坐标系与参数方程
知识梳理
1.平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系与极坐标
(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个 O,叫作极点,自极点O引一条 Ox,叫作极轴;再选定一个 单位.一个 单位(通常取 )及其正方向(通常取 方向),这样就建立了一个极坐标系.?
(2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的 叫作点M的极径,记为 ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角 叫作点M的极角,记为 .有序数对 叫作点M的极坐标,记为 .?
3.极坐标与直角坐标的互化
(1)设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(ρ,θ).
互化的前提条件
互化公式
(1)极点与原点重合;
(2)极轴与x轴非负半轴重合;
(3)取相同的长度单位
①
②
(2)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍).一般取ρ≥0,θ∈[0,2π).
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆.
( )
(2)点P在曲线C上,则点P的极坐标一定满足曲线C的极坐标方程.
( )
(3)如果点P的直角坐标为(-),那么它的极坐标可表示为.
( )
(4)参数方程(t为参数)所表示的图形是直线.
( )
(5)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点O的圆的极坐标方程为ρ=2asin
θ.
( )
2.在极坐标系中,过点作圆ρ=4sin
θ的切线,则切线的极坐标方程是( )
A.ρsin
θ=2
B.ρcos
θ=2
C.ρsin
=2
D.ρcos
=2
3.(2019北京,理3)已知直线l的参数方程为(t为参数),则点(1,0)到直线l的距离是( )
A.
B.
C.
D.
4.直线与曲线ρ=2cos
θ相交,截得的弦长为( )
A.
B.
C.
D.
5.(2018北京)在极坐标系中,直线ρcos
θ+ρsin
θ=a(a>0)与圆ρ=2cos
θ相切,则a= .?
第1课时 极坐标方程与参数方程
关键能力学案突破
考点
曲线方程的三种形式间的转化
(多考向探究)
考向1 参数方程或极坐标方程化为直角坐标方程
【例1】(2019全国1,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcos
θ+ρsin
θ+11=0.
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)求C上的点到l距离的最小值.
解题心得1.极坐标方程与直角坐标方程间的互化直接利用互化公式即可,但要满足互化的条件:极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴正半轴重合,两坐标系的长度单位相同.
2.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等,往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件.
对点训练1(2020全国1,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为4ρcos
θ-16ρsin
θ+3=0.
(1)当k=1时,C1是什么曲线?
(2)当k=4时,求C1与C2的公共点的直角坐标.
考向2 参数方程与极坐标方程间的互化
【例2】(2016全国1,文23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos
θ.
(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan
α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
解题心得无论是参数方程化为极坐标方程,还是极坐标方程化为参数方程,都要先化为直角坐标方程,再由直角坐标方程化为需要的方程.
对点训练2(2020辽宁大连三模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(φ为参数),以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C的极坐标方程;
(2)直线l1,l2的极坐标方程分别为θ=(ρ∈R),θ=(ρ∈R),直线l1与曲线C的交点为O,M,直线l2与曲线C的交点为O,N,求线段MN的长度.
考点
求曲线或轨迹的极坐标方程
【例3】(2020全国2,理22)已知曲线C1,C2的参数方程分别为C1:(θ为参数),C2:(t为参数).
(1)将C1,C2的参数方程化为普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.
解题心得由于点的极坐标是用长度与角度表示的,所以建立极坐标方程常常可以通过寻找一个三角形的边角关系来进行.因此寻找这样的三角形就成了解题的关键.
对点训练3(2019全国3,理22)如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B,C,D(2,π),弧所在圆的圆心分别是(1,0),,(1,π),曲线M1是弧,曲线M2是弧,曲线M3是弧.
(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;
(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=,求P的极坐标.
考点
求曲线或轨迹的参数方程
【例4】(2018全国3,理22)在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l与☉O交于A,B两点.
(1)求α的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
解题心得当动点坐标x,y之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x,y与某一变数t的关系,得到x,y与参变数t的关系式,即为动点的轨迹的参数方程.
对点训练4(2020重庆南开中学6月模拟,22)在平面直角坐标系xOy中,
直线l的参数方程为(t为参数),在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=2(θ∈[0,π]),直线l与曲线C交于两个不同的点M,N.
