定律有Ecd＝(2mgsin30°)x－·2mv
解得Ecd＝－。
(3)当ab棒开始运动后，两导体棒均切割磁感线运动，由电磁感应定律可知，回路中电流I＝
对两导体棒进行受力分析：
对ab棒BIL－mgsin30°＝maab
对cd棒2mgsin30°－BIL＝2macd
可知从t时刻开始，ab棒沿导轨向上做初速度为零、加速度不断增大的加速运动，cd沿导轨向下做初速度不为零、加速度逐渐减小的加速运动，在此过程中，回路中电流不断增大；
当电流最大时，vcd－vab最大，即Δvcd－Δvab＝0
也就是aab＝acd
联立解得Im＝。
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