(共18张PPT)
章末归纳整合
解排列组合应用题时，应注意以下几点：①合理分类，准确分步；②特殊优先，一般在后；③直接排除，灵活选择；④集团捆绑，间隔插空；⑤繁琐问题，递推策略；⑥复杂问题，构造模型．排列与组合的解法灵活多变，选择适当的思想方法，能使一些看似复杂的问题迎刃而解．
计数问题中的思想方法
【例1】
从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样的不同三位数共有________个．(用数字作答)
方法点评：解答中“没有数字1和3”的这一类容易被遗漏，对于每一类还要注意分步．要掌握一些常见题型的解题技能．
1．某单位有三个科室，为实现减负增效，每科室抽调2人去参加再就业培训，培训后这6人中有2人返回原单位，但不回到原科室工作且每科室至多安排1人，问共有多少种不同的安排方法？
【例2】停车场一排有12个空位，如今要停放7辆不同的车，要求恰好有4个空位连在一起，求共有多少种停法？
2．如图所示，某城市M，N两地间有4条东西街道和6条南北街道．若规定只能向东或向北沿图中路线行走，则从M到N有________种不同的走法．(用数字作答)
【答案】56
求二项式的展开式中的特定项时，一般先写出其通项公式，然后由条件确定该特定项的系数．求展开式中各项系数的和或差时，常用赋值法．
二项式的展开问题
【例3】
求在(1＋2x－3x2)6的展开式中x5项的系数．
从近几年高考信息统计可以看出，排列组合与二项式定理是高考的必考知识点之一，考查时题型以填空题为主，排列组合与统计概率结合在解答题出现．
【答案】7
4.(2020年新课标Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.
【答案】36 (共4张PPT)
本章主要内容有分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列、组合和二项式定理．
1．分类加法计数原理要注意“完成一件事”有哪几类方法，完成这件事的每一类方法都是相互独立的，分类时必须做到既不重复也不遗漏；分步乘法计数原理要注意“完成一件事”要经过哪几步，根据题意正确分步，各步骤之间既不能重复也不能遗漏．
2．只有当元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，才是同一个排列；能够区分排列与排列数这两个概念．
3．区别排列与组合，熟记排列数和组合数公式及它们之间的联系．
4．会区分系数与二项式系数，运用二项式定理的知识解决系数和、常数项等问题．
高考赘源网
高考资源
边的高考专家!】
第一量计数原理
内容概述
章导学
学法指导(共29张PPT)
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
目标定位
重点难点
1.理解“杨辉三角”的性质以及和二项式系数的关系．
2．掌握二项展开式系数的性质并灵活运用.
重点：二项式系数的性质以及应用．
难点：二项展开式中有关系数的和及最大项问题.
1．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数______．
相等
(2)增减性与最大值：当________时，二项式系数逐渐增大；当________时，二项式系数逐渐减小且系数呈对称性，由此可知二项式系数在中间取得最大值．
若n为偶数，则中间的一项二项式系数_____取得最大值；若n为奇数，则中间的两项二项式系数_______________相等且同时取得最大值．
2n
2n
2n－1
1．(1－x)13的展开式中系数最小的项为( )
A．第6项
B．第7项
C．第8项
D．第9项
【答案】C
2．(1＋2x)10的展开式中各项的系数和为( )
A．310
B．210
C．－1
D．1
【答案】A
3．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．212
B．211
C．210
D．29
【答案】D
【例1】
在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和；
(4)各项系数绝对值的和．
【解题探究】二项展开式是一个恒等式，因而可采用赋值完成．
二项展开式的系数的和
8
“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值.一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.
1．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14，求：
(1)a1＋a2＋…＋a14；
(2)a1＋a3＋a5＋…＋a13.
二项展开式的系数的最值
8
二项展开式中，项的系数与项的二项式系数是两个不同的概念，前者是指数、底数二者决定，而后者只与二项式次数有关．求最大系数值的项可根据数列(系数值构成的数列)的单调性确定．
2．(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
二项式系数的应用
8
(a＋b)n展开式的所有项的二项式系数和为2n.由二项式系数的对称性可联想到倒序相加法求和．
【示例】
求(1＋2x)20的展开式中x的奇次方项系数的和与x的偶次方项系数的和．
错解：∵二项展开式中奇次方项系数的和与偶次方项系数的和相同，
∴奇次方项系数的和与偶次方项系数的和各为219.
错因分析：主要还是没看清题意，将系数和与二项式系数和混淆了．
错用二项式系数性质致错
1．二项式系数的性质可在杨辉三角中直观地看出．
2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．
2.(2019年齐齐哈尔期末)(x-)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是(
)
A.56?????????????????????
B.35?????????????????
C.-56????????????????????
D.-35
【答案】C(共29张PPT)
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
目标定位
重点难点
1.能用计数原理得到二项式定理．
2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．
3．会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题.