(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程,并求α的范围;
(2)求MN中点P轨迹的参数方程.
1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化思路:对于简单的我们可以直接代入公式ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,但有时需要作适当的变化,如将式子的两边同时平方,两边同时乘以ρ等.
2.如果要判断极坐标系中曲线的形状,我们可以将方程化为直角坐标方程再进行判断,这时我们直接应用x=ρcosθ,y=ρsinθ即可.
3.参数方程化普通方程常用的消参技巧:代入消元、加减消元、平方后加减消元等,经常用到公式:cos2θ+sin2θ=
选修4—4 坐标系与参数方程
必备知识·预案自诊
知识梳理
2.(1)定点 射线 长度 角度 弧度 逆时针 (2)距离|OM| ρ xOM θ (ρ,θ)
M(ρ,θ)
考点自诊
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
2.B ρ=4sinθ的直角坐标方程为x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4,而点化为直角坐标是(2,2),过(2,2)作圆的切线,其方程为x=2,即ρcosθ=2.故选B.
3.D 直线l的普通方程为4(x-1)-3(y-2)=0,即4x-3y+2=0,点(1,0)到直线l的距离d=,故选D.
4.A 曲线ρ=2cosθ的直角坐标方程为x2+y2=2x,标准方程为(x-1)2+y2=1,该曲线表示以点(1,0)为圆心,半径长为1的圆,直线的一般式方程为x+2y-3=0,则圆心到直线的距离为d=,因此直线与圆相交所得的弦长为2=2.
5.+1 由题意,可得直线的直角坐标方程为x+y=a(a>0),圆的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1.
由直线与圆相切,可知=1,即|1-a|=,解得a=1±.∵a>0,
∴a=+1.
第1课时 极坐标方程与参数方程
关键能力·学案突破
例1解(1)因为-1<≤1,且x2+=1,所以C的直角坐标方程为x2+=1(x≠-1).l的直角坐标方程为2x+y+11=0.
(2)由(1)可设C的参数方程为(α为参数,-π≤α<π).
C上的点到l的距离为
=.
当α=-π时,4cos+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为.
对点训练1(1)当k=1时,C1:消去参数t得x2+y2=1,
故曲线C1是圆心为坐标原点,半径为1的圆.
(2)当k=4时,C1:消去参数t得C1的直角坐标方程为=1.C2的直角坐标方程为4x-16y+3=0.
由解得
故C1与C2的公共点的直角坐标为.
例2解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.
将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ+1-a2=0.
(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sinθcosθ+1-a2=0,
由已知tanθ=2,可得16cos2θ-8sinθcosθ=0,
从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.
a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,
所以a=1.
对点训练2解(1)由曲线C的参数方程为(φ为参数),得曲线C的直角坐标方程为x2+(y+1)2=1,
所以极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ+2ρsinθ=0,即ρ=-2sinθ.
(2)将θ=代入ρ=-2sinθ,则有ρM=-1,即|OM|=1.
将θ=代入ρ=-2sinθ,则有ρN=-,即|ON|=.
∠MON=,由余弦定理得|MN|2=|OM|2+|ON|2-2|OM|·|ON|cos=1,所以|MN|=1.
例3解(1)C1的普通方程为x+y=4(0≤x≤4).由C2的参数方程得x2=t2++2,y2=t2+-2,
所以x2-y2=4.故C2的普通方程为x2-y2=4.
(2)由
所以P的直角坐标为.
设所求圆的圆心的直角坐标为(x0,0),
由题意得,解得x0=.
因此,所求圆的极坐标方程为ρ=cosθ.
对点训练3解(1)由题设可得,弧所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cosθ,ρ=2sinθ,ρ=-2cosθ.
所以M1的极坐标方程为ρ=2cosθ0≤θ≤,M2的极坐标方程为ρ=2sinθ≤θ≤,M3的极坐标方程为ρ=-2cosθ≤θ≤π.
(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)知若0≤θ≤,则2cosθ=,解得θ=;
若≤θ≤,则2sinθ=,解得θ=或θ=;
若≤θ≤π,则-2cosθ=,解得θ=.综上,P的极坐标为.
例4解(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.
