2020-2021学年九年级数学人教版下册第27章第2节第1部分相似三角形的判定教案
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年九年级数学人教版下册第27章第2节第1部分相似三角形的判定教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 364.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-17 16:00:44 | ||
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文档简介
27.2.1
相似三角形的判定
第1课时平行线分线段成比例
《平行线分线段成比例》是人教版九年级数学第二十七章《相似》第二节《相似三角形》第一课时的内容。它是在学生认识相似图形，了解相似多边形的性质及判定的基础上进行学习的。本课时首先复习相似多边形的性质，然后引出两个三角形相似的定义（即三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似），然后引导学生思考类比全等三角形的判定方法，对于相似三角形是否存在较为简便的方法。接下来通过一个探究，由学生动手计算来探究得到平行线分线段成比例的基本事实（三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等），从而将其应用于三角形中，得到“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”这一基本事实的推论，是进一步学习相似三角形判定的预备定理的基础。
●教学目标：
【知识与技能目标】
1、了解相似三角形的定义；
2、理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用；
3、掌握两个三角形相似的预备定理.
【过程与方法目标】
经历“动手操作—直观感知—发现事实”的过程，增强学生发现问题，解决问题的能力．
【情感态度与价值观目标】
1、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值.
2、在进行探索的活动过程中，发展学生的探索发现归纳意识，并养成合作交流的学习习惯，体现数学的真善美.
●教学重点：判定两个三角形相似的预备定理
●教学难点：探究两个三角形相似的预备定理的过程
●教学过程设计：
一、复习提问，引入新课
问题1：什么是相似多边形？它具有什么性质？
师生活动：教师提出问题，学生思考并回答，使学生对上节课所学内容有深刻印象，以引起学生对本节课的研究内容的关注。
设计意图：通过对旧知识的复习和回顾，激发学生的学习兴趣，为学习新知识提供基础。
二、探索新知，自主学习
问题2：如何定义相似三角形？
问题3：如果k=1，则△ABC______△A'B'C'
师生活动：学生观察图形，结合相似多边形的定义，不难发现如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似。于是，得到判定三角形相似的定义：即对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。教师适时提问，当相似比k为1时，这两个三角形又有怎样的关系？
在此活动中，教师应重点让学生关注和理解：
①相似的顺序性；②表示对应顶点的字母写在对应的位置上；③全等是特殊的相似，其相似比为1．
设计意图：通过观察，引导学生去探索、发现、归纳相似三角形的有关概念．
问题4：学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等，对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS，SAS，ASA，AAS等）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是对所有的对应角和对应边都要一一验证呢？有没有简便方法呢？
师生活动：学生思考，并猜想判定方法，教师对学生的大胆猜想予以鼓励，并指出为了证明相似三角形的判定定理，我们先来学习下面的平行线分线段成比例这个基本事实．
设计意图：通过提问，引导学生回顾全等三角形的判定方法，并能类比全等三角形提出相似三角形判定方法的猜想．教师要关注学生的探究投入程度，鼓励学生大胆发表自己的见解．
三、问题探究，发现事实
如图①，小方格的边长都是1，直线
a∥b∥c，分别交直线
m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3
若将ｂ向下平移到其他位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点分别为A2，B2，刚才在问题（1）中发现的结论还成立吗？
师生活动：学生动手计算它们的比值，在学生动手实践的基础上，教师利用多媒体技术，通过任意拖动直线进行演示．事实上可以得到如下结论：
平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例．
设计意图：通过学生的独立思考，动手实践，验证结果，发现基本事实．
四、应用新知，知识迁移
问题5：把直线
n
向左或向右任意平移，这些线段依然成比例吗？
图（1）
图（2）
把直线向左平移，两直线相交时有两种特殊的交点，图（1）是把l4看成平行于△ACF的边CF的直线.