重点：二项式定理及二项展开式的通项公式．
难点：用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
二项式系数
等于
n＋1
k＋1
n
1．(x－2y)10展开式中的项数为( )
A．10
B．11
C．12
D．9
【答案】B
二项式定理的正用、逆用
8
熟练掌握二项式(a＋b)n的展开，是解答与二项式有关问题的前提条件，当二项式较复杂时，可先将式子简化，然后再展开．逆用二项式定理，要注意分析结构特点，指数不满足时可通过乘(或除)某项来调整，缺项时通过添加项来凑结构形式．
二项展开式中特定项
8
【例3】
求1.9975精确到0.001的近似值．
【解题探究】首先把1.997化成2－0.003，再利用二项式定理展开计算即可求解．
二项式定理的应用
8
利用二项式定理进行近似计算，关键是确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度．
3．求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除(n∈N
)．
混淆“二项式系数”与“项的系数”
错因分析：错解中将“二项展开式中第三项的二项式系数”当成了“第三项的系数”．
1．二项式(a＋b)n的展开式项数为(n＋1)项，各项指数状况如下
(1)各项的次数都等于二项式的幂指数n；
(2)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，由零逐项增1直到n.
1．二项展开式(a＋b)3n的项数是( )
A．3n－1
B．3n
C．3n＋1
D．3n＋2
【答案】C
【答案】A (共32张PPT)
第2课时 组合的综合应用
目标定位
重点难点
1.掌握应用组合与组合数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤和方法．
2．掌握组合数公式在两个原理中的应用．
3．掌握组合数的两个性质．
4．能利用两个原理及组合数公式解决一些简单问题.
重点：利用两个原理及组合知识解决实际问题．
难点：利用两个原理及组合知识解决实际问题.
1．某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( )
A．14
B．16
C．20
D．48
【答案】B
2．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是( )
A．15
B．45
C．60
D．75
【答案】C
【例1】
已知平面M内有4个点，平面N内有5个点，问这9个点最多能确定：(1)多少个平面？(2)多少个四面体？
【解题探究】(1)利用直接法分类计算求解．(2)利用“直接分类法”或“间接法”求解均可．
与几何有关的组合问题
8
利用组合知识解决与几何有关的问题，要注意：①将已知条件中的元素特征搞清，是用直接法还是间接法；②要使用分类方法，至于怎样确定分类标准，这是一个难点，要具体问题具体分析．
1．四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？
【例2】
有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
(1)分成1本、2本、3本三组；
(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
(3)分成每组都是2本的三个组；
(4)分给甲、乙、丙三人，每个人2本．
分组、分配问题
【解题探究】这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关．对平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．
8
解决这类问题的关键是抓住“顺序”二字，辨别在什么情况下与顺序有关，什么情况下与顺序无关，注意“分堆”与“到位”的关系：若只分堆，不指定具体位置，则需注意平均分的情况；所谓“到位”是指分堆后给某人或指定到某些位置．
2.
将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲小组至少2人，乙、丙小组至少1人，则不同的分配方案种数为( )
A．80
B．120
C．140
D．50
【答案】A
【解析】当甲中有两个人时，首先选2个人放到甲组，共有C25＝10(种)结果，再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置，每组至少1人，共有C23A22＝6(种)结果，根据分步乘法计数原理知共有10×6＝60(种)．当甲中有三个人时，有C35A22＝20(种)结果．∴共有60＋20＝80(种)结果．
【例3】
有6名男医生，4名女医生，从中选3名男医生，2名女医生到5个不同地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，共有多少种不同的分派方案？
【解题探究】有限制条件的排列、组合问题，可优先考虑特殊元素或特殊位置，采用先选后排的顺序．
排列、组合综合问题
8
解决排列、组合综合问题要遵循两个原则，一是按事情发生的过程进行分步，二是按元素的性质进行分类.解决时通常从以下三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.
3．奥运会要从A，B，C，D，E五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中D和E只能从事前两项工作，其余三人均能从事全部工作，则不同的选派方案共有( )
A．36种
B．12种
C．18种
D．48种
【答案】A
【示例】
以三棱柱的顶点为顶点共可组成多少个不同的三棱锥？
因分类不准而出错
错因分析：在上述解法中，第二类情形中，所取4点有可能共面，这时，务必注意在上底面取2点，与之对应的下底面的2点只有2种取法．
1．解决排列、组合问题应遵循的原则
(1)按元素的性质分类；
(2)按事件发生的过程进行分步．
2．解决排列、组合应用题的思考途径
(1)特征分析：以事物的特征(本质属性)为突破口，寻找解题思路的方法．
(2)元素、位置分析法：以元素为主，分析各种可能情况，称为“元素分析法”；以位置为主，分析各种可能情况，称为“位置分析法”．
(3)直接法与间接法：直接从正面求出完成事件的各类不同方法的方法数，再求和，称为直接法；先不考虑限制条件，求方法总数，再剔除不合限制条件的方法数，称为间接法．
(4)变换命题法：将命题作一等价变换．
3．解决排列、组合综合问题的基本方法与技巧
审明题意，分清排组；特殊元位，优先考虑；类步不混，善用加乘；模图并示，不重不漏；排组综合，先组后排；加减乘除，灵活运用．
1.(2019年福建模拟)从6位女学生和5位男学生中选出3位学生，分别担任数学、信息技术、通用技术科代表，要求这3位科代表中男、女学生都要有，则不同的选法共有(
)
A．810种
B．840种
C．1620种
D．1680种
【答案】A
【解析】方法一：先选后排,不同的选法共有(C62C51+C61C52)A33=810(种).故选A.
