(共22张PPT)
直线与圆位置关系的应用
人民教育出版社选择性必修一
复习回顾
1.直线与圆的位置关系
几何法：
d＜r
相交
d=r
相切
d＞r
相离
代数法：
△＞0
相交
△＝0
相切
△＜0
相离
2.弦长问题
r
d
r
d
l
韩国釜山
台风“海神”未来
120
小时路径预报图
9月7日11时，“海神”到达韩国釜山附近水域，距离台风中心A处正东方向200km的B处有一艘轮船，正以北偏西α角方向航行返回港口，速度为40km/h，已知距离台风中心150km以内的水域（包含边界）受其影响。
（1）请帮助船长决定，航行方向α角的正切值在什么范围时，可保证轮船不受“海神”影响
A
B
r=150
台风——圆
B地
——定点
……
过定点的直线与圆的相切问题
几何法
代数法
……
α
A
（1）方法一：
y
x
B
α
如图所示，以圆心为原点建立直角坐标系
圆的方程为：：
过点B（200,0）
的直线方程为：
则圆心到直线的距离为：
解得：
所以tanα
的范围为
，可保证船只不受影响
A
（1）方法二
y
x
B
α
如图所示，以圆心为原点建立直角坐标系
联立：
当直线与圆相切，即△=0得：
得：
几何法计算量更小，在研究圆与直线问题时更优于代数法
所以tanα
的范围为
，可保证船只不受影响
A
B
α=45°
C
D
影响时间
弦长问题
构造直角三角形
M
9月7日11时，“海神”到达韩国釜山附近水域，距离台风中心A处正东方向200km的B处有一艘轮船，正以北偏西α角方向航行返回港口，速度为40km/h，已知距离风暴中心150km以内的水域（包含边界）受其影响。
（1）请帮助船长决定，航行方向α角的正切值在什么范围时，可保证轮船不受“海神”影响
（2）若船长误将轮船航行方向调整为北偏西45°，求轮船受台风影响时间？
A
（2）
y
x
B
α=45°
过点B（200,0）
的直线方程为：
则圆心到直线的距离为：
代入：
设直线与圆相交于CD两点
得：
C
D
所以持续受台风影响时间为
实际问题
审题
建立模型
直线与圆应用题求解的一般步骤
模型求解
解释
说明
台风“海神”未来120小时路径预报图
A
B
延吉
9月8日11时，台风“海神”登陆延吉市，导致全市范围普降暴雨，河道水位上涨。已知在延吉有一座拱桥，行船的拱洞为圆弧，拱洞的水面跨度是
24m，拱高为8m.
船夫张大爷每日需行驶货船在此桥下通过，此货船宽10m，在水面以上部分高6m（小船可近似看成长方体），平日通行无阻.
近日由于水位暴涨1.
5m，为此，必须加重船载，以降低船身.
当船身至少应降低多少米时，船才能通过桥洞。
拱桥→圆弧
水平面→直线
小船→矩形
求BC线段长度
M
N
B
C
A
D
1.5
建立直角坐标系，
设拱桥所在圆的方程为：
由题意，圆经过（12,0），（0,8）
所以圆弧的方程为：
（0≤y≤8）
O
x
y
所以
解得：
（12,0）
（0,8）
M
N
O
x
y
代入x=4，得y=7
AD=7
∴DB=1.5-（7-6）=0.5m
BD=3
A
D
B
M
N
C
即船身至少降低0.5m，可通过
实际问题
审题
建立模型
直线与圆应用题求解的一般步骤
模型求解
解释
说明
注意数学图形和实际图形的区别
选择恰当的求解方式可以优化计算过程
台风“海神”未来120小时路径预报图
B
C
佳木斯
已知“海神”中心在9日11时登陆黑龙江省佳木斯市，并以15km/h的速度沿东偏北30°方向撤离我国境内，其影响范围200km，已知我国边界线可以近似看作一条北偏东30°的直线，且此时台风中心距离边界线40km，请估算出何时我国不受“海神”的影响?