图（2）是把l3
看成平行于△FBC的边FC的直线，那我们能得出什么样的结论呢？
师生活动：在基本事实的支持下,学生不难发现:平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．即：平行线分线段成比例基本事实的推论．
设计意图：通过学生的交流讨论，明确基本事实在三角形中的应用．
五、巩固新知，学以致用
例：如图，在△ABC中，
EF∥BC.
（1）如果AE
=
BE=7，FC
=
4
，那么
AF
的长是多少？
（2）如果AE=4，
BE
=
6，
AF
=
5，那么
AC
的长是多少？
练习：如图，AB//CD//EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，求
的值．
设计意图：巩固性练习,运用基本事实于三角形中,体验运用新知，独自解决数学问题的快乐.
六、大胆猜想，探究验证
问题6：如图，在?ABC中，
DE∥BC，DE分别交AB、AC于点D、E
，?ADE与?ABC有什么关系？
师生活动：学生猜想：?ADE与?ABC相似，然后小组交流讨论，
如何验证猜想的成立？老师巡视给予指导。
证明：
归纳：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
设计意图：鼓励学生大胆猜想，培养学生的观察能力，善于发现问题，解决问题，善于总结的能力.
七、运用新知，巩固练习
1、已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似三角形.
2、若
△ABC
与
△A′B′C′
相似，一组对应边的长为AB
=3
cm，
A′B′=4
cm，那么△A′B′C′与
△ABC
的相似比是_____.
3、若
△ABC
的三条边长的比为3：5：6，与其相似的另一个
△A′B′C′
的最小边长为12
cm，那么
A′B′C′
的最大边长是______.
师生活动：学生独立思考并完成解答，教师点评.
设计意图：加深学生对新知识的理解，能灵活运用所学知识解决简单的问题，培养学生自主探索的精神.
八、随堂检测
师生活动：学生独立思考并完成解答，教师点评.
设计意图：加深了学生对本节课知识的巩固，让学生感受学习所收获到的成功喜悦。
九、课堂小结：
这节课有何收获？
学生活动：学生自由发言，交流学习的经验和体会，并自主总结本节课的主要内容。
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容和探索问题的过程与方法，巩固平行线分线段成比例的基本事实及推论，两个三角形相似的预备定理.
十、布置作业
练习册P18-19
27.2.1相似三角形的判定第2课时教学设计
教学目标
知识技能
了解“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定定理的证明过程，能运用这两个判定定理证明三角形相似．
数学思考与问题解决
1．通过全等三角形的证明方法类比相似三角形的证明方法，在这个过程中渗透体会类比、转化的思想．
2．通过对相似三角形两个判定定理的学习，能根据已知条件证明三角形相似并解决一些简单的问题．
情感态度
通过全等三角形的SSS和SAS的证明方法，利用类比、转化的思想证明以上两个相似三角形的判定定理，在这个过程中，鼓励学生大胆猜想、模仿，培养学生的严谨推理能力．
重点难点
重点：能运用“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理证明三角形相似．
难点：对“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理的证明．
教学设计
活动一：问题情境
1．相似三角形是如何定义的呢？除了定义，还有什么方法可以判定相似三角形？
2．如果△ABC≌△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC和△A2B2C2有什么关系？
3．全等三角形又是如何定义的呢？我们证明全等三角形有哪些方法？(SSS，SAS，ASA，AAS，直角三角形还有HL)
4．全等三角形与相似三角形有什么关系？我们能否类比猜想，利用全等三角形的证明方法来判定三角形相似呢？
设计意图：问题1
是本课学习的知识基础，问题2是本课探究的依据，问题3和问题4是为本课的学习提供研究的方向，这些问题为本课学道路．
活动二：探索证明方法
1．如图1，如果用SSS判定三角形全等的方法，类比相似三角形的判定方法，在表述上有何区别？如何表述呢？
(在△ABC和△A1B1C1中，如果＝＝，那么△ABC∽△A1B1C1.)