方法二：间接法，不同的选法共有A113-A53-A63=810(种).故选A.
2.(2019年宁夏模拟)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(
)
A.36种
B.18种
C.24种
D.12种
【答案】A
3．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数是( )
A．6
B．8
C．12
D．16
【答案】C
4.(2020年洛阳模拟)某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有 种.(用数字作答)
【答案】36(共33张PPT)
1.2.2 组 合
第1课时 组合与组合数公式
目标定位
重点难点
1.理解组合的概念．
2．能利用计数原理推导组合数公式.
重点：组合的概念及组合数公式．
难点：用组合定义和组合数公式解决一些简单问题.
n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组
n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的
个数
【答案】A
2．给出下面几个问题，其中是组合问题的有( )
①由1,2,3,4构成的2个元素的集合；
②五个队进行单循环比赛的分组情况；
③由1,2,3组成两位数的不同方法数；
④由1,2,3组成无重复数字的两位数．
A．①③
B．②④
C．①②
D．①②④
【答案】C
3．从2,3,5,7这四个质数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数是( )
A．4
B．5
C．6
D．8
【答案】C
【例1】
判断下列问题是排列问题，还是组合问题．
(1)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？
(2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这3个数字组成一个集合，这样的集合共有多少个？
(3)从a，b，c，d四名学生中选2名学生，去完成同一件工作有多少种不同的选法？
排列、组合的概念辨析
(4)5个人相互通话一次，共通了多少次电话？
(5)5个人相互各写一封信，共写了多少封信？
【解题探究】取出元素之后，在安排这些元素时，与顺序有关则为排列问题，与顺序无关即为组合问题．
【解析】(1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．
(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字之间的顺序，其表示的集合不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．
(3)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．
(4)甲与乙通一次电话，也即为乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题．
(5)发信人与收信人是有区别的，为排列问题．
8
区别排列与组合的关键是看取出元素之后，在安排这些元素时，是否与顺序有关，“有关”则是排列，“无关”则为组合．
1．判断下列问题是排列问题，还是组合问题．
(1)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同选法？
(2)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加农村社会调查，有多少种不同的选法？
【解析】(1)当选出2名同学后，如果改变去的两个乡镇的顺序，会得到不同的选法，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．
(2)选取出2名同学后，无论怎样改变这两个同学之间的顺序，其选派结果不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．
组合数公式的应用
8
【例3】
一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球．
(1)共有多少种不同的取法？
(2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？
(3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？
【解题探究】由于抽取的球与次序无关，因此是一个组合问题．其中(1)是没有限制条件的问题，(2)(3)是有限制条件“含”与“不含”的问题．
组合的简单应用
8
(1)注意排列问题与组合问题的区别，关键看是否与元素的顺序有关；
(2)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；
(3)分析题目条件，避免选取时重复和遗漏，用直接法分类复杂时，可用间接法处理．
3．要从12个人中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？
(1)A，B，C三人必须当选；
(2)A，B，C三人不能当选；
(3)A，B，C三人中只有一人当选．
【示例】
从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有多少种？
重复计算出错
错因分析：设甲型电视机中有a，b两台电视机，乙型电视机中有A，B两台电视机，根据上述选法，其中有一种取法可以是“先选a，再选A，再选b”，另外一种取法是“先选b，再选A，再选a”．而很明显，上述两种取法是同一种结果，出现重复，究其原因是本题使用的是分步乘法计数原理．而分步必然有先有后，也就有顺序，跟排列有关．本题中无论是取两台甲型电视机还是乙型电视机，对于这两台电视机而言，只是一个组合，没有先后．
3．常见的分组问题
(1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等．
(2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！.
(3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
4．几何中的组合问题
解决与几何图形有关的组合问题时，要善于利用几何图形的有关性质和特征，充分挖掘图形的隐含条件，转化为有限制条件的组合问题求解．
2.(2019年银川期中)设集合A={a,b,c,d,e}，B?A，已知a∈B且B中含有3个元素，则符合要求的集合B有( )
A.6个
B.10个
C.12个
D.60个
【答案】A
【解析】因为a∈B且B中含有3个元素，所以从元素b,c,d,e中再任选两个即可得到符合条件的集合B，即集合B有C42=6(个).故选A.(共34张PPT)
第2课时 排列的综合应用
目标定位
重点难点
1.掌握应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤和方法．
2．掌握排列数公式在两个原理中的应用.
重点：应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题．
难点：应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题.
