(共4张PPT)
本章主要内容有变化率与导数、导数的计算、导数在研究函数中的应用、生活中的优化问题、定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用．通过该模块的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值．
3．熟练掌握导数的几何意义、物理意义，并能利用导数解决函数中的一系列问题以及生活中的最优化问题．
4．定积分与微积分基本定理的学习中，要学会从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；能通过实例，直观了解微积分基本定理的含义.
高考赘源网
高考资源
边的高考专家!】
第一章号数及具画用
章导学
内容概述
学法指导(共19张PPT)
1.7.2 定积分在物理中的应用
1．一物体沿直线以v＝3t＋2(t单位：s，v单位：m/s)的速度运动，则该物体在3
s～6
s间的运动路程为( )
A．46
m
B．46.5
m
C．87
m
D．47
m
【答案】B
2．以初速度40
m/s竖直向上抛一物体，t
s时刻的速度v＝40－10t
m/s，则此物体达到最高时的高度为( )
A．160
m
B．80
m
C．40
m
D．20
m
【答案】B
3．一物体在力F(x)＝3x2－2x＋5(力单位：N，位移单位：m)作用下沿与力F(x)相同的方向由x＝5
m直线运动到x＝10
m所做的功是( )
A．925
J
B．850
J
C．825
J
D．800
J
【答案】C
4．一辆汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝2＋sin
t(t的单位：h，v的单位：km/h)，那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s(单位：km)是( )
A．3－cos
1
B．3＋cos
1
C．1＋cos
1
D．1－cos
1
【答案】A
【例1】
有一动点P从原点出发，在时刻t的速度为v(t)＝8t－2t2，解下列各小题：
(1)当t＝3时，求点P离开原点的路程；
(2)求当t＝5时，点P的位置；
(3)求t＝0到t＝5时，点P经过的路程；
(4)求点P经过一段时间后又返回原点时的t值．
求变速直线运动的路程
【解题探究】利用路程是速度的定积分求出路程再进行求解．
【例2】
设有一长为25
cm的弹簧，若加以100
N的力，则弹簧伸长到30
cm，求使弹簧伸长到40
cm所做的功．
【解题探究】先求出力关于位移的函数关系式，再利用定积分求解．
求变力所做的功
2．在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，气体压强与体积的乘积是常数k，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推到b处，计算在移动过程中，气体压力所做的功．(共19张PPT)
1.7 定积分的简单应用
1.7.1 定积分在几何中的应用
1．设由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a(1)如果f(x)>0，那么S＝_________；
(2)如果f(x)<0，那么S＝__________＝__________；
(3)如果当a≤x≤c时，f(x)≤0；当c0，那么
S＝__________________＝_________________.
2．用定积分表示下面4个图形中阴影部分的面积．
4．抛物线y＝x2－x与x轴围成的图形的面积为________．
【例1】
求曲线xy＝1与直线y＝x，y＝3所围成的图形的面积．
【解题探究】首先画出草图，利用定积分的几何意义，明确所求图形面积，并合理分割图形，结合定积分求解．
求图形的面积
该题积分变量的选取既可以是x也可以是y，选x为积分变量时要注意分段，选y为积分变量时要将函数式化为x＝f(y)的形式．
1．计算由直线y＝0和曲线y＝x2－6x＋5围成的平面图形的面积．
定积分的综合应用
求平面图形的面积时，一定要先画出图形，在借助图形的特征，确定如何表达能优化运算，减少运算步骤．(共17张PPT)
1.6 微积分基本定理
连续函数
f(x)
F(b)－F(a)
牛顿—莱布尼茨公式
F(b)－F(a)
0
利用微积分基本定理求定积分
求函数在某区间上的定积分，要正确运用求导运算求原函数．另外，要注意利用定积分的性质，这样会给求原函数带来方便．
定积分综合问题
（1）定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提.（2）计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念.