2．要证明这个结论，我们就应该在△ABC中，构造一个三角形，满足这个三角形与△ABC相似且与△A1B1C1全等，那么首先考虑这个三角形与△ABC相似，用已学的方法如何构造呢？(平行)
3．假设这条平行线DE∥BC，得到△ADE，可以证明△ADE∽△ABC，依据活动一问题2，接下来就应该满足△ADE≌△A1B1C1，那么你认为直线DE应该在什么位置呢？如何证明呢？(满足AD＝A1B1)
4．类似地，如图2，如果用SAS判定三角形全等的方法，类比相似三角形的判定方法，在表述上有何区别？如何表述呢？并参照以上证明方法给出证明．
5．请你描述以上证明的两个结论，并依据图1和图2用数学符号表述出来．
设计意图：以问题教学形式，促进学生合理思考，改变教材直接呈现的结果，有利于学生猜想、联系、转化，直至证明．
活动三：精讲与精练
例1(教材第33页例1)
分析：(1)分析三边是否成比例即可；(2)分析夹角的两边是否成比例即可．
巩固练习1：教材第33页练习1，2，3.
设计意图：此环节的例题和习题难度都不大，让初学者有成就感，增加继续学习的信心．
活动四：提高与拓展
例2
已知：如图3，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．△ADQ与△QCP是否相似？为什么？
分析：容易发现△ADQ与△QCP都是直角三角形，有∠C＝∠D＝90°，下面只需证明夹∠D两边AD、DQ与夹∠C两边QC、PC对应成比例即可．
巩固练习2：如图4，四边形ABCD、四边形CDEF、四边形EFGH都是正方形．
(1)△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由；
(2)求∠1＋∠2的度数．
(答案：(1)相似，理由略；(2)45°.)
设计意图：此环节主要突出考查学生灵活掌握所学知识的能力，给学生更多的提供展示自己的舞台．
活动五：课堂小结与作业布置
1．课堂小结：(1)目前判定相似三角形有哪些方法？
(2)这些判定方法与全等三角形有何联系和区别？
2．作业布置：教材第42页第2(1)，3，8题．
A
∽
相似三角形的判定
第1课时平行线分线段成比例
《平行线分线段成比例》是人教版九年级数学第二十七章《相似》第二节《相似三角形》第一课时的内容。它是在学生认识相似图形，了解相似多边形的性质及判定的基础上进行学习的。本课时首先复习相似多边形的性质，然后引出两个三角形相似的定义（即三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似），然后引导学生思考类比全等三角形的判定方法，对于相似三角形是否存在较为简便的方法。接下来通过一个探究，由学生动手计算来探究得到平行线分线段成比例的基本事实（三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等），从而将其应用于三角形中，得到“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”这一基本事实的推论，是进一步学习相似三角形判定的预备定理的基础。
●教学目标：
【知识与技能目标】
1、了解相似三角形的定义；
2、理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用；
3、掌握两个三角形相似的预备定理.
【过程与方法目标】
经历“动手操作—直观感知—发现事实”的过程，增强学生发现问题，解决问题的能力．
【情感态度与价值观目标】
1、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值.
2、在进行探索的活动过程中，发展学生的探索发现归纳意识，并养成合作交流的学习习惯，体现数学的真善美.