应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤：
1．将6名同学排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )
A．36
B．120
C．720
D．1
440
【答案】C
2.(2019年拉萨月考)从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除,则得到的结果有( )
A.6个
B.10个
C.12个
D.16个
【答案】C
3．某电视台连续播放5个不同的广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求前两个必须播放公益广告，则不同的播放方式有________种．(用数字作答)
【答案】12
4．有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，语文书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有________种．(结果用数字表示)
【答案】1
440
【例1】
(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号？
【解题探究】(1)由条件分析可直接得出结果．(2)利用分类法进行求解．
无限制条件的排列问题
8
解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件，然后按特殊元素(位置)的性质分类，按事件发生的连续过程合理分步来解决．
1.(2019年天津期末)五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项.
(1)不同的承建方案共有多少种？
(2)若甲工程队已经确定承建1号子项目，则不同的承建方案共有多少种？
【例2】
(2017年通化测试)有4名男生、5名女生，全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？
(1)甲不在中间也不在两端；
(2)甲、乙两人必须排在两端；
(3)男女相间．
【解题探究】注意位置和元素的特殊性．
有限制条件的排列问题
8
对于排列问题，一般情况下会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置开始讨论．对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”；对于“在与不在”的问题，常使用“直接法”或“排除法”．
2．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的
(1)六位数的奇数；
(2)个位数字不是5的六位数；
(3)不大于4
310的四位偶数．
【例3】
从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有实根的方程有多少个？
【解题探究】一元二次方程中a≠0需要考虑到，对有根的一元二次方程，需有Δ＝b2－4ac≥0，这里有两层意思，一是a不能为零，二是要保证b2－4ac≥0.所以可先对c能否取0进行分类讨论．
排列与其他知识的综合应用
8
综合问题经常会带有限制，而带有限制的排列综合，一般用分类讨论或者间接法两种方法处理．
【示例】
3名男生和3名女生站成一排，任何2名男生都不相邻，任何2名女生也不相邻，共有多少种排法？
思维不严密致错
错因分析：不相邻问题，用插空是对的，但上述错解只能保证女生不相邻，并不能保证先排的男生不相邻，如排法“女男女男男女”．
警示：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可，本题要注意不仅保证女生不相邻，还要保证男生也不相邻．
1．解答排列应用题时，要注意以下几点
(1)解排列应用题，要仔细审题，明确题目中事件是什么，通过什么样的程序解决，进而选用相应模型计算，不能乱套公式，盲目计算．
(2)明确问题的限制条件，注意特殊元素和特殊位置，必要时可画出树形图来解．
(3)注意间接法的使用．
2．结合两个原理解题是处理排列问题必不可少的方法
(1)求解排列问题时，正确地理解题意是关键的一步，把题目中的文字语言翻译成排列的相关术语．
(2)正确运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理是十分重要的．分类时，要注意种类之间不重复，不遗漏；分步时，要注意依次做完各个步骤后，事情才能完成．
(3)如果不符合条件的情况较少时，也可以采用排除法．
【答案】B
2．甲、乙、丙、丁4个小朋友先后读一本漫画书，甲首先阅读的安排方法有( )
A．24种
B．18种
C．12种
D．6种
【答案】D
3.(2020年衡水模拟)将A，B，C，D，E五种不同的文件放入编号依次为1,2,3,4,5,6,7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A，B必须放入相邻的抽屉内，文件C，D也必须放入相邻的抽屉内，则所有不同的放法有( )
A.120种
B.210种
C.420种
D.240种
【答案】D
【解析】可先排相邻的文件，再作为一个整体与其他文件排列，则有AAA＝240种排法.故选D.
4.(2019年安徽月考)用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，这样的六位数的个数是________(用数字作答).
【答案】72 (共34张PPT)
1.2 排列与组合
1.2.1 排 列
第1课时 排列与排列数公式
目标定位
重点难点
1.理解排列的意义．
2．能通过计数原理推导排列数公式.
重点：排列的概念及排列数公式．
难点：对排列要完成的“一件事”“一定顺序”的理解.
1．排列的定义
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照____________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．两个排列相同，当且仅当两个排列的元素________且元素的_________相同．
一定的顺序排成一列
完全相同
排列顺序
所有不同排列的
个数
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
1
1．甲、乙、丙三人站成一排的站法共有( )
A．6种
B．3种
C．9种
D．12种
【答案】A
4．(2015年广东)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了______条毕业留言．(用数字作答)
【答案】1
560
【例1】
判断下列问题是否是排列问题．
(1)从1,2,3,5中任取两个不同的数相除可得多少种不同的结果？
(2)有12个车站，共需准备多少种客票？
(3)从学号为1到10的十名同学中任选两名同学去学校开座谈会，有多少种选法？
(4)平面上有5个点，其中任意三点不共线，这5点最多可确定多少条直线，多少条线段，多少条射线？
(5)由数字1,2,3,4,5可组成多少个不同的4位数字的密码？
排列的概念
【解题探究】根据定义从两个方面判断：一、取出的元素是否可重复；二、取出元素是否有顺序．
【解析】(1)(2)满足排列的定义是排列问题；(3)与顺序无关，不是排列问题；(4)中由于确定直线、线段时与两点顺序无关，所以不是排列问题；而确定射线与两点顺序有关，所以确定射线是排列问题；(5)由于取出的元素可以重复，所以不是排列问题．
8
确定一个具体问题是否为排列问题，一般从两个方面确认：首先要保证元素的无重复性，否则不是排列问题．其次要保证选出的元素的有序性，否则不是排列问题，而验证它是否有顺序的标准是变换某一个结果中两个元素的位置，看结果是否变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
【例2】
(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．
【解题探究】列出树形图即可求解．
列举法解决排列问题
8
排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列.
