广东省中山市11-12学年高二上学期期末试题数学理

中山市高二级2011—2012学年度第一学期期末统一考试
数学试卷（理科）
本试卷满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项：
1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上. 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案. 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁。考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
5、不可以使用计算器。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．抛物线的焦点坐标是
A． B． C． D．
2．已知△ABC的三内角A，B，C成等差数列，且AB=1，BC=4，则该三角形面积为
A． B．2 C．2 D．4
3．若，则以下命题为真的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．当在上变化时，导函数的符号变化如下表：
1 （1，4） 4
－ 0 + 0 －
则函数的图象的大致形状为
5．已知等差数列：的前项和为，则使得取得最大值的的值为
A．7 B．8 C．7或8 D． 8或9
6．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正
方形，若，且，则的长为
A． B． C． D．
7．直线交抛物线C：于、两点，则“”是“直线过抛物线C的焦点”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知函数在点（1，1）处的切线方程为 ()，则满足约束条件的点的可行域面积为
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上）
9．命题“若，则且”的逆否命题是　　　　　　　　　　　 。
10．已知正项等比数列中，前和为，若，则公比= 。
11．某学习小组进行课外研究性学习，为了测量不能
到达的A、B两地，他们测得C、D两地的直线
距离为，并用仪器测得相关角度大小如图所
示，则A、B两地的距离大约等于
（提供数据：，结果保留两
个有效数字）
12．命题“，使”的否定是 ，若是假命题，则实数的取值范围为
13．设正数满足，则的最大值为 ，
14．关于双曲线，有以下说法：①实轴长为6；②双曲线的离心率是；③焦点坐标为；④渐近线方程是，⑤焦点到渐近线的距离等于3。正确的说法是 ，（把所有正确的说法序号都填上）
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
15．（本小题满分12分）在等比数列中，已知。
（1）求数列的通项；
（2）在等差数列中，若，求数列前项和。
16．（本小题满分12分）△ABC的三个内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，已知c=3，C=60°。（1）若A=75°，求b的值；（2）若a=2 b, 求b的值。
17．（本小题满分14分）中山市某家电企业根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调机、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
家电名称 空调机 彩电 冰箱
工时
产值/千元 4 3 2
问每周应生产空调机、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）
18．（本小题满分14分）如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．分别为，，，的中点，分别为，，，的中点．如图建立空间直角坐标系。
（1）证明：四点共面；
（2）若F为的中点，求与平面所成角的正弦值。
19．（本小题满分14分）已知函数（为实常数）。（1）求的单调区间；（2）若对于任意，都有恒成立，求实数的取值范围。
20．（本小题满分14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且过点M。（1）求椭圆C的方程；（2）若过点的直线交椭圆C于A、B两点，且N恰好为AB中点，能否在椭圆C上找到点D，使△ABD的面积最大？若能，求出点D的坐标；若不能，请说明理由。
中山市高二级2011—2012学年度第一学期期末统一考试
数学试卷（理科）参考答案
一、选择题答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C C A C A
二、填空题答案
9．若或，则
10． 11．1.4
12．，；（前空2分，后空3分）
13． 14．②④⑤
三、解答题
15. 解：（1）由 ，得q=2，解得，从而. …………5分
（2）由已知得，又，解得d=-2. ………………8分
∴ ………………12分
16．解：（1）由，得 ……………………………2分
由正弦定理知， ……………………………………3分
………………………………………………………6分
（2）由余弦定理知， ……………………………………8分
将代入上式得
……………………………………………10分
………………………………………………………………………………12分
17. 解：设该企业每周应生产空调机台、彩电台，则应生产冰箱台，产值为（千元），……………………………2分
所以满足约束条件
，即
………………………………6分
可行域如右图 …………………………………9分
联立方程组
，解得………………11分
将平移到过点时，取最大值，
（千元） …………………………13分
答：每周应生产空调机10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是350千元。 …………14分
18. （1）证明：
所以 ………………………………………………3分
………………………………………………………………………4分
………………………………………………………………………5分
四点共面…………………6分
（2）解：设平面的一个法向量为
，则，，
其中，所以
…………………………………………10分
设直线与平面的所成角为，则
（亦可用中点坐标公式求得）……11分
……………………13分
故与平面所成角的正弦值为 ……………………………………14分
19．解：（1） …………………………………………1分
函数的定义域为
令，有，解之得 ……………………………………3分
令，有，或 ……………………………………4分
所以函数的单调区间为，。……………………………………6分
[端点1包含与否，不扣分]
（2）要使对于任意，都有恒成立，只要在区间上， ………………………………………………………………8分
当在上变化时，
的变化情况如右表： 由表知，函数
……………………………………………10分
因为函数在是增函数，所以在上，的最大值为……12分
故为所求。………………………………………………………………14分
20．解：（1）法一：依题意，设椭圆方程为，则 …… ……1分
，……………………………………………………………………2分
因为椭圆两个焦点为，所以
=4 ……4分
…………………………………………………………5分
椭圆C的方程为 ……………………………………6分
法二：依题意，设椭圆方程为，则 …………………1分
，即，解之得 ………………5分
椭圆C的方程为 …………………………………………………6分
（2）法一：设A、B两点的坐标分别为，则
…………………………………………………7分
………………①
………………②
①-②，得
…………………9分
设与直线AB平行且与椭圆相切的直线方程为
联立方程组，消去整理得
由判别式得
…………………………………………12分
由图知，当时，与椭圆的切点为D，此时
△ABD的面积最大
所以D点的坐标为………………14分
法二：设直线AB的方程为，联立方程组，
消去整理得
设A、B两点的坐标分别为，则
所以直线AB的方程为，即……………………9分
（以下同法一）