●教学重点：判定两个三角形相似的预备定理
●教学难点：探究两个三角形相似的预备定理的过程
●教学过程设计：
一、复习提问，引入新课
问题1：什么是相似多边形？它具有什么性质？
师生活动：教师提出问题，学生思考并回答，使学生对上节课所学内容有深刻印象，以引起学生对本节课的研究内容的关注。
设计意图：通过对旧知识的复习和回顾，激发学生的学习兴趣，为学习新知识提供基础。
二、探索新知，自主学习
问题2：如何定义相似三角形？
问题3：如果k=1，则△ABC______△A'B'C'
师生活动：学生观察图形，结合相似多边形的定义，不难发现如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似。于是，得到判定三角形相似的定义：即对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。教师适时提问，当相似比k为1时，这两个三角形又有怎样的关系？
在此活动中，教师应重点让学生关注和理解：
①相似的顺序性；②表示对应顶点的字母写在对应的位置上；③全等是特殊的相似，其相似比为1．
设计意图：通过观察，引导学生去探索、发现、归纳相似三角形的有关概念．
问题4：学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等，对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS，SAS，ASA，AAS等）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是对所有的对应角和对应边都要一一验证呢？有没有简便方法呢？
师生活动：学生思考，并猜想判定方法，教师对学生的大胆猜想予以鼓励，并指出为了证明相似三角形的判定定理，我们先来学习下面的平行线分线段成比例这个基本事实．
设计意图：通过提问，引导学生回顾全等三角形的判定方法，并能类比全等三角形提出相似三角形判定方法的猜想．教师要关注学生的探究投入程度，鼓励学生大胆发表自己的见解．
三、问题探究，发现事实
如图①，小方格的边长都是1，直线
a∥b∥c，分别交直线
m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3
若将ｂ向下平移到其他位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点分别为A2，B2，刚才在问题（1）中发现的结论还成立吗？
师生活动：学生动手计算它们的比值，在学生动手实践的基础上，教师利用多媒体技术，通过任意拖动直线进行演示．事实上可以得到如下结论：
平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例．
设计意图：通过学生的独立思考，动手实践，验证结果，发现基本事实．
四、应用新知，知识迁移
问题5：把直线
n
向左或向右任意平移，这些线段依然成比例吗？
图（1）
图（2）
把直线向左平移，两直线相交时有两种特殊的交点，图（1）是把l4看成平行于△ACF的边CF的直线.
图（2）是把l3
看成平行于△FBC的边FC的直线，那我们能得出什么样的结论呢？
师生活动：在基本事实的支持下,学生不难发现:平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．即：平行线分线段成比例基本事实的推论．
设计意图：通过学生的交流讨论，明确基本事实在三角形中的应用．
五、巩固新知，学以致用
例：如图，在△ABC中，
EF∥BC.
（1）如果AE
=
BE=7，FC
=
4
，那么
AF
的长是多少？
（2）如果AE=4，
BE
=
6，
AF
=
5，那么
AC
的长是多少？
练习：如图，AB//CD//EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，求
的值．
设计意图：巩固性练习,运用基本事实于三角形中,体验运用新知，独自解决数学问题的快乐.
六、大胆猜想，探究验证
问题6：如图，在?ABC中，
DE∥BC，DE分别交AB、AC于点D、E
，?ADE与?ABC有什么关系？
师生活动：学生猜想：?ADE与?ABC相似，然后小组交流讨论，
如何验证猜想的成立？老师巡视给予指导。
证明：
归纳：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
设计意图：鼓励学生大胆猜想，培养学生的观察能力，善于发现问题，解决问题，善于总结的能力.
七、运用新知，巩固练习
1、已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似三角形.
2、若
△ABC
与
△A′B′C′
相似，一组对应边的长为AB
=3
cm，
A′B′=4
cm，那么△A′B′C′与
△ABC
的相似比是_____.
3、若
△ABC
的三条边长的比为3：5：6，与其相似的另一个
△A′B′C′
的最小边长为12
cm，那么
A′B′C′
的最大边长是______.
师生活动：学生独立思考并完成解答，教师点评.
设计意图：加深学生对新知识的理解，能灵活运用所学知识解决简单的问题，培养学生自主探索的精神.
八、随堂检测
师生活动：学生独立思考并完成解答，教师点评.
设计意图：加深了学生对本节课知识的巩固，让学生感受学习所收获到的成功喜悦。
九、课堂小结：
这节课有何收获？
学生活动：学生自由发言，交流学习的经验和体会，并自主总结本节课的主要内容。
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容和探索问题的过程与方法，巩固平行线分线段成比例的基本事实及推论，两个三角形相似的预备定理.
