广东省中山市2012届高三上学期期末试题数学文

中山市高三级2011—2012学年度第一学期期末统一考试
数学试卷（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设m，n是两条不同直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题
①若 ②
③若 ④若
其中正确的命题是
A．① B．② C．③④ D．②④
3．已知的值等于
A． B． C．— D．—
4．设等比数列，则=
A．2011 B．2012 C．1 D．0
5．已知变量的最大值为
A．0 B． C．4 D．5
6．设，那么“”是“”的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7．如程序框图：若输入，，则输出
A．0
B．3
C．6
D．12
（第10题）
8．已知函数.若,且,则的取值范围是
A． B． C． D．R
9．定义运算，函数图像的顶点是，且成等差数列，则
A．0 B．－14 C．－9 D．－3
10．如图，将的直角三角板ADC和的直角三角板ABC拼在一起组成平面四边形ABCD，其中的直角三角板的斜边AC与的直角三角板的所对的直角边重合，若，则x，y分别等于
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)
11．命题“”的否定是 .
高一级 高二级 高三级
女生 375 x y
男生 385 360 z
12．某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如右表所示，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法（按年级分层）在全校学生中抽取100人，则应在高三级中抽取的学生人数为 .
13．已知关于的不等式＜0的解集是.则 .
14．已知函数的图象与函数g(x)的图象关于直线对称，令
则关于函数h(x)有下列命题:
①为图象关于y轴对称； ②是奇函数；③的最小值为0； ④在(0，1)上为减函数.其中正确命题的序号为 （注：将所有正确命题的序号都填上）.
三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分12分）
在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，满足
（1）求角B的大小；
（2）若，求函数的值域。
16．（本小题满分12分）
我市某大学组建了A、B、C、D四个不同的社团组织，为培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加且只能参加一个社团，假定某寝室的甲、乙、丙三名学生对这四个社团的选择是等可能的。 （1）求甲、乙两人都参加C社团的概率；
（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人参加同一社团的概率。
17．（本题满分14分）
在棱长为的正方体中,
是线段的中点,底面ABCD的中心是F.
(1) 求证:；
(2) 求证:∥平面；
(3) 求三棱锥的体积。
18．（本小题满分14分）
已知数列{}满足 .
（1）证明：数列{+2}是等比数列.并求数列{}的通项公式；
（2）若数列{}满足，设是数列的前n项和.
求证：
19．（本小题满分14分）
国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值y (美元)与其重量x (克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元。
（1）写出y关于x 的函数关系式；
（2）若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；
（3）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n克拉，试证明：当m=n 时，价值损失的百分率最大。
(注：价值损失的百分率=×100% ；在切割过程中的重量损耗忽略不计)
20．(本小题14分)
已知函数，其中为参数，且.
（1）当时，判断函数是否有极值，说明理由；
（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围。
中山市高三级2011—2012学年度第一学期期末统一考试
数学试卷（文科）答案
一、选择题 BDADC BCACB
二、填空题 11. ； 12.25 ； 13．—2； 14. ①④
三、解答题
15．（本题满分12分）
16. （本题满分12分）
解法一：（1）由于每人参加其中一个社图的概率是， ………3分
所以，甲、乙两人都参加C社团的概率为； ………6分
（2）总的可能情况为 ………8分
但由于三人中任何两人都不在同一社图的总数为=24（种），………10分
所以，甲、乙、丙三名学生中至少有两人参加同一社团的概率……12分
解法二：穷举法，分别列出总的基本事件，数数符合的含有多少个基本事件，从而得到答案。
17．（本题满分14分）
解: (1)证明：根据正方体的性质，…………………………………………2分
因为，所以，又
所以，，所以；……………5分
(2)证明：连接，因为，
所以为平行四边形，因此
由于是线段的中点,所以，……8分
因为面，平面，
所以∥平面……………………………10分
(3) ……14分
18．（本题满分14分）
证明：（1）由an=2an－1+2，
∴an+2=2(an－1+2)
∴ ………………………2分
又a1=2，
∴ {an+2}是以a1+2=4为首项，以2为公比的等比数列. ………………4分
∴an+2=4·2n－1，
∴an=2n+1－2， …………………………………5分
（2）证明：由………7分
则③
，④ ………………9分
③－④，得
…………13分
所以： .……………………14分
19．(本小题14分)
解：(1)依题意设， ……………………………………………2分
， 故． ……………………… 4分
(2)设这颗钻石的重量为克拉， 由(1)可知，
按重量比为l∶3切割后的价值为．
价值损失为．………………… 6分
价值损失的百分率为
∴价值损失的百分率为37.5％． …………………………………9分
(3)证明：价值损失的百分率应为
，等号当且仅当m=n时成立. ……………13分
即把一颗钻石切割成两颗钻石，当两颗钻石的重量相等时，价值损失的百分率达到最大 . ………………………………………………14分
20. (本小题14分)
解：（1）当即时则在内是增函数，故无极值。…………3分
（2）令得
由及（1），只需考虑的情况。 …………5分
当变化时，的符号及的变化情况如下表：
0
＋ 0 － 0 ＋
增 极大值 减 极小值 增
因此，函数在处取得极小值且
要使必有可得所以
…………9分
（3）解：由（2）知，函数在区间与内都是增函数。
由题设，函数在内是增函数，则须满足不等式组
　　　或 13分
由（2）中时，要使不等式关于参数恒成立，必有
综上所述， 的取值范围是 …………14分
开始
是
输出n
结束
输入m,n
m=n
n= r
r=0
否
（第7题）
（第17题图）