高考赘源网
高考资源
边的高考专家!】
Q前探索
师讲堂(共32张PPT)
1.5 定积分的概念
1．连续函数
如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条__________的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．
连续不断
(2)求曲边梯形面积的方法：
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用______的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值______，就得到曲边梯形面积的近似值(如图2)．
(3)求曲边梯形面积的步骤：①______；②__________；③_______；④__________.
矩形
求和
分割
近似代替
求和
取极限
分割
近似代替
求和
取极限
积分下限
积分上限
积分区间
被积函数
积分变量
被积式
由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)所围成
的曲边梯形的面积
3．函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值等于( )
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均不正确
【答案】C
求曲边梯形的面积
求曲边梯形面积
思想：以直代曲.
步骤：分割→近似代替→求和→取极限.
关键：近似代替.
结果：分割越细，面积越精确．
1．求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线f(x)＝4x2＋2x＋1所围成的曲边梯形的面积．
利用定积分的定义计算定积分
定积分的几何意义
利用定积分的几何意义求定积分必须准确理解其几何意义，将被积函数的图象在坐标系中画出来，再根据积分区间确定图形的范围和大小，利用相关面积公式求出面积，即得定积分的值．(共40张PPT)
1.4 生活中的优化问题举例
1．生活中的优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为____________，通过前面的学习，我们知道，______是求函数最大(小)值的有力工具，运用______，可以解决一些生活中的__________．
优化问题
导数
导数
优化问题
2．优化问题中最值的确定
解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成__________，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由______和______的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有______的极值，则它就是函数的最值．
函数关系
极值
端点
唯一
数学建模
2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)．已知贷款的利率为0.048
6且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048
6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为( )
A．0.016
2
B．0.032
4
C．0.024
3
D．0.048
6
【答案】B
3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使新砌墙壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)( )
A．32,16
B．30,15
C．40,20
D．36,18
【答案】A
几何中的最值问题
【例1】有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
【解题探究】求出无盖容器的体积(容积)表达式，用导数知识求解.
（1）利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤
①分析实际问题中各量之间的关系，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；
②求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
③比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；
④把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论.
（2）几何中最值问题的求解思路
面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．
1．(2019年江苏宿迁期末)将一段长为100
cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，要使正方形与圆面积之和最小，则弯成圆的一段铁丝长为________cm．
【例2】
(2018年江苏连云港模拟)现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
用料、费用最少问题
【解题探究】根据题目的条件，写出相应关系式，然后运用导数求最值．
解决费用最少问题时，需要正确表达出费用y关于自变量x的函数关系，然后根据导数来求得极值点，比较极值与端点处取值的大小，从而判定最小值．在实际问题中还要注意自变量的取值范围．
【答案】16
m，8
m
利润最大问题
关于利润问题常用的两个等量关系
（1）利润＝收入－成本.
（2）利润＝每件产品的利润×销售件数．
【答案】D
2．解决生活中的优化问题应当注意的问题
(1)在求实际问题中的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义．
(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点处有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．
(3)在解决优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示，还应确定出函数关系式中自变量的取值范围．
【答案】A
2．(2017年重庆期中)某产品的销售收入y1(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产( )
A．9千台
B．8千台
C．7千台
D．6千台
【答案】D
【解析】由题意，利润y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3(x＞0)．y′＝36x－6x2，由y′＝36x－6x2＝6x(6－x)＝0，得x＝6或x＝0.又x＞0，所以当x∈(0,6)时，y′＞0，当x∈(6，＋∞)时，y′＜0.∴函数在(0,6)上为增函数，在(6，＋∞)上为减函数．则当x＝6(千台)时，y有最大值．故选D．
【答案】C
【解析】y′＝－x2＋36，令y′＝0，又x＞0，解得x＝6.当0＜x＜6时，y′＞0，函数f(x)单调递增；当x＞6时，y′＜0，函数f(x)单调递减．∴当x＝6时，y有最大值．