2．将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法．
【解析】树形图如图．
由树形图知，所有排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA．
排列数公式的应用
【例4】
(1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(3)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？
(2)有5个不同的科研课题，高二(3)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一项，共有多少种不同的报名方法？
【解题探究】由题给条件分析是否为排列问题，由具体情况进行解答．
排列的简单应用
8
解决此问题的方法是把问题转换成为排列问题，弄清这里的n个不同元素指的是什么，以及从n个不同元素中任取m个元素的每一种排列对应的是什么事情，即把要计的数转化为一个排列问题，直接利用排列数公式计算．
4．用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺次排成一个三位数，此时：
(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？
(2)可以排出多少个不同的数？
(3)恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？
【示例】
10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？
错解：10个人坐6把不同的椅子，相当于从含10个元素的集合到含6个元素的集合的映射，故有610种不同的坐法．
错因分析：没弄清题意，题中要求每把椅子必须并且只能坐一人，已不符合映射模型了，本题事实上是一个排列问题．
对排列概念理解不清致错
警示：判断是否为排列问题的关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关，若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．
1．排列的定义
(1)排列的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序”．“一定顺序”表示与位置有密切关系，这里的位置应该视具体问题的性质和条件来决定．
(2)排列定义中指出的是一个排列，只有当元素完全相同且元素顺序也完全相同时，才是相同的一个排列．元素不完全相同或元素完全相同而排列顺序不完全相同的排列，都不是同一个排列．
(3)在排列定义中，如果m2．排列数公式
(1)这个公式在m，n∈N
，m≤n的情况下成立，m>n不成立．
(2)排列数与排列是不同的概念：一个排列是具体的一件事；排列数是所有排列的个数，它是一个数．
(3)排列数公式的推导过程采用不完全归纳法，不是严格的证明，要严格证明排列数公式，可用数学归纳法证明，这个证明不作要求．
(4)公式右边的第一个因数是n，后面的每一个因数都比它前面的因数小1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数相乘．
1.(2019年西安期末)18×17×16×…×12×11等于(
)
A.A188
B.A189
C.A1810
D.A1811
【答案】A
【解析】18×17×16×…×12×11表示连续8个正整数的乘积，其中最大的是18，所以18×17×16×…×12×11=A188.故选A.
【答案】
A
3．若从6名学生中选出3名分别担任大队长、中队长和小队长，则不同的安排方法有( )
A．60种
B．120种
C．240种
D．360种
【答案】
B(共36张PPT)
1.1.2 分类加法计数原理与
分步乘法计数原理的综合应用
目标定位
重点难点
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
2．会用分类加法计数原理与分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.
重点：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用．
难点：正确区分“分类”和“分步”.
1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题．其区别在于：分类加法计数原理针对的是“________”问题，其中各种方法__________，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“________”问题，各步的每一种方法只能完成任务的一部分，并且完成这件事的任何一种方法都需要分步，只有各个步骤都完成之后才算做完这件事．
分类
相互独立
分步
2．应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的关键是弄清楚是“________”还是“________”，接下来还要搞清楚“________”或“________”的具体标准是什么．
分类
分步
分类
分步
1．从1到10的正整数中，任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是( )
A．10
B．15
C．20
D．25
【答案】D
2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A．40
B．16
C．13
D．10
【答案】C
3．在1,2,3，…，200中，能够被5整除的数共有______个．
【答案】40
4．从2,3,5,7,11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是________，其中真分数的个数是________．
【答案】20 10
【例1】求用0,1,2,3,4,5可以组成下列无重复数字的个数.
(1)四位整数；
(2)比2
000大的四位偶数.
【解题探究】(1)0不能作首位，优先排首位，用分步乘法计数原理求解；(2)可以按个位是0,2,4分三类，也可以按千位是2,3,4,5分四类解决，也可以用间接法求解.
组数问题
【解析】(1)分步解决.
第一步：首位数字有5种选取方法；
第二步：百位数字有5种选取方法；
第三步：十位数字有4种选取方法；
第四步：个位数字有3种选取方法.
由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有5×5×4×3＝300(个).
(2)方法一：按个位是0,2,4分为三类.