O
生活中的直线与圆
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南θ，方向300
km
的海面P处，并以20km／h
的速度向西北方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60
km，并以10
km／h
的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
生活中的直线与圆
免单
二折
四折
三折
六折
九折
某餐厅开业大促，开展“推杯子赢免单”的促销活动，规定杯子停止运动时，杯身大部分落入的区域即为所打折扣，若杯子掉出桌面（圆心超出桌边），即为没有折扣，假设桌面摩擦系数不变，且人只能在“活动台”区域推杯子。请设计实验探究活动，研究杯子移动至免单区域，受什么影响？
（1）若小明推杯力度恒定，你能否帮助小明设计推杯角度与杯子推出的位置，来获得免单？
（2）若指定杯子推出的位置，你能否建立一个数学模型，确定推杯的力度与角度以获得免单？
生活中的直线与圆
Thank
you直线与圆位置关系的应用教学设计
一、课程目标
1.掌握利用直线与圆位置关系解决实际问题的一般方法。
2.掌握用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程。
3.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值。
二、重点、难点
培养学生的数学抽象与数学建模能力
三、教学过程
（一）复习回顾
1.判断直线与圆位置关系
（1）几何法
（2）代数法
联立
直线与圆的位置关系
相离
相切
相交
几何法
代数法
2.弦长问题
______________
师生互动：教师以提问的方式，帮助学生复习前面所学知识，同时ppt动态演示复习内容，给学生以直观的感受和提醒，为本节课内容做好铺垫。
（二）新课引入
情景设置：以一则介绍台风“海神”的气象预报为切入点。让学生通过观看视频，置身于真实的场景，使学生更加直观的感受到“台风”对人类生产生活的影响。
师生互动：教师引导学生跟随台风“海神”一起，解决由台风引起的一系列问题。
设计意图：引起学生对本节课内容的浓厚兴趣，让学生直观的感受到数学源于生活，并且服务于生活。
（三）新课导学
1.情景设置：
9月7日11时，台风“海神”到达韩国釜山附近水域，距离台风中心A处正东方向200km的B处有一艘轮船，正以北偏西α角方向航行返回港口，速度为40km/h，已知距离台风中心150km以内的水域（包含边界）受其影响。
（1）请帮助船长决定，航行方向α角的正切值在什么范围时，可保证轮船不受“海神”影响
（2）若船长误将轮船航行方向调整为北偏西45°，求轮船受台风影响时长？
师生互动：以提问的方式，让学生集思广益，分析这个问题的做题思路及解题方法，暴露思维过程。由教师进行总结，帮助学生明确该题的思路及规范答题过程。
设计意图:通过情境设置培养学生的数学抽象能力，通过题目解答培养学生数学建模能力以及数学运算的能力。
2.师生互动：让学生思考解决与直线和圆有关的应用类问题的一般步骤。由教师引导学生回顾并总结上一道题目解决方法，板书解决直线与圆实际问题的一般步骤。
实际问题
审题
模型求解
建立模型
设计意图：培养学生的反思精神以及对问题的总结概括能力，帮助学生形成解决直线与圆实际问题的一般范式。打破学生对于应用题的恐惧心理。
3.情境设置
9月8日11时，台风“海神”登陆延吉市，导致全市范围普降暴雨，河道水位上涨。已知在延吉有一座拱桥，行船的拱洞为圆弧，拱洞的水面跨度是
24m，拱高为8m.
船夫张大爷每日需行驶货船在此桥下通过，此货船宽10m，在水面以上部分高6m（小船可近似看成长方体），平日通行无阻.
近日由于水位暴涨1.
5m，为此，必须加重船载，以降低船身.
当船身至少应降低多少米时，船才能通过桥洞。
师生互动：让学生通过小组合作的方式分享交流对这道题目的理解。并选取典型答案请同学在黑板上展示。并鼓励同学用多种方法求解，其他方法可以采用投屏的方式请学生上台展示。
设计意图：通过小组交流的方式，让学生间进行充分沟通，碰撞出思维的火花，同时也培养了学生的协作能力。把优秀的作答过程展示在黑板上，并让学生进行讲解，这种生生互动的方式调动了学生积极性，让学生体会解决问题的喜悦之情。
4.师生互动：以问题二为例，教师指出解决实际问题需要注意的几点问题。
设计意图：进一步加深对解决实际问题一般步骤的理解，优化做题的思路。
5.情境设置
“海神”中心在9日11时登陆黑龙江省佳木斯市，并以15km/h的速度沿东偏北30°方向撤离我国境内，其影响范围200km，已知我国边界线可以近似看作一条北偏东30°的直线，且此时台风中心距离边界线40km，请估算出何时我国不受“海神”的影响?
师生互动：让学生自主思考，独立完成该问题。检验学生对本节课的学习内容的掌握情况。并以投影的方式，请同学展示自己的解题思路以及做题过程。
设计意图：从实际问题出发，让学生自主思考，进一步训练学生的数学抽象能力以及数学建模能力。通过学生展示的形式，培养学生自主发展的意识，学会学习。教师对学生的做题结果给予积极的反馈，培养学生乐学善心的情感态度。
6.知识迁移
问题设置：1.
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南θ方向300
km
的海面P处，并以20km／h
的速度向西北方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60
km，并以10
km／h
的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
师生互动：教师说明在实际情况中，我们只能把较短时间内台风及其影响范围抽象成一个圆，在实际情况中，其实台风的影响范围半径在不断扩大，学生课下用本节课所学方法，尝试解决。
设计意图：通过展示这个实际问题，让学生体会生活中时时有数学，处处有数学。激发学生学习数学的兴趣，锻炼学生解决实际问题的能力及数学建模能力。
7.迁移拓展
师生互动：教师通过幻灯片，展示生活中蕴含的直线与圆，让学生进一步体会，只要我们用数学的眼光看世界，生活中处处是数学；只要我们用数学的思维思考问题，生活中的很多问题都可以迎刃而解。
直线与圆位置关系的应用评测练习
1.
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南θ方向300
km
的海面P处，并以20km／h
的速度向西北方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60
km，并以10
km／h
的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
2.（研究性学习活动）某餐厅开业大促，开展“推杯子赢免单”的促销活动，规定杯子停止运动时，杯身大部分落入的区域即为所打折扣，若杯子掉出桌面（圆心超出桌边），即为没有折扣，假设桌面摩擦系数不变，且人只能在“活动台”区域推杯子。请设计实验探究活动，研究杯子移动至免单区域，受什么影响？
（1）若小明推杯力度恒定，你能否帮助小明设计推杯角度与杯子推出的位置，来获得免单？
（2）若指定杯子推出的位置，你能否建立一个数学模型，确定推杯的力度与角度以获得免单？
“活动台”
九折
六折
四折
二折
免单
三折
r
d
O
l
d
r
O