当α=时,l与☉O交于两点.
当α≠时,记tanα=k,则l的方程为y=kx-,l与☉O交于两点当且仅当<1,
解得k<-1或k>1,即α∈或α∈.
综上,α的取值范围是.
(2)l的参数方程为t为参数,<α<.
设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=,且tA,tB满足t2-2tsinα+1=0.
于是tA+tB=2sinα,tP=sinα.又点P的坐标(x,y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是α为参数,<α<.
对点训练4解(1)由
①×sinα-②×cosα得直线l的普通方程为
sinα·x-cosα·y=-cosα.
由ρ=2,两边平方得x2+y2=4,由于θ∈[0,π],
所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4(y≥0).
直线l过点A0,,倾斜角为α,与曲线C有两个公共点,由图可知在直线过点C(-2,0),B(2,0)时为临界情况,kAB=-,kAC=,
所以倾斜角α∈0,∪,π.
(2)直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得t2+sinα·t-=0,Δ>0,可设该方程的两个根为t1,t2,P对应的参数为tP,则tP==-sinα,
将tP代入直线l的参数方程并化简得到中点P轨迹的参数方程为
α为参数,α∈0,∪,π. 极坐标方程与参数方程的应用
考点
直线的参数方程的应用
【例1】(2020山西晋城一模,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcosθ+=2.
(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程;
(2)直线l与x轴的交点为P,经过点P的直线m与曲线C交于A,B两点,若=4,求直线m的倾斜角.
解题心得在过定点P0(x0,y0)的直线的参数方程中,参数t的几何意义是定点P0(x0,y0)到直线上的点P的数量.若直线与曲线交于两点P1,P2,则|P1P2|=|t1-t2|(t1,t2分别为P1,P2对应的参数),P1P2的中点对应的参数为(t1+t2);若点P为P1P2的中点,则t1+t2=0.
对点训练1(2020安徽安庆二模,理22)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位.已知曲线C的极坐标方程为ρ-4sin
θ=0,直线l的参数方程为(t为参数).
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,M(0,1),且|MA|>|MB|,求的值.
考点
曲线的参数方程的应用
【例2】已知直线l:(t为参数),在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为4ρ2+5ρ2cos2θ-36=0.
(1)求曲线C的参数方程和直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点M作与l夹角为60°的直线,交l于点N,求|MN|的最小值.
解题心得一般地,如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求线段、面积的最值、范围问题时,可考虑用圆、椭圆的参数方程,设曲线上点的坐标,将问题转化为三角恒等问题解决,使解决过程简单明了.
对点训练2已知曲线C的极坐标方程是ρ2=4ρcos
θ+6ρsin
θ-12,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).
(1)写出直线l的一般方程与曲线C的直角坐标方程,并判断它们的位置关系;
(2)将曲线C向左平移2个单位长度,向下平移3个单位长度,得到曲线D,设曲线D经过伸缩变换得到曲线E,设曲线E上任一点为M(x,y),求x+y的取值范围.
考点
极坐标方程的应用
【例3】(2020安徽合肥三模,22)在平面直角坐标系中,直线m的参数方程为(t为参数,0≤α<π).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线E的极坐标方程为ρ2+2ρcos
θ-3=0,直线m与曲线E交于A,C两点.
(1)求曲线E的直角坐标方程和直线m的极坐标方程;
(2)过原点且与直线m垂直的直线n,交曲线E于B,D两点,求四边形ABCD面积的最大值.
解题心得用极坐标方程解决问题时要注意题目中的几何关系,如两交点A,B的距离可表示为|AB|=|ρ1-ρ2|,如果几何关系不易用极径表示时,应把极坐标方程化为直角坐标方程,将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.
对点训练3(2020河南开封三模,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(φ为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos
θ,曲线C1和C2在第一象限交于点A.
(1)求点A的直角坐标;
(2)直线θ=αα∈0,,ρ∈R与曲线C1,C2在第一象限分别交于点B,C,若△ABC的面积为,求α的值.
1.应用直线的参数方程在计算直线与圆锥曲线的相交弦的弦长时,不必求出交点坐标,根据参数t的几何意义和弦长公式求解,这样可以避免因运用直线和圆锥曲线的方程所组成的方程组求解导致的烦琐运算.