第一类，末位是0的有4×4×3＝48(个)；
第二类，末位是2的有3×4×3＝36(个)；
第三类，末位是4的有3×4×3＝36(个).
则由分类加法计数原理有N＝48＋36＋36＝120(个).
方法二：按千位是2,3,4,5分四类.
第一类，千位是2的有2×4×3＝24(个)；
第二类，千位是3的有3×4×3＝36(个)；
第三类，千位是4的有2×4×3＝24(个)；
第四类，千位是5的有3×4×3＝36(个).
则由分类加法计数原理有N＝24＋36＋24＋36＝120(个).
方法三：间接法．
用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类：
第一类，末位是0的有5×4×3＝60(个)；
第二类，末位是2或4的有2×4×4×3＝96(个)．
共有60＋96＝156(个)．
其中比2
000小的千位是1，共有3×4×3＝36(个)．
所以符合条件的四位偶数共有156－36＝120(个)．
8
1.对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解.
2.解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘.排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则.
1．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A．243 B．252 C．261 D．279
【答案】B
【解析】由0,1，…，9组成三位数时，0不能做百位，故百位有9种选法；十位、个位可任意选数，都有10种选法，由分步乘法计数原理知由0,1，…，9组成的所有三位数的个数是9×10×10＝900.同理组成的无重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648.故由0,1，…，9组成的有重复数字的三位数的个数是900－648＝252.
【例2】
甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？
【解题探究】利用枚举法或间接法求解即可．
选(抽)取问题
方法二：间接法．
4个人各取1张贺卡．甲先取1张贺卡有4种方法，乙再取1张贺卡有3种方法，然后丙取1张贺卡有2种方法，最后丁仅有1种方法．由分步乘法计数原理，4个人各取1张贺卡共有4×3×2×1＝24种．
4个人都取自己写的贺卡有1种方法；
2个人取自己写的贺卡，另2个人不取自己所写贺卡方法有6种(即从4个人中选出取自己所写的贺卡的2人有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁)；
1个人取自己写的贺卡，另3个人不取自己所写贺卡方法有8种(从4个人中选出自己写贺卡的1个人有4种方法，而3个人都不取自己所写贺卡的方法有2种)．
因此，4个人都不取自己所写贺卡的取法有
24－(1＋6＋8)＝9(种)．
方法三：分步法．
第一步，甲取1张不是自己所写的贺卡，有3种取法；
第二步，由甲取的那张贺卡的供卡人取，也有3种取法；
第三步，由剩余两个人中任1个人取，此时只有1种取法；
第四步，最后1个人取，只有1种取法．
由分步乘法计数原理，共有3×3×1×1＝9种．
8
枚举法常用于比较简单、分类情况比较少的题目，通过直观的列举情况得出相应答案；间接法通常用于从正面分步、分类比较麻烦但是其相反的情况比较容易得出结果的题目，通过总体排除不符合条件的答案，剩下的就是对应答案．
2．某电视台的《欢乐今宵》节目的抽奖环节，有两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封．现由主持人抽奖确定幸运观众．若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？
【解析】分两类．(1)幸运之星在甲箱中抽，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有30×29×20＝17
400种结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有20×19×30＝11
400种结果．因此共有17
400＋11
400＝28
800种不同的结果．
【例3】
将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？
【解题探究】这里的“完成一件事”是指得到一个公共边区域不同色的涂色面．
涂色问题
8
解决涂色问题主要有两种思路：一是按位置考虑，关键是处理好相邻区域的颜色问题；二是按使用颜色的种数考虑，关键是正确判断颜色的种数．解决此类题，一般优先完成彼此相邻的三部分或两部分，再分类完成其余部分．
【解析】(1)第1步，将黄瓜种在其中的一块地上，有3种种法；
第2步，剩下的两块地分别有3种、2种种法．
根据分步乘法计数原理，共有3×3×2＝18种种法．
(2)按照S→A→B→C→D的顺序分类．
第一类，A，C涂相同颜色有5×4×3×1×3＝180(种)；
第二类，A，C涂不同颜色有5×4×3×2×2＝240(种)．共有染色方法180＋240＝420(种)．
“分类”与“分步”考虑不全面
错解：用分类加法计数原理分两类．
第一类：第一象限内的点，M中的正数有2个，N中的正数也有2个，由分步乘法计数原理得2×2＝4个；第二类，第二象限内的点，M中的负数有1个，N中的正数有2个，由分步乘法计数原理得1×2＝2个．由分类加法计数原理可知满足题意的点共有6个．
错因分析：由于题中没有指明选出的数是横坐标还是纵坐标，所以要分两种情况考虑．而上面的解法仅仅考虑了M中的数作横坐标，N中的数作纵坐标这一种情况，从而造成漏解．
正解：先分两类，第一类，M中的数作横坐标，N中的数作纵坐标，同错解，共有6个点．
第二类，M中的数作纵坐标，N中的数作横坐标．再分两类，第一类，第一象限内的点，由分步乘法计数原理得2×2＝4个；第二类，第二象限内的点，由分步乘法计数原理得2×2＝4个．共有8个点．
综上，共有14个点满足题意．
警示：使用两个计数原理时要注意看完成这件事情到底是要分步还是要分类，同时，无论分类还是分步都要做到不重复、不遗漏．
1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个事件来完成；不同点是，分类加法计数原理与类有关，分步乘法计数原理与分步有关．
2．两个原理的条件和结论．
(1)如果完成一件事有n类方案，这n类方案彼此之间是相互独立的，无论哪一类方案中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理．
(2)如果完成一件事需要分成n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理．
3．在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么，简单地说“分类互斥”“分步互依”，关键看能否独立完成这件事．与此同时，还要注意分类、分步不能重复、不能遗漏．
4．对于较为复杂的既要用分类加法计数原理，又要用分步乘法计数原理的问题，可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于解题．
11.(2019年辽宁模拟)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有(
)
A.30种
B.50种
C.60种
D.90种
【答案】B
【解析】若甲同学选牛，则乙同学可以选狗或羊，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有2×10=20种选法；若甲同学选马，则乙同学可以选牛、狗或羊，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有3×10=50种选法.所以选法共有20+30=50种.故选B.