十、布置作业
练习册P18-19
27.2.1相似三角形的判定第2课时教学设计
教学目标
知识技能
了解“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定定理的证明过程，能运用这两个判定定理证明三角形相似．
数学思考与问题解决
1．通过全等三角形的证明方法类比相似三角形的证明方法，在这个过程中渗透体会类比、转化的思想．
2．通过对相似三角形两个判定定理的学习，能根据已知条件证明三角形相似并解决一些简单的问题．
情感态度
通过全等三角形的SSS和SAS的证明方法，利用类比、转化的思想证明以上两个相似三角形的判定定理，在这个过程中，鼓励学生大胆猜想、模仿，培养学生的严谨推理能力．
重点难点
重点：能运用“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理证明三角形相似．
难点：对“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理的证明．
教学设计
活动一：问题情境
1．相似三角形是如何定义的呢？除了定义，还有什么方法可以判定相似三角形？
2．如果△ABC≌△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC和△A2B2C2有什么关系？
3．全等三角形又是如何定义的呢？我们证明全等三角形有哪些方法？(SSS，SAS，ASA，AAS，直角三角形还有HL)
4．全等三角形与相似三角形有什么关系？我们能否类比猜想，利用全等三角形的证明方法来判定三角形相似呢？
设计意图：问题1
是本课学习的知识基础，问题2是本课探究的依据，问题3和问题4是为本课的学习提供研究的方向，这些问题为本课学道路．
活动二：探索证明方法
1．如图1，如果用SSS判定三角形全等的方法，类比相似三角形的判定方法，在表述上有何区别？如何表述呢？
(在△ABC和△A1B1C1中，如果＝＝，那么△ABC∽△A1B1C1.)
2．要证明这个结论，我们就应该在△ABC中，构造一个三角形，满足这个三角形与△ABC相似且与△A1B1C1全等，那么首先考虑这个三角形与△ABC相似，用已学的方法如何构造呢？(平行)
3．假设这条平行线DE∥BC，得到△ADE，可以证明△ADE∽△ABC，依据活动一问题2，接下来就应该满足△ADE≌△A1B1C1，那么你认为直线DE应该在什么位置呢？如何证明呢？(满足AD＝A1B1)
4．类似地，如图2，如果用SAS判定三角形全等的方法，类比相似三角形的判定方法，在表述上有何区别？如何表述呢？并参照以上证明方法给出证明．
5．请你描述以上证明的两个结论，并依据图1和图2用数学符号表述出来．
设计意图：以问题教学形式，促进学生合理思考，改变教材直接呈现的结果，有利于学生猜想、联系、转化，直至证明．
活动三：精讲与精练
例1(教材第33页例1)
分析：(1)分析三边是否成比例即可；(2)分析夹角的两边是否成比例即可．
巩固练习1：教材第33页练习1，2，3.
设计意图：此环节的例题和习题难度都不大，让初学者有成就感，增加继续学习的信心．
活动四：提高与拓展
例2
已知：如图3，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．△ADQ与△QCP是否相似？为什么？
分析：容易发现△ADQ与△QCP都是直角三角形，有∠C＝∠D＝90°，下面只需证明夹∠D两边AD、DQ与夹∠C两边QC、PC对应成比例即可．
巩固练习2：如图4，四边形ABCD、四边形CDEF、四边形EFGH都是正方形．
(1)△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由；
(2)求∠1＋∠2的度数．
(答案：(1)相似，理由略；(2)45°.)
设计意图：此环节主要突出考查学生灵活掌握所学知识的能力，给学生更多的提供展示自己的舞台．
活动五：课堂小结与作业布置
1．课堂小结：(1)目前判定相似三角形有哪些方法？
(2)这些判定方法与全等三角形有何联系和区别？
2．作业布置：教材第42页第2(1)，3，8题．
A
∽