2.应用曲线的参数方程的优势是通过参数θ简明地表示曲线上任一点坐标,将解析几何中的计算问题化为三角问题,从而运用三角性质及变换公式求解,如求最值,求某个参数取值范围等问题.
3.已知极坐标方程解答最值问题时,通常可转化为三角函数模型求最值问题,这种方法比在直角坐标系中求最值的运算量小.
第2课时 极坐标方程与参数方程的应用
关键能力·学案突破
例1解(1)曲线C的普通方程为x2+y2=6.
因为ρcosθ+=2,所以ρcosθ-ρsinθ-4=0,
故直线l的直角坐标方程为x-y-4=0.
(2)点P的坐标为(4,0),设直线m的参数方程为(t为参数,θ为倾斜角),
将直线m的参数方程代入曲线C的普通方程得t2+8tcosθ+10=0.
设A,B对应的参数分别为t1,t2,则所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=8|cosθ|=4,
得cosθ=±,且满足Δ>0,
故直线m的倾斜角为.
对点训练1解(1)由直线l的参数方程消去参数t,得直线l的普通方程为y=x+1,即x-y+1=0.
将ρcosθ=x,ρsinθ=y代入ρ-4sinθ=0得,
曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4y=0.
(2)设A,B对应的参数为t1,t2,
将代入x2+y2-4y=0,得t2-t-3=0,所以t1t2=-3,t1+t2=.
因为直线l过M(0,1),且|MA|>|MB|,所以t1>0,t2<0.
于是|MA|=|t1|=t1,|MB|=|t2|=-t2.
故=-.
例2解(1)将ρ2=x2+y2,ρcosθ=x代入曲线C的极坐标方程中,可得9x2+4y2=36,即=1,其参数方程为C:(φ为参数),
直线l的普通方程为2x+y-10=0.
(2)设M(2cosφ,3sinφ),则M到l的距离
d=
=,
当sin(φ+γ)=1时,d取最小值为,故|MN|的最小值为.
对点训练2解(1)由直线l的参数方程消去参数t,得直线l的一般方程为x+y-2-1=0,∵曲线C的极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ-12,
∴由ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,得曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+(y-3)2=1.
∵圆心(2,3)到直线l的距离d==1=r,
∴直线l和曲线C相切.
(2)由题意曲线D为x2+y2=1.曲线D经过伸缩变换得到曲线E的方程为x2+=1,
则点M的参数方程为(θ为参数),∴x+y=cosθ+sinθ=2sin,
∴x+y的取值范围为[-2,2].
例3解(1)曲线E的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4,
直线m的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).
(2)设点A,C的极坐标分别为(ρ1,α),(ρ2,α).
由得,ρ2+2ρcosα-3=0,
∴ρ1+ρ2=-2cosα,ρ1ρ2=-3,
∴|AC|=|ρ1-ρ2|=2.
同理得,|BD|=2.
∵S四边形ABCD=|AC|·|BD|=2≤cos2α+3+sin2α+3=7,
当且仅当cos2α+3=sin2α+3,即α=时,等号成立,
∴四边形ABCD面积的最大值为7.
对点训练3解(1)已知曲线C1的参数方程为(φ为参数),
消去参数φ得C1:x2+(y-1)2=1.
将曲线C1化为极坐标方程为C1:ρ=2sinθ.
联立曲线C1和C2极坐标方程得,交点A的极坐标为,
化为直角坐标为.
(2)连接OA(图略),由(1)点A的极坐标可得,|OA|=,∠AOx=.
将直线θ=α与曲线C1和C2联立可得B(2sinα,α),C(2cosα,α),
∴|OB|=2sinα,
|OC|=2cosα,
∠COx=∠BOx=α.
∴∠AOB=∠AOC=-α,
∴S△ABC=S△AOC-S△AOB=|OA|·|OC|sin∠AOC-|OA|·|OB|·sin∠AOB
=·2cosα·sin-α-·2sinα·sin-α
=sin-α·(cosα-sinα)
=2sin2-α
=.
∴sin2-α=,∵α∈0,,∴α=.