2．从A村去B村的道路共有2条，从B村去C村的道路共有3条，从A村直接去C村(不经过B村)的道路有4条，那么从A村去C村，不同的走法的种数是( )
A．6
B．7
C．10
D．12
【答案】C
【解析】从A直接去C有4种走法，从A到C经过B有2×3＝6种走法，∴从A到C共有4＋6＝10种不同的走法．
3.(2019年东莞期末)高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（???）
A.
16种???????B.
18种??????
C.
37种??????D.
48种
【答案】C
【解析】若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有4×4×4=64种情况.若甲工厂没有班级去，即每个班级都从其他三个工厂中选择，此时每个班级都有3种选择，共有3×3×3=27种情况.所以符合要求的情况有64-27=37种.故选C.
4．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植1垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有______种．
【答案】12
【解析】A种植在左边第一垄时，B有3种不同情况；A种植在左边第二垄时，B有2种不同情况；A种植在左边第三垄时，B有1种情况．B在左边种植的情形与上述情形相同．共有2×(3＋2＋1)＝12种不同种植方法．(共34张PPT)
1.1 分类加法计数原理与
分步乘法计数原理
1.1.1 分类加法计数原理与
分步乘法计数原理及其简单应用
目标定位
重点难点
1.掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
2．会用分类加法计数原理与分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.
重点：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的简单应用．
难点：正确理解“完成一件事”的含义.
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．
推广：如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_________________种不同的方法．
m＋n
m1＋m2＋…＋mn
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．
推广：如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝____________种不同的方法．
m·n
m1·m2·…·mn
1．某学生去书店，发现2本好书，决定至少要买其中一本，则购买方法共有( )
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
【答案】C
2．某商场共有4个门，购物者若从一个门进，则必须从另一个门出，则不同走法的种数是( )
A．8
B．7
C．11
D．12
【答案】D
3．一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选一名同学参加学科比赛，共有不同的选派方法________种．
【答案】8
4．有4名同学参加3项不同的比赛，每名学生必须且只需参加一项比赛，则不同的结果有________种．
【答案】81
【例1】
一班有学生50人，其中男生30人；二班有学生60人，其中女生30人；三班有学生55人，其中男生35人．
(1)从中选一名学生任学生会主席，有多少种不同选法？
(2)从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部部长，有多少种不同的选法？
【解题探究】利用分类加法计数原理求解即可．
分类加法计数原理
【解析】(1)选一名学生任学生会主席有3类不同的选法．
第一类，从一班选一名，有50种不同的方法；
第二类，从二班选一名，有60种不同的方法；
第三类，从三班选一名，有55种不同的方法．
故任选一名学生任学生会主席的选法共有50＋60＋55＝165种．
(2)选一名学生任学生会体育部部长有3类不同的选法．
第一类，从一班男生中选有30种不同的方法；
第二类，从二班男生中选有30种不同的方法；
第三类，从三班女生中选有20种不同的方法．
故任选一名学生任学生会体育部部长有30＋30＋20＝80种不同的方法．
8
运用分类加法计数原理要注意“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法．
1．有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个，若从三个袋子中任取一个小球，有多少种不同的取法？
【解析】从三个袋子中任取一个小球，有3类不同方案．
第1类，从第一个袋子中任取一个红色小球，有6种不同的取法；
第2类，从第二个袋子中任取一个白色小球，有5种不同的取法；
第3类，从第三个袋子中任取一个黄色小球，有4种不同的取法．
其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取一个小球都能独立地完成“任取一个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15(种)．
【例2】
某商店现有甲种型号电视机10台，乙种型号电视机8台，丙种型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选1台检验，有多少种不同的选法？
【解题探究】利用分步乘法计数原理求解即可．
分步乘法计数原理
【解析】从这三种型号的电视机中各选1台检验可分三步完成．
第一步，从甲种型号中选1台，有10种不同的方法；
第二步，从乙种型号中选1台，有8种不同的方法；
第三步，从丙种型号中选1台，有12种不同的方法．
根据分步乘法计数原理，得10×8×12＝960(种)．
因此共有960种不同的方法．
8
运用分类加法计数原理要注意“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法.
