江苏省涟水高级中学校2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案

江苏省涟水中学2020～2021学年度高二年级第一学期中考试
数学试题
（本试卷满分为150分，考试时间为120分钟 ）
单项选择题：本题共8小题，每题5分，共计40分．
1、若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2.抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3.已知等比数列满足,,则（ ）
A C. .
4.双曲线上一点P到右焦点的距离为3，则P到右准线的距离为（ ）
A. C. .
5.阿基米德(公元前287年－公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
6．若，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7.已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，且a3，a4＋，a11成等比数列．若p－q＝10，则ap－aq＝(　　)
A．14 B．15 C．16 D．17
8.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.≥(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0) D.≤(a>0，b>0)
多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在四个选项中，多选或错选不得
分，漏选得3 分，选对得5分）
9．下列说法错误的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“，”的否定是“，”
C．若的前项和公式为，则数列的通项公式为．
D．若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2 020的值为.
10. 已知等比数列的公比为，前4项的和为，且，，成等差数列，则的值可能为（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
11．下列四个命题，正确的有(　　)
A．命题“?x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题，则。
B．若双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于6或2.
C．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7D．函数y＝sin x＋的最小值为2.
12．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，斜率为且经过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若AF＝4，则以下结论正确的是(　　)
A．p＝2 B．F为AD中点 C．BD＝2BF D．BF＝2
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共计20分．
13.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________.
14.设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则M的坐标为___________．
15.若实数x，y满足x>y>0，且log2x＋log2y＝1，则＋的最小值是________，的最大值为________．
16.已知数列{an}满足a1＝1，且点(an，2an＋1)(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上．若对任意的n∈N*，＋＋＋…＋≥λ恒成立，则实数λ的取值范围为________．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）设实数满足，实数满足．
（1）若，且都为真命题，求实数的取值范围；
（2）若其中且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18.（本题满分12分）已知等差数列的前n项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，记为数列的前n项和.若，求m.
19.（本题满分12分）淮安市博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体．该博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少立方米，且每立方米液体费用元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为立方米时，支付的保险费用为元．
（1）求该博物馆支付总费用（元）与保护罩容积（立方米）之间的函数关系式；
（2）求该博物馆支付总费用的最小值．
（本题满分12分）等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，
b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)令cn＝设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.
21（本题满分12分）已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点．
22.（本题满分12分）已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，原点到过点A(0，－b)和B(a,0)的直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设F1，F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P，Q两点，求△PQF1内切圆半径r的最大值．
江苏省涟水中学2020～2021学年度高二年级第一学期中考试
数学试题参考答案
1.A 2.　 D 3.B 4. C 5. A 6.A 7.B 8.　D
9. BC 10AC 11.CD　 12.　ABC
13.　 14. 15. 2　 16.　
17.解：对于：由，得，解．………………2分
（1）当时，对于，解得，……4分
由于都为真命题，所以，解得，
所以实数的取值范围是．……………………………………5分
当时，对于，解得．
…………………………………………………………………………7分
由于是的必要不充分条件，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．……………………………………10分
18.（1）设数列的首项为，公差为d，
由已知得解得，……………………4分
所以. ………………………………6分
（2）由（1）可得，
是首项为4，公比为2的等比数列， ……………………8分
则.
由，得，
解得.…………………………………………………………12分
19.（1）由题意设支付的保险费用，
把，代入，得，………………………………2分
则有支付的保险费用，
故总费用．………………6分
（2）因为，…………9分
当且仅当，且，即立方米时不等式取等号，…………11分
所以，博物馆支付总费用的最小值为元．……………………………………12分
20.解　(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
由得解得
所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1(n∈N*)，
bn＝2n－1(n∈N*)．…………………………………………………………4分
(2)由a1＝3，an＝2n＋1，
得Sn＝＝n(n＋2)，则cn＝
即cn＝…………………………………………8分
所以T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n)
＝＋(2＋23＋…＋22n－1)
＝1－＋＝＋(4n－1)(n∈N*)．……………………12分
21.解　　(1)因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为F(1，0)，所以＝1，所以p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.…………………………………………4分
(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，
设A，B.
因为直线OA，OB的斜率之积为－，所以·＝－，化简得t2＝32.
所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.…………………………6分
②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立消去x，化简得ky2－4y＋4b＝0. 所以yAyB＝，
因为直线OA，OB的斜率之积为－，所以·＝－，
整理得xAxB＋2yAyB＝0. 即·＋2yAyB＝0，
解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32.
所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)．
综上所述，直线AB过定点(8,0)．…………………………………………12分
22.解：(1)直线AB的方程为＋＝1，即bx－ay－ab＝0.
原点到直线AB的距离为＝，……………………2分
即3a2＋3b2＝4a2b2，①
由e＝＝，得c2＝a2，②
又a2＝b2＋c2，③
所以联立①②③可得a2＝3，b2＝1，c2＝2.
故椭圆的方程为＋y2＝1.……………………………………4分
(2)由(1)得F1(－，0)，F2(，0)，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
易知直线PQ的斜率不为0，故设其方程为x＝ky＋，
联立直线与椭圆的方程得
(k2＋3)y2＋2 ky－1＝0.
故④………………………………6分
而S△PQF1＝S△F1F2P＋S△F1F2Q＝|F1F2||y1－y2|＝ ，⑤
将④代入⑤，得S△PQF1＝＝.………………8分
又S△PQF1＝(|PF1|＋|F1Q|＋|PQ|)·r＝2a·r＝2 r，
所以＝2r，………………………………………………………………10分
故r＝＝≤，
当且仅当＝，即k＝±1时取等号．
故△PQF1内切圆半径r的最大值为.………………………………………………12分