【例3】
某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的1种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，有多少种不同的选法？
【解题探究】本题涉及分类加法计数原理与分步乘法计数原理，在分类中又包含分步．
两个原理的应用
【解析】由题意知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人．按“多面手”的选法分为两类．
(1)“多面手”入选，则有6＋2＝8种选法；
(2)“多面手”不入选，则有6×2＝12种选法．
因此选法共有8＋12＝20(种)．
8
在解决计数问题时，应认真阅读题目内容，弄清楚题意，才能正确地选择解题方法，另外要把两个原理理解透彻，否则解题时易发生分类不全或分类有叠加的现象，即“重复”和“遗漏”．
3．设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．
(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同选法？
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
(3)从这些画中选出两幅不同种的画布置房间，有几种不同的选法？
【解析】(1)分为三类，从国画中选，有5种不同选法；从油画中选，有2种不同选法；从水彩画中选，有7种不同选法．根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14种选法．
(2)分为三步，国画、油画、水彩画各有5,2,7种不同选法．根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种选法．
(3)分为三类，1幅选自国画，1幅选自油画，有5×2＝10种选法；1幅选自国画，1幅选自水彩画，有5×7＝35种选法；1幅选自油画，1幅选自水彩画，有2×7＝14种选法．再根据分类加法计数原理，共有10＋35＋14＝59种不同选法．
【示例】
甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，每门学科只有一名冠军产生，有多少种不同的冠军获得情况？
未选准分步依据致错
错解一：分4步完成这件事．第1步，第一名同学去夺3门学科的冠军，有可能1个也没获得，也可能获得1个或2个或全部，因此，共有4种不同情况；
同理，第2,3,4步分别由其他3名同学去夺这3门学科的冠军，都各自有4种不同情况．
由分步乘法计数原理知，共有4×4×4×4＝44＝256种不同的冠军获得情况．
错解二：分4步完成这件事．第1步，第一名同学去夺3门学科的冠军，有3种不同情况；
同理，第2,3,4步分别由其他3名同学去夺这3门学科的冠军，都各自有3种不同情况．
由分步乘法计数原理知，共有3×3×3×3＝34＝81种不同的冠军获得情况．
错因分析：要完成的“一件事”是“争夺3门学科知识竞赛的冠军且每门学科只有一名冠军产生”．但错解一、二中都有可能出现某一学科冠军被2人、3人，甚至4人获得的情形，另外错解一中还可能出现某一学科没有冠军产生的情况．
正解：可先举例说出其中的一种情况，如数学、物理、化学知识竞赛的冠军分别是甲、甲、丙，可见研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生一名冠军，才完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分3步．
第1步，产生第1个学科冠军，它一定被其中一名同学获得，有4种不同的获得情况；
第2步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；
第3步，同理，产生第3个学科冠军，也有4种不同的获得情况．由分步乘法计数原理知，共有4×4×4＝43＝64种不同的冠军获得情况．
警示：用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据．
1．“分类”是加法原理的标志，要做到：
(1)遵从分类标准，即在同一标准下进行分类．
(2)遵从分类原则，即分类不重不漏，要注意类与类之间的独立性和并列性．分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．
2．“分步”是乘法原理的标志：
(1)遵从分步标准，即一类中的分步标准的一致性．
(2)遵从分步原则，即分步要做到步骤关联，步骤连续，步骤独立，确保对每一类事件的分步不重不漏．
1.(2019年内蒙古月考)书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有( )
A.22种
B.350种
C.32种
D.20种
【答案】A
【解析】任选一本有三类选法，即选语文书、英语书、数学书，不同的选法分别有10种，7种，5种，由分类加法计数原理可得不同的选法有10+7+5=22种.故选A.
2.(2019年天津期末)四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》(每种名著至少有5本)，若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为(
)
A.45
B.54
C.44
D.55
【答案】A
【解析】每一名同学都有4种选择，由分步乘法计数原理可得不同的借阅方案种数为4×4×4×4×4=45.故选A.
3.(2020年郴州模拟)用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有 种.
【答案】4
320
【解析】分步进行：1区域有6种不同的涂色方法，2区域有5种不同的涂色方法，3区域有4种不同的涂色方法，4区域有3种不同的涂色方法，6区域有4种不同的涂色方法，5区域有3种不同的涂色方法.根据分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×3×4×3＝4
320(种)不同的涂色方法.
4．7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从这7人中选出2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？
【解析】按“多面手”的选法分为三类．
多面手不选，有3×2＝6种选法；
多面手选1人，有2×5＝10种选法；
多面手选2人，有2种选法．
因此共有6＋10＋2＝18种选法．
